2024-2025学年辽宁省葫芦岛市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年辽宁省葫芦岛市高二（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知R是实数集，集合力=｛—1,0,1｝,B=｛x|2x-l>0｝,则力C（CRB）=（）

11

A.（—°°,2）B.卬1]C.｛1｝D.｛-1,0｝

2.命题“对任意XeR,都有%2>0”的否定为（）

A.对任意无CR,都有％2<oB,不存在久eR,使得/<0

C.存在xeR,使得了20D.存在使得/<0

3.已知变量久,y具有线性相关关系，并且由最小二乘法计算得到回归直线方程为y=-2x+a若1=3,亍=1,

则（）

A.-7B.5C.7D.9

4.山海相逢，跑动滨城.2025葫芦岛马拉松5月11日激情开跑.某单位从6名员工中选派志愿者参加此次

活动，要求必须有人去，其中甲、乙两人要么都去，要么都不去，则该单位选派志愿者的方法共有（）

A.15种B.28种C.31种D.63种

5.已知数列｛a｝满足%=1,a=2--,则｛%｝的前2025项和为（）

nn+1an

A.2024B.2025C.2026D.2027

6.命题[-3,—1],/—。>7”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>—6B.a>0C.a>—7D.a<0

7.若0<b<l,则可产—表的最大值为（）

A.5-<6B.2C.3D.5+<6

8.函数/（%）=x｛ex-e2）-e2lnx-k在（0,+8）上有唯一的零点％°,则下列结论正确的是（）

OO11

A-k=eB.M_2C.k>eDq<为<2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列｛册｝的前几项和为Sn,则下列正确的有（）

n-1

A.若｛an｝为等比数列,Sn=m-2+3,则m=-3

B,若｛an｝为等差数列，则数列｛学｝是等差数列

C.若｛a九｝为等差数列,$2025>。,$2026<。,则S1013>^1014

若｛册｝为等比数列，则九,一定是等比数列

D.SS2n-Sn9S3n-S2n

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10.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，

则()

A.第1次抽到舞蹈节目的概率为|

B.第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为|

C.第2次抽到语言类节目的概率为g

D.在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为，

11.设函数/(%)=2K3+3x2+(1+a)x+b.下列正确的是()

A.若/。)在(1))处的切线斜率为2,则a=1

B.当a=-1时，若/(久)有三个零点，贝防的取值范围是(-8,-1)

C.当a=—l时，若x6(0,1),则/(久)>/(/)

D.若/'(X)满足/'6—%)=—2则a,b,c成等差数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知(0一|)"的展开式中第3项是常数项，则实数九的值为.

13.关于久的不等式+io%+8<0的解集为(a,[),其中。<0,则zn+a的值为.

14.当a>1时，函数/(x)=砂与g(x)=log。久的图象有两个交点，贝1Ja的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

近年中国新能源汽车进入高速发展时期.已知某数据显示，400名消费者中中老年人共有150人.中老年人中

愿意购买新能源车人数是愿意购买燃油车人数的2倍：青年人中愿意购买新能源车人数是愿意购买燃油车

人数的4倍.

(1)完善2x2列联表，请根据小概率值a=0.01的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的购买意

向是否与年龄有关；

愿意购买新愿意购买燃

合计

能源车油车

青年人

中老年人

合计

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(2)从愿意购买新能源车的消费者中按年龄比例进行分层抽样，得到容量9的样本，再从这9人中随机抽取

4人，求这4人中青年人数为3人的概率.

n(ad-bc)2

附：*2n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

16.(本小题15分)

已知％是等差数列｛an｝的前n项和，S3==9,数列｛%｝是公比大于1的等比数列，且%+b2+b3=14,

b1-b2-b3—64.

(1)求数列｛an｝和｛%｝的通项公式；

(2)设cnw0n.bn,求｛cn｝的前。项和

17.(本小题15分)

全国大学生机器人大赛(RoboMaser)是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台.某高

校为了选派优秀选手参加大赛，准备开展校内选拔赛.已知初赛共有2000名选手参加，初赛入围选手参加

晋级赛.

(1)若甲、乙、丙3名选手入围的概率分别为专求这3人中至少有1人未入围的概率；

(2)若初赛成绩Z近似服从正态分布N(90,9),试估计这些选手中成绩超过96分的人数；(结果四舍五入，精

确到个位)

(3)晋级赛共有3道试题，若初赛入围选手小明答对每道题的概率均为,，且每题答对与否都相互独立，记

小明答对试题个数为X,求X的分布列与数学期望E(X).

参考数据：P(/i—d<Z<jtz4-a)«0.6827,P(〃—2cr<Z</z+2a)20.9545,PQt—3a<Z</z+3(T)*

0.9973.

18.(本小题17分)

已知函数f(%)二1-ax2—(a+l)x+Inx,a>0.

(1)讨论f(%)的单调性;

xx

(2)设g(%)=f(%)+(a-1)%,已知g(%)有两个极值点%i，x2(i<2)-

(Wa的取值范围；

(W证：gOD+g(x2)<-2

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19.(本小题17分)

“牛顿数列”是英国著名物理学家牛顿发现并定义的，它在航空航天中应用极其广泛.“牛顿数列”的定义

是：对于函数八久)，若数列｛&｝满足％+i=今—乎&(neN*),则称数列｛&｝为函数/(x)的“牛顿数列”.

Jixn)

2

已知数列｛xn｝为函数/(久)=X-X的牛顿数列，且数列｛册｝满足的=l,an=ln^-,xn>1.

(1)求久1;

(2)证明数列｛册｝是等比数列并求与；

(3)设数列｛an｝的前几项和为治,若不等式(—1尸・t•0几+1)-16<(Sn+1)2对任意的rieN*恒成立，求t

的取值范围.

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答案解析

1.【答案】D

【解析】解：因为8={久|2%—120}={小2%所以CRB={MX<<}.

又4={-1,0,1},所以An(CfiB)={-1,0}.

故选：D.

先解不等式得出集合B,再求B的补集，最后与a求交集.

本题考查集合交、并、补的运算，考查对基本概念和运算的掌握.利用集合补集和交集的定义是解决本题

的关键.

2.【答案】D

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“对任意都有好之。”的否定为.存在x€R,使得了<0.

故选：D.

直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可.

本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：根据线性回归方程的性质可知，1=—2x3+ana=7.

故选：C.

根据线性回归方程必过样本中心点求a.

本题考查了经验回归方程，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：根据题意，由于“甲、乙两人要么都去，要么都不去”，分两种情况讨论：

⑦甲乙都去：

此时需要从剩余4人中选，因为甲、乙己去，所以只要选法存在即满足“要求必须有人去”条件，

故选派方法为：以+或+鬣+或+以=24=16种.

②甲乙都不去：

此时需要从剩余4名员工中至少选1人参加志愿活动，有C?+或+鬣+或+或-以=24-1=15种选

派方法，

综上，该单位选派志愿者的方法为情况①和②之和，即16+15=31种.

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故选：c.

根据“其中甲、乙两人要么都去，要么都不去”分“甲乙都去”和“甲乙都不去”两种情况讨论，结合“要

求必须有人去”的条件，分别求出两种情况选派方法再相加即为该单位选派志愿者的方法数.

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由题意可得=2---=—2,。3=2----=4,。4=2----=1,…，

可知数列｛册｝是最小正周期为3的周期数列，

且一个周期的和为由+a2+a3=3,

则数列｛册｝的前2025项和为%+a2+...+CI2025=675X(at+a2+a3)=2025.

故选：B.

根据数列的递推关系，计算。2,。3,判断函数的周期性，然后求和即可.

本题考查数列的求和，求得数列的周期性是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由题可得：命题'勺久e[—3,-1],/-aw7”为真命题.

2

所以a>(%—7)mjn,xE[—3,—1],

因为人吗=久2-7在[—3,-1]是单调减函数，所以八支)加n=/(—1)=6,所以a>-6.

因为｛a|a>0｝是｛a|a>-6｝的真子集，而其他选项对应的集合都不是｛a|a>-6｝的真子集，

故3正确，A,C,。均错误.

故选：B.

根据题意该命题的否定是真命题，由此求出a的取值范围，再找出它的一个充分不必要条件即可.

本题主要考查充分必要条件的判断，考查计算能力，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：因为5+2/)-3扶=(1+》)(5-3匕)，0<b<1,

故5+告3b2―亲=_3b+5=5—(3b+亲)W5—213b*=5-^6,

1+b2b2bv2by\2b

当且仅当3b=3，即b=¥时等号成立，

2b6

所以5+/13匕--*的最大值为5—V-6.

1+b2b

故选：A.

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证明原式=(-3b+5)-玄，利用基本不等式即可求解.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：已知函数/(%)=x(ex—e2)—e2lnx—k,

22

则f，(x)=(ex-e2)+xex-—+l)(ex--),

令f'(x)=0,

因为久e(0,+oo),

2

故呼一p幺=o,

X

设e%一Q三2=0的根为％i，

则可知在区间(0,%D上//(%)<0,/(%)单调递减，且/(%)e+8),

在区间(%1，+8)上//(%)>0,/(%)单调递增，且/(%)G(/(%1),+8),

故/(%)在％=%1时取最小值，/(%i)=0,%i=%().

pl

且e%o=一,

%o

x2

BP%oe°=e,

故B正确；

22

因为/(%o)=%o(e*。—e)—elnx0—fc=0,

x222222x2222

即k=xoe0—xoe—elnx0=e—e(x0+Inx。)=e—e(lne°+lnx0)=e—elne=—e,

故4c错误；

令9(%)=xe*,

则g/(x)=(%+l)ex>0,

故g(%)=斑%为增函数.

-1-1i

又g(5)=万淳<e2=g(x0),

故%o>I，

故。错误.

故选：B.

2

求导可得f/(%)=(%+1)(/-p9)，再根据函数的单调性以及极值点和零点即可知第。为函数/(%)的零点和

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极小值点，进而根据久0满足的关系式逐个选项判定即可.

本题考查了函数的零点，重点考查了利用导数求函数的单调区间，属中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：A：若m=—3,则的=51=根+3=0,显然不是等比数列，错;

B；由｛册｝为等差数列，则知=幺井，

所以宗岸一勺产—%户为定值，贝I得｝是等差数列，对；

C：由｛%｝为等差数列，且$2025=2025(4+。2025)=2025al>042026=2°26(。尸026)=iOi3(alol3+

a1014）V

所以Q]013>0，。1013+。1014<。，即。1014V0<。1013，d<0,

所以>>**>。1013>0>。1014>…，

由S1013=卫^*皿=1013。5。7，%。14=lol©。，。/=507（。507+。508），

所以S1013一$1014=508。507—507(1508=。507—507d〉。，即S1013>S1014，对；

D-.若｛an｝是首项为1,公比为一1的等比数列时，S2=S4-S2=S6-S4=0,错.

故选：BC.

由已知得的=Si=爪+3即可判断4由等差数列前n项和公式及等差数列的定义判断B；由等差数列前n

项和公式及已知得的>>a10i3>0>a1014>…，作差法比较Sioi3,S1014大小判断知应用特殊数列｛an｝

是首项为1,公比为-1判断D.

本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：根据题意，设第1次抽到舞蹈节目为事件4第2次抽到舞蹈节目为事件8,第二次抽到语言

类节目为事件C.

依次分析选项：

对于4从6个节目中不放回地依次抽取2个，则“。)=照=30,

第1次抽到舞蹈节目为事件4则n(A)=A｝Al=20,

则「缶)=黯=黑=5故/正确；

对于B,郎8)=幽=12,贝IJP(4B)=^=II=|,故2错误；

对于C,n(C)=掰+4刑=10,则2©=黑=m=全故C正确；

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2

-3

5

---

对于。，由条件概率公式，P(B|4)=鬻25

-

3

故选：ACD.

设第1次抽到舞蹈节目为事件4第2次抽到舞蹈节目为事件B,第二次抽到语言类节目为事件C,分别求

出事件4事件B和事件C的基本事件数，进而结合古典概型的概率公式、条件概率公式判断各选项即可.

本题考查条件概率的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：f'(x)=6x2+6x+1+a,

若/(x)在(-1/(—1))处的切线斜率为2,

则由导数的几何意义可知/'(一l)=6x(—l)2+6x(-l)+l+a=2,解得a=l,4选项正确；

当a=-1时，/'(久)=6/+6x,

由/''(x)<0解得一1<%<0,由/''(久)>0解得％<-1或久>0,

所以函数/(x)在(-8,-1)和(0,+8)上单调递增，在(-1,0)单调递减，

所以函数f(x)在%=-1处取得极大值，在久=0处取得极小值，

若/(%)有三个零点,则+3+解得—l<b<0,B选项错误；

因为当a=-1时，函数f(x)在(0,+oo)上单调递增，

若x6(0,1),则0<必<%<1,所以C选项正确；

若f(久)满足f6-%)=-2-/(%),

则/(]—%)+/(%)=2(，-x)3+3(]—x)2+(1+a)(1—%)+/?+2x3+3%2+(1+d)x+b

=V+JC2+5+与+2b+(—^-c2—3c)x+(3c+6)x2=—2,

44ZZZ

9+#+升竽+2b=—2

则—|c2-3c=0,解得2b=a—2,c=-2,

3c+6=0

所以2b=a+c,即a-b=b—c,满足a,b,c成等差数列，。选项正确.

故选：ACD.

利用导数的几何意义判断4求导确定函数的单调性求得极值，构造不等式判断BC,=-2-/(%)

代入解析式化简，结合等差数列的定义判断。即可.

本题考查由函数零点所在区间求解函数或参数，属于中档题.

12.【答案】6

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【解析】解：(6-|尸的展开式中第3项为：

n-22<223

T3-Cn-(V^),(—1)=4C„■x~''~^—2n(n—1)-x~-2n(n—1)-x2~,

•••(C-1尸的展开式中第3项是常数项，

.••^-3=0,解得n=6.

故答案为：6.

利用二项展开式的通项公式，求解即可

本题考查二项展开式的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

13.【答案】-2

【解析】解：因关于x的不等式6/+10久+8<0的解集为9谭)，

则m/+io%+8=0的两根为a,

a

I(dH1—4=_---10

由韦达定理4a«『

Ia-4-=—o

\am

所以TH=2,a=—1=-4,因则Q=-4,从而m+a=-4+2=-2.

a

故答案为：-2.

由题可得HI/+10%+8=0的两根为a,\然后由韦达定理可得答案.

本题主要考查二次不等式与二次方程转化关系的应用，属于基础题.

1

14.【答案】(1,西)

【解析】解：已知当a>1时，函数/(%)=G%与9(%)=loga%的图象有两个交点,

由于函数/(%)=谈与g(%)=log。%互为反函数，其图象关于直线y=%对称，

所以这两个交点一定在直线y=%上，

令谟=%,x>0,两边取对数得久伍a=Inx,即仇a=—,

X

设九0)=(，%>o,

则问题转化为函数八(久)=中与y="a在(0,+8)上有两个交点，

由h7(久)=1W”,令h/(%)<0,得x>e；令h7(x)>0,得0<久<e；

所以函数h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

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1

又h(e)=/i(l)=0,且%—0时/;(%)oo,久>1时，九(%)>0,

要使函数%(%)=?与y=①。在(o,+8)上有两个交点，

11

则0<Ina<解得1VaVe",

e

1

则a的取值范围为(1,西).

1

故答案为：(1,点).

根据题意，结合反函数的性质将问题转化为函数/1(久)=竽与y="a在(0,+8)上有两个交点,

本题考查反函数相关知识，属于中档题.

15.【答案】列联表见解析，认为消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄有关

10

21

【解析】Q)根据题意可知，列联表如下:

愿意购买新愿意购买燃

合计

能源车油车

青年人20050250

中老年人10050150

合计300100400

零假设飞：消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄无关,

则/=400x(200x50-50x100)2

-250x150x300x100-«8.889>6,635,

根据a=0.01的独立性检验，推断/不成立，即认为消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄有关;

(2)抽取的9人中青年人有9x箫=6人，中老年人有9x端=3人，

记“从这9人中随机抽取4人，求这4人中青年人数为3人”的概率P,

则。=等=祟

(1)依据题意直接得到列联表，然后计算卡方即可判断；

(2)先得到青年人，中老年人的人数，然后按照古典概型计算即可.

本题考查了独立性检验，属于中档题.

n

16.【答案】an=2n一1,bn-2；

n+1

Tn=6+(2n-3)x2.

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【解析】(1)设等差数列｛%｝的公差为d，由S3=。5=9,

可得3al+3d=%+4d=9,解得%=1,d=2,

所以a九=1+(71—1)x2=2n—1.

对公比大于1的等比数列｛bJ瓦•匕2,匕3=盛=64=匕2=4,

,4o

由b+历+比=140±+4+4q=14=2q2—5q+2=0=(2q—1)(Q-2)=0,

q

又q>1,所以q=2.

n2

所以6n=b2-q-=4x2n—=2".

n

所以an=2n—1,bn—2.

n

(2)因为cn=(2n-1)x2,

所以Tn=1x2+3x22+5x23+•••+(2n-1)x2n

23?ln+1

2Tn=1x2+3x2+••■+(2n-3)x2+(2n-1)x2,

两式相减得：―=2+2x(22+23+…+2n)-(2n-1)x2n+1

?l+1n+1

=2+2x22(1-丁)_(2n-1)x2=-6+(3-2n)x2.

1—2

所以7\=6+(2九一3)*2计1.

(1)根据等差、等比数列基本量的计算公式，结合等差、等比数列的性质求它们的通项公式.

(2)利用错位相减求和法求数列的前几项和.

本题考查等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算

能力，属于中档题.

17.【答案】

6

46；

分布列见解析，I

【解析】(1)记甲、乙、丙入围的事件分别为A,B,C,

则P(4)=',P(B)=”£)=：,

则甲、乙、丙至少有1人未入围的概率P=1—P(4BC)=

3Zzo

(2)依题意，〃的近似值为90,。的近似值为3,

则P(Z>96)=P(Z>〃+2。)=g-PH。三尸+2。)=0Q2275,

而2000X0.02275«46,

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所以估计这些员工中成绩超过96分的人数为46.

(3)依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,X〜B(3^),

且P(X=O)=政，)3=1,

P(X=1)="XG)2=W，

P(X=2)=C|(1)2xi=g,

P(X=3)=C1(1)3=§.

所以X的分布列为:

X0123

192727

P

64646464

数学期望E(X)=3x[=*

(1)依对立事件概率及独立事件概率公式列式计算.

(2)利用正态分布性质求出概率，进而估计人数.

(3)求出X的可能值，再二项分布求出分布列及期望.

本题考查正态分布的应用、相互独立事件的概率乘法公式、二项分布求概率、离散型随机变量的分布列与

数学期望，属于中档题.

18.【答案】当。<a<l时，f(x)在(0,1),弓,+8)单调递增，在(1、)单调递减，

当a=1时，/(%)在(0,+8)上单调递增,

当。>1时，/(%)在(0,，)，(1,+8)单调递增，在(，1)单调递减.

⑦(0,1);②ffi明见解析.

【解析】(1)由题意，/(%)的定义域为(0,+8),

/7(x)=ax-a-1+i=但"？。一。,

1

因为Q>0,令f/(%)=0,解得久=£或％=1，

111

当0<a<l时，一>1,当OV%V1或%>一时，f7(%)>0,当1V%V-时，f7(%)<0,

aa，'，a」、"

所以/(x)在(0,1),6,+8)上单调递增，在(1,力上单调递减；

1

当a=1时，-=1,此时//(%)20在％e(0,+8)上恒成立，/(%)在(0,+8)上单调递增，

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当a>1时，<1,当0<x<，或%>1时，f7(x)>0,当，<x<1时，/z(x)<0,

所以八支)在(0,：),(1,+8)单调递增，在(，1)单调递减.

综上所述，当0<a<1时，/(%)在(0,1),(5,+8)单调递增，在(1,》单调递减，

当。=1时，f(x)在(0,+8)上单调递增,

当a>l时，/(X)在(0,白，(1,+8)单调递增，在(J1)单调递减.

(2)。由题意可得g(%)=-ax2—(a+l)x+Inx+(a—l)x=-ax2—2x+Inx,%>0,

求导得g/(x)=ax—2+=——；%+i,%>0,

因为g(%)有两个极值点％1，久2,所以g/(%)=0有两个变号零点％1，%2，

所以y=a%2-2%+1在％6(0,+8)上与%轴有两个不同的交点，

21=4-4a>0

所以“1+久2=一工>°,解得0<a<l,即a的取值范围为(0,1).

1

"2=£>0

②I正明：由(2)(ZWg(久1)+。(久2)=|■谒-2%i+lnxx+,a明-2x2+lnx2

1,12,221

-2矶(%i+%2)~-2(%i+犯)+仇%i%2-2矶(公)