2025年人教版新八年级数学暑假专项提升：线段的垂直平分线的性质 （3个知识点+6个题型+思维导图+过关测） 学生版

第12讲线段的垂直平分线的性质

期内容导航一预习三步曲

第一步：学

教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识6大核心考点精准练

第二步：记

思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

8析教材学知识

【知识点1线段垂直平分线的定义及性质】

L定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

如图，若点C是AB的中点且尸CL/瓦则直线/是线段48的垂直平分线。

2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相笠.

如图，直线垂足为C,/CXBC,点P在/上.求证E4=PA

证明：当点P与点C不重合时，

\"l_LAB,:./PCA=/PCB,又AC=BC,PC=PC,：.APCA^APCB(SAS),：.PA=PB.

【知识点2线段垂直平分线的判定】

方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。

方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距

离相等。

【知识点3作已知线段的垂直平分线】

已知：线段AB,求作：线段AB的垂直平分线.

作法：

①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、

D,如图。

②连接CD,过的直线即为线段的垂直平分线。如图所示：

c

8练题型强知识

【题型1利用线段垂直平分线的性质求线段长度】

【例1】如图，在△力BC中，DE是4C的垂直平分线，交8c于点。，交2C于点E,力B=4cm,AC=5cm,BC=6cm,

则△ABD周长为（）

【变式1-1］如图，DE垂直平分NC,的周长是8.5cm,AC=3cm,则△ABC的周长是（）

A.8.5cmB.9.5cmC.10.5cmD.11.5cm

【变式1-2］如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交4B、BC于点。、E,AC的垂直平分线分别

交AC、于点RG,则△AEG的周长为（）

【变式1-3］如图，ZV1BC中，AD1BC,EF垂直平分力C,交4C于点尸，交BC于点E,且BD=DE.若△ABC

周长为13cm,AC=6cm,DC=cm.

A

【题型2利用线段垂直平分线的性质求角度】

【例2】如图，在△A8C中，NC=90。，分别以点4、8为圆心，大于白力3的长为半径作弧，两弧相交于点M、

N,作直线MN交BC于点D,连接力D.若4B=13°,则ND4c的大小为（）

【变式2-1］如图，在△A8C中，NB=40。，NC=50。.通过观察尺规作图的痕迹，可以求得NDAE的度

数为（）.

【变式2-2］如图，△ABC中，BD平分N4BC,BC的中垂线交BC于点£,交BD于点F,连接CF、若乙4=60。,

ZXCF=48°,则N4BC的度数为.

【变式2-3］如图，在△ABC中，N4=70°,OD、OE分另IJ是4B、4C的垂直平分线，则NOCB的度数是.

A

D/\E

O

BC

【题型3作已知线段的垂直平分线】

【例3】如图，两条笔直的小路AC与BD相交于点C,点4c处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在乙4CD

内部修建一处观景台P,使得观景台P到AC的距离与观景台P到CD的距离相等.且4P=CP,请你找出观景

台P的位置.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

【变式3-1】尺规作图：求作点P,使点尸到点M,N的距离相等，同时到乙4。8的两边。力,。8的距离也相等.

【变式3-2］如图，直线DE与乙40B的两边040B相交于D,E两点，(不写作法，可用一定工具，保留必

要的作图痕迹和相应符号表示)

(1)将线段DE平移，使。点与。点重合；

(2)过D,E分别作DE的垂线，相交于M；

(3)在。B边上求一点F,使MF最短.

【变式3-3］请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图(写出必要的文字说明，保留作图痕迹).

----------------C

图3

(1)已知△4BC,ABAC是钝角，AC<AB<BC,

①在图1中求作点P,使得：点P在边BC上，且P4+PC=BC；

②在图2中求作△4MN,使得：点、M、N在边BC上,且△AMN的周长等于BC的长；

⑵如图3,已知线段BC,求作RtaDEF,使得：直角边DF在线段BC上，且Rt△DEF的周长等于BC的长.

【题型4线段垂直平分线的判定的运用】

【例4】如图，在△4BC中，的垂直平分线匕交2B于点交BC于点D,4C的垂直平分线交4c于点N,

交BC于点、E,4与L相交于点。，△ADE的周长为10.

(1)求的长；

(2)试判断点。是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由.

【变式4-1］如图，在四边形2BCD中，4D||BC,点E是的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G

在线段BC上，且NGDF=N4DF,连接EG.求证：

(1)4D=BF；

(2)EG垂直平分DF.

【变式4-2】如图，在Rt2\A8C中，N4CB=90。，点£)、£分另I」在边力B、BC1.,AC=AD,DF1AB,AE=AF,

S.EF1BC.

(1)求证：CE=DF；

(2)连接CF,如果N4CF=N4BF.求证：点厂在BC的垂直平分线上.

【变式4-3】如图，在△ABC中，4D平分NB力C,ZC=90°,DE14B于点E,点尸在力C上，BD=DF.

(1)求证：CF=EB.

(2)连接CE,求证：力。垂直平分CE.

(3)若力B=10,AF=6,求CF的长.

【题型5线段垂直平分线的性质与判定综合】

【例5】已知：如图，AB=AC,DB=DC,点£在4D上，求证：EB=EC.

【变式5-1］如图，在△ABC中，AD1BC,BD=DC.线段力C的垂直平分线交力。于点E,交力C于点F,连接

BE.试问：线段4E与BE的长相等吗？请说明理由.

【变式5-2］如图，在△ABC中，的垂直平分线即交3c于点E,交48于点尸，点。为线段”的中点,

(1)若28=9,△48。的周长为19,求力C的长度;

(2)若乙4DB=90°,求NACB的度数；

(3)已知点P在线段DE上，且点P在边2C的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平分线上,

若在，请证明；若不在，请说明理由.

【题型6线段垂直平分线的性质与角平分线的性质综合】

【例6】如图，点4B分另I」在AMON的边。M,ON上，NMON的平分线。C与4B的垂直平分线CD交于点C,CE1

OM于点E,。尸，。可于点工

(2)若OB=8,OE=6,求。A的长.

【变式6-1】在△ABC中，DE垂直平分力C,连接CE,CE平分乙4cB.

⑴若4CEB=46°,求NB的度数.

(2)若BC=4,△力BC的周长比的周长多8,△E8C的面积为6,则三角形4EC的面积为多少？

【变式6-2］如图，在四边形A8CD中，BD所在的直线垂直平分线段4C,过点/作力FIIBC交CD于尸，延长

AB.DC交于点E.

⑴求证：AC平分NEHF；

(2)求证：/-FAD=NE；

(3)若NE4D=90ME=5,△力EC的面积为唱求CF的长.

【变式6-3］如图1,△力BC中，^ACB=90°,点。是4B上点，连接CD,乙4CD的平分线交于点E,并延

长至点F,使得EF=AF,S.AEAF=乙ECB.

cc

图2

(2)如图2,若EG1AC,点,H为CD上一点,连接AH,K为AH中点，且EK14”，求证：AG=DH.

串知识识框架

8过关测稳提升

1.如图，在△4BC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点。、E,连接BE.若BE平分立ABC,且44=72。,

则NCED的度数为()

A.72°B.64°C.54°D.36°

2.如图，△ABC中，N4BC的平分线BD和4C边的垂直平分线OE交于点D,DM1B4的延长线于点M,DN1BC

于点N.若AM=2,8C=7,贝MB的长为（）

3.在△ABC中，4B的垂直平分线分别交48,BC于点M,P,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点、N,Q.若

BC=10,QP=2,则△AQP的周长为（）

A.8或14B.12或10C.8或10D.10或14

4.如图，线段4B,DE的垂直平分线交于点C,且N4BC=乙EDC=72°,AAEB=92°,贝IJNEBD的度数为（）

A.168°B.158°C.128°D.118°

5.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B,C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于

M,N两点；②作直线MN交力B于点0,连接CD.若力C=4,AB=10,则△力CD的周长为.

6.如图，在△力BC中，边力B的垂直平分线DE分别与边ZB,AC交于D,£两点，边BC的垂直平分线FG分别

与边BC,AC交于厂，G两点，连接BE,BG.若aBEG的周长为32,AC=22,贝1JGE的长为.

B

7.如图，力。平分N8AC,DELAC,垂足为E,BF||4C交ED的延长线于点尸，若BC恰好平分N4BF.则下列

结论中：①4。是△力BC的高；②4。是△A8C的中线；③ED=FD；@ABAE+BF.其中正确的

有.(填序号)

8.如图所示，在△ABC中，Z.BAC=130°,48的垂直平分线ME交8C于点M,交AB于点、E,AC的垂直平分

线NF交BC于点、N,交AC于点凡求NMAN的度数.

9.如图，在△4BC中，^.ABC=2,^C,BD^^AABC,DE1AB（£在4B之间），DFLBC,己知BD=5,DE=

3,CF=4,求的周长.

10.如图，△ABC中，AD1BC,EF垂直平分4C,交4C于点尸，交BC于点£,S.BD=DE,连接4E.

(1)若NB力E=40。，求NC的度数；

⑵若△力BC的周长为14cm,4C=6cm,求DC的长.

11.如图，在四边形48CD中，AB^AD,4N垂直平分BC,交BC于点N,点M是CD中点.

(1)证明：AM是线段CD的垂直平分线；

(2)若/MAN=70。,求NBA。的度数.

12.如图，AB=CD,连接力C,BC,BD,线段2C的垂直平分线与线段BD的垂直平分线交于点E,连

接BE,DE.试说明：乙ABE=LCDE.

(1)在BC上求作一点D,连接AD,使得线段2。最短；(要求：尺规作图，不写