2024-2025学年江苏省镇江市句容市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年江苏省镇江市句容市高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线八V3x+3y+1=0的倾斜角。为（）

B.JC.名D学

6336

2.设m,ri是三条不同的直线，a,0,y是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若/_LTH,mln,贝！）〃/九8.若打10,/71y,贝！Ja〃/

C.若?n1a,a±S，则m〃SD.若m1a,m///?,则a1/7

3.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（）

A.a=0.05B.评分的众数估值为70

C.评分的第25百分位数估值为67.5D.评分的平均数估值为76

4.一组样本数据％1，冷，第3，…，％8的平均数为血，标准差为3.另一组样本数据久1，到，第3，…，％8，根的平

均数为3标准差为S,则（）

A.x=m,s>3B.x=m,s<3C.m,s>3D.m,s<3

5.已知△力BC是边长为6的等边三角形，点。是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足正=4同+：尼，

则襦•衣=（）

A.—第B.yC.yD.-y

6.直线4x+3y-12=0与x轴、y轴分别交于力，B两点，贝!|乙艮4。（。为坐标原点）的平分线所在直线的方程

为（）

A.2%—y—6=0B.%+2y—3=0

C.x+2y+3=0D.2%—y—6=0或X+2y-3=0

7.有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片；

第二个盒子中有五张分别标号为1，2,3,4,5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,

第1页，共17页

6,7的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i个盒子中取出的卡片的号码为勺（i=123）,则％1+

久2+%3为奇数的概率是（）

「57

C，105

,「111,„,

8.在锐角二角形Z8C中，已知3si?i8=4si?iCcos4则—-+---+-—^的最小值是（）

tanAtanBtanC'/

A.73B.苧C.苧D.A<13

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知a,06（0,5）,a+0冶，则下列不等关系一定正确的是（）

A.sin(a+/?)>sina+sin/3B.cos(a+S)<cosa+cos/?

C.sina+sinp>1D.cosa+cosp<V-2

10.在复平面内，复数Zi，Z2对应的向量分别为石，石，则（

A.若比=Z2,则式2=afB.若研=可，则Z,=Z2

C.若Z]Z2=0,则西•石=0D.若可*•石=0,则Z]Z2=0

11.已知三棱锥人一BCD中，AB=AC=DB=DC=3,AD=BC=2,E,F

分别是BD,CD的中点，P是棱AC上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（）

A.直线PF与48是异面直线

B.当AP=2PC时，三棱锥P-力BD体积为竿

C.PD+PB的最小值为

D.三棱锥力-BCD外接球的表面积11W

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知事件力与B相互独立，PQ4）=0.6,PQ4B）=0.42,则PQ4+B）=.

13.如图，圆台。0的轴截面是等腰梯形力BCD,AB=BC=2CD=4,E为下底面。。

上的一点，且力E则直线CE与平面4BCD所成角的正切值为.

14.已知平面向量其了,？分别满足同=1,丽=y/l,a-b^0,7-E与？—石的夹角是a7^12^4^

则（？_初.（？_£）的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

在①2c=扃，（2）csinA-3,③c=扃6这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存

在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

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问题：是否存在△4BC,它的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且s讥4=OsMB,C=g?

o

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

16.(本小题15分)

甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为p,乙每

轮猜对的概率为q,p〉q.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.甲和乙在第一

轮都猜错的概率为之“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为

oZ

(1)求p,q；

(2)求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率.

17.(本小题15分)

如图，在三棱柱力BC—AiBiCi中，侧面力CCMi1底面ABC,AA1=A1C^AC,4B=BC=1,AB1BC,E,

F分别为AC,々Ci的中点.

(1)求证：直线£77/平面力

(2)求三棱锥F-4的体积.

18.(本小题17分)

如图所示，公路48一侧有一块空地4OAB,其中。力=6km,OB=6y/lkm,4AOB=90。.市政府拟在中间

开挖一•个人工湖△0MN,其中M,N都在边4B上(M,N不与4B重合，M在4N之间)，且NM0N=30。.

(1)若M在距离4点4km处，求。M的长度;

(2)为节省投入资金，人工湖△0MN的面积尽可能小，设N40M=a,试确定a的值，使△0MN的面积最小,

并求出最小面积.

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19.(本小题17分)

人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常

用测量距离的方式有3种.设力(%1，月)，8(久2，、2)，则欧几里得距离D(4B)=J01-冷)2+(乃—乃)2;曼

哈顿距离dQ4,B)=\x1-x2\+|yi-y2b余弦距离e(A8)-1-cos(4B),其中cos(X,B)=cos(OA,OB)；

(。为坐标原点).

(1)若力(一1,2),求4B之间的曼哈顿距离d(4,B)和余弦距离e(4,B)；

(2)若点M(2,l),d(M,N)=l,求e(M,N)的最大值；

(3)已知点P,Q是直线2：y—l=k(x—1)上的两动点，问是否存在直线M吏得d(0,P)7nm=D(0,QLin，若存

在，求出所有满足条件的直线2的方程，若不存在，请说明理由.

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答案解析

1.【答案】D

【解析】解：直线〃，^久+3y+l=0的斜率为一苧，

贝!Jtana-

直线的倾斜角aG[0,兀)，

则a=^.

6

故选：D.

根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解.

本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】【试题解析】

解：对于4垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故N不正确；

对于8,垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故2不正确；

对于C,a_L夕，.,.设aC0=a,在平面0内作直线b1a,贝!Jb1a,,­,m1a,m//b,若mC0,则小〃0,

若mu0,也成立，小〃0或u因故C不正确；

对于D,若m///3,则存在Iu,，使1//m,I1«,则a10,故。正确.

故选：D.

利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理判断即可.

本题考查线面平行、垂直的判定定理与性质定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：根据题意可得(2a+4a+6a+5a+3a)x10=1,解得a=0.005,所以力选项错误；

评分的众数估值为二罗=75,所以B选项错误；

因为前2组的频率依次为0.1,0.2,

所以评分的第25百分位数估值为60+端产=67.5,所以C选项正确；

所以评分的平均数估值为55x0.1+65x0.2+75x0.3+85X0.25+95x0.15=76.5,所以。选项错误.

故选：C.

根据频率分布直方图的性质，针对各个选项分别求解即可.

本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题.

第5页，共17页

4.【答案】B

【解析】解：因为爪=把牛也，

O

所以％1+%2+—F%8—8m,

则城=町+冷+了&+血=臂m=m

因为32=1[（%1-m）2+（%2-血）2+…+（%8一税）2]，

1

s2=[（%i—m）2+（x一瓶）2+•••+（18—^）2+（徵-m）2]

y2

2222

=I[(%!—m)+(x2-m)+...+(x8-m)+0],

又工<

乂9<8

所以S2<9,

解得S<3,

则x=m,s<3.

故选：B.

由题意，根据平均数、方差公式判断数据添加平均数后新的平均数、标准差变化情况即可.

本题考查方差以及平均数，考查了运算能力.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题.

根据题意，得到方=4荏+"前=24而+/前，由C,D,G三点共线，求得"看得至西=|诟+/前,

结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

【解答】

解：因为。为AB的中点，AG=AAB+^AC=2AAD+

因为C,D,G二点共线，可得24+/=1,解得4=£，

即E=|荏+/前，

第6页，共17页AD

2―>—>1—>2

=—（耳4B,AC+耳？1C）

2—>—>711—>

=—（耳]4B||AC|cos可+百|AC|9）

=-（|x6x6x1+|x62）=-Y-

故选：A.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意，直线4x+3y-12=0与久轴、y轴分别交于4/

B两点，\IR

令％=0,可得y=4,则B的坐标为（0,4）,

令y=0,可得x=3,贝！|A的坐标为（3,0）,_

如图：设NB40=2a,（a为锐角），平

贝！

I—tanZu=—U~—3—=——3,3BPtctn2.cc=—,

则有黑器=才解可得tana=：2（舍），

则乙84。的平分线所在直线的斜率k=-替

其方程为y=-^（久-3）,变形可得x+2y-3=0,

故选：B.

根据题意，由直线的方程求出2、B的坐标，设NBA。=2a,分析可得tan2a=$由二倍角公式可得tcma

的值，即可得要求直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案.

本题考查直线方程的求法，注意角平分线的性质，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：从三个盒子中各随机抽取一张卡片可分为三步完成，

第一步从第一个盒子中取一张卡片，有3种方法，

第二步从第二个盒子中取一张卡片，有5种方法，第三步从第三个盒子中取一张卡片，有7种方法，

由分步乘法计数原理可得共有3x5x7种方法，

事件/+久2+久3为奇数等价于％1，%2,都为奇数或%1，犯，中有一个为奇数，两个为偶数，其中事件勺，

%2,乂3都为奇数包含2x3x4个基本事件，即24个基本事件，事件久1为奇数，久2,冷为偶数包含2x2x3

个基本事件，即12个基本事件，事件久2为奇数，打，为偶数包含3X1x3个基本事件，即9个基本事

件，事件%3为奇数，%2，为偶数包含1x2x4个基本事件，即8个基本事件，

第7页，共17页

所以事件久I+x2+与为奇数包含的基本事件数为24+12+9+8,即53个基本事件，

匚匚、[n

所以ip=5e3=而53，

故选：B.

先由分步乘法计数原理求出样本空间中的基本事件数，再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理求出事

件为+x2+与为奇数所包含的基本事件数，再由古典概型概率公式求概率.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了分步乘法计数原理的应用，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：因为3sinB=4sinCcosA,A+B+C=n,

所以3sin(A+C)=4sinCcosA,则3sinCcosA+3cosCsinA-4-sinCcosA,

所以3cosCsinA=sinCcosA,

因为在锐角三角形ABC中，0<4C<3贝！kos4>0,cosC>0,

所以tcmC=3tanA,令tcmZ=t,则t>0,tanC=33

而taziB=tan[7T—(/+C)]=—tan(Z+C)=—tanA+tanCt+3t_4t

1—tanAtanCl-tx3t_3t2-l"

gr-pj1,1,1_1,3t2-l,1_3t,13l3t13_/13

所以石+病+即=E+^^+元=1+五292]].诿=.,

当且仅当期=焉即土=孚时，等号成立，

4±ZtD

此时tcmA=,tanC=V13,tanB=与m，满足题意.

故选：B.

先利用三角函数的和差公式，结合锐角三角形角的范围得到tmC=3tcm4再利用正切函数的诱导公式与

和差公式转化tcmB,从而将所求转化为关于ta»l=t的表达式，进而利用基本不等式即可得解.

此题考查三角函数的和差公式、诱导公式，利用换元法及基本不等式求最值，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于A,令a=0=今，则。+。=等所以sin(a+S)=sin^=苧,

sina+sin0=芋+/=故sin(a+夕)<sina+s讥0,故N错误；

对于8,因为a6(0,]),所以cosa>0,因为夕6(0吟)，所以cos/?〉0,

因为1<a+0<7T,所以cos(a+/?)<0,所以cos(a+夕)<cosa+cos0,故2正确;

对于C选项，a、06(0,]),a+0>3则0<]—0<a<3

第8页，共17页

且函数y=s讥%在(0《)上为增函数，所以sina>sin(，一/?)=cos，，

故sina+sinp>cosp+sin0=V_2sin(/7+J),因为OvS<£

则0+3<手，故W<sin(0+9WJ,故5抽+5讥0>四血(0+白〉1,C对；

444Z44

对于D选项，cosa+cos{3<cosa+sina=V_2sin(cr+J),

因为0<a<g,则3Va+3V称，故苧Vsin(a+3)〈1，

Z444Z4

故cosa+cosp<V_2sin(a+7)<V-2,即cosa+cos/?<V~2,。对.

4

故选：BCD.

利用两角和的正弦公式结合作差法可判断2选项；求出a+0的取值范围，根据cos(a+/?)<0可判断B选项;

利用正弦函数的单调性推导出simz>cos.,利用辅助角公式结合正弦型函数值域可判断。选项.

本题考查求两角和与差的三角函数值，属于中档题.

10.【答案】AC

【解析】解：不妨设Zi=/+y“，z2=x2+y2i,

则访=(久口为)，石=(久2，乃)，

若z,=Z2,

2

此时|z/2=|z2|,

即妊+资=蛀+%,

因为溢=x1+yl，诙2=虐+%,

所以溢=石2,故选项N正确；

—>2—>2

右=a2,

此时/+yl=xj+yj,

而z：=好一比+2久/也z；=用一犬+2%2为。故选项8错误；

右Z1Z2—0,

此时两复数中至少一个为零，

即可，心中至少一个的坐标为(0,0),

则西•石=0,故选项C正确；

若就.石=0,

此时X1久2+%>2=0,

由Zj_Z2=0

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可得刀62-乃>2+(久。2+刀2月)》=°，故选项。错.

故选：AC.

由题意，根据复数的运算，模的定义，向量的数量积的坐标表示对选项进行逐一分析，进而即可求解.

本题考查复数的运算和平面数量向量积的性质及运算，考查了逻辑推理和运算能力.

11.【答案】ACD

【解析】解：•••ABu平面力BC,PFC平面ABC,P€平面力BC,Pe4B,.•.直线PF与4B是异面直线，故/

正确；

•.•三棱锥力-BCD中，AB=AC=DB=DC=3,AD=BC=2,

:,三棱锥对棱相等，故可将其补形为长方体，如图所示,

X2+y2—9

y2+z2=4>x2+y2+z2—11,z=y=V-2,x=y/-7,

{x2+z2=9

二三棱锥P-力BD体积为，1X72X77-|X1X<2X<2X/7X4=亨，故B错误;

设三棱锥4-BCD外接球的半径为r,

则2r=J%2+y2+z2=711，

・•・三棱锥/—BCD外接球的表面积471T2=11兀，故D正确;

把三角形ZCD与三角形ABC沿ZC展开到一个平面内,

由余弦定理可得cos乙4CD=3?个==Jcos乙4cB=丁=1

2x3x392x3x23

cosZ-DCB=cos(^Z-ACD+Z-ACB^=cosZ-ACDcosZ-ACB-sixiZ-ACDsinZ-ACB=-------x---=——,

由余弦定理可得=32+22-2x3x2x(-=17,BD=717.

PD+PB的最小值为当P,B,。在一直线上时取最小值.

故选:ACD.

易判断直线PF与4B是异面直线，可判断力；三棱锥对棱相等，故可将其补形为一长方体，利用长方体的性

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质，计算可判断B,D；把三角形ACD与三角形ABC沿AC展开到一个平面内，由余弦定理可求最小值判断C.

本题考查空间几何体的性质，考查余弦定理的应用，考查距离的最小值，属中档题.

12.【答案】0.88

【解析】解:因为事件a与B相互独立，

所以PQ4B)=P(A)xP(B)=0.6xP(B)=0.42=P(B)=0.7,

所以PG4+B)=尸(4)+P(B)-PQ4B)=0.6+0.7-0.42=0.88.

故答案为:0.88.

根据独立事件乘法公式求出P(B),从而利用P(4+B)=PQ4)+P⑻-P(4B)求出答案.

本题考查相互独立事件的概率计算相关问题，属于基础题.

因为4BCD为圆台。0的轴截面，

所以平面4EB1平面4BCD,

因为平面4EBC平面4BCD=AB,

EHu平面4EB,所以EH1平面力BCD,

所以直线CE与平面力BCD所成的角即NECH,

因为依引=\BC\=2\CD\=4,且|2图=，用BE|,

因为|4E|2+|BE|2=\AB\2,即4\BE\2=16,

解得田同=2,

则|BH|=1,\EH\=V\EB\2-\BH\2=V22-l2=\CH\=J|BC|2_(¥川］|亚尸=J16-(^)2=

^"15，

所以tanzFCH=犒=祭=

故答案为：g

第11页，共17页

过E作EH_L力B,连接CH,证明EHJ_平面ABC。，即直线CE与平面力BCD所成的角即NECH.

本题考查直线与平面所成的角，是中档题.

14.【答案】473+6

【解析】解：已知平面向量反分别满足同=1,\b\—•b-

与^-了的夹角是亲

如图，建立平面直角坐标系，

设点力(1,0).B(0,O，=0A,b=OB，

满足画=l,\b\=y/l,a-b=0，

则AB=/12+(V-3)2=2，

取方=3连接BC,AC,

则前=7一万，芯=~c-a，

依题意NBCA=，，

o

记△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

c_2_b_a

由正弦ZE理，sinC1sinBsinA9

2

则得Q=4sinA,b=4sinB,

由(3—五)•e—石)=正•前=I福函|cos壮?ab=Sy/lsinAsinB

j—5TT1V-31—

=8VSsinAsin(-^——A)=8V3sinA^cosA-\--^-sinA)=4VSsinAcosA+12sin7^A

=2y[3sin2A—6cos2A+6

=4<3sin(2X-^)+6,

因o<a<?

o

故-X24-(〈手

故当24Y=3即当4=1时，sin(24g)取得最大值1,

此时(3-初・(？-5)取得最大值为473+6.

故答案为：4AA3+6.

根据题意建系，设4(1,0).5(0,73),MXa=OA,~b=~0B>0C=c,由图可得近=7—5前=7—N,由题

得NBC4=%AB=2,由正弦定理可得a=4s讥4b=4sinB,再利用向量数量积的定义将所求式化成关

O

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于角a的正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可求得答案.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数最值的求法，属中档题.

15.【答案】解：选2^=宿.

△4BC中，sinA—yTSsinB,即b=

ac=V3,c=—,

a

2_j_a23

22_2次+至一滔73

C0SC=—a+^/?c=2^=—>

3

a=y/-3,b=1,c=1.

选②csiziZ=3.

△ZBC中，csinA—asinC—asiny—3,a=6.

sinA=y/~3sinB,即。=y/~3b,b=2V-3.

c次+力2-c236+12-C2<3

C°SC=^^=2X6X2C=?

••・c=2V-3.

选,③c-y/~3b.

sinA=y/~3sinB,即。=y/~3b,

又<c=V-36,

与已知条件C=2相矛盾，所以问题中的三角形不存在.

【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关

键，属于基础题.

①m据题意，结合正弦定理，可得b=¥a,c=C,结合C=£运用余弦定理cose=n,即可求得

3a62ab

C=1.

_,_n2，h2_r2

②t艮据题意，△ABC中，cs讥/=asinC,即可求得Q=6,进而得到b=2V3.运用余弦定理cosC=——一，

2ab

即可求得C=273.

③t艮据c=，g，sin/=CsiziB即a=Ob,可列式求得cosC=?,与已知条件C=g矛盾，所以问题中

66

的三角形不存在.

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(1―p)(l—q)=」

16.【答案】解：(1)由题意可得[6J

、p(i—q)+(1—p)q=2

解得pq=]p+q=：,

Jo

所以p，q是方程/—/x+1=。的两个实根，

又p>q,解得p=|,q-~,

(2)设40%分别表示甲两轮猜对1个，2个谜语的事件，

当，为分别表示乙两轮猜对1个，2个谜语的事件，

21,124224

P(^1)=3X3+3X3=91°(42)=百X『手

n/n、11,111n/n.111

P(B1)=2X2+2X2=2,P(B2)=2X-=->

设M表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件，

则P(M)=P(4B2UA2B1)=P(4%)+P(42/)=P(4)P(B2)+P(4)P(Bi)

41,411

=§Xl+§X,=]

【解析】本题考查了互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率公式，属

于中档题.

(1)利用对立事件的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式，得到关于p、q的方程组，解方程组即可求得

p、q的值.

(2)利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求得“星队”在前两轮活动中猜对

3个谜语的概率.

17.【答案】详见解析；

76

Z4,

【解析】(1)证明：取的中点G,连接EG,FG,由于E,F分别为AC,81cl的中点，

因此FG//4当，

又u平面ABBiHi，FGU平面力因止匕FG//平面ABB1力「

又4E〃&G且4E=&G,

因此四边形AEG4是平行四边形，

因止匕EG//A41又u平面力EGC平面力BB140

因止匕EG//平面4BB遇i.

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因此平面EFG//平面力BBi力i.又EFu平面EFG,

因此直线EF//平面A8B1公；

(2)因为AB=BC=1,AB1BC,

因止匕A4]=AXC=AC=yT2,

由于E为4C中点，因止匕AiELAC,又侧面A41cle1底面ABC,

交线为4C,&£'<=平面为4。，

因此41EL平面ABC,连接EB,可知EB,EA,E4两两垂直.

由⑴知直线EF//平面VF_ABA1=VE_ABA1=VA1_ABE=5•建E•SMBE="苧'»祟

(1)结合平面与平面平行的判定，得到平面EFG//平面ABB遇0结合平面与平面平行的性质即可得结论;

(2)结合平面与平面垂直性质，得到&E1平面4BC,利用体积关系计算体积即可.

本题考查了直线与平面平行的判定，考查了三棱锥的体积计算方法，属于中档题.

18.【答案】2«km；

a=15。时面积最小，最小值为54-27g

【解析】(1)在404B中，其中。4=6km,OB=6gkm,AAOB=90°,

所以tan/。43=器=6,结合4。4B为锐角，可得N04B=60。，

在△AM。中，由余弦定理得。〃2=042+4时2一2。4•AMcos60。=28,可得OM=2gkm.

(2)在△4M。中，AAOM=a,0°<a<60°,

由正弦定理sin〃MM=sin/OMZ'[逅=$皿60。+戊)'可倚=sing+a)'

2

同理在△ZN。中，由

sinZ.OAMsinz.ONA

所以△0MN的面积S=|OM-ONsin30°=1x___________x_____x——___x_____________________

sin(60°+a)cosa