2021-2025年高考数学试题分类汇编：导数及其应用（选填题）8种常见考法归类解析版

当题05导照及其成用（送纸盘J

8种毋见考依爆类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01求在曲线上一点处的切线方程

2024•全国甲卷2023•全国甲卷

2022•新高考全国I卷2022•新高考全国II卷

•全国甲卷

知识1导数的2021

几何意义考点02已知切线（斜率）求参数

（5年5考）2025•全国一卷2024•新高考全国I卷

考点03求过一点的切线方程

2022.新高考全国II卷2022.新高考全国I卷

2021•新高考全国I卷

考点04利用导数研究函数的单调性

2023•新课标II卷2023•全国乙卷1.构造函数利用导数求函数单调

2022•新高考全国I卷2022•全国甲卷性从而进行比较大小，利用导数求

2021•新高考全国H卷2021•浙江函数的极值点以及最值问题收高

知识2导数在2021•全国乙卷考必考题型

研究函数中的考点05利用导数研究函数的极值2.零点含参问题的讨论是导数综

作用2025•全国二卷2024♦新高考全国I卷2024•上海合题型的重难点

（5年5考）2023•新课标I卷2023•新课标II卷

2022•全国乙卷2021•全国乙卷

考点06利用导数研究函数的最值

2023•上海2022•全国甲卷2022•全国乙卷

2022•新高考全国I卷2021•新高考全国I卷

考点07利用导数研究函数的零点

知识3导数在2024•新课标H卷2024•全国甲卷2023•全国乙卷

函数中的其他2021•北京

应用

（5年4考）考点08利用导数研究方程的根

2025•上海

分考点•精准练

考点01求在曲线上一点处的切线方程

1.（2021•全国甲卷•高考真题）曲线丫=生二在点（-1「3）处的切线方程为__________

x+2

【答案】5x-y+2=0

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.

【详解】由题，当x=-l时，）=-3,故点在曲线上.

2(x+2)-(21)=5

求导得:所以y'L-=5.

(x+2)2|x+2)2

故切线方程为5i_y+2=0.

故答案为：5x-)，+2=0.

2.(2023•全国甲卷•高考真题)曲线)，=/在点处的切线方程为()

A.y=—xB.y=—xC.y=-x+—D.y=—x+—

■472,44J24

【答案】C

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方

程即可求解.

【详解】设曲线），=£在点（图处的切线方程为

x+\\2；2

因为y=

X+1

xe'

所以）/二

(…)2

所以&=y'lE=(

所以y_q=t（x-i）

所以曲线）,=£在点处的切线方程为y=；X+；.

x+\\2；44

故选：C

3.（2024•全国甲卷♦高考真题）设函数/"）=立空空，则曲线y=〃x）在点（0,1）处的切线与两坐标轴所

1+A-

围成的三角形的面积为（）

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点（04）处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得

其面积.

e-9+2侬*(1+/)-(。'+2而”工

［详解］J(x)------------------R-------------，

(皿一)

(e°+2cos0)(l+0)-(e°4-2sin0)x0

则f(。)=两^=3'

即该切线方程为y-l=3x,即y=3x+l,

令1=0,则y=i,令产o,则％=-；,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积t4

故选：A.

4.【多选】(2022•新高考全国0卷•高考真题)已知函数/(.r)=V7+l,则()

A./3)有两个极值点B./(幻有三个零点

C.点(0,1)是曲线的对称中心D.直线，—2K是曲线y-/(刈的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合/a)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利川导数的

几何意义判断D.

【详解】由题，/(X)=3X2-1,令r(x)>0得立或x<-立，

33

令(*)<0得—釜，

所以在(-00,-弓)，(亭,+8)上单调递增，(_亭,当)上单调递减，所以x=±等是极值点，故A正

确；

因/(—#)=1+乎>0，Y)=1—乎>0,/(-2)=-5<0,

所以，函数/(力在卜-一弓)上有一个零点，

当了之当时，/(A)>/^>0,即函数/(力在日,+8卜元零点，

综上所述，函数/(幻有一个零点，故B错误；

令力(x)=X3-x,该函数的定义域为R,/:(-^)=(-X)3-(-X)=-X3+X=-//(.V),

则h(x)是奇函数，(0,0)是力(x)的对称中心，

将人(幻的图象向上移动一个单位得到/*)的图象,

所以函数y=/（x）在点（o,用处的切线斜率为2ko=2cos*-l,

切线方程为：）,一日二一。一0）即），=等—工.

故选：AD.

考点02已知切线（斜率）求参数

6.（2025•全国一卷•高考真题）若直线y=2x+5是曲线y=e'+x+a的切线，则〃=.

【答案】4

【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利

用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点（方,为）与。的方程组，解之即可得解.

【详解】法一：对手），=e，+x+〃，其导数为）,，=e、l,

因为直线），=2x+5是曲线的切线，宜线的斜率为2,

令y'=e'+l=2,即e*=l,解得N=0,

将工=0代入切线方程y=2x+5,可得），=2x0+5=5,

所以切点坐标为（0.5）,

因为切点（0,5）在曲线y=e，+X+。上,

所以5=e°+0+a,即5=l+a,解得。=4.

故答案为：4.

法二：对于y=e'+x+a,其导数为y'=e'+l,

假设〉'=2x+5与y=e，+x+〃的切点为（鹏,Jo）,

e"+l=2

则rLZxo+S,解得a=4.

%=e"+%+。

故答案为：4.

7.（2024•广东江苏•高考真题）若曲线y=e，+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=ln（x+l）+〃的切线，则

【答案】In2

【分析】先求出曲线y=e'+x在（0,1）的切线方程，再设曲线y=ln（x+l）+々的切点为（如ln（/+l）+a）,求

出F，利用公切线斜率相等求;H%,表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

【详解】由y=e'+x得y'=e'+l,）口=产e°+l=2,

故曲线产e*+x在（0,1）处的切线方程为），=2x+1；

'\'x+\

设切线与曲线y=ln（x+l）+a相切的切点为（.”』1］5+1）+々），

由两曲线有公切线得）/=」1=2,解得飞则切点为（T，4+ln1］,

切线方程为y=2（K+g）+〃+lng=2x+l+a-ln2,

根据两切线重合,M以a—ln2=0,解得。=ln2.

故答案为：In2

考点03求过一点的切线方程

8.（2022・新高考全国团卷•高考真题）曲线y=lnI划过坐标原点的两条切线的方程为,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为（天,In玉），求出函数的导函数，即可求出切线的斜

率.，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出与,即可求出切线方程，当工<0时同理可得；

【详解】［方法一］:化为分段函数，分段求

分工>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为Cwln.q）,求出函数体导函数，即可求出切线的斜率，从而

表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出小,即可求出切线方程，当x<0时同理可得；

解：因为y=ln|M，

当工>0时y=lnx,设切点为（毛,山天），由y'='，所以，’‘仁"二一，所以切线方程为了一皿八一一（工一事）,

x玉）工0

又切线过坐标原点，所以Tnxo='（-xo）,解得x0=e,所以切线方程为即y='x；

%ce

当工<0时），=ln（Ir）,设切点为（苦111（-内）），由y'=L所以门丫』=,，所以切线方程为

x玉

A1

又切线过坐标原点，所以-ln（rJ=L（-xJ,解得M=-e,所以切线方程为），_|=-L（x+e）,即y=」x；

西-ee

故答案为：y=-x-y=--x

ee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当工>0时y=lnx,设切点为（毛,In毛），由y'=L所以川办=,，所以切线方程为=’（汇-/），

X%%0

又切线过坐标原点，所以Tn%='（r°）,解得x0=e,所以切线方程为），-1=1（x-e）,即尸L；

/ee

因为），=lnW是偶函数，图象为：

所以当x<0时的切线，只需找至IJy=‘X关于y轴的对称直线），=-L即可.

ee

9.（2022・新高考全国白卷•高考真题）若曲线），=（x+a）e'有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围

是.

【答案】（-oo,T）U（0,+oo）

【分析】设出切点横坐标与，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于公的方程，

根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】-y=（x+a）e*,0/=（x+1+«）e*,

设切点为（天）,%）,则）b=（xo+〃）e",切线斜率左=（M+l+a）e”,

切线方程为:y-（%+a）e闻=（%+l+a）e"（x-A））,

团切线过原点，回一（，％+a）e“=（毛+1+4）铲（一寸），

整理得：片+时I-。=0,

团切线有两条，团△=/+4〃>0,解得Y或。>0,

团。的取值范围是（f,T）U（0，y）,

故答案为：（Y）T）U（0,3）

10.（2021・新高考全国回卷•高考真题）若过点（&〃）可以作曲线y=e"的两条切线，则（）

A.eb<aB.ew<b

C.0va<e〃D.0<b<cu

【答案】D

【分析】解法■：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定

结果；

解法二：画出曲线），=，的图象，根据直观即可判定点（。,〃）在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线y=e'上任取一点尸(/,，)，对函数y=F求导得)，'=e'

所以，曲线>，="在点P处的切线方程为)=e'=e'(xT),即y=dx+(lT)d,

由题意可知，点(〃力)在直线y=/x+(lT)d上，可得b=ad+(lT)d=(〃+l-f)d,

令f(。=(a+lT)d,则/"⑺=(a-ty.

当Y。时，此时函数〃/)单调递增，

当小，时，,(，)<。，此时函数/(?)单调递减，

所以,/(/)四=%)=巴

由题意可知，直线)，=〃与曲线)，=/(/)的图象有两个交点，则4</()皿=百，

当i<〃+l时，/(/)>0,当ci时，/(/)<0,作出函数/(。的图象如下图所示:

由图可知，当Ovbve“时，直线)、=匕与曲线)，=/(/)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线丁二珑的图象如图所示，根据直观即可判定点(d»在曲线下方和x轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知Ov》ve".

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性

进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

考点04利用导数研究函数的单调性

11.（2。21・浙江・高考真题）已知函数―+尸，）=虫，则图象为如图的函数可能是（）

B.旷=/*)-冢力-!

4

:g(x)

C.y=f(x)g(x)D.~7w

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对丁A,y=f（x）+g（x）-^=x2+sinx,该函数为非交非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对干B,>'=/（-V）-^（A）-l=x2-sin.r,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B：

对于C,y=f(x)g(x)=x2+—sinx,则y，=2xsinx+x2+—cosx,

1'I"I4；

当T时，T，争伍+扑¥>0,与图象不符,排除C.

故选:D.

12.（2021・新高考全国团卷•高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数"耳：

①/（%七）=）（司）/（&）；②当xc（0，+8）时，ffM>0；③r（x）是奇函数.

【答案】〃力=>（答案不唯一,"x）=/（〃eN*）均满足）

【分析】根据暴函数的性质可得所求的/（x）.

【详解】取/（X）=人'，则/（%%）=（%X2）4=ME=/（Xl）/（X2）1满足①，

r（x）=4F,工>0时有广（力>。，满足②,

r（M=4/的定义域为R,

又r（—x）=TV=-r（M，故r（x）是奇函数，满足③.

故答案为：/（"=｛（答案不唯一，/"）=/均满足）

13.（2023•全国乙卷•高考真题）设若函数/3=。、+（1+〃）、在（0,+“）上单调递增，则〃的取值

范围是.

【答案】

【分析】原问题等价于/”3=/lna+（l+"ln（l+a）20恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可

得（上四［之一由右侧函数的单调性可得实数。的二次不等式，求解二次不等式后可闹定实数〃的

Ia）In（1+a）

取值范围.

【详解】由函数的解析式可得/'（x）=〃'lna+（l+在区间（O,e）Lf亘成立，

则（l+a）、ln（l+a）2-优Ina,即（蜉）以一加：；二）在区间（°，田）上恒成立，

而a+le(l,2),故ln(l+〃)>(),

,,ln(67+l)>-ln«f4(a+l)Nl,_i

4L<i即oL<>故存“"L

结合题意可得实数。的取值范围是

故答案为:

14.（2023・新课标团卷•高考真题）已知函数/（"=府-Inx在区间（1,2）上单调递增，则。的最小值为（）.

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【分析】根据r（x）=ae「,N0在（1,2）上恒成工再根据分参求最值即可求出.

X

【详解】依题可知，/'（"=比'-（20在（1,2）上恒成立，显然。>0,所以疣珪十，

设8（切=疣*（1,2）,所以g"）=（x+l）e">0,所以g（x）在。,2）上单调递增，

^（x）>.?（l）=e,故e，,即即a的最小值为十.

ae

故选：c.

15.（2022•全国甲卷•高考真题）已知。=二31,八cos：1,c=4sin1；,则（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】由］=4tan：结合三角函数的性质可得c>b；构造函数〃6=以）炉+312-1）€（0,*）,利用导数可

得人>〃,即可得解.

【详解】［方法一］:构造函数

因为当XW0,5,x<tanx

故《=4tan-y>1,故所以c>/?；

D4b

iS/(x)=cosx+^x2-l,xe(O,-H»),

/*(r)=-sinx+r>0,所以/(T)在(0,+co)单调递增，

故所以cos.号>0,

所以Z?>a,所以c、>/?>a,故选A

［方法二］:不等式放缩

因为当x€((),§,sinx<x,

取工=:得：cos—=1-2sin2—>1-2f—1=—»故〃>a

848⑻32

..11/rr.(1A.f乃)..［4

4sm—+cos—=V17sin^—+^J,其中夕A凫smtp=,cos(p=

当4sin；+cos；=VT7时，^-+^=y,及0=■一;

止匕时sin—=cos>=-T=,cos—=sin69=-=

4V174V17

1.114,1,.1,

^cos7=-^<_^=sin7<4sin7»故〃<c

4V17VI744

所以Z>>a,所以故选A

［方法三］:泰勒展开

、小八乂mil31.0.252.1.些+些

设工=0.25,贝——=I------»b=cos—«I-

322424!

.1

ISinIn()好4

c=4sin；=Y=l—^-+留，计算得故选A.

423!5!

4

［方法四］:构造函数

.(冗、II

因为f=4tan-,因为当xe。,三，sinx<x<tanx,所以tan->-,即;>1,所以c>b；设

b4I2)44b

\(1>

/(.v)=cosx+-x2-1,xe(0,-KC),f(x)=-s\nx+x>0,所以/(x)在(0,”)单调递增，则/->/(0)=0,

Zx/

i31

所以cos----->0,所以所以

432

故选:A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为£=4ian,，因为当,sinx<x<tanx,所以tanL>,,即£>］,所以c>b；因为当

b4I2J44b

xefo,^l,sinx<x,取x得cos』=l_2sin2』>l—2f』］=—,故〃>〃，所以

I848VSJ32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法;

/\

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe0,^,sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

16.(2022•新高考全国团卷•高考真题)设〃=0.怕°」力=1,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】构造函数/G)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定出"。的大小.

【详解】方法一：构造法

设f(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为/(幻二；^--1=--^,

l+x1+X

当了£(一1,0)时，/'(x)>0,当xw(0,+oo)时/'(x)v0,

所以函数/*)=hi(l+x)—x在(0.+8)单调递减.在(-1.0)上单调递增,

所以/《)</(。)=0,所以1|1与一［<0,故q>ln?=-ln0.9,即6>c,

所以八一77；)<八°)=。，所以In^+^vO,故之。2,所以

101D1010109

故4V。，

设g(x)=xe'+ln(1-x)(0<x<lb则

令h(x)=ev(x2-1)+1,h\x)=ev(A2+2x-l),

当0cxv0—1时，h'(x)<0,函数力(x)=e'(x2一1)+1单调递减,

当血时,”。)>0,函数力(x)=e'，_|)+i单调递增，

又力(0)=0,

所以当Ovxv近一1时，Mx)<0,

所以当Ovxv夜一1时，g'(x)>。,函数g(x)=xe'+ln(l-x)单调递增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即().le°」>-In0.9,所以

故选：c.

方法二：比较法

解：a=(Ue0',=,t=-ln(l-o.l),

1-0.1

①lnn-ln/?=0.1+ln(l-0.l),

令/(A)=x+ln(l-.v),.v€(0,0.1],

则广(幻=|一9=三<°，

故/(X)在(0.0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即ln«-lnZ2<0,所以a<b；

②a-c=0.1^a,+ln(l-0.1),

令g(x)=xe'+ln(l-x),xe(0,0.1],

m.i,/、1(1+x)(l—-1

则g(x)=xev+ev-----=---------------,

''1-x1-x

令A(r)=(l+x)(l-x)^-I,所以r(.r)=(l-x2-2x>x>(),

所以k(x)在(0,0J上单调递增，可得k(x)>k(0)>0,即g<x)>0,

所以g(x)在(0.0.11上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

17.(2021,全国乙卷•高考真题)设a=21nl.01,b=lnl.O2,C=VLO4-1.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a力的大小作出判定，对于。与C,。与。的大小关系，

将0.01换成用分别构造函数〃x)=21n(l+x)—Vi京+l,g(x)=ln(l+2x)-Jf^+l,利用导数分析其在

0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合J(0)=0,g(0)=0即可得出。与c,5与c的大小关系.

【详解】［方法一］:

tz=21nl.01=lnL012=ln(l+0.0I)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=Z;,

所以〃<a：

下面比较。与a，力的大小关系.

记f(x)=21n(l+x)_VTT^+l,则/⑼=0,r(x)=———=

')1+xJl+4x(l+x)Vl+4x

由于1+4x-(l+x)2=2x-f=x(2-x)

所以当0y<2时，l+4x-(l+x)2>0,即Jl+4x>(l+x),/f(A)>0,

所以在［0,2］上单调递增,

所以f(0.01)>/(0)=0,即21nl.01〉VT5J—1,即"C；

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,则g(0)=0,^7x)=-----r2_=2(']+公,

V7l+2.v疝五(1+2x)7174^

由卜l+4x—(l+2x)2=-4.d,在QO时，l+4x—(l+2.r『vO,

所以g'(x)<0,即函数g(x)在[0,+8)上单调递减，所以g(O.Ol)<g(O)=O,即lnl.02〈Vi屈-1,即〃<c；

综上，b<c<a,

故选：B.

【方法二]:

令=-,r-l(x>l)

x[

r(x\=S-y<0,即函数/(x)在(1,+叫上单调递减

'7x2+l

/(71+0.04)</(1)-0,/./?<<?

令g(x)=21n-x+I(l<x<3)

g，(x)=G2芈29>0,即函数g(x)在(1,3)上单调递增

厂+3

g(Jl+0.04)g(1)=0,.*.ac

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变最替换，构造函数，

利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

考点05利用导数研究函数的极值

18.(2025•全国二卷•高考真题)若工=2是函数/(x)=(x-l)(x-2)*-〃)的极值点，则/(())=

【答案】-4

【分析】由题意得/'(2)=0即可求解。，再代入即可求解.

【详解】由题意有〃x)=(x-l)(A2)(x-a),

所以/'(力=(4-4)(4-1)+(3-1)(4-2)+(4-。)(4-2),

因为2是函数/(力极值点，所以八2)=2-4=0,得4=2,

当〃=2时，r(x)=2(x-2)(x-lj+(x-2)2=(x-2)(3.L4),

当”单调递增，当X£《,2}r(x)<0J(x)单调递减，

当了«2,+8)J'⑺>0J(力单调递增，

所以x=2是函数/(力=(工-1)(1-2)(工-々)的极小值点，符合题意；

所以7(0)=-1x(-2)x(-〃)=-2a=-4.

故答案为：—4.

19.(2021•全国乙卷•高考真题)设"0,若。为函数〃》)=。。-4)2(彳-与的极大值点，则()

A.a<hB.a>bC.ab<a2D.ab>cr

【答案】D

【分析】

先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对。进行分类讨论，

画出/(工)图象，即可得到〃力所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若。=。，则=为单调函数，无极值点，不符合题意，故a于b.

.••/(”有。和匕两个不同零点，且在左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，〃为函数

/卜)=”(1-4)2(工一人)的极大值点，，在］二。左右附近都是小于零的.

当“<()时，由/(x)<0,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知。va,a<0,故而>〃?.

当心0时，由经〃时，/(x)>0,画出/(x)的图象如下图所示:

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

20.（2022・全国乙卷•高考真题）已知x=F和4分别是函数/（%）=2"-ex?（。>0且awl）的极小值点

和极大值点.若为<w，则。的取值范围是.

【答案】gl

【分析】法一：依题可知，方程21na•炉-2ex-0的两个根为即函数y=ln〃."与函数N=ex的图

象有两个不同的交点，构造函数g（x）=lnad,利用指数函数的图象和图象变换得到g（"的图象，利用导

数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】［方法一］:【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为/'（x）=21na•优一2ui,所以方程21na•能一2ex=0的两个根为K，/，

即方程Inaax=ex的两个根为再，马，

即函数y=1na•相与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

因为不为分别是函数/（力=的极小值点和极大值点，

所以函数/（力在（-8,%）和（&，+笛）上递减，在（％，七）上递增，

所以当时（f，X）（W，+。），r（x）<。，即尸ex图象在y=lnad上方

当工«刀,工）时，r（x）〉0,即产ex图象在），=］nad下方

a>\,图象显然不符合题意，所以Ovavl.

令&（"一Ina•优，则^（x）-\n2a-a\0<a<\,

设过原点且与函数y=g（x）的图象相切的直线的切点为（即由叱小），

则切线的斜率为，（7））=ln2adl故切线方程为k皿心小二耐心泊^-飞），

则有一Inas"解得.7=J-,则切线的斜率为］2*_巾2,

111C«L4~~^111C«

因为函数y=ln〃.优与函数），=ex的图象有两个不同的交点，

所以ehfave,解得又Ovavl,所以Laci,

ee

综上所述，a的取值范围为(：1).

【方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

f,(x)=2}na-ax-2ex=0的两个根为内,石

因为为,W分别是函数/("=加'-)的极小值点和极大值点，

所以函数/(X)在(e,内)和(毛,+动上递减，在(N，W)上递增，

x

设函数g(x)=/'(x)=2^a\na-ex),则<(x)=2ax(lni『_2e,

若a>l,则g'(x)在R上单调递增，此时若/'(%)=(),

则f'(x)在(-8,厮)上单调递减，在(厮，+8)上单调递增，此时若有4=%和％=超分别是函数

〃尤六2「-外飞。〉。且。制)的极小值点和极大值点，则各>々，不符合题意；

若Ovavl,则g'G)在R上单调递减,此时若/'(%)=0,则/")在(y,*o)上单调递I曾，在(­,y)上

单调递减，令g'(x0)=o,则*=前7,此时若有x=K和分别是函数/(x)=2"—Q2("。且〃工1)

的极小值点和极大值点，且不<七,则需满足/'(玉)>0,/'(不)=2(优”1恒一.)=2(占-―卜0,即

kin47

%)<—,xlna>1故Ina"=N)】na=In——口>1,所以。］

Inao(Ina)e

【整体点评】法一；利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做〃，是该题

的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于

通性通法.

21.【多选】(2025•全国二卷•高考真题〉已知/⑴是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/("=(丁-3)/+2,

则()

A./(0)=0B.当x<0时，/(x)=-(x2-3)e-x-2

C./。)之2当且仅当％2行D.x=—l是/*)的极大值点

【答案】ABD

【分析】对A,根据奇函数特点即可判断；对B,利用/*•)=-/(-力代入求解即可；对C,举反例/(-1)>2

即可：对D,直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.

【详解】对A,因为定义在R上奇函数，则"0)=0,故A正确;

对B,当x<0时，->0,贝1)/*)=一/(一力二一］((一力2-3卜-*+2］=-卜2-3)"'-2,故B正确；

对c,/(-D=-(l-3)e-2=2(e-l)>2,故C错误；

对D,当x<0时，f(x)=(3-x2)e-*-2,则八力=-(3-巧心一21=(f,

令f'")=0,解得x=-l或3(舍去)，

当」e(-oo,T)时,m>0,此时f(x)单调递增,

当」«T,o)时,ru)<o,此时/(x)单调递减,

则x=-1是/(X)极大值点，故D正确；

故选：ABD.

22.(2024•广东江苏•高考真题)设函数/(l)=(戈-1)2。-4),则()

A.x=3是/(用的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当I<xv2时，-4</(2A-I)<0D.当—IvxvO时，f(2-x)>f(x)

【答案】ACD

【分析】求出函数/'(X)的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数/(同在

(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

【详解】对A,因为函数〃”的定义域为R,而广(力二2"-1乂1一4)+(1-1)2=3(4—1)(1一3),

易知当xe(l,3)时，r(x)<0,当xe(-oj)或xe(3,+a)时，/'(x)>0

函数在(-8』)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，故x=3是函数〃力的极小值.

点，正确；

对B,当()<x<l时，x-x1=x(l-x)>0,所以

而由上可知，函数在(0,1)上单调递增，所以/(">/(/),错误；

对C,当l<x<2时，lv2x-1<3,而由上可知，函数〃力在(1,3)上单调递减，

所以〃1)>/(2工一1)>〃3),即~4</(2x—l)<0,正确;

对D,当一1vxvO时，/(2-X)-/(X)=(I-A-)2(-2-X)-(X-1)2|X-4)=(X-1)2(2-2A)>0,

所以/(2-x)>/(x),正确；

故选；ACD.

23.(2024•上海•高考真题)己知函数/(幻的定义域为R，定义集合M={%)、)eR,"</'(%)}，

在使得的所有/(幻中，下列成立的是()

A.存在/(x)是偶函数B.存在/*)在x=2处取最大值

C.存在/(幻是增函数D.存在八外在％=-1处取到极小值

【答案】B

【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合M与己

知条件矛盾；D选项由集合M的定义找到矛盾.

【详解】对于A选项：/时,/(x)</(jq)),

当4=1时，xoe[-l,l],任意的/(X)</⑴恒成立,

若f(x)时偶函数，此时/(1)=/(-1)矛盾，故A选项错误；

对于B选项:若/(力函数图像如下：

当"一1时，/(x)=-2,,当x>l,/(x)=l,

0存在/(x)在入•一2处取最大值，故B选项正确；

对于C选项：在工<-1时，若函数/(x)严格递增，则集合M的取值不会是[-1』，

而是全体定义域，故C选项错误；

对FD选项：若存在“X)在x=-l处取到极小值，则在x=—l在左侧存在工二〃，/(//)>/(-1),与集合M

定义矛盾，故D选项错误.

故选：B

24.【多选】(2023•新课标由卷•高考直题)已知函数/(X)的定义域为R,/(母)=止“不)+//(江则().

A./(0)=0B./(1)=0

C./(力是偶函数D.1=0为/(⑼的极小值点

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC,举反例/*)=0即可排除选项

D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数=卬,"'°进行判断即可.

0,x=0

【详解】方法一：

因为/(个)=V/(x)+//(),)，

对于A,令x=)，=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对干B,令x=y=l,."1)=1/⑴+"⑴，则于(1)=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(D=/(-l)+/(-D=2/(-1),则/(—1)=。，

令y=一1，/(--v)=f(x)+x2f(-i)=f(x),

又函数/(X)的定义域为R,所以/")为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令f(x)=O,显然符合题设条件，此时/")无极值，故D错误.

方法二：

因为/(◎)=,</**)+V/(y),

对于A,令x=y=O,八0)=0/(。)+0/(0)=。，故A正确.

对于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(一1)=。，

令P=-1J(T)=fM+x2/(-l)=/(x),

又函数/(x)的定义域为R,所以/")为偶函数，故C正确，

对于D,当干力工o时,对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以一产,得到斗？=/学+/孚,

xyk.v

故可以设」毕=如国(％=0)，则/“)=«f吗”‘°,

x[0,x=0

当工>0肘，f(x)=x2Inx,则/(x)=+/」=x(21nx+1),

X

令r(x)<0,得o<x<eT；令/'(x)>。，得“〉e+；

故f(x)在上单调递减，在e《,+8上单调递增，

因为/(幻为偶函数，所以/(幻在上单调递增，在上单调递减,

显然，此时工=0是/*)的极大值点，故D错误.

故选：ABC.

25.【多选】(2023•新课标13卷高考真题)若函数/(x)=3nx+士+鼻("0)既有极大值也有极小值，则().