2024-2025学年陕西省榆林某中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2024・2025学年陕西省榆林三中高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={x\x2<4},B={x\0<%<3},则4AF=()

A.(0,3)B.(0,2)C.(-2,3)D.(-2,0)

2.已知复数z=-2+i,贝ij()

A.z的虚部为/B.\z\=5C.z=-2-tD.z>z

3.已知平面向量N=(3,-2),b=(1,入+1),若近_Lb,则4=(

AJB-3C-4D--l

4.已知m,n,I为三条不同的直线，a,0为两个不同的平面，若an/?=l,mua,nu°,且m与几异面,

则（）

A.i至多与m,几中的一条相交B」与m,九均相交

C.1与m,ri均平行D」至少与?n,n中的一条相交

01

5.已知Q=logo.92025,b=2O24,c=log20252024,则()

A.a<b<ca<c<bC.c<a<bD.b<c<a

6.在△力8c中,内角4B,C的芯边分别为a,b,c,且4=%cosC=浮,c=4,则Q=()

A3B.竿244

A•亍D.472

7.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）H

C__G

A.AF1CHD

A

B.CH//BDR

C.E/与"共面

D.”与8G异面

8.中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一

个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长

是另一个底面周长的2倍，高为2cm,则该圆台的表面积为（）

(40+12E)TTc(80+24门1)n2

A.7CTKl2B.---------C1TT

C(40+2；\E&2„(804-12\HT)TT2

7nD.----------cm£

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列关于空间几何体的叙述错误的是（）

第1页，共13页

A.底面是正方形的棱锥是正四棱推

B.任何一个几何体都必须有顶点、棱和面

C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D.一个棱柱至少有5个面

10.已知三个非零向量优石，则下列命题正确的是（）

A.耘=3及则点=看

B.若位+方|=\a-h\,则WJL石

C.若同＞的,则方或4〈一方

D.若刃/瓦则（石1）•五=伍々）•石

II.若4,全是复数，则下列说法错误的是（）

士

1贝D

+ZEM

1

B若33

Z1=Z2=Z2

C.若Z1Z2WR,|z21H0,则aER

z2

D.若zj+Z；=0,则Zi=Z2或Zi=-z2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角

为45。，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为

13.若亡即。=—3,则sE2。=.

14.如图，正方体4BCO-的棱长为2,N为/Ci的中点,若过当。

的平面a〃平面CND],则a截该正方体所得截面图形的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

已知更数=1+ini,z2=（〃J-6机十7）—2i（rnER,i为虚数单位）.

（1）若z=Zi+Z2为纯虚数，求实数m的值；

（2）若3=昌在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围.

16.（本小题15分）

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为Q,b,c,且siMA+V3sin8sinC=siMB+siMc

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(1)求角4的大小；

(2)若Q=2bcosC,判断△4BC的形状并说明理出.

17.(本小题15分)

如图，已知四棱锥P-ABC。中，底面力BCD为平行四边形，点M,N,Q分别是P4BD,PD的中点.

(1)求证：MN〃平面PCO：

(2)求证：平面MNQ〃平面PBC.

18.(本小题17分)

已知二次函数/(%)满足/(0)=2,函数g(x)满足g(x-1)=4x-7,且不等式f(%)+g(x)<0的解集为(-

14).

(1)求/(%)的解析式;

(2)若关于％的不等式/'(3X)>(2m-1)-3X+*对任意的xeR恒成立，求实数m的取值范围.

19.(本小题17分)

如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ADLAB,CD=1,AD=2,AB=3,E,"分别是线段8c和DC上

的动点，4E交80于点M,且屁=入近，DF=(1-A)DC,A€[0,1].

(1)若荏•灰=0,求；I的值；

(2)当4=1时,求器的值;

JUu

⑶求|而+；通|的取值范闱.

第3页，共13页

故选：D.

根据线线之间的位置关系分析即可.

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题.

5.【答案】B

【解析】解：知a=，ogo.92025,b=2024°,,。=1。920252024,

则10go.92°25<log。9,=0=刑920251<，。920252024<Zo^202s2025=1=2024°<2024%

所以QVcVb.

故选：B.

根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小.

本题主要考查数值大小的比较，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：在△月3c中，由的式二手，ce(0,7t),

得sEC=V1-COS2c=J1一(^^)2=I，

由正弦定理得高=嬴,

A=TC=4，

所以。=等=等=早.

7

故选：A.

利用同角公式及正弦定理列式求解.

本题主要考查三角函数的同角公式，以及正弦定理的应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：根据题意，画出该正方体的直观图，

H(F)a。

对干4AC=AH=CH,为等边三角形，4尸与CH所成的角为全/错误;

第5页，共13页

对千B：CH与BD异面，8错误；

对于C：直线E/与8G相交，所以直线E/与8G共面，。正确；

对于。：AF//8G，直线力"与8G共面，。错误.

故选：C.

画出该正方体的直观图，根据直线共面，异面直线和直线夹角遂行判断，得到答案.

本寇考查直线与平面的位置关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆

台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm,

可得圆台体积V=[兀R3=亭cm?,

•3O

如图所示，设圆台较大的底面半径为。遇=2r,则较小的底面半径为O28=r,

于是P1（nr2+47n*2+271T2）.2=苧，解得r=*cm,

过点B作88110遇，垂足为B],由圆台的结构特征得88]1底面01，

母线1明=卜S）2+22=需,

圆台表面积S=4（*）2+（静/+（春+3）.端I]=丝竽弛（加2）.

故选：B.

根据给定条件，利用球的体积公式、圆台的体积公式列式求出圆台两底半径，进而求出圆台的母线即可求

出表面积.

本题主要考查圆台的表面积和体积，考查计算能力，属于基础题.

9.【答案】ABC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，力错误；

对于B，球没有顶点和棱，B错误；

对于C，将两个相同的梭台的底面重合得到的多面体满足有两个可互相平行，具余各面都是梯形，但是这样

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的多面体不是棱台，C错误；

对于D，棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，。正确.

故选:ABC.

根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可.

本题考查楂锥、棱台、棱柱的结构特征，注意棱锥、棱台、楂柱的定义，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解:已知三个非零向量演b,c,

对于4因为工=3瓦

乂六正所端=嵩=看，

故,4正确：

对干8,因为叵+臼=\d-b\.

所以伍+方¥=(a-by,

即必+于+2a-b=五2+铲_2无反

所以五7=0,

所以五通，

故B正确；

对于C,因为向量不能比较大小，

故C错误：

对于。，因为五〃反

又力W0,

所以存在实数上使得5=入方，

所以(石©五=Q方•书五=20•a•合石=m•司疝=入0•书优

故D正确.

故选:ABD.

根据向量的数量关系及数乘运算律判断4应用向量数量积的运算律得五不=0判断B；由向量的性质即可

判断C：应用向量共线及数乘的运算律判断D.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了共线向量，属中档题.

11.【答案】BCD

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【解析】解：4选项，设ZI=Q+/H',a,beR,由|z/=1,

2

得a?+b=1,zr+—=a+bi=a+bi+：=2aWR,故力选项正确：

Z\a+biQ'+'

B选项，当Zi=1,Z2=-J+^i时，满足z；=/，但ZiHZ2，故8选项错误；

4乙1

C选项，当Zi=1+i,z2=1-i时，满足2展2=(1+0(1-i)=26/?,

但＞言=湍f="凡故0选项错误；

。选项，当Z1=1,Z2=i时，满足Z；+Z2=0,但Z1工±Z2，故。选项错误.

故选：BCD.

根据复数的乘、除法运算即可判断4举例说明，结合复数的乘方计算即可判断BCD.

本题考查了复数的乘方计算，属于中档题.

12.【答案】8

【解析】解：根据题意，直观图是一个角为45。，边K为2的菱形，则直观图的面枳5'=2(|x2x2x

sin45°)=272,

故原来的平行四边形的面积S=2/IS，=8.

故答案为：8.

根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案.

本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题.

13.【答案1一称

【解析】【分析】

本题主要考查正余弦齐次式的计算，属于基础题.

由已知结合二倍角公式及同先基本关系进行化简即可求解.

【解答】

解：因为tan。=-3,

mil_2sin8cos8_2ta"_-3x2__3

川SW”-sin26+8s2g-l+taM6-l+(-3)2--5,

故答案为:

14.【答案】2/6

【脩析】解：根据题意可知，正方体/1BCO-力1勺。1历的棱长为2,N为々g的中点，

如图，取BC的中点E,的中点F,连接OE,B]E,B\F,FD,

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囚为E,尸分别为3C,41。1的中点，所以尸Oi〃/N,FDi=B』,

所以四边形FD1N4是平行四边形，所以FB"/D]N,

又因为DiNu平面CNOi，F/u平面CNOi，所以F/〃平面GVD〉

同理〃平面CNOi，

又BiECiF8i=8i，BiE,尸&u平面/DEBi，所以平面FDEB"/平面CN/,

即四边形FDEB】为。截正方体所得截面图形.

由上方体的棱长为2,易得四边形FDE&是边长为，石的菱形，

对角线即为正方体力BCD-A/GDi的体对角线丛。=CV孕=2/3.

又EF=,22+22=2几

所求截面的面积S=x2x/~3x2>!~2=2V~6.

故答案为：2，^.

取BC的中点E,久久的中点凡先利用面面平行判定定理证明平面FDE/〃平面CNDi，得出四边形FDE%

为a截正方体所得截面图形，易得四边形FDE%是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积.

本题考查了面面平行判定定理，属于中档题.

15.【答案】4；

(-U).

2

【解析】(1)解：由复数Zi=l+mi,z2=(m-6m+7)-2i,

22

得z=zY+z2=1+rni+(zn-6m+7)—2i=(zn—6m+8)+(m-2)i,

・••复数z为纯虚数，8=0,解得m=4；

(m-2Ho

(2)解：由Zi=14-mi,

4g-zi-1+而_(l+mi)(lT)_1+m.叱£•

讨l+11+i一(l+i)(l-0-22'

号解得TVmVl.

•.•3二含在复平面内所对应的点位于第四象限，・・.

—<0

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.•.实数机的取值范围为(一LI).

(1)根据题意，化简得到2=(巾2一6血+8)+(771-2)，，根据复数2为纯虚数，列出方程组，即可求解；

(2)根据题意，化简得到3=嘤+早i,根据3在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即

可求解.

本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

16.【答案】解：(1)在△A8C中，因为S1MA十，3smBs/nCnslMB+slMc,

所以由正弦定理得。2=b2+c2-\[3bc,

余弦定理得cos/=":丁=苧，

而0VAe7T,

所以4=3

O

a+bc

(2)因为a=ZbcusC=2bx0丫=-

、/2abaf

故"-c2-Qt即=c,

所以△力BC为等腰三角形.

【解析】⑴由正弦定理化简已知等式可得。2=b2+c2_6贤,利用余弦定理可求cosA的值，结合0VAV

兀，可求力的值；

(2)利用余弦定理即可化简得解.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

17.【答案】证明：⑴由题意：四棱锥P-48CD的底面48CD为平行四边形，木

点M,N,Q分别是尸4BD,的中点，ZZI\D

N是"的中点，

•••MN//PC，

又・；PCu平面PCD,MNP平面PCD,

MN//平面PCD.

(2)由(1),知MN"PC,

•••M,Q分别是24，PD的中点，

:.MQ//AD//BC,

又丁BCu平面P8C,PCu平面P8C,BCPC=C,

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MQu平面MNQ,MNu平面MNQ,MQCMN=M,

二平面MNQ//平面PBC.

【解析】(1)推导出四棱锥P—48co的底面ABC。为平行四边形，MN//PC,由此能证明MN//平面PCD.

(2)推导出MN〃PC,MQ//AD//BC,由此能证明平面MNQ//平面P8C.

本题考查线面平行、面面平行的证明，考杳空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题.

18.【答案】/(X)=2x2-3x4-2：

m<V-2—1.

【解析1解：(1)根据题目所给：三知二次函数/•(%)满足/X0)=2,

函数g(x)满足g(x-1)=4x-7,且不等式/'(¥)+gQ)<0的解集为(一1,1).

由g(x—1)=4%—7,得g(x—1)=4(%—1)-3,则g(x)=4x-3,

由二次函数/(%)满足/'(())=2,设f(x)=ax2+bx+2(a*0),

不等式f(%)4-g(x)<0,即a*+(方+4)x—1<0,

依题意，-1］是方程Q%2+(b+4)x-1=0的二实根，且

于是-1+J=-"±-1xJ=-1，解得a=2,b=-3,

2a2a

所以/■(X)的解析式为/■(%)=2%2-3x+2.

(2)由(1)知，f(x)^2x2-3x+2,

不等式/'(3、)>(2m-1)•3、+9*o2(3X)2-3-3X+2>(2m-1)-3X+(3X)2=2m+2W3、+得，

依题意，不等式2m+2工对3人任意的恒成立，

而3、>0,3*+、N2J3*告=277,当且仅当3、二得，即3、时取等号，

因此2m+2W2V7,解得mWJI-1,

所以实数m的取值范围是m<V2-1.

(1)求出函数g(x),设出/(%)的解析式，利用给定的解集求出参数得解析式.

(2)由(1)的结论，等价变形不等式，分离参数，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值即可求解.

本题考查函数恒成立问题，涉及等价变形不等式，分离参数，属于中等题.

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19.【答案】；I=4

4

DM7

~DB=W'

13/5CT1

rI10

【解析】(1)在直角梯形ABCD中，AB//DC,ADLAB,CD=1,AD=2,48=3,

则=1RC=2/2,

因为荏•就=(近+AFC)-5C=^5-FC+AFC2=0,

可得一3x271x芋+82=0,

所以;l=*

(2)因为荏=AB+BE=XB+ABC=