2024-2025学年云南省玉溪市某中学高二（下）期末数学试卷（A卷）含解析

2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高二(下)期末数学试卷(A卷)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={-1,0,2},B—{x\x(x-1)=0},则AAB=()

A.{0}B.{-1}C.{-1,0}D.{-1,0,2}

2.已知S”为等比数列{an}的前兀项和，若ci4=4a3-4a2,则盘石=()

A.5B.9C.-9D.-5

3.已知抛物线C：丫2=4%的焦点为尸，其准线与双曲线屏，-真=l(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于

点M、N,若△“可?为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为()

A.<5B.2C.V~3D.y/1

55

4.设(1-mx)—a0+arx+•­•+a5x,若a。++a2+a3+a4+a5=32,则m=()

A.1B.-3C.3D.-1

5.已知角aeR,则“a为第二象限角”是“cosa<0”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.我国古代劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看

云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，例如“日落云里走，雨在半夜后”.某同学为了验证该谚语的

准确性，随机观察了他所在地区的100天日落情况和后半夜天气，得到如下2x2列联表：

后半夜天气

日落云里走总计

下雨未下雨

出现25530

未出现254570

总计5050100

经计算*2=19.05,则下列对该地区天气的判断不正确的是()

A.在样本数据中，后半夜下雨的概率约为£

B.若出现“日落云里走”，则后半夜未下雨的概率约为1

C.有99%的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚后半夜是否下雨有关

D.根据独立性检验计算可知，若出现“日落云里走”，则有99%的把握认为后半夜会下雨

2a2：.+

7.定义数列{an}的“匀称值”为政”,若{an}的匀称值6„=n,则ag=()

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8.定义在7?上的函数/(>)满足/(尤)+/。+2)=0,f(x+l)是偶函数，且/弓)=1,贝IJ使a92

2025成立的最小正整数n等于()

A.2025B.506C.507D.2026

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于(1-2久)7的展开式，下列结论正确的是()

A.第2项为一14%B./的系数为84

C.各项系数和为-2D.二项式系数的和为128

10.已知函数/(%)=\lnx\-a,g(%)=x,则()

A.若f(%)存在两个零点％i，冷，则%1%2=1

B.若/(%)=g(%)仅有一解，则a=-l

C用因表示不大于%的最大整数,若九(%)=0(［幻),则%(如+1)>h(%)

D.若方程/(久)+(g(x))2=0无解，贝!|a的取值范围是(-8,当勺

11.已知过原点。的直线/交圆C：(x—a)2+(y—2)2=4于力，B两点，则下列说法正确的是()

A.若直线［的方程为y=2久，且|A8|=4,则a=1

B.若M,N为圆C上的任意两点，当a=2，豆时，NMON的最大值为90。

C.若原点。在圆C外，则|。川|。用=a2

D.当a=2时，48中点的轨迹长度为，I兀

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)—P(X=0)=0.2,贝1JP(X=1)=,E(X)=.

13.在△ABC中，AC==或前•近=3,贝”福=；若丽=尼，点E在线段BD上，则荏・阮

的最大值为.

14.已知函数/1(%)=/+s讥X,广(%)为f(x)的导函数,给出下列三个结论：

协(x)在区间(0,+8)上单调递增；

@f(x)在区间(-兀,0)上有极小值；

③f'(X)在区间(-兀,+8)上有两个零点.

其中所有正确结论的序号是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题13分)

已知函数/(%)满足2/(x)—/(-x)=x2=6x+1,函数g(x)=

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)若存在x£[2,8],使得不等式g(log2久)-klog2x>0成立，求实数k的取值范围.

16.(本小题15分)

近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.

某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4s店中任意抽取8个作为样本,

对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量(单位：辆)进行调查.统计结果如下：

1店2店3店4店5店6店7店8店

新能源汽车销售量108162320182211

燃油汽车销售量1411131921252326

(I)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率;

(II)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为X,求X的

分布列和数学期望；

(III)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为£和5机试比较*和Sg的大小.(结论不要求证

明)

17.(本小题15分)

如图，四棱锥P-48CD的侧面24。是正三角形，底面A8CD是正方形，且侧面PAD1底面力BCD,AD=4,

E为侧棱PD的中点.

(1)求证：PB〃平面E4C；

(2)求三棱锥力-PDC的体积.

18.(本小题17分)

已知在等差数列｛册｝和等比数列｛0｝中，%=九=1,a2=0k1,等差数列｛%｝的前n项和为S”，从条件⑦、

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条件②、条件(f肱三个条件中选择一个作为己知，使满足条件的数列｛%｝和｛%｝存在，并解答下列问题.

条件①：S7—7b3；

条件②：。2,。3,3成等差数列；

条件③：即，b2,成等比数列.

(I)求数列｛an｝,｛%｝的通项公式；

(II)若数列｛0｝的通项公式为J=2an-17,求数列｛0｝的前几项和的最小值，以及此时数列｛0｝的前〃项和的

值.

19.(本小题17分)

已知直线八y=kx+b与圆。：％2+,2=1相切.

(1)求公—/的值；

⑵已知椭圆E：4+《=1在点PQo，yo)处的切线方程为华+亨=1，若直线呜椭圆E相交于4B两点，

分别过4B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q,求点Q的轨迹方程；

(3)是否存在这样的二次曲线邑Ax2+!iy2=1,当直线2与曲线F有两个交点M,N时，总有0M，ON?若存

在，求出4+〃的值；若不存在，请说明理由.

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答案解析

1【答案】A

【解析】解：集合B={x\x(x—1)=0}={0,1},

所以4CB={0}.

故选：A.

求出集合B,即可得出力CB.

本题考查集合的运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：设等比数列{册}的公比为q,

由。4=4。3—4。2，可得—4a2，

因为力。，所以(q-2)2=0,所以q=2,

S4_。1+2。1+4。1+8al_15al_5

。1+。2的+2al3al,

故选4

3.【答案】A

【解析】解：抛物线C：y2=4%焦点为尸(1,0),准线方程为％=-1,

双曲线E；胃—掾=l(a>0,6>0)的两条渐近线方程为y=±汩

不妨取M(—1,—少、N(—1[)，△MNF为等腰直角三角形，如图：

由对称性可知，直线MF的倾斜角为45。，则刖^=1_=1，解得5=2,

•••双曲线E的离心率e=£=J1+?=/5.

故选：A.

取M(-1,-》、N(-l,，)，分析可知直线MF的倾斜角为45。，结合斜率公式可求出，的值，再利用双曲线

的离心率公式可求出该双曲线的离心率的值.

本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是中档题.

4.【答案】D

55

【解析】解：设(1-m%)=劭+arx4------卜a5x,

令1=1,则可得(1—m)5=劭+的+做+。3+。4+

又劭++做+。3+。4+。5=32,则？71二-1.

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故选：D.

令X=L可得a。+%++CI3+CI4+=(1-771)5,解出HI的值即可即.

本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：(Wa是第二象限角，贝!|cosa<0,

②当cosa<0时，则a是第二象限角或者第三象限角或者终边在x轴负半轴上，

“a为第二象限角”是“cosa<0”的充分不必要条件.

故选：A.

根据象限角的性质即可结合充分必要条件的定义求解.

本题考查的知识点：三角函数的符号，命题的充分条件和必要条件的应用，主要考查学生的运算能力，属

于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：力选项，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为黑故/选项正确；

B选项，出现“日落云里走”时，后半夜未下雨的概率约为嘉故8选项正确；

3Uo

C选项，由/X19.05>6.635,知有99%的把握认为“‘日落云里走'是否出现"与“后半夜是否下雨”有关,

故C选项正确；

根据独立性检验的意义易知。选项错误.

故选：D.

利用频率估计概率和独立性检验的理论，即可得到答案；

本题考查了独立性检验，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由数列｛an｝的“匀称值”，可得%=兀，

即=心即有的+2a2+…+nan=层，

可得a1+2a2+...+8a8=64,

+2a2+...+7%=49,

两式相减得8a8=64—49=15,

所以他-泉

O

故选：D.

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2

根据数列｛%｝的“匀称值”得G7=7,G8=82,两式相减即可求解.

本题考查数列的新定义和作差法，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：根据题意，若f(x+l)是偶函数，即函数/(%)的图象关于直线x=1对称，

则有f(x)=1(2—%),

又有/(x)++2)=0，则/(2-x)+/(x+2)=O,

故函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，

又由/(x)+/(x+2)=0,即f(x+2)=-/(久),

则有/(久+4)=-f(x+2)=/(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数，

又由/6)=1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称，关于点(2,0)对称，

则有/弓)=1，/■弓)=-1"弓)=-1，

显然k21,在第1个周期内，/6)+2/(|)+3/(|)+4/6)=1+2—3—4=—4,

在第2个周期内，5/(+6/(y)+7档)+8/(y)=5+6—7—8=—4,

以此类推，在7n(mGN*)个周期内，有(4m+1)+(4m+2)—(4m+3)—(4m+4)=—4,

当几=4根时，式:卜义k―9=—4爪<0,不符合题意；

当九=4m+1时，=-4m+4m+l=1,不符合题意；

当几=4m+2时，£管：2卜/伊—=—4m+4m+1+4m+2=4m+3,令4m+322025,

解得m>竽，正整数ni的最小值为506,此时n的最小值为2026；

当几=4m+3时，玄管2)=4爪+3-(4爪+3)=0,不符合题意，

所以最小正整数几为2026.

故选：D.

根据给定条件，分析函数/(久)的性质并求得/(|)==-=-1,利用周期性求出第根(机eN*)

个周期内的4项和，再按打除以4的余数情况分类求和推理求解.

本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数的周期性，属于中档题.

9.【答案】ABD

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【解析】解：对于(1一2久)7,其展开式的通项公式为Tr+i=Gxl7-「x(-2久)「=(—2)「好久『，r=0,1,

2,3,4,5,6,7,

对于力，令r=l得，2=(-2>。我1=-2x7x=—14%,故N正确；

对于B,令r=2,则%=(-2)2。红2=4x^2^久2=4x若久2=84久2,所以好的系数为84,故8正

确；

对于B,令％=1,则(1一2X1)7=(—1)7=—1,所以各项系数和为一1,故C错误；

对于C,根据二项式系数和的性质，二项式(1-2%)7的二项式系数和为27=128,故。正确.

故选：ABD.

根据二项式展开式的通项公式、各项系数和以及二项式系数和的相关知识来逐一分析选项.

本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：对于A选项，/(x)=|Znx|-a=0,因此a=|2nx|有两个解x。x2>

不妨取0<Xi<1<町，

a――lnxr—lnx2=>lnxr+lnx2—lnxrx2=0今—1,故N选项正确；

对于B选项,/(x)=g(x),因此a=\lnx\-x=管*f<1

IILILJLf人,L

又因为y=-%-M%在(0,1)单调递减，

时，y=-x+Inx,yz=—1+i=x+1：<0,

JXX

因此y=-x+)%在[1,+8)单调递减，

因此a=|Znx|-x管:；:\在(°，+8)单调递减,

I人ILILJLf人.L

—X—Inx00,%~+8,—%+M工7—8,

因此/(%)=g(%)仅有一解，贝MCA,故3选项错误;

对于C选项,因为。+1]=[x]+1,h(x)=9(田),

所以九(％+l)=[x+l]>h(x)=g([%])=[x\,故。选项正确;

'x2—Inx,0<%<1

对于。选项，f(%)+(g(%))2=0,因此a=|Znx|+x2=

.x2+Inx,x>1

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当久之1时，y=/+仇%在［1,+8)单调递增，值域为［1,+8),

当OVxVl时，y=h(x)=x2-Inx,hz(%)==0今％=空％=一?(舍)，

因此h(x)=%2一仇久在(0,苧)单调递减，在(苧,1)单调递增，

八(x)min=%(苧)=，-ln苧=1，久70，h(x)f+8，

因此0<久<1时，y=%(久)=/_"X的值域为［号2，+00),

故/(X)+(g(x))2=0有解，aG［号义,+8),

因此方程/'(x)+(g(x))2=0无解，a6(—8,号吧)，故。选项错误.

故选：AC.

对于47(%)=\lnx\-a=0,即Q=|)工|有两个解疑，x?,根据交点，不妨取0<勺V1V冷，然后根据

对数运算可得M/+lnx2=仇%62=0即可判断；对于8,/(x)=g(%)即Q=\lnx\—x=

{-X+£1>l<r,然后分析分段函数的单调性即可得aeR；对于c,根据高斯函数［久+1］=［加+1即

可证明；对于。，当fO)+50))2=0,即a=|Znx|+x2=-lnx,0<1,分段求导分析函数单调性

确定值域，即可确定/(x)+(g(x))2=0有解时a的取值范围，从而判断选项。.

本题考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：由圆C：(久一a)2+(y-2)2=4,可得圆心为C(a,2),半径r=2,

根据［2B|=4,可知点C(a,2)在直线y=2x上，可得2a=2,a=l,所以4项正确；

根据C(2，百,2),可得|OC|=4>2,即点。在圆C外，当0M、0N与圆相切时NM0N最大，

此时sin/MOC=sin/NOC=/乙M0C=4N0C=30°,所以NM0N的最大值为60。，可知B项不正确；

根据切割线定理得|。4|•|。8|=|0M|2(点M为切点)，

根据|0M|2=\0C\2-\CM\2=a2+4-4=a2,可得|。川•\0B\=a2,可知C项正确;

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根据C(2,2),且AB中点在以。C为直径的圆上，圆心为(1,1),半径为，2,

所以4B中点的轨迹方程为(久一+(y-1)2=2,且轨迹在圆C的内部,

将(x-I)2+(y-1)2=2与圆C方程相交，整理得公共弦所在直线为x+y-2=0,

显然(1,1)在直线x+y—2=0上，

所以力B中点的轨迹是以，I为半径的半圆，轨迹长度为，I兀，可知。项正确.

故选：ACD.

根据直线2经过圆C的圆心，判断出4项的正误；根据直线与圆相切的性质，结合锐角三角函数的定义求出

NMON的最大值为60。，可判断出B项的正误；由切割线定理加以计算，可判断出C项的正误；由题意分析

出中点的轨迹是以方为半径的半圆，结合圆的周长公式判断出。项的正误.

本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、动点的轨迹方程等知识，考查了计算能力、几何

图形的理解能力，属于中档题.

12.【答案】0.60.6

【解析】解：随机变量X服从两点分布，P(X=1)—P(X=0)=0.2,

工口皿皿j八人庙T士也田一TA*(P(X=1)一P(X=0)=0.2

根据两点分布概率性质可知：°%J#1，

=1)+=0)=1

解得P(X=1)=0.6,P(X=0)=0.4,

所以E(X)=0X0.4+1X0.6=0.6.

故答案为：0.6；0.6.

根据两点分布求解概率P(X=1)及数学期望E(X)即可.

本题主要考查了两点分布的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，属于基础题.

13.【答案】4-10

【解析】解：如图所示，AC-AB=\AC\\AB\cos^BAC=1\AB\,

则宿前=前•画一确=肝一宿荏=9-||AB|=3,解得|福=4.

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设屁=4丽，0<A<1,则期=4前，~AE^AB+~BE^AB+AAC,

所以荏-EC=AE-(AC-AE)=(AB+AAC)-[AC-(AB+AXC)]=(而+AAC)+A)ZC]

22

=-荏+(1-2A)AB-AC+A(1-A)AC>

因为|福=4,AC-AB=^\AB\=6,

所以荏•反=-16+6(1-24)+92(1-A)=9A2-3A-10=-9(A+i)2-号,

64

又因为0W4W1,所以4=0时，荏•阮=一10为最大值.

故答案为：4；-10.

利用数量积的定义以及运算律运算可得|万|=4,根据题意设屁=AMO<A<I,利用向量的线性运算结

合数量积的运算律可得荏.EC=-942—34-10,利用二次函数性质可求得最大值.

本题考查了平面向量的数量积运算问题，是中档题.

14.【答案】①②

【解析】解:因为/"(%)=ex+sinx,

所以/'(x)=ex+cosx,

对e(0,+8)时，ex>1,cosxG[-1,1]>

所以此时f'(久)>0,所以/(久)在区间(0,+8)上单调递增，所以①正确；

对②③，因为/'7(久)—ex+cosx,令f，(x)—0,可得e久=—cosx,

因为y=眇与y=-(;05%在(~71,+8)仅有一个交点，且交点的横坐标久0e(-7T,0),

且当无e(一兀,时，ex<-cosx；%6(久0，+8)时，ex>—cosx；

所以当x€(-兀,和)时，/z(x)<0；€(久0，+8)时，/z(x)>0,

所以/(久)在区间(-兀,0)上仅有一个极小值点与,所以②正确；

所以广(x)在区间(-兀,+8)上仅有一个零点勾，所以③错误.

故答案为：①②.

根据导数的几何意义，指数函数与三角函数的性质，针对各个问题，分别求解即可.

本题考查导数的综合运用，属中档题.

15.【答案】g(x)=x+^—2；

4

(-8,引.

【解析】(1)根据题意，函数/(%)满足2/(x)-f(-%)=%2-6%+1,①,

用一％换工,可得2/(-%)-/(%)=x2+6%+1,②

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0x2+(%)=%2—2x+1,

所以g(X)=」-2x+l=%+工_2

(2)根据题意，若存在％e[2,8],使得不等式g(log2%)-klog2x>0成立，

设t=log2x,

若％E[2,8],贝!Jt€[L3],

A7

则存在te[l,3],使g(t)-ktNOBPt+y1-2-fct>0,变形可得kW1+专—(=((1—1产

因为te[l,3],所以:eg,1],

当"5时,(91)2取得最大值小

所以k4，即k的取值范围是(—8,)

⑴原方程中用-%换%得2/(-久)-/(久)=/+6%+1,联立方程组求人支)，进而可得9(久)；

(2)设t=log2X,则te[l,3],把原问题转化为kW1+A：=(；—恒成立问题，结合二次函数的性质求

解即可.

本题考查函数与方程的关系，涉及函数解析式的求法，属于基础题.

16.【答案】(I*；

q

(n)x的分布列为：

X0123

515151

P

28285656

9

%)=京;

(in)s：=si.

【解析】(I)由题可知：8家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，分别是：门店3,门

店4,

所以若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率

P=：・

84,

(11)12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数为3,分别是：门店4,门店5,门店7,

从样本门店中随机抽取3个，12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为X,

则X的所有可能取值为：0,1,2,3,

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所以P(x=o)=盟*P(X=1)=警=崇P(X=2)=誓嗑P(X=3)=等=表，

所以X的分布列为:

X0123

515151

P

28285656

所以E(X)=Ox靠+1X技+2X1|+3X^=£9

8：

10+8+16+23+20+18+22+11

(in)新能源汽车销售量的样本平均数为=16,

8

新能源汽车销售量的样本方差好=Jx[(10-16)2+(8-16)2+(16-16)2+(23-16)2+(20-16)2+

(18-16)2+(22-16)2+(11-16)2]=竽

燃油汽车销售量的样本平均数为14+11+13+1弓21+25+23+26=短,

O

燃油汽车销售量的样本方差冬=1x[(14-19)2+(11-19)2+(13-19)2+(19-19)2+(21-19)2+

(25-19)2+(23-19)2+(26-19)2]=手，

所以登=S2.

(I)根据新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即可；

(n)X的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出随机变量对应的概率即可得到分布列，然后利用数学期望公

式求解即可；

(III)根据表格中数据，计算样本数据的平均数，再利用方差公式求出样本方差，然后直接判断即可.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

17.【答案】证明见解析；

16<3

-s--

【解析】(1)证明：如图，连接BD交AC于。，连接E。，

因为底面2BCD是正方形，所以。为中点，又E为侧棱PD的中点,

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所以E。//PB,又E。u平面EAC,PB仁平面EAC,

所以PB//平面ESC；

(2)取力。的中点为F,连接PF,

易知PF1AD,且PF=273,

又平面1底面A8CD,平面PADC底面A8CD=AD,

所以PF1平面ABC。，

所以三棱锥A-PDC的体积为：

A-PDC=P-ADC=3'S/4DC.PF=§X5X4X4X2v3=--—•

(1)连接BD交力C于。，连接E。，可得E。//PB，利用线面平行的判定定理得证；

(2)取力。的中点为F,由题可得PFL平面A8CD,利用三棱锥等体积转换得力_PDC=UpTDC，得解•

本题考查立体几何的综合运用，属中档题.

18.【答案】(1)选择条件①软„=弭%=2相-1,选择条件③不存在；(II)-64；255.

【解析】(I)选择条件①：

设｛an｝的公差为d,｛%｝的公比为q，

S7=—7CZ4,a4=b3,

.何+3d=bd„„fl+3d=q2

?

+d=b1q，11+d=q

解得忆聂卷;(舍去)，

n-1

an=n,bn=2.

选择条件②：设｛册｝的公差为d,｛0｝的公比为q,

由题可得：2a3=。2+人3，

2

.[2(%+2d)=的+d+brq

+d=b、q

即j2(l+2d)=1+d+q2

[1+d=q

即[l+3d=/，

(1+d=q

n-1

an=n,•••bn=2.

选择条件③：

设｛an｝的公差为d,｛%｝的公比为q，

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由题可得：状二•在，

,1（biq）2=a「（ai+d）,

+d=b、q

即忙=1+d,

（1+d=q

解得｛:二%1，（舍去）或《二:（舍去），

故选择条件（W,不存在满足条件的数列｛册｝和｛"｝；

（II）由（I）知cn=2an-17=2n-17.

设｛%｝的前项和为7\，｛%｝的前几项和为Qn，

则〃=衿=2"-1，

1—Z

Q”『（-15y-17）=必_16Tb

由二次函数的性质可知：当71=8时，Qn的最小值为82-16x8=-64,

数列｛b｝的前8项和为28-1=255.

（I）选择条件⑦：设｛册｝的公差为d,｛6„｝的公比为q,根据等差数列的前n