2025年人教版八年级数学上册专项复习：三角形全等几何模型-角平分线模型（含解析）

专题12.19三角形全等几何模型-角平分线模型（专项练习）

与角平分线相关的三角形全等的常见几个几何模型：

【模型1】：如图一，角平分线+对称型

图一

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应

角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等

【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型

角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等.

如图二

【几何语言】：•-0C为/AOB的角平分线，D为0C上一点DE±OA,DF±OB

.-.△OED-AOFZXAAS）#/.DE=DF

【模型3】如图三，角平分线+垂直角平分线型

如图三

【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一"，也可以得到两个全等的直

角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起

来。

【模型四】角平分线+平行线型

如图四

【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角

形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

一、填空题

1.如图，在AABC中，Z.BAC.NBC4的角平分线相交于点/,①若N4=40。，则4/C=

,②若N4=35。，BC=AJ+AC,则NH/AC=.

2.已知，△48C中，ZBAC=120°,平分NBA。，ZBDC=60°,A8=2,AC=3,

则AQ的长是________.

3.如图，BP平分NABC,PD1BC,E、F分别是角两边上点，现有四个结论知其一

定能得具余结论的有①NABC+NEP卜=18。。；②=卜C：③PE=PF：④

2/3D=BF+BE,

4.如图，△人8c的外角NACO的平分线CP与内角48。的平分线BP交于点P,若/BPC

=50°,ZCAP=.

5.如图所示，“8C的外角4C。的平分线CP与NA9C的平分线相交于点P,若

4BPC=3S,则NC4P=.

二、解答题

6.已知：如图，在四边形48CZ）中，B。平分/ABC,ZA+ZC=180°,BOBA.求

证：点。在线段AC的垂直平分线上.

7.如图，AABC中，AC=BC,/ACB=90。，4。平分N84。交8c于点。，过点B作

BEA.AD,交4。延长线于点E,广为A8的中点，连接CR交AD于点G,连接BG.

10.如图，^ABC的外角NDAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD_LAB于

D,PE_LAC于E.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长.

11.已知AABC中，AB=AC,NA=108。，BQ平分NABC,求证：BC=AC+CD.

12.如图，在四边形ABCD中，AC平分/BAD,CE_LAB于E,AD+AB=2AE,

求证：ZADC+ZB=180°

EB

13.如图所示，在A48C中，Z4CB=60，4£8。是AA8C的角平分线，AE,BD交于

点、G,求证：GD=GE.

14.如图，在四边形O4C8中，CE_LOA于E,/1=N2,C4=CB.求证：Z3+Z4=180°；

OA+OB=2OE.

15.如图，在RtZkABC中，ZBAC=90°,AB=3,M为边BC上的点，连结AM.如果

将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离.

B

16.如图，在AABC中，NAAC=2NC,跖平分ZA4C,交AC于E,AD1M于。,

求证：AC=2BD.

17.如图，已知在四边形ABCO中，8。是NABC的平分线，AD=CD.2求证:

18.如图，在A4BO中，OA=OB,Z4OB=90°,A。平分NQ4B,OE_LA。于E,交

48于F.求证：(1)OD=BF；(2)AD-OF=2DE

19.己知：4。是△MC的角平分线，且AOJ_8C.

(1)如图I,求证：AB=AC；

(2)如图2,ZA8C=30。，点石在上，连接CE并延长交44于点尸，8G交C4

的延长线于点G,且NABG=ZAb,连接尸G.

①求证：ZAFG=ZAFC；

②若SAABG：S^ACF=2:3,且AG=2,求AC的长.

图2

20.在△A4C中，BE,C。为8c的角平分线，BE,CO交于点凡

(1)求证：N8FC=900+g/A；

(2)已知ZA=60°.

①如图1,若BD=4.4C=6.5,求CE的长；

②如图2,若BF=AC,求NA£4的大小.

AA

21.（【）如图I,射线OP平分/MOM在射线OM,ON上分别截取线段0人，04,

使O4=OB,在射线OP上任取一点。，连接AQ,BD.求证：AD=BD.

（2）如图2,在用△ABC中，NAC8=90。，N4=60。，C。平分NAC8,求证：BC=

AC+AD.

（3）如图3,在四边形A8QE中，A8=9,DE=1,80=6,。为8。边中点，若AC

22.已知点C是/MAN平分线上一点，NBCO的两边C8、CO分别与射线AM、4N相

交于B,。两点，且N4HC+N4/）C=180。.过点。作CE1AB,垂足为£

（1）如图1，当点E在线段A8上时，求证：BC=DC；

（2）如图2,当点E在线段A8的延长线上时，探究线段48、4。与BE之间的等量关

系;

（3）如图3,在（2）的条件下，若NM4N=60。，连接4。，作NA3。的平分线B尸交

A。于点F,交人。于点O，连接。。并延长交AB于点G.若8G=1,DF=2,求线段。8

的长.

参考答案

1.110°70°

【分析】①先根据三角形内角和求出NBAC+NBCA=140。，再根据角平分线的定义求

出NIAC+N1CA的值，然后利用三角形内角和即可求解；

②在BC上取CD二AC,连接BI、DI,利用SAS证明△ACI与公DCI全等，可得AI=Dh

ZCAI=ZCDI,再根据BC=AI+AC求出AI=BD,从而可得BD=DL由三角形外角的性质可

得/CDI=2NDBL再根据角平分线的定义即可求出NCD1=NABC,又NBAC=2/CA1,代

入数据进行计算即可求解;

解：©VZ«=40°,

/.ZBAC+ZBCA=140°,

VALCI分别是N8AC、NBC4的角平分线,

ZIAC+ZICA=(ZBAC+ZBCA)=70°,

.,.ZAIC=18OC-7O0=11O°：

②如图1,在BC上取CD=AC,连接BI、DI,

VCI平分NACB,

.\ZACI=ZBCI.

SAACI与公DCI中，

AC=CD

-ZACI=ZBCI,

CI=CI

.,.△ACI^ADCI(SAS),

AAI=DLZCAI=ZCDI,

VBC=AI+AC,

ABD=AI,

.\BD=DI,

.\ZIBD=ZBID,

・•・ZCDI=ZIBD4-ZBID=2ZIBD,

又・・・AI、CI分别是NBAC、NACB的平分线,

・・・BI是NABC的平分线，

AZABC=2ZIBD,ZBAC=2ZCAI,

AZCDI=ZABC,

JZBAC=2ZCAI=2ZCDI=2ZABC,

VZABC=35°,

:.ZBAC=35°x2=70°.

【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅世线构

造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点.

2.5

【分析】过。作，DELAC,。尸_LA8交A8延长线于R然后根据全等三角形的性

质和30。角直角三角形的性质即可求解.

解：过。作，DEA.AC,交/W延长线于凡

二人。平分DELAC,DFLAB,

:・DE=DF,^DEC=ZDFB=90°=ZDEA,

ZBACA-ZBDCA-ZDCEA-ZDBA-360°.

ZBAC=120°,ZBZX7=6O°,

NDCE+NO胡=180。，

•・•NDBF+NDBA=180。,

・•・NDCE=ZDBF,

在AOEC和△O/'E中，

"DCE=4DBF

<NDEC=NDFB

DE=DB

・•・ADEgAD必(A4S),

：.CE=BF,

在和R/SE4中,

DE=DF

DA=DA

・•・RfADEA乡ADFA(HL),

，AE=AF,

•・•AE=AC-CE.AF=AB+BF,

・•・AC-CE=AB+BF,

：,CE+BF=AC-AB=\,

・•・CE=BF=-,

2

：.AF=AB+BF=-,

2

•・•4。平分的C,

ZDAB=-ZBAC=60°,

2

・•・ZADF=180°-/DAB-ZDFB=30°,

・•・AD=2AF=5.

【点拨】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等

三角形.

3.由(I)、(2)、(4)可以推出其它三个.

【分析】根据角平分线的性质定理、HL证明直角三角形全等、AAS证明三角形全等、

同角的补角相等即可解答.

解：由(1)可以推出其它三个；由(4)可以推出其它三个；由(2)可以推出其它三个.

如图：过点P作PM_LAB于点M.

(一)增加条件①NABC+NEPF=I8()W：

•・•ZABC+ZEPF=180\ZPFC+ZBFP=180°,

.\ZBEP+ZBFP=180°,ZBEP=ZPFC,即②成立,

VZBEP+ZEEM=i80u,

・・・NDFP=NMEP,

〈BP平分/ABC,PD_LBC，PM1AB

・・・PD=PM,

XVZPME=ZPDF=90°,

ARtAPME之RtAPDF,

「•ME=DF,PE=PF,即③成立，

VBP=BP,

ARtAPMBgRSPDB（HL）,

・・・BM=BD,

VBD=BF-DF,BM=BE+EM,ME=DF,

Z.2BD=BD+BM=（BF-DF）+（BE+EM）=BF-DF+BE+EM=BF+BE,即

2RD=RF+RE,故④正闹.

（二）增加条件④2肛＞=8b+BE时，

•「BP平分NABC,PD_LBC，PM±AB

・•・PD=PM,

XVZPMB=ZPDB=90°,BP=BP

.*.R（APMBZRsPDB,

，BM=BD,

VBD=BF-DF,BM=BE+EM,2BD=BF+BE,

・•・BD+BM=2BD,即BF-DF+BE+EM=BF+BE

・•・ME=DF,

同（一）方法即可证明心△PMEgRSPDF,从而证得①、②、③正确；

（三）添加条件②/BEP=/PFC时，方法同（一）中即可证明RIAPMEGRQPDF,

从而证得其它结论正确；

（四）如果添加③PE=PF,当点F在卜图P的位置时，其它三项不正确.

【点拨】本题重点考查先平分线的性质和二角形全等的证明，解题关键是熟练掌握二角

形全等的证明方法.

4.40°

【分析】过点P作PF_LAB于F,PM_LAC于M,PN_LCD于N,根据三角形的外角性

质和内角和定理，得到NBAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，

得出NCAP二NFAP,即可得到答案.

解：过点P作PF_LAB于F,PMJ_AC于M,PN_LCD于N,如图：

设NPCD二x,

「CP平分NACD,

.\ZACP=ZPCD=x,PM=PN,

・•・ZACD=2x,

••・BP平分NABC,

AZABP=ZPBC,PF=PM=PN,

VZBPC=50°,

・•・NABP=/PBC=/PCD-ZBPC=x-50。，

・・.NA8C=2(x-50。)，

NBAC=ZACD-/ABC=2x-2(x-50°)=100°,

/.ZFAC=180。-100。=80°,

在RtAAPF和RtAAPM中，

VPF=PM,AP为公共边，

ARIAAPF^RIAAPM(HL),

/.ZFAP=ZCAP,

NG4P=80。=4()。；

2

故答案为：40°；

【点拨】本题考杳了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及

全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出

NE4C=80。是关键.

5.54°

【分析】如图(见分析)，设NC8尸=x,从而可得NA8C=2x,先根据三角形的外角

性质可求出NB4C=72。，再根据角平分线的性质可得尸M=PMPM=小，从而可得

PN=PE，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得4W=NR4E,最后根据平角

的定义即可得.

解：如图，过点P分别作"例_1_加＞于点M,PNLBA于点N,PE_LAC于点E,

设NCBP=x,则ZA8c=2x,

ZBPC=36°,

:.ZDCP=NCBP+/BPC=x+36。，

•/CP是的平分线，

NACO=2/DCP=2x+12Q,

ZRAC=ZACD-ZA13C=Zv+72。-=72。，

•.•3P是4BC的平分线，PM1BD,PNLBA,

:.PM=PN,

同理可得：PM=PE,

.\PN-PE,

\PN=PE

在RA/VVP和R/AAEP中，〜，

PA=PA

Rt^ANP^Rt^EP(HL),

:.ZPAN=ZPAE,即Z/VW=NC4P,

又•；ZPAN+ZC4P+ABAC=180°,

.-.2ZG4F+72°=l80n,

解得NC4P=54c,

故答案为：54°.

N

【点拨】本题考查了用平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判

定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键.

6.见分析

【分析】在8c上截取4£=氏4,连接。E,证明“BOg△跳。可得出NC=N/)EC,

则。E=OC,从而得出4O=CO即可证明.

解：如图，在8C上截取8E=84,连接。E,

,:BD=BD,NABD=/CBD,

：,ABAD必BED,

：.ZA=ZDEB,AD=DE,

VZA+ZC=180°,ZB£D+ZDEC=180°,

:.NC=/DEC,

:,DE=DC,

：.AD=CD,

・•・点D在线段AC的垂直平分线上.

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线

找出全等三角形是解题的关键.

7.(1)BE=^AD,见分析；(2)ABEG是等腰直角三角形，见分析

【分析】(1)延长BE、AC交于点从先证明得BE=HE=3BH,

再证明△8C”/△ACT),得8H=A£>,则8E=gA。：

(2)先证明CF垂直平分人8,则人G=4G,再证明NC/1A=NCB4=45。，则NGA8=

NGBA=22.5。,于是NKGA=/G48+NGB4=45。，可证明ZkAEG是等腰直角三角形.

解：证：(l)3E=gA。，理由如下：

如图，延长BE、AC交于点H,

•・•BEA.AD,

・•・^AEB=/AE7/=9(T,

•••4。平分NBAC,

JZBAE=ZHAE,

在ZiZME和中，

/AEB=/AEH

<AE=AE,

NBAE=/HAE

：.4BAEWAHAE(ASA),

・•・BE=HE=；BH,

*/ZACB=90°,

AZBC//=180°-ZACB=900=ZACDf

・•・NCBH=90。-ZH=ZCAD,

在"CH和AACD中，

ZBCH=/ACD

BC=AC,

NCBH=NCAD

:•△BCHQ4A3(ASA),

JBH=AD,

：,BE=^AD.

(2)△BEG是等腰直角三角形，理由如下：

,：AC=BC,AF=BF,

：.CFLAB,

:,AG=BG,

：.ZGAB=ZGBAt

'：AC=BC,NAC8=9()°,

・・・NC4B=NCBA=45。，

・•・ZGAB=3ZCAB=22.5°,

JNGAB=NGBA=22.5。，

・•・NEGB=/G/1B+NGBA=45。,

\*/5EG=90°,

・・・NE8G=NEGB=45。，

：.EG=EB,

•••△8EG是等腰直角三角形.

【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等

腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见埔助线的作法是解题关键.

8.(1)见分析；(2)3

【分析】(1)证明(AAS),即可得出结论；

(2)在八B上截取AM=AR连接M。，证AM。0△M4O(SA5),得

ZADF=ZADM,再证RdMDEgRMDE(HL),得ME=BE,求出MB=AB-AM=6,即可

求^军.

解：(1)证明：・・・4。平分N84C,

：.ZDAC=ZDAE,

VDE1BA,

ZDEA=ZDEB=90°,

•・•ZC=90°,

AZC=ZDEA=90o,

在△AC。和△AED中,

ZC=NDEA

^DAC=^DAE,

AD=AD

A(AAS),

・・・AC=AE；

(2)在A5上截取AW=AR连接MO,

在aM。和△AM。中，

AF=AM

,NDAF=NOAM,

AD=AD

：,/\FAD^/\MAD(SAS),

AFD=MD,ZADF=ZADM,

,:BD=DF,

：.BD=MD,

在RmMDE和RMDE中，

MD=BD

DE=DE'

:・RmMDEWRl心BDE(HL),

:・ME=BE,

yAF=AM,且4产=1.4,

：,AM=\.4,

•・・A8=7.4,

・・・M8=AB4W=741.4=6,

・•・BE=，M=3,

即的长为3.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三

角形的外角性质等知识；证明八。和RAWOEgR/MOE是解题的关键.

9.AB=AC+BD,证明见详解.

【分析】延长AE,交BD的延长线于点F,先证明AB=BF,进而证明△ACEgZXFDE,

得至l」AC=DF,问题得证.

解：延长AE,交BD的延长线于点F,

:AC//BD,

r.ZF=ZCAF,

•・•A石平分NOW,

NCAF=NBAF,

AZF=ZBAF,

・・・AB;BF,

•・•BE平分/ARF,

AAE=EF,

VZF=ZCAF,ZAEC=ZFED,

/.△ACE^AFDE,

.\AC=DF,

JAB=BF=BD+DF=BD+AC.

【点拨】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添

加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键.

10.(1)证明见分析；(2)2

【分析】(1)连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得

BP=CP,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=EP,然后利用“HL”证明

RtABDP和RtDCEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

(2)利用“机”证明RtAADP和RtDAEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，

再根据A3、AC的长度表示出A。、CE,然后解方程即可.

解：(1)证明：连接//、CP,

•.•点尸在BC的垂直平分线上,

:.BP=CP,

AP是NDAC的平分线，

\DP=EP,

在RtABDP和RtDCEP中,

断=CP

\DP=EP'

\RtDBDP@RtDCEP(HL),

BD-CE；

(2)解：在RtAADP和RtDAEP中，

AP

\DP=EP'

\RtDADP@RtDAEP(HL),

AD=AE,

,/AB=6c777,AC=10(777,

\6+AL)=10-AEt

即6+AD=10-AL),

解得AD=2cm.

【点拨】本题考兖了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的

点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等

三角形是解题的关键.

11.见分析

【分析】在线段8c上截取8E=84,连接。E.则只需证明CO=CE即可.结合角度

证明NCO£=NCED.

解：证明：在线段3c上截取8E=84,连接。£.

D

•••8。平分NABC,

.・.ZABD=NEBD=gZARC.

2

在△48。和4E8。中，

BE=BA

<ZABD=NEBD,

BD=BD

A^ABD^/^EBD.(SAS)

・・・N8EO=NA=108°,NADB=NEDB.

y.\,AB=AC,Z/4=1O8°,ZACT=Z/WC=-x(180°-108°)=36°,

2

・•・ZABD=ZEBD=\^Q.

：.ZADB=ZEDB=]S0°-18°-108°=54°.

・•・ZCD£=180°-NADB-ZEDB

=[8()。-540-54°

=72°.

AZDEC=1800-NDEB

=180°-108°

=72°.

：.ZCDE=ZDEC.

：.CD=CE.

BC=BE+EC=AB+CD.

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本

题的关键.

12.见分析.

(分析]延长AD过C作CF垂直AD于F,由条件可证△AFC@Z\AEC,得至ijCF=CE.再

由条件AD+AB=2AE可证BE=DF,所以ZkCDFgACEB,由全等的性质可得NB=NFDC,

问题得证.

解：证明：延长AD过C作CF垂直AD于F,

〈AC平分NBAD,

AZFAC=ZEAC,

VCE±AB,CF.LAD,

:.ZAFC=ZAEC=90°,AC=AC,

:.AAFC^AAEC(AAS),

・・・AF=AE,CF=CE,

VAD+AB=2AE,

又・.・AD=AF-DF,AB=AE+BE,AF=AE,

・・・2AE=AE+BE+AE-DF,

ABE=DF,

CF=CE

在aCDF和ACBE中，\^CFD=ACEBf

DF=BE

AACDF^ACBE(SAS),

/.ZB=ZFDC,

VZADC+ZFDC=180°,

.\ZADC+ZB=180°.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定

理.

13.详见分析

【分析】在AB上截A〃=AO,连接FG,根据角平分线的性质、结合三角形内角和定

理可得NAGD=60。，ZAG«=120°,证明AA/X；丝AAR7,得GD=GF,NAGO=NAG/=60。,

可证得MGgMG上,即可得GF=GE=GD.

解：证明：在AB上截=A力，连接FG,

•••AE平分NBAC,

AZEAC=ZEAB,

XVAG=AG,

・•・MPG^MFG,

；.GD=GF,ZAGD=ZAGF,

VZACB=60°,AE,BD是AABC的角平分线,

ZAGB=1800--ZCAB--ZCBA

22

=180O-g(NC4B+NC8A)'

=120°

・•・ZAGD=ZAGF=/BGF=/BGE=60°,

NBGF=Z.BGE

•/BG=BG

ZGBF=NGBE

:.A13GF@ABGE(ASA),

:・GF=GE,

AGD=GE.

【点拨】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键.

14.详见分析

【分析】过点C向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的

和差即可证得结论.

解：如图，过点。作CF_LO3与点八则/F=NCEO=90。，

vZ1=Z2,OC=OC,

:.AFOC=AEOC,

:.CE=CF,OE=OE,

•;CA=CB,ZCEA=ZCFB=90°,

：.RfACAE合R@CBF(HL),

；.N4=NCBF,AE=BF,

•・•Z3+NC8尸=180。，.•.N3+N4=180。，

.\OA+OB=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+OF=2OE.

【点拨】本题考杳了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题

的关键.

15.点M到AC的距离为2

【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB，=3,DM=MN,再利用

三角形面积分割前后不发生变化，求出点M到AC的距离即可.

解：沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是B,

作MN_LAC,MD1AB,垂足分别为N,D,

又•「□△ABC中，NBAC=90。，AB=3,

・・・AB=AB，=3,DM=MN,AB，=BC=3,

SABAC=SABAM+SAMAC,

即；x3x6=；xMDx3+；x6xMN,

.\MD=2,

所以点M到AC的距离是2.

【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），发现DM=MN,以及AB=AB，=BC=3,结合

面积不变得出等式是解决问题的关键.

16.详见分析

【分析】延长BD至N,使DN=BD,易得AD垂直平分BN,继而证得AE=EN,则可

证得结论.

解：延长BD至N,使DN=BD,连接AN.

VAD1BE,

・・・AD垂直平分BN,

AB=AN,

AZN=ZABN,

又：BE平分NABC,ZABC=2ZC,

・・・NABN=NNBONC,

/.ZNBC=ZC,

・・・AN〃BC,

r.ZC=ZNAC.

AZNAC=ZN,

.\AE=EN,

VBE=EC,

AAC=BN=2BD.

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判

定与性质.注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

17.见分析

【分析】方法一，在/3C上截取4E,使M=/W,连接。，由角平分线的定义可得

乙48C=NO8C,根据全等三角形的判定可证△入班）和全等，再根据全等三角形的

性质可得NA=NB瓦），AD=DE,由等量代换可得OE=DC,继而可得

ZC=ZDEC,由于N8EO+NOEC=180。，可证ZA+NC=180。；

方法2,延长8A到点E,使由角平分线的定义可得NA8O=ND8C,根据

全等三角形的判定可证△E8O和△C8O全等，继而可得/E=NC,DC=DE.由AO=CO,

可得OE=4），继而求得由NE4D+NH4O=180。，继而可得

ZR4D+ZC=180°；

方法3,作DEJ.BC于点E,。石，的交月八的延长线于点“，由角平分线的定义可得,

由。七_L8C,DEIBA,可得NF=NOEB=90。.根据全等三角形的判定可证△「浏)和△EBO

全等，继而可得。尸=OE,再根据HL定理可得可证N8AO+NC=18()。.

解：方法1截长如图，在8c上截取8E,使鹿=初，

连接DE,

因为是NA4c的平分线，

所以ZABC=NDBC.

在△ABO和△£»/小？，

AB=EB

因为（/ABO=/O8C

BD=BD

所以△A5£>二△网£）,

所以NA=NBED,AD=DE.

因为AD=C£）,

所以OE=OC,

所以NC=NOEC.

因为NBED+/DEC=180°,

所以NA+NC=180。.

方法2补短

如图，延长ZM到点E,使麻：=火.

%

因为8。是乙ABC的平分线,

所以NA8O=NOBC

在△E8D和△CW中，

BC=BE

因为，NEBD=NDBC,

[BD=BD

所以AEBD=KBD,

所以NE=NC,DC=DE.

因为AO=CO,

所以。E=A。，

所以NE=NK4ZX

因为NE4Z)+N胡。=180°,

所以N84O+NC=180°.

方法3构造直角三侑形全等

作。E_L3C于点E.£>E_LH4交84的延长线于点尸

因为8。是NA8C的平分线，

所以ZA8O=N。8c.

因为OE_L5C,DE上BA,

所以N/=NOEB=90。，

在△FED和△EBD中,

NF=NDEB

因为{48Q=/O8C,

BD=BD

所以AFBD占AEBD,

所以OF=OE.

在RtAMD和RtAECD中，

\DF=DE

因为4,

\AD=DC

所以R^EAO=RtzJ%D,

所以NE4O=NC.

因为ZFAD+ZBAD=180°,

所以N840+NC=18O。.

18.(1)证明见分析；(2)证明见分析.

【分析】(1)连接DF,证^FAE丝△OAE,推出AF=AO,ZAFO=ZAOF,求出OD=DF,

求出BF=DF,即可得出答案；

(2)在AD上截AG=OF,连接OG,证^AGO^AOFB,推出GO=BF=OD,求出DE=GE,

AD-OF=DG=2DE即可.

解：⑴连接DF,

VOE1AD,

・•・ZAEF=ZAEO=90°,

二•AD平分/FAO,

AZEAF=ZOAE,

XVAF=AF,

・•・AEAF^AOAF(ASA),

・・・AF=AO,ZAFO=ZAOF,

VADIOF,

・・・EF;EO,

DF=DO,

AZDFO=ZDOF,

VZAFO=ZAOF,

.\ZAFD=ZAOB=90°,

VZAOB=90°,AO=BO,

AZB=45°,

・•・ZFDB=ZAFO-ZB=45°=ZB,

.\BF=DF,

.\OD=BF；

(2)在AD上截AG=OF,连接OG,

VZOAB=ZB=45°,AD平分NOAB,

AZOAG=22.5°.

VOD=DF,

.\ZDFO=ZDOF,

ZFDB=450=ZDFO+ZDOF,

.\ZFOB=22.5O=ZOAG,

r.AAGO^AOFB(SAS),

，GO=BF=OD,

VOE1AD,

ADE=GE,

.\AD-OF=DG=2DE.

【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线

性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

19.(1)见分析：(2)①见分析；②6.

【分析】(1)用4sA证明△八ACO,即得A8=AC

(2)①证明△BAGgZSCAE可得AG=AE,再用SAS证明△"G/△7E,即得

ZAFG=ZAFC；

②过尸作尸K_L4GJ'K,由&A8G：SaAb=2：3,口J得以仪：S.ACF=2：3,

S5AE•SIMC/=1：3,iiijZ\FAG—/\FAE,故S.&G：^^ACF=1：3,即得AG\AC=1:3,根据

AG=2,可求AC=6.

解：(I)证明：•.•”>是6c的角平分线，

/BAD=NCAD,

•.•ADLBC,

.\ZADB=ZADC,

在△A8O和中，

ZB.W=ZCAD

AD=AD,

NADB=ZADC

.△48力.“0)(ASA),

：.AB=AC；

(2)©*/AB=AC,ZABC=30°,ADIBC,

.•.ZR4D=ZCAD=60°,

...Na4G=60。=NC4£>,

在△BAG和VC4E中，

VBAG=^CAE

AB=AC,

NABG=NACE

:.Z\I3AG^^CAE(ASA),

AG=AE,

在△RAG和△必£中，

AG=AE

ZGAF=ZEAF,

AF=AF

.•・△E4G0△尸AE(SAS),

:.ZAFG=ZAFC；

②过尸作尸KJ.AG于K，如图:

C

由①知：△B4G3^C4E,

S△人8G*S4ACF=2:3,

•c.c―2,q

・・J.CA6・J△人CF一4・J,

,-S.FAE-S△人。尸=1:3，

由①知：4FAG乌4FAE,

,•・^q^FAG-・Jq△人CF-_I]・?J，

.,.(；AG/K):(：AC.FK)=1:3,

/.AG:AC=1:3.

QAG=2,

・•・AC=6.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等

三角形的相关知识.

20.(1)证明见分析；(2)2.5；(3)100°.

【分析】(1)由三角形内角和定理和角平分线得出/用。+/F6=90。-344的度数，

再由三角形内角和定理可求出NB”C的度数,

(2)在BC上取一点G使BG=BD,构造△BAGmMD(SAS),再证明&FEC沁FGC(ASA),

即可得AC=AO+CE,由此求出答案；

(3)延长BA到P,使AP=FC,构造△BAC-CAP(SAS),得PC=BC,

NP=NBCF=g/ACB、再由三角形内角和可求NA3C=40。，ZACB=80°,进而可得

/AEB=\80°-(ZABE+ZA)=100°.

(I)-BE.CQ分别是乙48C与ZAC8的角平分线,

/.Z.FBC+ZFCB=-(1800-ZA)=90°--Z>4,

22

ABFC=180°-(ZFfiC+ZFCB)=180°-(90°--Z4),

2

/.ZBFC=90°+-ZA,

2

(2)如解(2)图，在BC上取一点G使BG=BD,

由(1)得N8产C=90°+g/4,

•.NA4C=6O°,

/.ZBFC=120°,

・•・ZBFD=Z.EFC=180°-/BFC=60°,

在△A/?G与中，

BF=BF

-NFBG=NFBD,

BD=BG

:・△BFG^ABFD(SAS)

・•・4BFD=NBFG，

・•・/BFD=NBFG=3,

J4CFG=120°-/BFG=60°.

・•・ZCFG=ZCFE=60°

在△尸石。与△尸GC中，

"CFE=2CFG

<CF=CF,

ZECF=ZGCF

：AFEC=^FGC(A5A),

:.CE=CG,

•；BC=BG+CG,

:.BC=BD+CE；

"0=4，BC=6.5,

：.CE=2.5

(3)如解(3)图，延长BA到P,使AP=FC,

解（3）图

•.•NA4C=60。，

ZPAC=180。-NBAC=120°.

在48尸。与尸中，

BF=AC

台尸C=NCAP=120°,

CF=PA

Z.^BFC^CAP(SAS)

：,ZP=/BCF,BC=PC,

・•・ZP=ZABC,

又,?NP=ZBCF=-AACB,

2

・•・ZACB=2ZABC,

又•・•Z4C/?+Z4BC+ZA=180°,

J3ZAfiC+60°=180°,

AZABC=40°,ZACB=80°.

・・・ZABE=-ZABC=20°,ZAEB=180°-(ZABE+ZA)=180°-(20°+60°)=1-30°

【点拨】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助

线，构造出全等三角形是解答此题的关键.

21.(1)见详解：12)见详解；(3)AE=13

【分析】(I)由题意易得NA0Q=N8。。，然后易证△AOOgaB。。，进而问题可求

证；

(2)在BC上截取CE=CA,连接。E,由题意易得NACOnN£CO,ZB=30°,则有

△AC。丝△£<?£),然后可得NA=NC£O=60。，则根据三角形外角的性质可得

NEDB=NB=30。,然后可得DE=BE,进而问题可求证；

(3)在人石上分别截®MF=/W,EG=ED,连接CF、CG,同理(2)可证△ABC^^AFC,

△CDE^^CGE,则有N4CB=N4CF,/DCE=/GCE,然后可得NACF+NGCE=60。，进

而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解.

解：证明：(1)•・•射线。产平分/MON,

；・ZAOD=ZBOD.

•：OD=OD,()A=()B,

:•△M)DqABOD(SAS),