2024-2025学年山东省滨州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年山东省滨州市高一(下)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U=[1,234,5,6,7},集合4={2,3,4},B={1,3,5,7},贝^U(C^B)=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,3,4,6}D.{1,2,3,4,5,7}

2.已知向量1=(m—1,1),3=(科一2),则=2”是“211”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5,现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标

的概率：先由计算器产生0至!19之间的整数值的随机数，指定0,1,2,3,4表示击中目标，5,6,7,8,

9表示未击中目标.每3个随机数为一组，代表3次射击的结果.经随机模拟产生了20组随机数：

926446072021392077663817325615

405858776631700259305311589258

据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为()

A.0.45B.0.5C,0.55D.0.6

4.如图，平行四边形ABCD中，E是4。的中点，F在线段BE上，且BF=3FE,记日=方，b=Jc,则

市=()

A2TD2fl13八3T5M

A.—ci-bB.-ci——bC.——CL-bD.—CL——b

DaJj4o4o

5.已知tan(a—g)=：,tan(a+/?)=|,贝！|tan(夕+])=()

4454

313113

A-B.痛C.-D.-

6.已知非零向量国与左满足(嵩+高)・炭=0,且篇•高=苧，则)

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

7.设一组样本数据％i，x2,x3,%的平均数为3，方差为4,则数据/，乂2,x3,x4,2xi+l,2x2+l,

2町+1，+1的平均数和方差分别为()

A.4,14B.4,16C.5,14D.5,16

8.在三棱锥P—48C中，AB1BC,。为AaBC的外心，P。1平面力BC,若AB=BC=P。=4,则三棱锥

P—4BC的外接球的表面积为()

52

A.127rB.y7TC.247rD.367r

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数z=三，则下列说法正确的是()

A.z的虚部为1B.z的共辗复数为—2+i

C.|z|=怖D.z在复平面内对应的点位于第二象限

10.已知事件力，B发生的概率分别为尸Q4)=：,P⑻=则下列说法正确的是()

A.若力与B互斥，则

B.若4与B相互独立，则P(4UB)=|

C.若4与B相互独立，则PQ4B)=|

D.若8发生时4一定发生，贝曲(48)=1

11.已知向量五=(一1,W，b=(1,2),则下列说法正确的是()

A.若(22-b)1b,则x=3

B.|22一后的最小值为3

C.若(2N—B)〃丸则x=—2

D.若x=l,则向量2在向量3上的投影向量的坐标是看)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在正四棱台4BCD—4B1C1D1中，AB=AA1=2,A1B1=1,则该棱台的体积为.

13.一艘货船从4处出发，沿北偏西50。的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在力处

观察C处灯塔，其方向是北偏东10°,在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55。，那么B,C两点间的距离

是海里.

14.在锐角中,角4B,C的对边分别为a,b,c.若(a+—s讥B)=(c—b)s讥C,a=

273,则△ABC周长的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，四棱锥P—力BCD中，底面48CD为正方形，平面A8CD,M为PD的中点.请用几何法求解下列问

题：

(1)证明：PB〃平面4MC；

(2)设AP=AB=2,求直线BM与平面ABCD所成角的正切值.

16.(本小题15分)

某学校随机抽取100名学生参加数学测试，记录他们的测试成绩，将数据分成6组：[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如图频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中小的值；

(2)估计这次测试成绩的第70百分位数；

(3)用按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩位于[80,90)和[90,100]内的学生中抽取了6人，再从这6人中

随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件力=”抽取的两人的测试成绩分别位于[80,90)和

[90,100]内”,求事件4的概率P(2).

17.(本小题15分)

在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到

的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都

答错则面试不通过.已知李明答对每道题的概率都是0.6,张志答对每道题的概率都是0.5,假设两位面试者

答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的.

(1)求李明第二次答题通过面试的概率;

(2)求张志通过面试的概率;

(3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率.

18.(本小题17分)

已知a,b,c分别为△力BC三个内角4,B,C的对边，且acosC+讥C=6.

⑴求力;

(2)己知。为4B边上的■点，5.BC1CD.

①若AC=V_3,AD=1,求力B；

②求卷的取值范围.

19.(本小题17分)

在直角梯形4BCD中，AD//BC,AB1BC,BC=2<2,4。=48=71(如图1),把AABD沿BD翻折，使

得4e平面BCD,连接2C,M,N分别是BD和BC的中点(如图2)请用几何法求解下列问题：

(1)证明：BD1平面4MN；

(2)当平面ABD1平面BCD时，求二面角4-BC-。的正弦值；

(3)若P,Q分别在线段48,DN上,且需=黑=2。>0)(如图3),令PQ与BD所成的角为%,PQ与AN所

成的角为。2，求sin。I-sinW的取值范围•

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：全集U={1,2,3,4,5,6,7},B={1,3,5,7),

则={2,4,6},

集合4={2,3,4},

则AU3)={2,3,4,6}.

故选：C.

根据集合的补集和并集的定义求解.

本题考查集合的运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】【分析】

由向量垂直的坐标表示求得加值，结合充分必要条件的判定方法得答案.

本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.

【解答】

解：五=(m—1,1),b=(m,—2),

a.1bm(m—1)—2—0.

由—1)-2=0,解得m=-1或zn=2.

am=2”是ua11的充分不必要条件.

故选：A.

3.【答案】B

【解析】解：根据题意，在20组随机数中，

能表示至少2次击中目标的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311,共10组,

则其3次射击至少2次击中目标的概率P=0.5；

故选：B.

根据题意，分析20组随机数中，能表示至少2次击中目标的组数，由古典概型公式计算可得答案.

本题考查模拟方法估计概率，涉及古典概率的计算，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查平面向量加减运算及基本定理，考查运算能力，属于基础题.

根据条件可知方=CD+DE+EF,结合平行四边形性质可解决此题.

【解答】

解：••・平行四边形4BCD中，E是力。的中点，F在线段BE上，且BF=3FE,

：.DE=~EA^^DA=^CB=~^b,CD=BA=d,

一一>—>一一>1—>1—>

・•.CF=CD+DE+EF=BA+^DA^-rEB

Z4

一1一1一一一1-11一f

=a—5b+了(^EA+AB^)=a—5b+彳(--^b—ct)

L4Z4Z

3f51

F-声

故选：D.

5.【答案】A

【解析】解：,•,tan(a-7)=Ptan(a+夕)=|,

445

tan(a+^)—tan(a—2_1

•••tan©+£)=tan[(a+/?)-(«-割=耳飞3

l+tan(a+夕)tan(a一9l+|x1-22,

故选：A.

利用J+0=(a+£)—(a-J),结合两角差的正切公式可求tan(£+今的值.

本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：需,需分别为向量说与前方向上的单位向量，

因为(缁+黑).丽=0,所以4的角平分线与BC垂直，

\AB\\ACy

所以△力BC是等腰三角形，且4B=4C,

由c°s'=篇,翡=乎°<”<兀，所以4=%

所以。=8=萼，所以ATIBC是等腰三角形.

故选：A.

根据已知条件可知4的角平分线与BC垂直，可得4B=ac,再由向量夹角公式得cosa=¥，得a=?求

Z4

出B,C即可得AABC的形状.

本题考查了三角形形状判断，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：因为样本数据的，%2,冷，处的平均数为3,方差为4,

所以数据2叼+1,2X2+1,2X3+1,2x4+1的平均数为2X3+1=7,方差为2?义4=16,

所以数据久1，%2,久3，%，2%1+1,2X2+1,2X3+1,2仙+1的平均数/3+.7=5,方差为广

[4+(3-5)2]+|x[16+(7-5>]=14.

故选：C.

根据平均数和方差的性质先求出数据2/+1,2X2+1,2叼+1，2久4+1的平均数和方差，再结合分层随

机抽样的平均数和方差公式求解.

本题主要考查了平均数和方差的性质，考查了分层随机抽样的平均数和方差公式，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由。为△ABC的外心，AB1BC,得。是力C的中点，又AB=BC=P0=4,

则。4=|XC=272,

由P01平面4BC,得三棱锥P-4BC的外接球球心M在射线P。上,

设该球半径为R,

则M。=|4—R|,

由MA?=MO2+A02,

得R2=(R-4)2+(272)2,

解得R=3,

所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4兀/?2=36兀.

故选：D.

根据给定条件，结合球的截面性质求出球半径，进而求出球的表面积.

本题考查几何体表面积的计算，属于中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：复数5(t+2)5i+105i+10r

Z=j-5-----=------z—=—2

(J2)0+2)r-4-5

对于a,z的虚部为—1,故A错误；

对于B,z的共软复数为-2+3故8正确；

对于C,\z\=J(-2)2+12=y/~S,故C正确；

对于D,z在复平面内对应的点(-2,-1)位于第三象限，故。错误.

故选：BC.

利用复数的运算法则、复数的定义、几何意义求解.

本题考查复数的运算法则、复数的定义、几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于2,若4与8互斥，则P(力UB)=P(A)+P(B)=3+：=竟，A正确；

对于8,若4、B相互独立，则P(A8)=5x：芯则PQ4UB)=PQ4)+P(B)—P(4B)=芯8正确；

对于C,若4与B相互独立，如I与8也相互独立，贝网48)=P(2)P⑻=|x(1-C错误；

对于。，若8发生时4一定发生，即BU4则PQ48)=P(B)=%。正确.

故选：ABD.

根据题意，由互斥事件的定义分析4由相互独立事件的概率性质分析B、C,由子事件的性质分析D,综

合可得答案.

本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，涉及概率的性质，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：4选项，2日一石=(一2—1,2乂-2)=(—3,2久一2),因为(22一石)1点

所以(23一母0,贝iJ(-3)xl+(2x-2)x2=0,解得4久一7=0n久=JA错误；

选项8,由23一方=(-3,2%—2),|2五一=(一3)2+(2%—2产=9+(2%—2)2,

由于(2%—2)220,当且仅当2万一2=0(即尤=1)时，|21一3|2取最小值9,此时|21—1|=3,2正确;

C选项，若(2方-初/丸2a-b=(-3,2x-2),

b=(1,2),贝!!(-3)x2—(2x—2)xl=0,%=-2,C正确；

选项。，当x=1时，a=(-1,1),

则投影向量的坐标是需9=(T；窘I"=1.(i,2)=(|,|),D正确.

故选：BCD.

根据平面向量的坐标运算即可求解.

本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题.

12.【答案】空

6

【解析】解：因为在正四棱台力BCD—4/1的。1中，AB=AA1=2,=1,

所以该棱台的高为J22-(咨与=*

所以该棱台的体积为弓x(l+4+2)x^=邛.

故答案为：罕.

根据棱台的体积公式，即可求解.

本题考查棱台的体积的求解，属基础题.

13.【答案】5/6

【解析】【分析】

本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理，考查数学建模和数学运算的核心素养，属于基础题.

作出图象，求出角4B,C,再结合正弦定理可得答案.

【解答】

解：AB=30x|J=10(海里)，

OU

如图，设AA8C的内角分别为4B,C,则2=60。，B=75°,C=1800-X-B=45°,

由正弦定理可得意AB口「AB-sinA

故答案为：5V-6-

14.【答案】(4门,6口]

【解析】解：因为(a+b)(sinA—sinB)=(c—b)sinC,

所以由正弦定理得：(a+h)(a一b)=(c—b)c,即c?+b2-

a2=be,B

由余弦定理得：

因为Ae(0^),所以2=(

因为a=2/3,所以由正弦定理得：工=—====4,

所以匕=4sinB,c=AsinC—4sin卷—B)=2y/~3cosB+

2sinB,

所以周长a+b+c=6sinB+2y[3cosB+20=4v^sin(B+*+273,

0<B<与

因为△ABC为锐角三角形，所以窘7r，解得

0<C=y-B62

所以弓<B+1<所以：<sin(B+^)<1,

363z6

所以4，W<a+b+c<6<3,即△ABC周长的取值范围是(4，36，司.

故答案为：(473,6^].

由正、余弦定理可得4,再由正弦定理和三角恒等变换可得a+6+c=4，Zsin(8+5+2，氏由ANBC

O

为锐角三角形求得B的范围，再求三角函数的值域即可.

本题考查正、余弦定理和三角恒等变换、三角形值域求解在解三角形中的应用，属于中档题.

15.【答案】证明见解析；g

【解析】解：(1)证明：在四棱锥P—中，连接B0n4C=。，连接

0M,

由4BCD为正方形，得。是BD的中点，而M为PD的中点，

则PB〃M。，而M。u平面AMC,PBU平面2MC,

所以PB〃平面4MC；

(2)取力D中点“，连接MH,BH,由M为PD的中点，得MH〃PA,

而PA_L平面ZBCD,贝!]M”1平面ABGD,

所以是直线8M与平面4BCD所成的角，

-1______________

MH=-PA=1,BH=y/AB2+AH2=近，

在RtaMBH中，tanNMB”=罂=¥，

DH5

所以直线BM与平面2BCD所成角的正切值是g.

(1)利用线面平行的判定推理得证.

(2)取力D中点”，利用几何法求出线面角的正切.

本题考查线面平行的判定，以及线面角的计算，属于基础题.

16.【答案】0.012；82.5；

【解析】(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.006+0.008+0.020+0.030+0.024+m)x10=1,解得

m=0.012；

(2)因为大于第70百分位数的频率为0.3,测试成绩位于［90,100］的频率0.012x10=0.12<0.3,

位于［80,100］的频率0.024x10+0.012x10=0,36>0,3,故第70百分位数位于［80,90),设为“,

贝”(90-％)x0.024+0.12=0.3,解得x=82.5,即第70百分位数为82.5；

⑶测试成绩位于［80,90)的频率Pi=0.024x10=0.24,

位于［90,100］的频率P2=0.012x10=0.12,因为七：P2=2：1,所以确定的6人中成绩在［80,90)内的有

4人,分别记为A2,A3,A4,

成绩在［90,100］内的有2人,分别记为Bi，B2,

从6人中随机抽取2人的样本空间：0={(4,4)，(&,4)，(&，4)，(4，&),⑷氏)，

(阳义)，(醺4)，(4,BQ,(A2,B2),

(43,4)，(4,BJ(4,B2),(A4,,(A4,B2~),(B［,B2)},

共有15个样本点，其中4={(4,BQ,(4,4),(乙㈤,(A2,B2),

(A3,B2),(TUB)(A4,B2)),即n(4)=8,所以概率为PQ4)=*

(1)根据频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1,得到关于税的方程；

(2)根据大于第70百分位数的频率为0.3求解即可；

(3)首先确定分层抽样的各层人数，分别计算其频率，得到其比值，确定各层人数，然后根据古典概型的

特点求出样本空间和满足题意的情况数，最终得到概率.

本题考查了频率分布直方图的性质，属于中档题.

17.【答案】0.24；

0.75；

0.96.

【解析】(1)根据题意，若李明第二次答题通过面试，即李明第一次答错抽到的题目，而第二次答对抽到

的题目，

则要求概率P=(1-0.6)x0,6=0.24；

(2)根据题意，设4="张志通过面试”，贝巾="张志没有通过面试”，即张志两次都没有答对抽到的题

目，

贝ljp(a)=(1-0.5)x(1-0.5)=0.25,

故P⑷=1-P(A)=0.75；

(3)根据题意，设B="李明通过面试”，易得P(B)=(1—0.6)2=0.16,

贝=0.25x0.16=0.04,

则李明和张志至少有一人通过面试的概率P=1-P(AB)=0.96.

(1)若李明第二次答题通过面试，即李明第一次答错抽到的题目，而第二次答对抽到的题目，由相互独立

事件的概率公式计算可得答案；

(2)根据题意，设4="张志通过面试”,贝立="张志没有通过面试”，先求出P。)，利用对立事件的性

质分析可得答案；

(3)根据题意，设8=“李明通过面试”，先求出。(4后)，利用对立事件的性质分析可得答案.

本题考查相互独立事件的概率计算，涉及对立事件的性质，属于基础题.

18.【答案】~①3；②(0百.

【解析】(1)在44BC中，因为acosC+yflasinC=b,

所以由正弦定理得：sinAcosC+y/~3sinAsinC=sinB=sin(/+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以=cosAsinC,因为snC>0,所以tcmA=彳，

又因为0<Z<7T,所以A=}

(2)①在△4DC中，因为2。=宿，AD=1,

所以由余弦定理得：CD=VAC2+AD2-2AC-ADcosA=J3+1-2xAA3X1x=1,

所以4D=CD=1,所以N4CD=A=\

o

因为BC1CD,所以NBQ4=亭，B=2=A,

3O

所以48=2ACcosA=2/3x亨=3；

②在△ADC中，由正弦定理㈡=—些可，得CD=厂艺而,

JsinAs\nZ-ACD2sinz.ACD

在RtABCD中，CD=BDsinB,所以丁.叱/=BDsinB,

2smz.ACD

AH

即诉=2sinZ.ACDsinB,

DU

因为8+乙4G所以乙4c7)=尹8,且0<8<?

因此黑=2sin乙ACDsinB=2sin(|—B)sinB=y/~3sinBcosB-sin2F

1-COS2B/3..11.rnDIn\1

=—sin2B--------=—sin2QBD+-cos2QBD--=sin(2B+7)-

LLLLLoZ

因为：<2B+^<称，所以：<sin(2B+勺<1,

OOUZO

所以黑e(o,9,即黑的取值范围是(0,Q.

DULL)DZ

(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得；

(2)①由(1)的结论，利用余弦定理求解；②利用正弦定理，结合三角恒等变换求解.

本题考查三角恒等变换，正、余弦定理，三角函数的值域求解在解三角形中的应用，属于中档题.

19.