2024-2025学年云南省昆明市高一年级下册期末质量检测数学试卷（含解析）

2024-2025学年云南省昆明市高一下学期期末质量检测数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z=3-i在复平面上对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.集合力={%卜2-6x+5<0},则anN=()

A.0B.{2,3,4}C.{1,2,3,4,5}D.{x|l<x<5}

-1

3.log39+g)=()

A.3B.4C.5D.6

4.函数/(%)=%+六。>1)的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

5.轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为Scm2,体积为，cn?,若s=匕则底面半径为()

A.2V^3cmB.3cmC.V_3cmD.1cm

6.若/(x)=sin2久+cos2x的图象关于％=a对称，贝！］/(&+,)=()

A.-1B.0C.1D.72

7.定义在R上的函数y=/(久)图象关于直线％=1对称，在(-8,1)单调递减，若均<1<冷且+久2>2,

则()

A./(%1)>/(x2)B./(x2)>/(2-%i)

C./(%1)>f(2-x2)D.六町)<f(2-/)

8.某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中

使用了下面两个问题：

问题一；你的生日日期是不是奇数？

问题二：你是否经常吸烟？

调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每

个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红

球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要

做,最后收集回来60个小石子,则可以估计出该地区经常吸烟的中学生所占的百分比约为(假设一年为365

天，其中日期为奇数的天数为186天)()

A.9%B.14%C.16%D.32%

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.一组数据第1，%2,n的平均数为礼方差为s2,频率分布直方图如图所示，若yi=久1一=1,2,…,71）,

A.数据丫1，丫2,…,的平均数为五一1B.数据为,力，…，即的方差为s2-1

C.估计数据丫1，丫2,…,Vn的众数约为7.5D.估计数据y1，丫2,…,%i的中位数约为:

10.如图，四棱锥P—ABCD中，底面/BCD为菱形，E,F分别为的中点.贝随尸1平面PAC的一个充分

B.PA，平面/BCD

C.PA=PCD.PB=PD

11.若正数居y,z满足2%=logiy=z2,则％,y,z的大小关系可能是（）

2

A.y<z<xB.x<z<yC.y<x<zD.x<y<z

三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分。

12.已知=3,AC=4,AB+AC=5,则BC=

13.已知cos(a+S)=",cos(cr—则tanatanS

一二有三个零点，则a的取值范围为

14.若函数/(%)=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

已知函数/(%)=loga(l+%)-loga(l-%),其中Q>0且QH1.

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(1)求人久)的定义域，判断/Xx)的奇偶性，并说明理由；

(2)求不等式f(x)<0的解集.

16.(本小题15分)

“BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知a?=b2+bc+c2.

⑴求力；

(2)若a=6=2,求“BC的面积.

17.(本小题15分)

甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁

作为裁判，裁判外的两人比赛.一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此

规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局.

(1)设事件4="两个骰子点数和能被3整除”，求事件力的概率；

(2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为余现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的

概率.

18.(本小题17分)

在如图所示的几何体中，AD/\\/BC,AB1AD,AD=2BC=2AB,平面ABC。1平面力DFE,。为AD的中点.

(1)证明：B。〃平面CDF；

(2)点P在正方形力DFE内，且1PD.

⑴求直线CP与平面4DFE所成角：

(ii)若AE=4,求点P到平面EBC距离的最小值.

19.(本小题17分)

刘徽、祖冲之等数学家都曾用“割圆术”(即用圆的内接正多边形面积近似等于圆的面积)来计算圆周率的近

似值.

设圆。的内接正门边形的面积为S(?i),其中nGN且几>3.例如，单位圆。的内接正四边形的边所对圆心角

4408=5，贝”(4)=4xgx1x1xsin1=2.

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A

(1)请仿照以上方法，用n表示S(n)；

(2)数学家韦达在研究“割圆术”时发现：当九充分大时，71=2叼①嬴兀6”.令90)=5(2八+1),

①当九充分大时，求嚅的值;

（江）判断等式TT=2x5xx,2x……是否成立？请说明理由.

J2+V2+72

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答案解析

1.【答案】D

【解析】【分析】得到z=3-i对应的点坐标，得到所在象限.

【详解】z=3-i在复平面上对应的点为(3,-1),位于第四象限.

故选:D

2.【答案】B

【解析】【分析】求出集合4再根据交集含义即可得到答案.

【详解】4={x\x2-6%+5<0}={x|l<x<5},

则4CN={2,3,4}.

故选：B.

3.【答案】C

【解析】【分析】根据指对数运算即可得到答案.

【详解】Iog39+R)T=2+3=5。

故选：C.

4.【答案】C

【解析】【分析】先配凑再利用基本不等式即可求得.

【详解】因%>1,则/(%)=%+=x-1+^-+1>2J(%—1)x^-+1=3,

当且仅当即％=2时，等号成立，

所以当久=2时，/(久)=久+六0>1)取得最小值为3.

故选：C.

5.【答案】A

【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r,利用S=U建立方程，解之即得.

【详解】设圆锥的底面半径为r,因圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的高的长为无=^x2r=Cr,母线

长为I=2r,

由题意，irr-Z=-r2h,即2何2=?互.r3,解得丁=2V3cm.

故选：A.

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6.【答案】B

【解析X分析】根据辅助角公式化简得f（久）=V^sin（2%+；）,根据对称轴求出a的值,将a代入解出f（a+

的值.

【详解】根据辅助角公式得：FQ）=sin2x+cos2x=V^sin（2%,

因为/（%）=sin2x+cos2%的图象关于％=。对称，

所以2x+f=T+卜豆"eZ）,解得x=£+9即a=£+与，

4LoZoZ

则f（a+9=/管+竽）=2sin（2管+竽）+；）=V^sin（TT+fcn）=0.

故选：B

7.【答案】B

【解析】【分析】由题可得2-巧>1,再结合〃久）在区间Q+8）上单调递增，即可求解.

【详解】由第1+%2>2,则得第2>2-％1，

因为第所以1<2—％1<%2，

又函数y=f（%）图象关于直线第=1对称，在（-8,1）单调递减，所以/（%）在区间（1,+8）上单调递增，

所以/（%2）>f（2—％1），故5正确.

故选：B.

8.【答案】A

【解析】【分析】根据摸到白球和红球的概率都为《再结合一年365天中，阳历为奇数的有186天，即可

估计对应人数.

【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，

摸到白球和红球的概率都为:，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，

而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为瞿=0.51,

所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，

从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，

所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%.故N正确.

故选：A.

9.【答案】AD

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【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的线性公式即可判断4B,应用频率分布直方图计算

众数及中位数计算结合线性关系判断C,D.

【详解】由数据％1，久2,…,马的平均数为元，方差为I，则数据为,为，…,%I的平均数为元一1，数据为，>2,…,

的方差为s2,A选项正确；B选项错误；

因为数据%1，刀2,…，久n的众数为7.5,则数据为,>2,…,％I的众数约为6.5,C选项错误；

设数据X1/2,…,&的中位数为3则0.1+0,15+(t-7)X035=0.5,所以t=7齐票

所以估计数据yi，y2,-,%的中位数约为半-l=y.

故选：AD.

10.【答案】ABD

【解析】【分析】连接8。，通过中位线定理证明EF〃BD,将平面P4C转化为BD，平面PAC.所以寻找

平面P4C内与EF或BD垂直的直线即可

连接BD交力C于点。，

选项4,"F分另1|为PBPD的中点，••.EF//BD,

4选项，：,底面4BCD为菱形，：.ACLBD,AC1EF

又•:EF1PC,S.ACCPC=C,ACu平面PAC,PCu平面PAC

•••EFJ•平面PAC,A正确

选项B,•••PA1平面ABC。，且BDu平面ABCD,PA1BD,

•底面力BCD为菱形，.•.ACIB。，

又•••PAnHC=4,ACu平面PAC,PHu平面PHC

•••BD1平面PAC

.,.EFl平面PAC,3正确

选项C,P4=PC,；.P4•底面力BCD为菱形，.•.力C1BD,条件不足以证明EF1平面PAC,C错误

选项D,•••PB=PD,且。为8。中点，PO1BD

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•.•底面4BCD为菱形，.•.4C1BD,

又•••P。CAC=。，ACu平面P4C,POu平面PAC

•••BD_L平面PAC

EF1平面PAC,D正确

故选：ABD

11.【答案】ACD

【解析】【分析】由题意令2*=log"/=z2=如分别作y=2,y-logix,y=/的图象，然后利用数型

22

结合从而可求解.

【详解】由题意令2%=log工y=Z?=3分别作y=2%,y=logi%,y=/的图象，如图，

22

当y=G时，可得％VyVz,故。正确；

当y=£2时，可得y<%Vz,故C正确；

当y=5时，可得yvzv%,故/正确；

因为%,y,z都为正数，所以结合图形不存在％<zvy这种情况，故5错误；

12.【答案】5

—>—>—>—>—>

【解析】【分析】由题意可求得力BSC=0再结合BC=4C-力B,从而可求解.

一一一一|T|2TT[T]2

【详解】由已知4B=3,AC=4,由4B+ZC=5,可得,用+2AB-AC+\AC\=25,

解得我•盛=0,由/'=几_欣所以闷=I向+网_2前扇=闷+|AB|=25,

解得|忌|=5.

故答案为：5.

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13.【答案】1

【解析】【分析】

考查两角和与差的余弦公式及商数关系.属于三角恒等变换中的求值题，做此题时要注意观察怎么样用已

有条件组合出问题的答案.

先由两角和与差的公式展开，得到a,£的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，

再由商数关系求出两角正切的乘积.

【解答】

解：由已知cos(cr+S)=cosacos^—sinasin^=

3

cos(cr—/?)=cosacosfi+sinasin/3=

21

•••cosacos^=sinasinfi--

1

-1

5

sinasin/3---

••・tanatanB=---------方二22

cosacosp

5-

故应填(

14.【答案】(20,+8)

【解析】【分析】分类讨论分段函数结合二次函数的零点及求出导函数得出单调性及函数极值求解参数.

【详解】当x<OJ(x)=-久2-a久一2=0,

/=一4x2>0时，|a|>2/2,且有两个零点打,比2，

且久1+久2=-。，刀1万2=2>0,所以句,久2都是负值，所以X1+刀2=-a<0，所以

4=a2-4x2=0时，|a|=272,且有1个零点/=%2>

且久1=4=-，刀/2=2>0,所以％1=町都是负值，所以0=町=一/<0，所以a=2，Z

4=a?-4x2<0时，|a|<2，1,所以不存在零点；

所以a>2V7时，x<0,/(x)=一/一ax-2=0有2个零点；

a=时，x<0,/(x)=—/-ax-2=0有1个零点；

a<2，^时，x<0,f(%)=-/—a比一2=0有0个零点；

因为函数9)=二鼠二箕胃有三个零点,

则当Q>2V1时，x<0J(x)=一％2一a%-2=0有2个零点，则％>0/(%)=1一a%-3有1个零点；

当a=2度时，x<0,/(%)=-/一。％-2=0有1个零点，则％>0/(%)=e%-a%-3有2个零点；

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当a<2逅时，x<OJ(x)=一，_a%_2=0有0个零点；则％>0,/(%)=e%—a%-3有3个零点；

当久>0/(%)=ex—ax—3,/(%)=ex—。单调递增，

当。工0,/(%)=^-。>0,/(%)单调递增至多有1个零点，不可能有3个零点；所以不合题意；

当a>0,/(%)=ex—a

xe[0,\na),f(%)=ex—a<0/(%)单调递减；xE(Ina,+oo),/z(%)=ex—a>0/(%)单调递增；

f(0)=e°—0—3=—2<0,x—+oo,/(%)7+oo,

且/(%)的极小值为f(Ina)=elna—alna—3=a—alna—3,

所以120,/(x)=ex-ax-3至多有一个零点，

当a>时，设t(a)—a—alna—3,t(a)=1—Ina—1=—Ina<0,t(a)—a—alna—3单调递减,

t(a)<t(2<2)=2<2-2V^ln2<2-3<0,

fpx_zjV_3X>0

所以XZOJO)=e%-a%-3有一个零点，符合函数/(%)=2__n有三个零点；

故答案为：(2/2+8)

15.【答案】【详解】(1)因为解得工€(—1,1),所以的定义域为(—1,1).

又"一%)=loga(l-%)-logjl+%)=-/(%),

所以/(%)为奇函数.

(2)/(x)<0ologa(l+%)<loga(l-x),

当a>l时，1+久<1—久，解得x<0,因为久—所以xe(—l,0)；

当0<a<l时，1+%>1-x,解得x>0,因为％€(-1,1),所以久6(0,1).

综上所述：当a>l时，xG(—1,0)；当0<a<1时，xe(0,1).

【解析】【分析】(1)根据奇函数定义判断证明即可；

(2)分a>1和。<a<1结合对数函数单调性及定义域计算求解.

16.【答案】【详解】(1)因为口2=%+。2+62,由余弦定理c°sA=/出=—票=—

因？1G(0,n),贝ll得A=与.

(2)因a=2y[~7,b=2,由余弦定理/=62+c2—2bccosA,

可得：4+c2+2c=*=28,BPC2+2C-24=0,

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解得C=4或C=-6(舍)，

所以=^bcsinA=4x2x4sin图=2，^.

A”223

【解析】【分析】(1)利用余弦定理和条件求出cosA=-看再由三角形内角的范围确定角4

(2)根据余弦定理列方程，求得c=4,再由三角形面积公式计算即得.

17.【答案】【详解】(1)因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概

型，

样本空间：。={(x,y)k，yG{1,2,3,4,5,6}}共6x6=36个样本点，

事件2含有：(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)

共12个样本点，故0(力)=£=9.

JoD

(2)记事件4为第i局甲胜，i=1,2,3,由题意知P(4)=|,

记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况：

①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，

因为每局比赛结果相互独立，所以事件为与石，否与&也独立，则

P(4诟)=P(4)P®)=P(a)(1—P(X2))=|x|=|,

P(砧3)=p(国)P(&)=(1-P(4))P(4)=5X六,,

因为B=&诟U正公，且事件&五与4■43互斥，

所以P(B)=P(&不)+P(^3)=|+|=^

所以甲恰好胜一局的概率为小

【解析】【分析】(1)由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解；

(2)记事件4为第i局甲胜，i=1,2,3,记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局

甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解.

18.【答案】【详解】(1)证明：在四边形力BCD中，=2BC,。是力D中点，

所以8C〃。。且BC=。£),从而四边形BCD。是平行四边形，

所以。B〃DC,又OBC平面CDF,CDu平面CDF,

所以8。〃平面CDF.

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(2)(i)连接PA,PO,PD,PC,因为平面4BCD_L平面ADFE,

平面力BCDC平面2DFE=AD,AB1AD,所以AB1平面ADFE,

因为PDu平面4DFE,所以力BJ.PD,

又PB1PD,ABCPB=B,AB,PBu平面PHB,

所以PD_L平面P4B,又P4u平面PAB,故PD_LP力，

从而点P在以。为圆心。2为半径的上半圆上，

因为40=BC,AOIIBC,所以四边形SBC。为平行四边形，

所以4B〃C。，所以C。_L平面ADFE,

所以NCP。为所求直线CP与平面ADFE所成角，

所以tanzCPO=霏=瑞=爷=1，故NCP。=%

所以直线CP与平面力DFE所成角为［

(ii)由BC〃4D〃EF可知8,C,F,E四点共面，

从而点P到平面EBC的距离即为点P到平面EFC的距离，

设点P到平面E8C距离为d,

由。P-EFC—C-EFP'有百XdXS“EFC=g'2XS4EFP,

所以4=今皿，

3AEFC

EC=VEA2+AC2=V42+8=2<6,FC=ED2+DC2=V42+8=276

S.EFC="EFXJEC2-借)2=：X4x20=4<5,

11

由动点P的轨迹可知，S，EFP的最小值为々xEFxQ4E-2)=々X4x2=4,

所以P到平面EBC距离的最小值d=篇=等.

【解析】【分析】(1)由线面平行的判定定理即可求解.

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(2)(，)连接PA,PO,PD,PC,结合题意可求得点P在以。为圆心。4为半径的上半圆上，从而可求解；(ii)由题

意可得点P到平面EBC的距离即为点P到平面EFC的距离，从而利用等体积法/_EFC=VC-EFP＞从而可求解.

19.【答案】【详解】(1)圆。的内接正n边形其中一条边力B所对的圆心角乙4。8=个，

于是该n边形面积S(n)=nx|xlxlxsin^^

6(,.、(

9n)S(2"+l)2"sin(1)2"飞皿关),

(乂与⑴—S0)—2sin@

因当n充分大时，2叼E喘■=ir,7i6N*

此时，黯=黄29^=热

因g(n)=S(2n+1),S(n)=^sin^,

.TTn.ITTT

由⑴可得需=瑞=篝=s就in-22sm4cosaK