2024-2025学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知平面向量2=（2,1）,6=（1,久）.若2与3共线，则x=（）

11

A.2B.—C.——D.-2

2.已知复数Z1=2+3z2=1-2i,复数z=Z2+z「贝！Jz的共轨复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的85%分位数为（）

911

A.4B.|C.5D.y

4.函数y=sin2x+cos（2x+"）的最小正周期为（）

A.%B.TTC.2兀D.4兀

5.如图，在△ABC中，点。满足前=2丽，E为AC的中点，则前=（）

A.|AB+|XC

B.^AB-^AC

C.|AB+|Zc

D.^AB-^AC

6.如图，在四面体4BCD中，若4B=CB,AD=CD,E是4C的中点，则下列结论正确的是（）

A.平面ABC_L平面48。

B.平面4BD_L平面BDC

C.平面力8c1平面

D.平面ABC_L平面4DC

7.已知cos（a+夕）=,，tanatan/3=2,贝!Jcos（a—。）=（）

,3

A•一二Dl

8.如图，在三棱锥P—ABC中，P4_L平面4BC,PA^BC=2,ABAC=30。，P

则该三棱锥外接球的体积为()

kk—个

20/5TT68/177T11''

.3.3AB

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6,各场比赛失球个数的

标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3,各场比赛失球个数的标准差是0.5,下列说法中正确的是

()

A.平均说来甲队比乙队防守技术好B.甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好

C.甲队比乙队技术水平更稳定D.乙队很少不失球

10.若向量落3满足间=|瓦=1,|五+旧=/,则()

A.旨与石的夹角为：=1

C.a1(a-K)D.石一»在族上的投影向量为一”

11.函数/(')=2sin(a)x+0)(3>0,\(p\<兀)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()

A./(x)=2s出(3一3)

B.若将/(X)的图象向右平移方个单位，则所得函数是奇函数

C.若VK€[—Uf(3%)+a>f(j~),贝！Ja的范围为+2,+8)

D.若函数y=/(%)-1的三个相邻零点分别为X],x2,<x2<x3)»S.\xt-x2\=A|x2=x31,则4的

值是黑2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z=三。为虚数单位)，则|z|=.

13.将一个总体分为a,B,C三层,其个体数之比为5：3：2.若a,B,C三层的样本c

的平均数分别为20,30,40,则总体的平均数为./(\

14.已知点G是△ABC的重心，点M,N分别在4B,AC±,且满足而=逅访+/\

yAN,其中x+y=1.若前=|屈，则△4NG与△ABC的面积之比为.A^—----拓-----、B

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知函数/'(%)=2sinxcosx+cos2x(xER).

(1)当％取什么值时，函数/(%)取得最大值？并求出该最大值；

(2)若8为锐角，且/4+[)=?,求tcm2。的值.

Zoo

16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—力BCD中，AD//BC,4D1侧面PAB,△P4B是等边三角形，BC=2,ABAD=4,

E是线段P4的中点.

(1)求证：BE1平面P4D；

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

17.(本小题12分)

为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机

抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：

(1)求图中a的值；

(2)估计该企业职工日均运动步数的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

(3)若该企业恰好有]的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定

的“优秀运动者”达标线.

18.(本小题12分)

在锐角△斗8。中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2，W，且cosC+(cosB-dWsMB)cosa=

0.

(1)求角4的大小；

(2)若b=2,求△ABC的面积；

(3)求36+c的取值范围.

19.(本小题12分)

如图①，已知等腰梯形4BCD的外接圆圆心。在底边48上，AB//CD,CD=AD3,P是上半圆上的动点(

不包含A,B两点)，点Q是线段P4上的动点，将半圆4PB所在的平面沿直径力B折起，得到图②所示图形，

据此解答下列各小题：

(1)当PC〃平面QBD时，求湍的值;

(2)若P8171。，PB=3,求PA与平面A8CD所成角的正弦值；

(3)若PBW3,平面P4B1平面ABCD,设QB与平面ABCD所成的角为a,二面角Q-BD-4的平面角为

求£-a取得最大值时tcma的值.

图①图②

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：平面向量汇=(2,1),b—(l,x).N与b共线，所以2x=l今x=g.

故选:B.

利用向量共线的坐标运算即可得解.

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由复数Z]=2+i,z2=1-2i,复数z=z2+z1=2+i+l-2i=3-i,

则5=3+i,对应的点为(3,1)位于第一象限.

故选：A.

利用复数的加法运算及共轨运算，再利用复数的几何意义即可得选项.

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：已知一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,

又10x0.85=8.5,

所以第85%分位数为从小到大排列的第9个数，即第85%分位数为5.

故选：C.

根据百分位数的计算方法求解即可.

本题考查百分位数相关知识，属于中档题.

4.【答案】B

【解析】解：由y=sin2x+cos(2x+兀)=sin2x—cos2x

=讥2xcos,—cos2xsin^)=2sin(2x—.),

所以函数的周期为7=：=小

故选：B.

根据诱导公式与辅助角公式化简/(久)表达式，进而根据三角函数的周期公式求出答案.

本题主要考查两角和与差的三角函数公式与诱导公式、三角函数的周期公式等知识，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：因为而=2砺，所以而=|近，所以前=同一荏=|南—生前.

故选：D.

根据向量的线性运算即可求解.

本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：,；力8=CB,AD=CD,E是4C的中点，则BE1AC,DELAC,

,；BECDE=E,BE,DEu平面BDE,

.­.AC1平面RDE,

又ACu平面ABC,：.平面4BC1平面BDE,故C正确；

在平面ABC内取点P,作PM1AB,PN1BE,垂足分别为M,N,如图，

,平面2BC_L平面8DE,平面ABCC平面BDE=BE,

PN_L平面8DE,贝l|有PN1BD,

若平面ABC1,平面AB。，同理可得PM1BD,

而PMCPN=P,PM,PNu平面ABC,

BD_L平面ABC,8。与平面ABC不一定垂直，故A错误；

过4作△ABC边BD上的高AF,连接CF,

由AaBD丝ACBD,得CF是△C8D边8。上的高，

则NAFC是二面角4-BD-C的平面角，而N4FC不一下是直角，

即平面4BD与平面8DC不一定垂直，故B错误；

•••4C1平面BE,则ADEB是二面角D—AC-B的平面角，NDEB不一定是直角,

平面4BC与平面2DC不一定垂直，故。错误.

故选：c.

利用面面垂直的判断，再结合面面关系的判断方法逐项分析判断.

本题考查面面垂直的判断，考查线面垂直、面面垂直的判断等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

7.【答案】A

【解析】解：由cos(a+£)=■!，可得cosacosS—sinasin^=

因为tcmatcmS=stnasi吗=可得sinasi印=2cosacosB,

厂cosacosp厂厂

12_3

^^cosacosp=-sinasin^=-可得cos(a-0)=cosacosp+sinasin^=-

故选：A.

根据两角和的余弦公式，结合同角三角函数的商数关系求得cosacos.、sinas讥£的值，进而求得cos(a-

S)的值.

本题主要考查两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：在三棱锥P-4BC中，设其外接球的球心为点。，△ABC的外接圆的圆心为点E,如图，

连接力。，OE,AE,则。E14E,设△4BC的外接圆的半径为七,

因为8C=2,Z.BAC=30°,

BC2

由正弦定理，得=4=2R]=%=2,即ZE=2,

sinz.BACsin30°

因为P41平面ABC,PA=2,

所以。E=1,

所以三棱锥外接球的半径4。=7TT4=，亏，

所以三棱锥外接球的体积为0=疑.(75)3=竽兀.

故选：C.

根据正弦定理求出△ABC的外接圆的圆心，确定球心的位置，利用勾股定理列式求出球的半径，再根据球

的体积公式即可求解.

本题考查球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于4甲队每场比赛平均失球数是1.6,小于乙队每场比赛平均失球数是23,

平均说来甲队比乙队防守技术好，A正确；

对于8,甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，8正确；

对于C,甲队各场比赛失球个数的标准差为1.2大于乙队各场比赛失球个数的标准差是0.5,

所以乙队比甲队技术水平更稳定，C错误；

对于。，虽然乙队每场比赛平均失球数是2.3,算是较大的数，而各场比赛失球个数的标准差是0.5,由于标

准差很小，方差是0.25更小，说明每场失球数都集中在2.3附近，所以认为乙队很少不失球是正确的，。正

确.

故选：ABD.

用平均数和方差分别估计数据的平均水平和稳定性.

本题主要考查平均数、方差的意义，属基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：因为向=|力=1,|N+另|=四，

所以/+2小3+片=3,即2+2反7=3,

解得N•3=：,故8正确；

可得包花〉=全故A错误；

由五•@-9)=/一小石=；#0,

可知N与a-3不垂直，故C错误；

因为(五一及不=亦另一片=-1,

所以2-3在3上的投影向量为建孚4=-,另，故。正确.

网22

故选：BD.

由已知可得小3=2可判断8；利用向量的夹角公式求解可判断4；求得杨不可判断C；利用投影向量

的定义求解可判断D.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：A,」=普—2兀=《

所以T=可得3=p

6TC=―60,3

27r

又/'(2兀)=2sm(y+0)=2,

因为|租|<",所以3=一3，

所以/(%)=2s讥。％-弓)，故A正确；

B,将〃久)的图象向右平移1个单位后的解析式为y=2si唱(久―刍=2s讥(3—》该函数不是奇函

数，故2错误；

C,/(3x)+a>/(y),可得aNf岑)一/(3久)，

r/3兀、c■fTC7T、c.TC/Q

/(y)=2sm(---)=2sin-=V3,

/(3x)=2sin(x—1),

xe[冶卓,所以无一旌[—屋],

所以sin(龙—弓)e[―1由,所以/(3x)6[―2,1],—/(3x)6[—1,2],

所以[/的—/(3x)Lnax=2+司所以a2C+2,故C正确；

D,函数y=/(%)-1的零点，即/(%)=1的解，

即2s讥—3)=1,所以sin。％—弓)=^,

2TT

君]/一则|久2—久31=5，此时4=2,

若%—乂21=5，贝—孙1=?，此时2=所以4=2或，，故D正确.

故选：ACD.

根据三角函数图象求解析式可判断4根据三角函数图象平移及正弦函数的奇偶性可判断B；利用分离参数

法及正弦型函数的值域可判断C;根据正弦函数的图象性质可判断D.

本题考查三角函数的图象与性质，涵盖解析式求解、图象平移、不等式恒成立及零点问题，属于中档题.

12.【答案】72

【解析】解：•."=£2(1)=1_『

(i+o(i-o-'

•••\z\=JI?+(-1)2=y1-2-

故答案为：V-2.

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

13.【答案】27

【解析】解：因为4B,C三层个体数之比为5：3：2,且2,B,C三层的样本的平均数分别为20,30,

40,

所以总体的平均数为1=20xUr?+30X+40x=27.

。IDI乙。IDI乙OIDI乙

故答案为：27.

结合分层抽样的概念即可求解.

本题主要考查了分层随机抽样的平均数公式，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：根据点G是AABC的重心，可得庶=*荏+就），

151

函

加一

利

T前

-『

结合题意通=|XM,J-3-9-3-

叫

5AT

-V

设亚前，贝IJ石=--,

9324

因为E=而+yRV,所以％=打=全结合x+y=l,解得y=《，4='

由前二辆，可得器H，

因为△4BC的重心G到AC的距离等于点B到AC距离的，

AANG㈣1

所以S1=3*1

S^ABC\AC\3434

故答案为：

根据三角形重心的性质，可得近=家存+硝，设前=4而，结合四=,病推导出同=|前+

（丽，由前=耘而+）7前且无+y=1,计算出2=号可得而*前，即嚼=],然后根据三角形的面

JJJI/1C什

积公式求出答案.

本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量基本定理、三角形的面积公式等知识，属于中档题.

15.【答案】当尤=巳+上兀/62时，/(%)的最大值为YI；

O

7~,

【解析】(1)由题意得/(%)=sin2x+cos2x=V_2sin(2x+g),

4

令2%+:=彳+kEZ,解得％="+k,7i,kEZ,

4L2/CTT,o

所以当％=《+左耳々62时，/(%)取得最大值，最大值为，2

O

(2)因为f(,+[)=V-2sin[2(^+?)+?]=V-2sin(0+勺=y/~2cos3=

ZoZo4Zo

所以cos。=I，结合。为锐角，可得sine=V1-cos20=

所以黑=2遍，可得三%4<24<2

(1)根据辅助角公式化简得/(X)=，Isin(2久+J),然后根据正弦函数的性质求出答案;

4

(2)根据苧算出cos6=a然后运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式与二倍角公式求出

tcm28的值.

本题主要考查两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系与诱导公式、正弦函数的图象与性质

等知识，属于中档题.

16.【答案】证明见解析.

873；

【解析】⑴证明：因为4。1面/MB,BEu面P4B,

因止匕4D1BE,

因为AP4B是等边三角形，E是线段P4的中点，

因此PA1BE,

又因为力DCPA=4AD,。4<=平面22。，

因此BE，平面PAD；

⑵因为4。1面PAB,ADu平面4BCD,

因此平面P4B1平面ABCD,

又平面PABC平面ABC。=AB,

取4B中点为F,

因为APAB是等边三角形，因此PF14B,

PFu平面P4B,

因此PF1平面4BCD,即PF为四棱锥的高，

因为APAB是等边三角形，AB=4,

因止匕PF=2G

因此四棱锥P-ABCD的体积为了=|x|x(2+4)x4x2<3=8/3.

(1)利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明；

(2)利用面面垂直的判定定理及性质定理确定四棱锥的高，再根据锥体的体积公式求解即可.

本题考查棱锥的体积，属于中档题.

17.【答案】a=0.04；

9.08；

9.6.

【解析】(1)由频率分布直方图得2(a+0.1+5a+0.12+a)=1,解得a=0.04.

(2)由频率分布直方图可得平均数为：

x=5x2X0.04+7x2x0.1+9X2X5X0.04+11X2X0.12+13x2x0.04=9.08.

所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步.

(3)日均运动步数在［12,14］的频率为2x0.04=0.08,

日均运动步数在［10,12)的频率为0.12X2=0.24,

日均运动步数在［8,10)的频率为5x0.04X2=0.4,

所以达标线位于［8,10)内，

则达标线为0.08+0.24+W/x0.4=|,解得m=9.6,

该企业制定的优秀强国运动者达标线是9.6千步.

(1)由频率和为1列式求解；

(2)(3)由频率分布直方图数据求解即可.

本题考查由频率分布直方图求参数、平均数、百分位数，属于基础题.

18.【答案】a=半

^LABC=2V-3;

3b+c的取值范围为

【解析】(1)根据题意可知，cosC+[cosB—yTisinB)cosA=0,—cos(4+B)+(cosB—

yfSsinB)cosA=0,

—cosAcosB+sinAsinB+cosBcosA—y/~3sinBcosA=0,

sinAsinB=yJ~3sinBcosAfv0<B<p...sinBH0,

•••sinA=V_3coSi4,・•・tanA=V_3,

又・・・OVA<5.・.4=全

(2)在锐角△ABC中，由余弦定理可得M=b2+c2—IbccosA,

2

又a=2V-3,b=2,A=^912=4+c—2x2cxp整理得c?—2c—8=0,

解得c=4或c=-2(舍去)，・•・c=4,

・•・S^ABC=|bcsinA=；x2x4x苧=2A/3；

(3)设锐角△ABC外接圆半径为R,由正弦定理可得：2区=m=等=4,

sin/isin,2

2TT

・••3b+c=12sinB+4sinC=12sinB+4s讥(-g——B)

2TT2nj—

—12sinB+4sin-^-cosB-4cos-^-sinB=14sinB+2v3cosB

=4、13(2}cosB)=4V13sin(B+cp),

其中0"9=篇=空，s出0=芸=啜，8为锐角，

’0<B

•••△28C为锐角三角形，则27r/解得：<B<9

0<y-B62

7T71

1・7+(P<B+cp<彳+0,

oZ

-V7.,x.71,71.17,V~3V_35/T3

又sm(%+0)=sm-coscp+cos己si”=2XOT+TXOT=^

.,n,、7/13

sm(2+9)=coscp=

•••sin/+0)Vsin(B+0)W1,即<sin(F+(/?)<1,

・•・10<4jl?sin(B+9)W4713,从而3b+c的取值范围为(10,4百句.

(1)由条件利用两角和差的三角公式化简求出tcma=73,即可求解；

(2)利用余弦定理列方程可求出c=4,再利用三角形面积公式即可求解；

(3)利用正弦定理把边化为角，再利用两角和差公式以及辅助角公式化简得3b+c=4713sin(B+@),利

用三角函数的值域求解即可.

本题考查了解三角形，属于中档题.

19.【答案】=P2与平面4BCD所成角的正弦值苧；0-a取得最大值时toia=1.

【解析】(1)连接北交8。于点M,连接QM,

因为CD=2。=3,ABUCD,所以BC=3,AB=6,

则平面P4CCl平面QBD=QM,

依题意，PC〃平面QBD,PCu平面P4C,

所以PC〃QM,

所以周=瑞，等腰梯形ABC。中，AMABSAMCD,

所以”=也=££=工

厂""Q4MAAB2'

(2)因为等腰梯形4BCD的外接圆圆心。在底边力B上，所以N4DB=90°,

所以力D1