2024-2025学年江西省南昌某中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年江西省南昌十九中高二(下)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知数列｛厮｝为等差数列，a2+a8=6,则=()

A.9B.12C.15D.16

2.1。)是f(x)的导函数，若「(切的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()

3.在等比数列｛厮｝中，a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值等于()

A.1B.C.1或—TD.-1或：

4.函数/(久)=Inx—2/的单调递增区间是()

A.111B.(0,|)

C.(-co,(|,+oo)D.(1,+0°)

5.若函数/'(%)=+a)在[-2,2]上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(-8,0]B.(—00,—8)C.(―8,—8]D.[0,+oo)

6.已知数列｛5｝满足的=吐皿=2,贝=()

3anan+l

11

A.点B.这C.12D.21

7.已知数列｛厮｝、｛%｝的通项公式分别为％i=3n-1和加=4n-3(n6N*),设这两个数列的公共项构成

集合4,则集合An2025,TieN*｝元素的个数为()

A.166B.168C.169D.170

8.数列｛c”｝为等比数列，其中q=2,c8=4,f(x)=x(x-ct)(x-c2)...(x-c8),f'(x)为函数/(久)的导

函数，则/(0)=()

A.0B.26C.29D.212

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列选项正确的是()

A.y=ln2,则y'=］B.f(x)=^,则［(3)=一行

1

X

C.y=2,则y'=2*"2D.y=log2x,则

1。已知函数f(x)的导数为f'Q),若存在久o，使得/Oo)=r(Xo)，则是称出是fQ)的一个“巧值点”，则

下列函数中有“巧值点”的是()

A.f(x)=x2B./(%)=|C./(%)=InxD./(%)=(1)x

2

11.已知数列｛厮｝满足：臼=2,当n>2时,an=(J昨［+2+I)-2,则关于数列｛厮｝的说法正确的是

()

A.a2=7B.数列｛斯｝为递增数列

2

C.an=n+2n-lD.数列｛an｝为周期数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设f(x)=(x-l)ex,则尸(伍2)=.

13.已知等差数列｛心｝的前n项和是Sn,Si8>0,S19<0,则数列｛|即1｝中值最小的项为第项.

14.试写出一个无穷等比数列｛a“｝,同时满足：(1)。4=1；(2)数列｛|总｝单调递减;(3)数列｛时｝不具有单

调性，则当neN*时，an=______.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知等差数列｛厮｝的前71项和为无,若£16=12,58=72.

(1)求数列｛5｝的通项公式.

(2)证明：数列｛e｝为等差数列.

16.(本小题12分)

11

%32

已知函数/(%)3-2-

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3)(3))处的切线方程；

(2)讨论/(%)的单调性.

17.(本小题12分)

已知函数/(无)=aex-bbix在点(1,/(1))处的切线方程为y-(e-1)%+1.

(I)求。，b的值；

(II)求证：y(x)>2.

18.(本小题12分)

已知数列的前几项和为%,且%=1,Sn+1=^an+l(nGN*).

(1)求证：数列｛即+1-2即｝是等比数列；

(2)求证：数歹U｛翁是等差数列；

(3)求数列｛拳■即｝的前n项和

19.(本小题12分)

已知/(%)=ae2x-2x知(其中e=2.71828…为自然对数的底数).

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(l,f(1))处的切线方程；

(2)当a=：时，判断f(久)是否存在极值，并说明理由；

(3)Vx6/?J(x)+1<0,求实数a的取值范围.

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：••・数列｛厮｝为等差数列，

+。8=2=6,

•••。5=3,

故。3+a5+a7=3a5=9,

故选：A.

利用等差中项得=3,从而解得.

本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解:由图可以看出函数y=/'Q)的图象是一个二次函数的图象，

在(-8,0),f'(x)>0,/(%)递增，

在(0,打),f'(x)<0,/(X)递减,

在(久],+8),f'(x)>0,/(X)递增，

/(0)是极大值，/(巧)是极小值，

故选：C.

首先观察函数的图象，y=/(久)与x轴的交点即为f(x)的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判

断.

会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌握函数与其导数的关系.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查等比数列的通项公式与前71项和，属于基础题.

根据题意，利用等比数列的通项公式，列出方程组，求出公比q的值.

【解答】

解：・•・在等比数列｛a"中，a3=7,53=21,

•••产’=7犷化简得2q2_q_]=0,

解得q=1或一,

故选：C.

4.【答案】B

【解析】解：函数/(%)=,］—2/的定义域为(0,+8),

f'(x)=金-4x=1一4/

X

1

<X<

令f'(x)>0,可得02-

所以〃x)的单调递增区间是(0,》.

故选：B.

对/(久)求导，令f'(x)>0,即可求解下(久)的单调递增区间.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：/(x)=ex(x2+a),

=ex(x2+a)+ex-2x=ex(x2+2x+a),

因为函数f(x)=ex(x2+a)在［一2,2］上单调递减，

所以eX(久2+2x+a)<0在［-2,2］上恒成立，

所以/+2x+a<0在［-2,2］上恒成立，

所以a<—%2—2x在［—2,2］上恒成立，

令g(x)=—x2—2x,x£［—2,2］,

所以X=2时，5(x)min=-22—2X2=-8,

所以a<—8,

所以a的取值范围为(-8,-8］,

故选：C.

求导得f'(x)=ex(x2+2x+a),由函数/(x)=ex(x2+a)在［—2,2］上单调递减，得a<—x2—2x在！—2,2］

上恒成立，只需a3g(x)min,即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：•••包*a=2,即工—工=2,

1an+1an+lan

则数列｛2｝是首项为3,公差为2的等差数列，

则=3+(10—1)X2=21,a10=5，

a10

故选：A.

可得到｛今｝是首项为3,公差为2的等差数列，由此即可得.

本题考查数列的递推式，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：数列｛%：｝、｛bn｝的通项公式分别为an=3n-1和e=4n-3(neN*),

这两个数列的公共项构成集合4

依题意，令am=bk，m,kEN*,

即37n—1=4fc—3,整理得TH=(fc—1)+

.•・k+1是3的正整数倍，令/c+1=3几，nEN*,即/c=3n—1,

・•・数列｛厮｝、｛.｝的公共项构成的数列｛%｝,

cn=坛九t=4(3n—1)—3=12n—7,

由12n-7W2025,Wn<169

集合an｛n\n<2025,neN*｝中元素的个数为169.

故选：C.

根据给定条件，求出数列｛%J、｛与｝的公共项构成的数列通项，再列不等式求解即得.

本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8.【答案】D

【解析】解：因为数列｛4｝为等比数列，其中q=2,C8=4,

1

所以公比q=27,

由/(%)=%(%—。1)(%—C2)…(1—。8)，

得—(%)=(%-Ci)(%-C2)-(%—。8)

+x[(x—q)(%—c2)…(1_3)]'，

所以/，(0)=(―q)(—Q)…(―。8)=C1C21■1c8

=21+1+7+1+|+，"+1+7=28+7X^=212；

故选。.

由已知求出数列｛4｝的通项公式，对函数/(%)求导，求出/'(%),令％=0求值即可.

本题考查了等比数列的通项求法以及导数的运算；解答本题求出等比数列的公比以及函数的导数是关键.

9.【答案】BCD

【解析】解：4/=(伉2)'=0,错误;

B：/'(%)=—5则/⑶=一枭正确;

C：y'=(2尢)'=2xln2,正确；

D-y'=(,log2xy=限正确•

故选：BCD.

根据基本初等函数的导数公式求各选项中函数的导函数.

本题主要考查导数的运算，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：对于4，f'(x)=2x,令/=2x,得x=0或x=2,彳“巧值点”；

对于B,1Q)=—妥，令;=—妥，得久=—1，有“巧值点”；

对于C,尸(%)=%令伉比=%作出y=仇x与y=(的图象，如图,

结合y=Inx,y=:的图象，知方程伍》=:有解，有“巧值点”；

对于D,f\x)=-e~x,令(；)x=e-x=-eT,无解，无"巧值点”

故选：ABC.

结合“巧值点”的定义，逐个求解/(&)=f'(&)是否有解即可.

本题主要考查导数的运算，属于基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：数列｛an｝满足：%,=2,当ri22时，斯=(J即_1+2+1)2-2,

Cln+2=(Ja?—1+2+1)2,

yjctn+2—J即_1+2+1,即数列｛J即+2｝是首项为Ja1+2=2,公差为1的等差数列,

Jan+2=2+(n—l)xl=n+l,

・••斯=层+271-1.所以易知ABC正确，D错误,

故选：ABC.

利用数列的递推关系式推出=7An-1+2+1,说明数列是首项为四下I,公差为1的

等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误.

本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力.

12.【答案】21n2

【解析】解:f'（x）-xex,f'（ln2）—ln2-eln2=21n2.

故答案为：21n2.

直接求导代入即可.

本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，是基础题.

13.【答案】10

【解析】解:等差数列的前几项和是%,S18>0,S19<0,

S]9—19al0<0,*,•。10<0,

S18=9（。10+。9）>0,**,Cig>0,（Z9>—。10>0,

|d9|>|Gt10|>

•••｛|an|｝最小的项是第10项.

故答案为：10.

由S19=19的0<。，得<210<。，由S18=9（410+。9）>0,得a9>0，a9>~a10>0>由此能求出｛la^l｝最

小的项.

本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】（—扔-4（答案不唯一）

n4n4

【解析】解:由题意可设为=a4♦q-=q-,

因为数列｛|a“|｝单调递减，数列｛5｝不具有单调性，

所以q<0,\q\<1,

所以-1VqV0,

不妨取q=—1则厮=（—扔—

故答案为：（一手“-4.

由已知结合等比数列的性质及通项公式，数列的单调性即可求解.

本题主要考查了等比数列的单调性及通项公式的应用，属于基础题

15.【答案】a”=2n；证明见解答.

【解析】(1)•等差数列｛%J的前71项和为%,

又=12,S8=72,

(a+5d=12

•••(8r4+28d=72'

解得的=d=2,

a九=2几；

(2)证明：由(1)可得％=0等里=n(n+l),

.•.冬=71+1,

n

...逆L—&=n+2-0+1)=1,

n+1n''

•••数列守｝是公差为1的等差数列.

(1)根据等差数列的通项公式及求和公式，方程思想，即可求解；

(2)根据等差数列的求和公式，等差数列的定义，即可证明.

本题考查等差数列的通项公式及求和公式，等差数列的定义，方程思想，属基础题.

16.【答案】解：(1)当a=2时，/(x)-1x3-x2,则/''(%)=/一2x,/'(3)=9-6=3,

又/(3)=9—9=0,.•./(>)在点(3,1(3))处的切线方程为：y=3(x—3),即3x—y—9=0.

(2)由题意得：/(%)定义域为R,^(x)=x2—ax=%(%—a)；

当a=0时，/'(%)=/之o,.../(%)在R上单调递增；

当a<0时，若xe(—00,a)U(0,+8),则/'(%)>0；

若％€(a,0),则/'(%)<0；.,./(%)在(一8,a),(0,+8)上单调递增，在(a,0)上单调递减;

当。>0时，若久E(-8,0)u(a,+8),则/'(%)>0；

若％e(0,a),则((%)<0；.,./(%)在(一8,0),(a,+8)上单调递增,在(0,a)上单调递减；

综上所述：当a=0时，/(%)在R上单调递增；

当QV0时，/(%)在(-8,a),(0,+8)上单调递增，在(a,0)上单调递减；

当。>0时，/(%)在(一8,0),(a,+8)上单调递增，在(0,a)上单调递减.

【解析】(1)由导数几何意义可求得切线斜率((3),结合/(3)=。可得切线方程；

(2)求导后，分别在a=0、a<0和a>0的情况下，根据/(%)正负得到函数单调性.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属

于中档题.

17.【答案】解：(I)函数/(%)=aex-b的导数为/'(%)=aex-1

函数/(%)=aex-力济第在点(1厅(1))处的切线斜率为々=ae-b,

由切线方程y=(e—l)x+1,可得ae—b=e—1,

故e=ae,­b=—1,

解得Q=1,b=1；

(II)证明：由(I)得/(%)=ex-Inx,

导数为/'(%)=e%—%>0,

由y=蜻和y=g的图象可得它们只有一个交点，

设横坐标为6，即e7n='，

且第>Hl时，/'(%)>0,/(久)递增；

0<X<771时，/'(%)<0,/(%)递减，

可得％=m处/(%)取得最小值/(血)=em-Inm=^+m>2,

可得/(%)>2成立.

【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于中

档题.

(1)求得/(%)的导数，可得切线的斜率，与切线方程比较，解方程可得a,b的值；

(H)求得/(%)的导数，设出极值点租，求得最小值，运用基本不等式即可得证.

18.【答案】证明：(1)数列｛即｝的前几项和为%,且%=LS九+i=4厮+15EN*),①，

当九之2时，S九=4。九_i+l,②，

①一②得：a九+i=4a九—4a九

整理得。九+1-2an=2(an-2an_^,

所以a”+,2an=2(常数).

an~^an—l

当九=1时，$2=%+。2=4al+1,解得劭=4

故数列｛即+1-2即｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)得：数列｛厮+1-2%J是以2为首项，2为公比的等比数列，

n-1n

所以a九+1—2an=2x2=2,

所以押—表=*常数)，

故数列｛袋｝是以2为首项，3为公差的等差数列；

解：(3)由(2)得：数歹！J｛袋｝是以为首项，:为公差的等差数列，

所以亲=T+gOT)=1n,

所以tin=|n-2n=n-2"T；

故%=-n-2“T=(n+1)-2nt.

故B=2x2°+3x2]+…+O+l)-2nT,①，

27^=2X21+3X22+...+(n+1)-2",②，

2九_-I

①一②得：一七=(1+2+...+2n-1)-(n+1)-2n+1==—(n+1)•2"+1,

2—1

整理得％=n.2n.

【解析】(1)直接利用关系式的变换求出数列｛即+i-2即｝是等比数列；

(2)利用(1)的结论，进一步求出数列｛翁是等差数列；

(3)利用(2)的结论，进一步求出数列｛手•an｝的通项公式，最后利用乘公比错位相减法求出数列的和.

本题考查的知识要点：数列的关系式的变换，数列的求和，乘公比错位相减法的求和，主要考查学生的理

解能力和计算能力，属于中档题和易错题.

19.【答案】解：(1)当a=0时,f(x)=-2xex,f'(x)=-2(x+l)ex,

因为广(1)=-4e，

所以曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程为y=-4e(x-1)-2e=-^ex+2e；

(2)当a=3时，/(%)=|e2x-2xex,定义域为(-8,+8),

尸(x)=e2x—2(%+l)ex=ex(ex—2x—2),令F(%)=ex—2x—2,则P(x)=ex—2,

当久£(—8,伍2),Fz(x)<0,函数单调递减，当％£(仇2,+8),F^x)>0,函数单调递增，

12r

F(x)min=F(Zn2)=2-2ln2-2=-2ln2<0,F(-l)=；>0,F(2)=e-6>0,

存在%仇2)使得F(%i)=0,存在%2€(上2,2),使得尸(不)=0,

时，F(x)>0,//(x)>0,/(%)单调递增；

时，F(%)V0，/'(%)V0,/(%)单调递减；

%E(%L+8)时，F(x)>0,f(x)>0,/(%)单调递增；

所以Q=g时，/(%)有一个极大值，一个极小值；

(3)/'(%)=2ae