2024-2025学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2024.2025学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.命题“V%ER,x2+ax+1>0”的否定为()

A.BxER,x2+ax+1>0B.Vx6/?,x2+ax+1<0

C.3%G/?,%2+ax+1<0D.VxG7?,%2+ax+1<0

2.已知集合A={x\y=yj1-x],B={x\y=ln(2-%)],贝U(CRA)AB=()

A.(-oo,1]B.(1,2)C.[1,2)D.(-00,2)

3.设集合/={1,3,M},8={l,a+2},若“工是“XE8”的必要不充分条件,则实数a的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

4.函数/(%)=(1)x一匈％的零点所在的一个区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,10)

5.函数/(%)=-%-s讥%在[一可兀]上的图象大致是()

6.若函数f（%）=+b的图象关于点（2,0）对称，则实数a的值为（）

A.-3B.3C.-6D.6

7.若函数/（%）=%+/c存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（）

A.(一%1)B.(0,1)C.(-8,e)D.(0,e)

8.已知/(%)为定义在(一8,0)u(0,+8)上的偶函数，且当1>0时,xf(x)-/(%)>2x,f(l)=1,则

§>%的解集为()

A.(―l,0)U(1,+8)B.(―8,—l)u(0,l)

C.(-1,0)U(0,1)D.(—8,—1)u(1,+8)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列不等关系成立的有()

0730304

A.3->0.7B-g3<仇0.9C.log34>log56D.O.4-<O.3

10.若函数/(%)=|a2%2-3ax+2仇=在％=1处取得极大值，贝女)

A.a=1B.a=2

C.(2,+8)为/(X)的一个增区间D"(x)的极小值为2伉2-4

11.定义在R上的奇函数/(%)满足/(2+x)=/(一刀)，当比e[0,1]时，f(x)=6,则下列结论正确的有()

A.当xe[2,3]时，/(%)=—V3—x

B"(x)的图象在久=|处的切线方程为2x+2/2y-5=0

C"(x)的图象与g(x)=lg|x-1|的图象所有交点的横坐标之和为10

D./O)的图象与直线y=x+6恰有一个公共点，则实数b£(4/c-^,4fc-b(fc£Z)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知f(x),g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)+g(x)=2，+1,则f(-1+log2?)的

值为.

13.若实数&满足/(/Go))=*0,则称*0为函数/(©的一个"二阶不动点”.给定函数=

1

2<

X--

2

%,一1,则其所有“二阶不动点”的和为.

22>

居%

2-

、7

14.已知正实数a,b满足a2b2—4=2ab21Tlet—4bln-,则M+8b的最小值为.

b------

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

2

已知函数f(%)=log2(2x—%—1).

(1)求/(%)的单调区间；

(2)若对任意的X6[|,+8),都有/(X)>2m-2,求实数小的取值范围.

16.(本小题15分)

定义在R上的函数f(x)满足/(x+y)=f(x)+f(y),/(l)=-2,且x<0时,/(x)>0.

(1)判断并证明“久)的奇偶性；

(2)求关于t的不等式/(t2—t—2)—/(t+1)>-10的解集.

17.(本小题15分)

如图，某地计划在海中建设一风力发电站力，其离岸距离力C=40ka,与AC垂直的海岸线BC上有一升压站

B,且8C=20km.现要铺设一条电缆将4站的电力传输到B站，点P为海岸线BC上一点，线段4P,分别

表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线.假设海中铺设电缆的费用为小万元/千米(小为给定正数)，海岸线上

铺设电缆的费用为穿万元/千米，CP的长度为x千米.

(1)求铺设电缆总费用y关于x的函数关系式；

(2)当CP的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用.

18.(本小题17分)

已知函数f(x)="誓—5(aeR).

(1)当a=1时，求曲线/Q)切线斜率的最小值；

(2)若g(%)=//(%)有两个不同的极值点%1，上.

0)求a的取值范围；

2a

(讥)求证：xrx2>e~.

19.(本小题17分)

已知函数/(%)=ex—ax+l(aGR).

(1)讨论/(%)的单调性;

(2)设g(%)=ax-2"I，且f(%)与g(%)有相同的最小值.

⑷求a的值；

X1

(江)已知％*x2G(0,+oo),且f(%力=g(%2)，求证：2e>x2-

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：命题“Vx6R,x2+ax+l>0"的否定为三万GR,x2+ax+l<0.

故选：C.

结合命题否定的定义，即可求解.

本题主要考查命题否定的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：4={x\y=V1-%}={x\x<1},则CR力={x\x>1)；

B—{x\y-ln(2—%)}}={x\x<2},

故(CRA)CB=(1,2).

故选:B.

根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解.

本题主要考查集合的混合运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为集合4={1,3,a?},B={l,a+2},

若“xe4”是“xeB”的必要不充分条件，则B呈A,

所以a+2=3或a+2=a2,

解得a=1或a=2或a=-1,

当a=l时，A={1,3,1),与集合元素的互异性矛盾，

当a=2,2={1,3,4},B={1,4}，符合题意；

当a=-l时，A={1,3,1),与集合元素的互异性矛盾，

故a=2.

故选：D.

由题意可得，B^A,然后结合集合包含关系即可求解.

本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为y=弓尸与y=-仞比在(。,+8)上单调递减，

所以/(%)=(3尸一Zgx在(0,+8)上单调递减，

又因为f(1)=|>0,f(2)=^-lg2=IgVlO-lgV16<0,

Z4

所以函数的零点所在区间为(1,2).

故选：B.

判断出函数的单调性，再结合零点存在定理即可得答案.

本题考查了指数函数、对数函数的性质，考查了零点存在定理，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为〃兀)=与>0,所以排除B。，

又屣)=专—2<0,故C错误，A正确.

故选：A.

根据/(兀)的符号以及/电的符号，可判断正确图象.

本题主要考查由函数解析式判断函数图象，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：若函数/(%)=/+ax2+b的图象关于点(2,0)对称，

则尸(%)=3%2+2ax,/"(%)=6%+2a=0,

所以/〃(2)=12+2a=0,

所以Q=—6.

故选：C.

先对函数求导，结合对称性的性质即可求解.

本题主要考查了函数对称性的应用，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：函数f(%)=%+/C的定义域为(0,+8),

令f(%)=%仇%—%+fc=0,得一k=xlnx—x,

令g(X)=%—%(%>0),

则“(%)=1+①%—1=Inx,

当久>1时，g'(%)>肘当OV%<1时，“(%)<0,故g(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以9。)加讥=0⑴=T，

又当％T0时，g(%)T0,当％T+8时,g(x)T+00,

又因为/(%)=xlnx一汽+k存在两个不同的零点，即y=-k与g(x)=xlnx-%(%>0)有两个不同的交点,

所以一lv-kco,即

故选：B.

令/(%)=0，问题转化为方程―k=xlnx—x(x>0)有两正根，令g(%)=xlnx—%(x>0),求导分析，可

得答案.

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：令g(%)=§—H0),

则“(%)=xf'SfG)_1=

,・,当%>0时，—/(%)>%2,

即当%>0时，g'(x)>0,即当％W(0,+8)时,g(%)为增函数,

,."(%)为定义在(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，y=1为奇函数，

・•・9(%)为定义在(一叫0)U(0,+8)上的奇函数，

・•・当%e(一8,0)时，g(%)为增函数，

又f(-1)=/⑴=1,g(-l)=-9⑴=-弯-1]=0,

•・.?>久等价于g(X)>0=g(l),

x>1或一1V%V0.

故选：A.

令以久)=竽—x(xK0),由题意可知，g(x)为奇函数，求导分析其单调性，结合题意列式求解即可.

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于43°-7>1>0,73,故A正确;

对于B,lg3>0,ln0.9<0,故2错误;

,2CC

lg4_均4+期>姐_必+%_(04-03)颔>0

对于C,log34-log56=g-g

lg3Zg3+lg|lg3国3+lg|一仞3(旬3+电|)

故log34>logs6,C正确;

对于D,O.403>O.40-4>O.304,故O错误.

故选：AC.

根据指数函数、幕函数、对数函数的性质以及对数运算性质对各选项进行逐项判断.

本题主要考查对数值比较大小，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：因为/(%)=^a2x2-3ax+2lnx,x>0,

、7仁，2a2%2—3ax+2(ax—(ax—2}

所以/Q)=a2久—3a+^=J~~

因为函数f(%)在久=1处取得极大值，

所以/'(1)=(a—1)(。—2)=0,解得a=1或a=2,

当a=2时，/⑺=(2"T)(2X-2),

当0<%<2或%>1时，/'(%)>0,/(%)单调递增；当时，/(%)<0,/(%)单调递减.

所以当％=1时，/(%)取极小值，不是极大值，不符合题意.

当a=l时，1(%)=(%f2),

当0<x<1或久>2时，/'(%)>0,/(%)单调递增；

当1V%<2时，[(%)<0,/(%)单调递减.

所以当先=1时，/(%)取极大值，符合题意.

综上，a=1,故A正确，B错误;

11

由上可知，/(x)--x2-3x+2lnx,(2,+8)为/(x)的一个增区间，/(久)的极小值为/(2)=x2?-3x

2+2)2=2"2-4,故CD正确.

故选：ACD.

根据极值点处导数值为。求解a,可判断4出

利用导数研究函数的单调性和极值即可判断CD.

本题考查导数的综合应用，属于中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解:由函数/(久)为R上的奇函数，所以/(T)=/(久),由〃2+久)=〃一久)，

所以函数/■(%)关于x=1对称，且/'(2+%)=/(-%)=-/■(%),贝仔(4+%)=/(%),

所以4为函数f(x)的一个周期.

对4x£[2,3],则久一26[0,1],/(*—2)=/Q+2)=—/(x),所以f(x)=—f(x=2),

由当％e[0,1]时，f(x)=y/~x,所以/'(x)=—f(x_2)=―弋x—2,错误；

对B,由4可知：当久6[2,3]时，f(%)=—y/x—2)所以当x6[—3,—2]时，f(%)=V—%—2>

所以当工€[1,2]时,x-4G[-3,-2],则/•(x)=/(x—4)=

1⑶=一奈力呜=一弓，

外)=¥，所以函数f(x)的图象在X号处的切线方程为y=—+¥，

ZZ，LLL

即2%+2jIy-5=0,正确；

对C,作出函数y=/(%)与g(%)=lg|%-1］图象，

y=g(x)

>

y=fw

函数g(x)=lg|x-1|图象关于x=1对称，当％>1时，图象共有5个交点,

由/(久)为奇函数，所以当久<1时，图象也有5个交点,

所以图象所有交点的横坐标之和为10,正确;

当xe［一1,0］时，/(x)=-/(-%)=_厂/

当xG［4,5］时，f(x)=f(x—4)=Vx—4»

当为图中4情况，/(x)=—7—x,f'(x)=刀』,

11

y-

令云e=1今”=4_?-2-

所以切点为--)，

所以一：+b=—g=>b=一。,

424

当为图中12情况，f⑺=7^4,f(x)=奈？，

A1171

令云后？=10"=彳,y=2,

所以切点为(U),所以学+b是=6=-学；

4Z4Z4

所以函数/(%)的图象与直线y=%+b恰有一个公共点,

则实数6e(4k—q,4k—；)(keZ),正确.

故选：BCD.

先判断函数的对称性，周期性，对4利用周期可得；对B,求出xe[1,2]表达式，然后求导计算；对C,

作出两个函数图象判断即可；对D,作出图形，然后分情况讨论，利用导数计算判断.

本题考查利用导数求解曲线在某点上的切线方程，属于中档题.

12.【答案】竽

O

【解析】解：因为/(%),0(%)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，

又f(%)+g(%)=2*+i,所以/(%)一g(x)=2-x+1,

2%+lIn—X+1

解得f(x)=-~y—=2》+2-x,

所以f(一1+log23)=2-1+1。堀+2】T。遍=|x3+2x|=y.

故答案为：号.

根据函数的奇偶性，消元法，对数运算性质，即可求解.

本题考查函数的奇偶性，消元法，对数运算性质，属中档题.

13.【答案】||

【解析】解：当寸，

由f(fOo))=X。，可得f(2久o)=x0,

11

味2<

<-&--

-V2

111

当

-<<-时-<2<

4-22-

2

-

5

1

2-

由f(fOo))=x0，可得/'(2—2久0)=比,

13

-<<-班

2^04

1

2-

所以2-2(2-2%0)=比,

解得沏=|,

O-1

当XoNI时，2-2久0<

则2(2—2%o)=与,

解得尤0=g,

所以函数有4个“二阶不动点”，分别为0、|、|、I，

所以所有“二阶不动点”之和为：0+|+,+《=善

28

答案

故--

15

111

<<

--<-

--、3<%0<3及?<%0<,,求出函数的所有“二阶不动点”，即可得答案.

4X4^02

本题考查了“二阶不动点”的定义及性质，考查了分类讨论思想，属于中档题.

14.【答案】12

2

【解析】解：由a2b2_4=2ab21Tlei—4b仇鲁，得Q?—2alna=(7)—2•|•ln^,

bbb

所以a?—2alna=(1)2—2•|•ln|,令/(%)=x2-2xlnx,则/(a)=/(令,

又因为/'(%)=2x—2(1+又必=2(%—1—又%)>0,

所以/(%)在(0,+8)上单调递增，

所以a=

b

所以小+8b=a2+—=a2+-+->33a2----=12,当且仅当小=即。=2时等号成立，

aaaaaa

所以a?+助的最小值为12.

故答案为：12.

根据题意可得a?—2alna=(1)2—2•1"ln|,令/'(x)=x2—2久bix可得/(a)=f(^)>结合/''(久)=2%-

2(1+伉尤)=2(久-1一加久)N0可得所以。=今所以a?+8b=a?+当=a?+：+，进一步及可求出

a2+8b的最小值.

本题主要考查基本不等式的应用，涉及函数的单调性，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档

题.

15.【答案】单调递减区间为(-8,-3，单调递增区间为(1,+8);

(-8,2].

【解析】(1)令2%2一%一1>0,解得久<一g或第>1，

即函数的定义域为(一8,-今U(1,4-00),

2

令y=log2u,u=2x—%—1,

y=log?”在其定义域内为增函数，

〃(乃的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线1=),

所以当xe(-8,-勺时，a(x)单调递减，当％6(1,+8)时，a(x)单调递增，

由复合函数单调性性质，当*6(—8,-勺时，f(x)单调递减，当x6(1,+8)时，/(久)单调递增，

所以/(%)单调递减区间为(-8,-今，单调递增区间为(1,+8);

(2)由题意f(X)疝nN2m-2,

由(1)知，当xe[|,+8)时，/(%)单调递增，

所以/(久)rnm=/(|)=log22=1,

于是2m-2<1=2°,

即m—2<0,解得m<2,

故小的取值范围为(-8,2].

(1)求出函数的定义域，利用换元法及复合函数的单调性求解即可；

(2)由题意可得向“22^-2,根据单调性，求出函数在久e[|,+8)上的最小值，再代入求解即可.

本题考查了二次函数、对数函数的性质，考查了复合函数的单调性及转化思想，属于中档题.

16.【答案】奇函数；

{t|-2<t<4].

【解析】(1)令x=y=0,可得/(0)=/(0)+/(0),所以/(0)=0,

令y=-x,可得/'(())=f(x)+/(-x),所以/'(-%)=-/(x),

又f(x)的定义域为R,关于原点对称，故f(x)为奇函数，

(2)任取X],x2G[0,+oo),且久i<%2，则/%=尤2—久1>0，

于是fOi)-f(冷)=f(%)—FQi+4%)=f01)-[fOi)+F⑷)]=一/■⑷)，

因为/久>0,所以一/x<0,由题意/(一4支)>0,

又f(x)为奇函数，所以/(一/乃=-/(4x)>0,

所以f(%l)一/(%2)>0,即fQi)>f(x2),/(X)在[0,+8)上单调递减,

因为/(X)为奇函数，所以/(©在(-8,0］单调递减，

所以/(久)在R上单调递减，

由f(x+y)=)(%)+/⑶)，可知f(5)=5/(1)=-10,

所以不等式/(产—t—2)—f(t+1)>—10,

等价于f(t2—t—2)+/(—t—1)=/(t2—2t—3)>/(5),

所以产一2t-3<5,解得一2<t<4,

所以，原不等式的解集为m-2<t<4}.

(1)利用赋值法，结合奇函数的定义即可求解；

(2)先判断函数的单调性，然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式.

本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题.

17.【答案】y=v(V1600+x2一四+等),其中0WxW20.

4141

CP的长度为9公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为喈3万元.

【解析】(1)由题意知，AP=V1600+%2,BP=20-%,

所以y=mV1600+%2+察(20—x)=m(V1600+x2-*+詈)，其中0W*W20.

⑵求导数，得上皿焉胃一急，

令厂加焉餐一方>°'解得9GW2。，

令y=m(Ix-^-)<0,得0WxW9,

V1600+x241y

所以y(x)在［0,9］上单调递减，在［9,20］上单调递增，

当％=9时，y取得最小值.此时y(9)=等譬.

所以当CP的长度为9公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为笔"万元.

(1)由题意，利用勾股定理求出2P,再求BP和y关于x的函数；

(2)求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最小值以及对应x的值.

本题考查了函数模型与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题，

18.【答案】一巳

(i)(0,+oo).

(")证明见解答.

【解析】(1)当a=1时，/(%)=专°—Rx>0),/0)=要.

2

令.九。)=詈—Ivx，则l.〃,(x)=--r-X—2x—/nx=2^/nx2—1，

令M(x)=0,解得％=yfe.

当0V%<V~^时，//(%)<0,h(%)单减；当％>V~^时，/i\x)>0,九(%)单增.

所以，当久=时，九(%)取得极小值也是最小值％(，》)=-a,

所以，曲线/(%)切线斜率的最小值为-奈.

(2)(i)g(%)=xlnx+ax—~ax2(x>0),则g'(%)=Inx—ax+a+1,

若g(%)有两个不同的极值点，则g'Q)在(0,+8)上存在两个变号零点，

令k(x)—g"。)=~~a(x>0)・

当时，k(x)>0,“(%)单增，此时“(%)至多存在一个零点，舍去，

当a>0时，k(%)=工—a=——!).当0<%<工时，fc(x)>0,“(%)单增，当％,工，

XXCLCLCL

11

时，k(x)<0,g'(%)单减.所以，当％二公时，"(%)取极大值g'(£)=a-Ina,

令p(a)=a—Ina,则p[a)=1-；=所以0Va<1时，p'(a)<0,p(a)单减，

当a>l时，p(a)单增，所以p(a)存在极小值也是最小值p(l)=1.

1

所以，对V。>0,恒有“(%)的极大值g'(£)=a-Ina>1>0,

i**,

当久-»0时，g'(%)=M]-a%+a+1--8,“(%)的图象在(0,/连续不断，由零点存在定理，存在%1C

(0》使得“(%i)=o.

当久T+8时，“(%)T-00,同理，存在久2E(；，+8)，使得。'(%2)=。.

所以，对Va>0,“(%)在(0,+8)上存在两个不同的变号零点.

综上，。的取值范围为(0,+8).

(讥)证明：不妨设第1，%2是g'(%)="%-a%+a+1的两个零点，且%1<%2，

贝ij仇％1—axr+a+1=0,lnx2—ax2+a+1=0,

两式相减得：。="上也1,

%2—％1

两式相加得：仇%1+lnx2+2a=a(%i+%2)—2,

于是要证％i%2>2。，只需证"％i+lnx2>-2a,只需证矶/+x2)>2,

即证空生，即证In这〉2个=尊卫(*),

第2一%1%i%1+%2-2,+1

2

事实上，令t=^>l,h(t)=2加一监9,=7——二=止之>0,

巧t+lt(t+l)/t(t+l)z

所以％(t)〉h(l)=O,所以不等式(*)成立，所以原不等式成立.

(1)结合切线的性质求解即可.

(2)(i)结合极值点的定义求解.

(苴)设X]，乂2是g'Q)=亿久一批+a+1的两个