2024人教版八年级数学上册同步练习：三角形的内角（第2课时）（分层作业）试卷+解析

13.3.1三角形的内角（第2课时）（原卷版）

目录

类型一、直角三角形的两个锐角互余.............................................................1

类型二、锐角互余的三角形是直角三角形.........................................................4

夯基础

类型一、直角三角形的两个锐角互余

1.如图，将一块含有30。的直角三角板放于两条平行线上，若4=55。，则N2=（）

2.如图，已知AB〃CDDE_L3C,NA3C=70°,则等于（）

3.一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的.如图，若杯底与水面平行，折射角4=15。，则N2的

4.将一副三角板按照如图方式摆放，则ZBGE的度数为（）

E

B

FACD

A.65°B.75°C.85°D.105°

5.如题图，AB//CD,AELBC于点E,若NC=37。，则NA的度数是()

上

C4-----------------D

A.37°B.53°C.63°D.143°

6.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,NB=34。，则NA的度数为（）

R

L

A.50°B.54°C.56°D.i6°

1.已知点E为VABC中A3边上一点，连接CE,ZA=10°,4=50。,当《BCE为直角三角形时，则/ACE

的度数是______.

8.如图，直线。b,直线Zl=130°,则N2的度数为_________.

9.如图，直线a.b,AB1AC,若/2=35。，则Nl=______°

_________-a

BC

10.利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下:

DA

求证：ZB+ABAC=90°.

证明：如图，过点A作ADLAC,(①)

贝l」NZMC=90。.

ZC=90°,

ZDAC+ZC=90°+90°=l80°.

:.DA//BC.(②)

:.ZB=ZDAB.

:.ZB+ABAC=NDAB+ABAC=ZDAC=90°.

上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是—；

证明过程中，②处应填写的依据是—.

【注】本题结论可以作为推理的依据，用于本试卷其它题目的推导过程.

11.如图，在RtZXABC中，NC4B=90。，于点E,CD_LA产交AF于点。，ZABE=20°,则

ZACD=.

12.如图，竹竿与BC斜靠在墙上，ZOAB=20,ZOCB=30,则,ABC的度数为

13.直角三角形ABC中，ZABC=90°,8。是斜边AC上的高，ZA=35°,请求出图中所有锐角的值，并

找出其中所有相等的锐角。

B

14.如图1是一种躺椅，如图2是其简化示意图.扶手A8与底座CD都平行于地面，靠背。M与前支架OE平

行，前支架0E与后支架0P分别与CD交于点G和点O,AB与DM交于息N,当OELOP,ZODC=30°

时，人躺着最舒服，求此时/AOE和/AW的度数.

图I图2

类型二、锐角互余的三角形是直角三角形

15.如图，直线直线所分别与直线AB,CO相交于点E,F,于点M,若Nl=40。,

C.60°D.70°

16.如图，AB//CD,过点8作BEJ_O尸于8,Za=38°,则乙夕的度数为（）

C.58°D.38°

17.如图，已知直线/j〃4，9，8于点。，/2=40。，则N1的度数是（）

C.50°D.60°

18.如图，直线AB〃皿N,线段⑷V和线段垂直于点Q,若/ABM=65。,则NAW的度数是（）

19.满足下列条件的VABC不是直角三角形的是()

A.ZA=90°B.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.ZC=ZA+ZBD.ZA+ZC=90°

20.如图，在RtABC中，ZACB=90°,ZA=/BCD,贝ljBDC是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形

21.具备下列条件的VABC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB=3ZCB.ZA-ZB=ZC

C.ZA^ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=1:2:3

22.如图，在VABC中，4。是BC边上的高，E是A5边上一点，C£交AD于点M,^ZDCM=ZMAE.求

证：/\AEM是直角三角形.

BD（、

23.如图，在VABC中，。为48上一点，ZA=Z2,Z1=ZB.

⑴判断VA3C的形状；

(2)判断CZ)是否与垂直.

24.如图，在VABC中，ZACB=90°,CD是VA2C的高.

(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？

(2)/2和/A有什么数量关系？并说明理由.

——•B•——

1.在下列条件：®ZA+ZB=ZC；②ZA:ZB:NC=1:2:3；③ZA=ZB=2NC；（4）ZA=|zB=1zC；⑤

ZA=/B=g/C中，能确定VABC为直角三角形的条件有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

2.下列条件不能判定VA2C是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=1:2:3B.ZB-ZC=ZA

C.ZA=2/3=3/CD.ZA=40°,ZB=50°

3.下列条件：©ZA+ZB=ZC；②ZA:N氏NC=1:2:3；③ZA=90。一ZB；@ZA=ZB=ZC；⑤

ZA=2ZB=3ZC,其中能确定VABC是直角三角形的条件有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

4.如图，在VA5c中，ADJ.BC,垂足为D,AE平分-54C.

(1)已知NB=74。，ZC=26°,求N1ME的度数;

(2)已知N3>NC,猜想N7ME与4,NC之间的关系，并证明.

5.如图，在VABC中，ZA=90°,D,E分别是A3,AC上的点，已知NADE+NC=90。.

(1)试说明DE〃3c.

⑵若EF平分NDEC,ZB=56°,求/DEF的度数.

1.如图，在VABC中，ABLBC,点。在边BC上(不与点B,点C重合).

(1)若点尸在边AC上，且/PDC=NBAC,求证：PD1AC；

(2)请用尺子在图中画出△AOC的边AD上的高CE,若AB=4cm,AD=5cm,DC=6cm,求CE的长度.

2.已知ZACB=NE=90。，ZB=30°,ZD=45°.

(1)如图①，当/3CD=15。时，请判断AB与CE之间的位置关系，并说明理由;

(2)如图②，若CEJ.AB,求/BCD的度数.

3.如图，在正方形网格中，点A、2、。在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形(保留画

图痕迹).

图1

(1)在图1中，找一个格点H连接PAPB,使V为直角三角形;

⑵在图2中，找一个格点”,连接使NHQ8=NA3Q.

13.3.1三角形的内角（第2课时）（解析版）

目录

类型一、直角三角形的两个锐角互余.............................................................1

类型二、锐角互余的三角形是直角三角形.........................................................9

夯基础

类型一、直角三角形的两个锐角互余

1.如图，将一块含有30。的直角三角板放于两条平行线上，若4=55。，则N2=（）

【答案】C

【分析】本题考查了与三角板有关的计算题，平行线的性质，三角形内角和定理，先根据题意得

Z3=60°,Z5=Z2,Z4=Z1=55°,再结合对顶角相等，得N6=N2,把数值代入/3+/4+/6=180。，进行

计算，即可作答.

【详解】解：如图所示：

•••将一块含有30。的直角三角板放于两条平行线上,

Z3=60°,Z5=Z2,Z4=Z1=55°,

•/Z5=Z6,

/.Z6=Z2,

•/Z3+Z4+Z6=180°,

Z.60°+55°+Z2=180°,

解得N2=65。，

故选：C.

2.如图，已知AB〃CDDE_L3C,NA3C=70°,则N£»C等于（）

C.20°D.10°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关的性质是解题的关键.先根

据平行线性质求出N38,再在直角三角形DEC中利用直角三角形两锐角互余求出/EZJC.

【详解】解：AB//CD,

ZBCD=ZABC=10°,

DELBC,

：.ZDEC=90°,

ZEDC=90°-NBCD=90°-70°=20°,

故选：C.

3.一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的.如图，若杯底与水面平行，折射角4=15。，则N2的

B.65°C.75°D.85°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；根

据互余及平行线的性质即可求解.

【详解】解：由题意可知，法线与杯底垂直，4的余角为75。,

由平行线的性质可知：/2=75。.

故选C.

4.将一副三角板按照如图方式摆放，则NBGE的度数为（）

C.85°D.105°

【答案】B

【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题

的关键.

根据自己三角形的性质求出ZBCF=90°-ZF=90°-30°=60°,ZEAD=90°-ZAED=90°—45。=45。，根据

三角形内角和定理求出NAGC=180O-N3CF-ZE4r>=75。，得到N3GE=NAGC=75。，即可得到答案.

【详解】解：根据题意得々5=90。一/斤=90。-30。=60。，Z.EAD=90°-AAED=90°-45°=45°,

ZAGC=180°-NBCF-ZEAD=75°，

ZBGE=ZAGC=75°,

故选：B.

AEL8c于点E,若NC=37。，则NA的度数是（）

53°C.63°D.143°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余,根据两直线平行，内错角相等，则4=37。，

运用直角三角形的两个锐角互余进行列式计算，即可作答.

【详解】解：：CD，

ZB=ZC=37°,

AE_L8c于点E,

：.ZAEB=90°,ZA=900-ZB=53°,

故选：B

6.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,4=34。，则/A的度数为（）

A.50°B.54°C.56°D.66°

【答案】C

【分析】根据三角形的内角和定理计算解答即可.

本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键.

【详解】解：；及△ABC中，ZC=90°,ZB=34°,

：.ZA=90°-ZB=56°,

故选：C.

7.已知点E为VABC中A3边上一点，连接CE,44=10。，4=50。,当MCE为直角三角形时，则/ACE

的度数是.

【答案】30。或80°

【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键.

分情况讨论：当/3CE=90。或当/8EC=90。时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求

解即可.

【详解】解：；ZA=10。，4=5。。,

ZBCA=180°-10°-50°=120°,

当N3CE=90。时，3CE为直角三角形，

止匕时ZACE=ZACB—ZBCE=120O—90o=30。，

当/3EC=90。时，BCE为直角三角形，

此时ZBCE=900-ZB=90°-50°=40°

ZBCA=180°-10°-50°=120°

ZACE=ZACB-ZBCE,=120°-40°=80°,

故答案为：30。或80。.

8.如图，直线。b,直线/，4，4=130。，则/2的度数为

【答案】40。/40度

【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点.

首先得出/，匕，然后求出/I的邻补角，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可.

【详解】因为。b,l±a,

所以Ub,

则/I的邻补角为180。-130。=50。，

所以/2=90°-50°=40°.

故答案为：40°.

9.如图，直线。b,AB1AC,若/2=35。，则4=。

【答案】55

【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，属于中考常考题.掌握平行线性质是解题关键.

根据垂直的定义和余角的定义计算得到再根据两直线平行，内错角相等可得？1TABC55?.

【详解】解：

ZBAC=90°,

•：/2=35°,

乙钻C=90。一N2=55。，

ab,

Z.?1?ABC55?.

故答案为：55

10.利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下:

已知：VA5c中，ZC=90°.

求证：ZB+ABAC=90°.

证明：如图，过点A作ADLAC,(①)

贝l」NZMC=90。.

ZC=90°,

ZDAC+ZC=90°+90°=l80°.

:.DA//BC.(②)

:.ZB=ZDAB.

:.ZB+ABAC=NDAB+ABAC=ZDAC=90°.

上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是—；

证明过程中，②处应填写的依据是—.

【注】本题结论可以作为推理的依据，用于本试卷其它题目的推导过程.

【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直同旁内角互补，两直线平行

【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，

先根据“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”可得4MC=90。，再根据“同旁内角互补，两直线

平行”得DABC,可得NB=ZDAB,则结论可证.

【详解】证明：如图，过点4作ADLAC,(在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直)

贝ljNZMC=90。.

“=90°,

ZDAC+ZC=90°+90°=180。.

:.DA//BC.(同旁内角互补，两直线平行)

:.ZB=ZDAB.

:.ZB+ABAC=NDAB+ABAC=Z.DAC=90°.

故答案为：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同旁内角互补，两直线平行.

11.如图，在RtZXABC中，NC4B=90。，BELAF于点E,CD_LA产交AF于点。，ZABE=20°,则

ZACD=_________

【答案】70。no度

【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.

根据直角三角形的两个锐角互余计算即可.

【详解】解：QBE1AF,

:.ZAEB=90°,

NBAE=90°-ZABE=90°-20°=70°,

ZCAB=90°,

ACAD=ZCAB-Z.BAE=20°,

CD±AF,:.ZADC=90°,

ZACD=90°-ZAD=70°,

故答案为：70°.

12.如图，竹竿AB与BC斜靠在墙上，ZOAB=20,NOCB=3。,则/ABC的度数为

【答案】10/10度

【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形两个锐角相加等于90。是解题的关键.先计算

出和/CB。的度数，再根据ZABC=ZABO-ZCBO即可求解.

【详解】解：,ZAOB^9Q0,ZQ4B=20°,NOC8=30。，

ZABO=90°一ZOAB=90°-20°=70°,

Z.CBO=90°一ZOCB=90°-30°=60°,

ZABC=ZABO-ZCBO=70°-60°=10°.

故答案为：10。.

13.直角三角形ABC中，NABC=90。，是斜边AC上的高，/A=35。，请求出图中所有锐角的值，并

找出其中所有相等的锐角。

【答案】ZA=ZCBD=35°ZC=ZABD=55°；相等的锐角有：ZA=ZCBD,ZC=ZABD

【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可.

【详解】解：在Rt^ABC中，ZASC=90°,

，NA+/C=90。，

；/A=35。，

A?C90??A90?35?55?；

在RtAABD中，VBDLAC,即NAZ)3=90。，

ZA+ZABD=90°,

'：ZA=35°,

ZABD=90°-ZA=90°-35°=55°；

在RtADBC中，VBD1AC,即NADC=90。，

ZC+ZCBD=90°,

"："=55。，

Z.CBD=90°-ZC=90°-55°=35°；

二相等的锐角有：ZA=ZCBD,ZC=ZABD.

14.如图1是一种躺椅，如图2是其简化示意图.扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背加与前支架OE平

行，前支架OE与后支架0尸分别与CD交于点G和点。，AB与DM交于点、N,当OELOB,ZODC=30°

时，人躺着最舒服，求此时—AOE和/AW的度数.

图1图2

【答案】NAOE=60。，NAW=120。

【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由OELO/,/8。=30。可得/。6。=60。，进

而根据平行线的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：...OELOb，

NE。尸=90°,

,/ZODC=30°,

・・・ZOGD=90°-ZODC=90°-30°=60°,

・：AB//CD,

・・・ZAOE=ZOGD=60%

*.•OE//DM,

：.ZCDM=180°-ZOGD=180°-60°=120°,

■:AB//CD,

：.ZANM=ZCDM=120°.

类型二、锐角互余的三角形是直角三角形

15.如图，直线AB〃CD,直线E厂分别与直线AB,CO相交于点E,F,次/，印于点"，若Nl=40。,

则N2的度数是（）

M/

【答案】B

【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，根据直角三角形的两个锐角互余得出

/3=50。，进而根据平行线的性质，即可求解.

・・・/3=50。，

・・•AB//CD,

：.N2=N3=50。

故选：B.

16.如图，AB//CD,过点B作的，。小于3,/。=38。，则48的度数为（）

A.62°B.52°C.58°D.38°

【答案】B

【分析】根据互余得出/班组的度数，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可；

此题考查平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，关键是利用两直线平行，同位角相等解答.

【详解】解：BELDF于B,Za=38°,

NEBD=90°,NBDE=90°-38°=52°,

AB//CD,

:.N0=4BDE=5〉,

故选：B.

17.如图，已知直线4〃如48,8于点。，Z2=40°,则/I的度数是（）

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质和垂直线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.根据平行线的性质

和垂直的定义，可以求出NABC的大小，最终确定N1的度数.

【详解】解：AB1CD,/2=40。，

ZABC=90°-40°=50°,

lA//l2

..Nl=ZABC=50。.

故选：C.

18.如图，直线线段AN和线段8〃垂直于点。，若/ABM=65。，则/AW的度数是（）

【答案】A

【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据线段AN和线段8N垂直于点。得出ZAQB=90。，再由

乙但0=65。可得出的度数，由即可得出结论.

【详解】解：•••线段4V和线段3M垂直于点。，

ZAQB=9Q°,

,：ZABM=65°,

・・.ZBA2=90°-65°=25°,

•・•AB//MN,

：.AANM=ABAQ=25°,

故选：A.

19.满足下列条件的VABC不是直角三角形的是（）

A.ZA=90°B.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.ZC=ZA+ZBD.ZA+ZC=90°

【答案】B

【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到

结论.

【详解】解：A,NA=90。，VABC是直角三角形，不合题意；

B,NA:N8:NC=3:4:5时，最大的角NC=:年180。=75。,VABC不是直角三角形，符合题意；

C,NC=ZA+/B,则NC=gxl80o=90。，VABC是直角三角形，不合题意；

D,ZA+ZC=90°,贝90?,VABC是直角三角形，不合题意；

故选B.

20.如图，在RtABC中，ZACB=90°,ZA=ZBCD,贝隆8£2是（）

H

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】C

【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出/班心=90。是解题的关键.

在RtABC中，利用三角形内角和定理，可得出ZA+ZB=90°,结合NA=NBCD,可得出ZB+ZBCD=90°,

再利用三角形内角和定理，可得出/3DC=90。，进而可得出..8OC是直角三角形.

【详解】解：在RtABC中，ZACB=90°,

：.ZA+ZB=180°-ZACB=180°-90°=90°,

又；ZA=ZBCD,

ZB+ZBCD=90°,

：.ZBDC=180°-（ZB+/BCD）=180°-90°=90°,

9c是直角三角形.

故选：C.

21.具备下列条件的VABC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB=3NCB.ZA-ZB=ZC

C.ZA+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=1:2:3

【答案】A

【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理.根据三角形内角和等于180。，ZA=4=3NC,

54001Qn°

得到==1厂，ZC=^~,得到具备条件A的VABC不是直角三角形；根据NA-/3=/C,得到

ZA=90°,得到具备条件B的VA3C是直角三角形；根据NA+N3=NC得到NC=90。，得到具备条件C

的VABC是直角三角形；根据NA:N3:NC=1:2:3得到NC=90。，得到具备条件D的VABC是直角三角

形.熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键.

54001

【详解】A、由ZA=ZB=3NC及NA+/B+NC=180。可得/A=/2=—1，ZC=—,VABC不是直角三

角形，故符合题意；

B、由NA-/3=/C及NA+N8+/C=180。可得NA=90。，VABC是直角三角形，故不符合题意；

C、由NA+N3=NC及/A+/3+NC=180。可得NC=90。，VABC是直角三角形，故不符合题意；

D、由NA:ZB:NC=1:2:3及/A+/3+NC=180。可得NC=90。，/A=30。，ZB=60°,VABC是直角三

角形，故不符合题意.

故选：A.

22.如图，在VABC中，是8C边上的高，E是A8边上一点，CE交AD于点M,S.XDCM=^MAE.求

证：是直角三角形.

【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由AD是BC边上的高，得NDMC+"CM=90。；再由

ADCM=ZMAE,ZDMC=ZAME,即可得结论成立.

【详解】解：是BC边上的高，

ZADC=90°,

Z.DMC+ZDCM=90°.

ZDCM=ZMAE,ZDMC=ZAME,

：.ZAME+ZMAE=90°,

A4EM是直角三角形.

23.如图，在VABC中，。为A3上一点，N4=N2,Z1=ZB.

⑴判断VA3C的形状；

⑵判断CD是否与垂直.

【答案】（l）VABC是直角三角形

（2）C£）±AB

【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是

解题的关键，（1）证出NACB=90。即可得到结论，（2）求出/CD3=90。，可得出CDLAB.

【详解】（1）解：VABC是直角三角形，理由如下：

VZA=Z2,Z1=ZB,

ZA+Z2+Z1+ZB=18O°,

ZA+ZB=90°,

ZACB=90°,

；.VABC是直角三角形.

（2）解：CDLAB,理由如下：

VZA+ZB=90°,ZA=N2,

/.Z2+ZB=90°,

NCDB=90°,

：.CD.LAB.

24.如图，在V"C中，ZACB=90°,CD是VABC的高.

（D图中有几个直角三角形？是哪几个？

（2）/2和NA有什么数量关系？并说明理由.

【答案】（1）图中有3个直角三角形，分别是“ACD,BCD,ABC

（2）Z2=NA,理由见解析

【分析】（1）由题中已知条件/ACB=90。，CD是高，可以得到/ADC、/BDC、/AC3都是直角.

（2）由（1）得到/CDBCDABC是直角三角形，且NADC、/BDC、/ACB是直角，所以/I+/A=90。,

Nl+N2=90°,由此可以得到N2=NA.

【详解】（1）vZACB=90°,C。是高，

ZADC=NBDC=ZACB=90°,

图中有3个直角三角形，分别是二ACD,BCD,ABC；

(2)AACD,BCD,ABC是直角三角形，且/ADC、NBDC、ZAC3是直角，

.-.Zl+ZA=90°,Zl+Z2=90°,

:.Z2=ZA.

【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形高的定义，熟练掌握直角三角形的定义是解题的

关键.

——•B•——

1.在下列条件：@ZA+ZB=ZC；②ZA:ZB:NC=1:2:3；③ZA=ZB=2NC；@ZA=|zB=1zC；⑤

ZA=/B=：NC中，能确定VABC为直角三角形的条件有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案.

本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180。是解答此题的关键.

【详解】解：ZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°

：.2ZC=180°,

...ZC=90°,

；.VABC是直角三角形，

故本小题符合题意；

②：ZA:NB:NC=1:2:3,ZA+ZB+ZC=180°,

3

.•.最大角为/。=江三与'180。=90。，

...VABC是直角三角形，

故本小题符合题意；

@VZA=ZB=2ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

/.2ZC+2ZC+ZC=180°,

ZC=36°,

Z.ZA=72°,

；.VABC是锐角三角形，

故本小题不符合题意;

@VZA=-ZB=-ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

23

3

・••最大角为NC=—x180。=90°,

1+2+3

.,.VA3C是直角三角形，

故本小题符合题意；

@VZA=ZB=1ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

2

・••最大角为NC=---><180。=90°,

1+2+1

.•.VABC是直角三角形，

故本小题符合题意.

综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个.

故选：B.

2.下列条件不能判定VA5C是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=1:2:3B.NB-NC=ZA

C.ZA=2ZB=3ZCD.ZA=40°,ZB=50°

【答案】C

【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐

项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键.

【详解】A、由题意可设三角形的三个内角度数分别为x、2x、3x,

x+2x+3x=180。，

.•.x=30。，故三角形三个内角的度数分别为30。、60。、90°,

此选项中是直角三角形，不符合题意；

B、VZB-ZC=ZA,

ZB=ZA+ZC,

：.?B90?,

.••此选项中是直角三角形，不符合题意；

C、设NB=3x,Z.C—2x,/A=6x（x为正数），

ZA+ZB+ZC=180°,

,:6x+3x+2x=180°,

,,x=-1-8-0--°,

11

・10800540°360°

・・NA=-------,Z-D=------,ZC=-------,

・・・此选项中不是直角三角形，符合题意;

D、VZA=40°,ZB=50°,ZA+ZB+ZC=180°

ZC=90°,

•••此选项中是直角三角形，不符合题意；

故选：C.

3.下列条件：®ZA+ZB=ZC；②ZA:N3:NC=1:2:3；③ZA=90。—/3；®ZA=ZB=ZC；⑤

ZA=2ZB=3ZC,其中能确定VABC是直角三角形的条件有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】C

【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是180。和有两个角互

余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。

【详解】解：①，ZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

\2?C180?,

:.ZC=90°,

ABC是直角三角形，

故本选项符合题意；

②[ZA:ZB:ZC=1:2:3,

ABC是直角三角形，

故本选项符合题意；

③.ZA=90°-ZB,

:.ZA+ZB=90°,

：.ABC是直角三角形，

故本选项符合题意；

®-ZA=ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.•.ZA=ZB=ZC=60°,

ABC不是直角三角形，

故本选项不符合题意；

©•ZA=2ZB=3ZC,

,3

，设NC=x,则NA=3x,N8=]X,

ZA+ZB+ZC=180°,

3

/.x+3x+—x=180°,

2

解得：x=

1080)。有。

NA=11「,,/B=

：.ABC不是直角三角形,

故本选项不符合题意;

能确定VABC是直角三角形的条件有①②③，共有3个,

故选：C.

4.如图，在VABC中，ADJ.BC,垂足为O,AE平分ZBAC.

⑴已知NB=74。，ZC=26°,求S4E的度数；

(2)已知N3>NC,猜想ZZME与4,NC之间的关系，并证明.

【答案】(1)NZME=24。；

(2)Zr>AE=1(ZB-ZC),见解析

【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义.

(1)根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可;

(2)根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可.

【详解】(1)解：•/Z.BAC+ZB+ZC=180°,ZB=74°,ZC=26°,

・•・ABAC=180。—74°-26°=80°,

AE平分N&LC.

NBAE=/CAE=-ZBAC=40°,

2

又,:AD±BC,

：.ZADC=90°,

・.•ZC=26°,

・•・ZCAD=90°-26°=64°,

Z.NH4£=64。-40。=24。；

(2)解：ZDAE=1(ZB-ZC),理由如下，

•・・ZBAC+ZB+ZC=180°,

ABAC=180°-ZB-ZC,

AE平分/B4C.

Z.NBAE=ZCAE=|ABAC=90°-1(ZB+ZC),

又；ADJ.BC,

：.ZADC=90°,

ZCAD=90°-ZC,

：.ZDAE=90°-1(ZB+ZC)-(90°-ZC)=|(ZB-ZC).

5.如图，在VA5c中，/A=90。，D,E分别是AB,AC上的点，已知NADE+NC=90。.

（1）试说明OE〃3C.

⑵若EF平分NOEC,ZB=56°,求NDE尸的度数.

【答案】（1）见解析

（2）73°

【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角

互余，平行线的判定与性质是解决问题的关键.

（1）根据直角三角形性质得/3+/C=90。，再根据/ADE+/C=90。得=然后根据同位角相

等两直线平行即可得出结论；

（2）先求出NC=34。，再根据（1）的结论得WC=180。-NC=146。，然后根据角平分线的定义即可得

出NDEF的度数.

【详解】（1）证明：在11ABe中，NA=90。，

ZB+ZC=90°,

ZADE+ZC=90°,

:.ZB=ZADE,

DE//BC^

(2)解：ZB=56°,ZB+ZC=90°,

.-.zc=90°-ZB=34°

由(1)可知：DEBC,

,-.ZD£C+ZC=180°,

Z.DEC=180。一NC=180°-34°=146°,

EF平分/DEC,

ZDEF=-NDEC=-xl46°=73°.

22

1.如图，在VABC中，ABLBC,点。在边BC上（不与点B,点C重合）.

（1）若点尸在边AC上，^.ZPDC=ZBAC,求证：PDLAC；

（2）请用尺子在图中画出△AOC的边AD上的高CE,若AB=4cm,AD=5cm,DC=6cm,求CE的长度.

【答案】（1）证明见解析；

24

（2）CE的长为gem.

【分析】（1）由ABLBC,则ZABC=90。，故有/BAC+NC=90。，从而可得/PDC+NC=90。，根据直

角三角形的判定方法即可求证；

（2）先画出图形，再根据34次=；8/5=3人。。石即可求解；

本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】（1）解：•・•A6_L5C,

・・・ZABC=90°,

・・・ZBAC+ZC=90°,

■:/PDC=/BAC,

：.NPQC+NC=90。,

・・・ZDPC=90。,

・・・PD1AC；

(2)解：如图，

p

E

,/S=~CDAB=-ADCE,

•ADDCC22

/.4=CE,

22

24

Z.CE=y(cm)

24

C£的长为gem.

2.已知NACB=/E=90。,ZB=30°,ZD=45°.

并说明理由;

(2)如图②，若CE工AB,求/BCD的度数.

【答案】(1)AB〃CE.理由见解析

(2)75°

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键.

(1)根据内错角相等两直线平行可求解;

(2)延长线段EC交43于点式由平行线的性质可求解.

【详解】(1)解：AB//CE.理由如下:

/E=90°,ZD=45°,

ZDCE=180°—NE—ZD=45°,

NBCD=15。,

NBCE=/DCE—/BCD=30°,

ZB=30°,

:.NBCE=NB,

..AB//CE-,

(2)解：如图，延长线段EC交AB于点H,

:.ZEHB=90°.

ZB=30°,

ZHCB=180°-ZB-ZEHB=60°.

NE=90。，"=45。，

:.NECD=45。,

ZBCD=180。—/ECD—/HCB=75°.

3.如图，在正方形网格中，点A、B、。在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画

图痕迹）.

图1图2

（1）在图1中，找一个格点P,连接使为直角三角形;

（2）在图2中，找一个格点X,连接使NHQB=ZABQ.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（D根据网格的特点和直角三角形的概念求解即可；

（2）根据网格的特点求解即可.

【详解】（1）如图1所示，一己钻即为所要求作的直角三角形，

（2）如图2所示，点H即为所要求作的点，