27.1 圆的认识（难点练）解析版

27.1圆的认识（难点练）一、单选题1．（2021·广东深圳·九年级专题练习）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM．分析下列结论：①AP⊥BN；②BM＝DN；③点P一定在以CM为直径的圆上；④当AN＝时，PC＝．其中结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由△PBC∽△PAM，得出∠PAM=∠PBC，再由，即可推出AP⊥BN，故可判断①；易证△BAP∽△BNA，得出，由，得出AM=AN，即可得出BM=DN，故可判断②；由△PBC∽△PAM，得出∠APM=∠BPC，推出∠CPM=∠APB=90°，即可得出点P一定在以CM为直径的圆上，故可判断③；过点P作EF//AB，可证明，在△PAB中运用勾股定理求出，在△PAE中运用勾股定理求出，，进而求出PF和CF，再运用勾股定理求出PC的长，从而可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，又∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，故①正确；∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴，又∴△PBC∽△PAM∴，∵AB=BC，∴AM=AN，∴AB-AM=AD-AN，∴BM=DN，故②正确；∵△PBC∽△PAM，∴∠APM=∠BPC，∴∠CPM=∠APB=90°，∴点P一定在以CM为直径的圆上，故③正确；过点P作EF//AB，交AD于E点，交BC于F点，如图，∵AP⊥BN∴又∠DAB=90︒∴∴∵∴∴，即在Rt△PAB中，，即∴在Rt△PAE中，解得，，（负值舍去）∴，∴∴在中，，故④正确．所以，正确的结论共有4个，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2021·重庆八中三模）如图，是的直径，为的弦，且于点，点为圆上一点，若，，，则的长为（）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】如图，连接交于，设交于，过点作于．利用全等三角形的性质证明，．，再利用勾股定理求出，即可．【详解】解：如图，连接交于，设交于，过点作于．，，，，，，，，，，，是直径，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．（2021·湖南·长沙市怡雅中学九年级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列五个结论中正确的选（）（1）H是FK的中点（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝（5）HG⊥HCA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】（1）先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，AH⊥FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点；（2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；（3）由余弦三角函数和勾股定理算出HM，HT，再算面积，即得S△AHG：S△DHC＝9：16；（4）由余弦三角函数和勾股定理算出FK，即可得DK．（5）由(2)可得出，因为△HGD和△HEC不全等，进而可以得出，则，即HG⊥HC是错误的．【详解】解：（1）在△ABE与△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，∴∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，∴AH⊥FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点，故（1）正确；（2）如图，过H作HM⊥AD于M，交BC于N，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，∴，∴AH＝，HM＝，∴HN＝4−＝，即HM≠HN，∵MNCD，∴MD＝CN，∵HD＝，HC＝，∴HC≠HD，∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确；（3）过H作HT⊥CD于T，由（2）知，AM＝，∴DM＝4−，∵MNCD，∴MD＝HT＝，∴，故（3）正确；（4）由（2）知，HF＝，∴FK＝2HF＝，∴DK＝DF−FK＝，故（4）正确．（5）由(1)可知，，∴，由（2）知△HGD和△HEC不全等，∴，∴，∴即HG⊥HC是错误的，故（5）不正确．故选：B．【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．4．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级月考）半径OA⊥弦BC于D，将⊙O沿着BC对折交AD于点E，，△ABE的面积为36，则OD的长为（）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】连接BF，根据折叠的性质得到，，根据圆周角定理得到，根据余角的性质得到，连接OB，根据等腰三角形的性质得到，根据三角函数的定义设，则，求得，根据三角形的面积列方程即可得到结论．【详解】解：连接BF，

∵将⊙O沿BC对折交AD于点E，

∴，，∵AF是⊙O的直径，

∴∠ABF=90°，

∴∠A+∠F=90°，

∵半径OA⊥弦BC于点D，

∴∠F+∠FBD=90°，

∴∠EBD=∠FBD=∠A，

∴∠ABE=90°-2∠A，连接OB，

∵OA=OB，

∴∠A=∠ABO，

∴∠ABO=∠DBE，

∴∠ABE=∠OBD，

∵tan∠ABE=，

∴tan∠OBD=，

设OD=x，则BD=4x，则，

∵，

∴，

∵△ABE的面积为，

解得：x=3，

∴OD=3，

故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．5．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，连接，从而可得，先根据直角三角形的性质可得，从而得出在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，再利用圆周角定理、勾股定理可得，然后根据圆的性质得出当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得出答案．【详解】解：如图，取的中点，连接，则，，，则在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，是圆的直径，，在中，，在中，，由圆的性质得：当点共线时，取得最小值，最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，正确得出点的运动轨迹是解题关键．6．（2021·安徽义安·二模）如图，的半径为2，定点在上，动点，也在上，且满足，为的中点，则点，在圆上运动的过程中线段的最大值为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM，根据圆周角定理得出∠AOB=60°，从而得出△AOB是等边三角形，再利用勾股定理得出AM的长，利用三角形中位线定理得出CM的长，当A、M、C共线时，AC最大即可得出答案【详解】解：连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM，∵，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∴AM⊥BC,∴，∵为的中点，OB的中点M，∴，∵AC＜AM+CM,当A、M、C共线时，AC最大，∴的最大值=，故选：B【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形中位线定理、圆周角定理等知识，添加辅助线得出当A、M、C共线时，AC最大是解题的关键．7．（2021·江苏·镇江市大路实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以点A为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C是⊙上的一个动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】取E（-10，0），证明△AEC∽△ACD，得到CE=CD，则可将BC+CD的最小值转化为BE的长，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：∵A（-12，0），B（0，4），D（-4，0），∴OA=12，OD=4，则AD=8，AC=4，取E（-10，0），则AE=2，DE=6，在△AEC和△ACD中，∠CAE=∠DAC，，∴△AEC∽△ACD，∴，即CE=CD，则BC+CD=BC+CE≥BE，即BC+CD的最小值为BE的长，即为=，故选A．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短原理，值得强调的是，本题是一类典型几何最值问题，构造“子母型相似”是解答此问题的关键．8．（2021·广东·广州市第一中学九年级期中）如图，直角中，，，点是内部一动点，总满足∠APC=150°，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．想办法求出OB，OP，可得结论．【详解】解：如图，作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．∵∠APC=150°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OC=OA=OP=8，∠ACO=60°在Rt△COH中，∠OCH=90°-60°=30°，∴OH=OC=4，CH=OH=，∵BC=，∴BH=，∴OB=，∵PB≥OB-OP，∴BP≥，∴BP的最小值为，故选：B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出OP，OB，属于中考选择题中的压轴题．9．（2021·广东华侨中学二模）如图，已知的半径为3，弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（）

A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】如图（见解析），先利用解直角三角形可得，再根据圆周角定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，设，从而可得，最后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：如图，延长交于点，连接，为的半径，，，，在中，，即，，由圆周角定理得：，在和中，，，，即，设，则，且，，由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值，最大值为4，即的最大值为4，则的最大值为，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．10．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级期中）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，取的中点，连接，，，DE由，推出，因为，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．【详解】如图，取的中点，连接，，，DE．∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：A．【点睛】本题是一个动点问题，考查了矩形、圆、三角形相似的判定和性质、两点间线段最短等知识，本题的难点是点G的运动轨迹的探索，关键是构造两个相似的三角形．11．（2021·安徽·三模）如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，通过证明得到，即可将的最小值转化为求的最小值，利用两点之间线段最短即可求解．【详解】解：连接AF，∵，，为中点，∴，∴点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，∴，∴，∴，∴，当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，在中，，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短等内容，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键．12．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）在矩形中，已知，，现有一根长为的木棒紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点在运动过程中所围成的图形的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图（见解析），先根据矩形的性质、直角三角形斜边上的中线可得，从而可得出中点P的运动轨迹，再利用矩形的面积公式和圆的面积公式即可得．【详解】如图1，连接BP，四边形ABCD是矩形，，点P是EF的中点，，，当点E在AB边上，点F在BC边上时，中点P的运动轨迹是在以点B为圆心、长为半径的圆上，又，且，木棒的中点在运动过程中所围成的图形为图2中的阴影部分，则所求的面积为矩形ABCD的面积减去四个圆的面积，即所求的面积为，则木棒的中点在运动过程中所围成的图形的面积为，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线、圆的面积公式等知识点，依据题意，正确得出中点P的运动轨迹是解题关键．二、填空题13．（2021·浙江浙江·九年级期末）图1是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，．（1）点P与点O之间距离的取值范围是_______．（2）若磨盘转动500周，则点P在轨道上滑动的路径长为__________m．【答案】100cm≤OP≤170cm900m【分析】（1）连接OP，求出OQ和PQ，再根据两种情况求出OP的最值，可得取值范围；（2）求出AP的取值范围，可得磨盘转动1周，则点P在轨道AB上滑动的路径长，再乘以500即可．【详解】解：（1）连接OP．由题意得：OQ=OM+MQ=35cm，PQ=135cm，当Q、O、P三点共线且Q在线段OP左上方延长线上时，OP取得最小值，此时OP=PQ-MQ-OM=135-15-20=100cm；当Q、O、P三点共线且Q在右下方线段OP上时，OP取得最大值，此时OP=PQ+MQ+OM=135+15+20=170cm，∴100cm≤OP≤170cm；（2）当OP=170cm时，∵OA⊥AP，OA=80cm，∴AP==150cm，当OP=100cm时，AP==60cm，∴60cm≤AP≤150cm，∴若磨盘转动500周，则点P在轨道AB上滑动的路径长=500×2×（150-60）=90000cm=900m．【点睛】本题考查轨迹，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．（2021·上海市洛川学校九年级期中）在中，，，，点、分别在边、上，且，，将绕点旋转至，点、分别对应点、，当、、三点共线时，的长为______．【答案】2或4或2【分析】分点D1在线段AE1上和点D1在线段AE1的延长线上，两种情况讨论，由矩形的性质和圆的性质，全等三角形的性质即可可求解．【详解】解：如图1，当点D1在线段AE1上，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝2，∵将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，∴D1B＝DB＝2，∠BD1E1＝90°，∴AD1，∴AD1＝BC，且AC＝BD1，∴四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，∴四边形ACBD1是矩形，∴CD1＝AB＝4；如图2，当点D1在线段AE1的延长线上，∵∠ACB＝∠AD1B＝90°，∴点A，点B，点D1，点C四点共圆，∴∠AD1C＝∠ABC＝30°，∵AC＝BD1，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL）∴∠D1AB＝∠ABC＝30°，且∠BAC＝60°，∴∠CAD1＝30°＝∠AD1C，∴AC＝CD1＝2．综上所述：CD1＝2或4．故答案为：2或4【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，圆的性质等知识，综合性较强，利用分类讨论解决问题是本题的关键．15．（2021·湖北青山·三模）如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙O与y轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上移动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别相交于点D、E，则△CDE面积的最小值为_________．【答案】【分析】连接OC，取OA的中点M，连接MC，则MC=，即点C在以M为圆心，为半径的圆上运动，过点M作MG⊥DE于点G，交⊙M于点F，则当点C与点F重合时，CH最短，从而△CDE的面积最小，在△MDE中，利用面积相等求出MG的值，从而可求得FG，最后求得△CDE的面积的最小值．【详解】解：连接OC，取OA的中点M，连接MC，过点M作MG⊥DE于点G，交⊙M于点F，连接MD，过C作CH⊥DE于点H，如图∵C为弦AB的中点∴OC⊥AB∴即点C在以M为圆心，为半径的圆上运动则点C与点F重合，H与G重合时，CH最短当x=0时，=-5；当y=0时，，解得x=-12∴OE=5，OD=12在Rt△ODE中，由勾股定理得DE=13∵∴当CH最短时，△CDE的面积最小∵ME=OE-OM=，∴∴FG=MG-MF=∴故答案为：【点睛】本题是最值问题，考查了圆的性质，直线与坐标轴的交点，三角形的面积等知识，关键是确定点C的运动路径，这里用到了等积法求MG的长度，用到了转化思想，即求三角形的面积最值问题转化为求线段的最值问题．16．（2021·浙江·一模）如图1是护眼台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即弧和弧）．在转动过程中，（）总是与桌面平行．当时，．，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，，测得，则点E到桌面的距离为______．若此时点C，F，M在同一条直线上，弧的最低点到桌面的距离为，则弧所在圆的半径为_____（保留一位小数）．【答案】42；．【分析】（1）过点E作EP⊥BH，垂足为H，延长FE交AB于点G，根据GE+FN=DM，AC=CE=AB-BC，在直角三角形EGC中，求得CG，证明四边形EGBP是矩形，可得EP=CG+BC；（2）可证四边形AMNG是矩形，得MN=AG，证明△GFC∽△NFM，求得EF的长，作EF的垂直平分线OR，交BH于R，交于点Q，交EF于点K，利用垂径定理，勾股定理解答即可．【详解】（1）过点E作EP⊥BH，垂足为H，延长FE交AB于点G，∵AC⊥BH，MH⊥BH，∴AG∥MN，∵DM⊥MH，FN⊥MH，∴AM∥GN，∴四边形AGNM是平行四边形，∴四边形AGNM是矩形，∴AM=GN，∴AD+DM=GE+EF+FN，∵AD=EF，DM=42cm，FN=15cm，∴GE=DM-FN=27，∵AC⊥BH，AB＝51，BC=6，∴AC=CE=51-6=45，在直角三角形EGC中，CG=36，∵BG⊥EG，GB⊥BP，EP⊥BH，∴四边形EGBP是矩形，∴EP=BG=CG+BC=36+6=42；故答案为：42．（2）由（1）知，四边形AMNG是矩形，∴MN=AG=AB-BG=51-42=9，∵MN∥GC，点C，F，M在同一条直线上，∴∠GCF=∠NMF，∠FGC=∠MNF∴△GFC∽△NFM，∴，∴FG=4FN=4×15=60cm，∴EF=FG-EG=60-27=33，作EF的垂直平分线OR，交BH于R，交于点Q，交EF于点K，设点O为圆心，根据题意，得EK=，∵EP⊥PR，KR⊥PR，EK⊥KR，∴四边形EPRK是矩形，∴EP=KR=42，∵QR=31，∴KQ=11，设OE=OQ=x，则OK=x-11，在Rt△OEK中，，∴，解得x=．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的相似，矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，掌握三角形的相似，矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，利用辅助线构造准确图形是解题的关键．17．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．【答案】．【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．【详解】如图所示，∵边长为6的等边，∴，又∵∴∴∴∴∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧此时连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值∵，，∴∴，∴又∵∴，∴即故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．三、解答题18．（2021·福建省泉州实验中学九年级期中）在中，弦直径于点，为线段上一点，，连接并延长交于点，连接，．（1）求证：；（2）连接，，，若，，求线段的长度．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接BC，由DF=BF得∠DBG=∠BDC，再由圆的性质可得∠BDC=∠BCD，∠BGD=∠BCD，即可得要证结论；（2）过点作于，连接，过作于，易得D，H，O三点共线，则由三角形中位线定理得AG=2OH，易证，得OH=OE，∠OFB=∠OFD，则OH=OE，设，则，则在Rt△OED中由勾股定理得，由圆内接四边形性质及已知易得∠DAE=∠DAM，从而可得DE=DM，由可求得x，从而由求得EF，在中，由勾股定理可得EF的长．【详解】（1）如图，连接，，．，．．，．．．（2）过点作于，连接，过作于，．，，，三点在同一条直线上，，是的中位线．．，，，．．，，．设，则，．，．在中，由勾股定理可求得，，．，．，，．．解得：．，，，．在中，由勾股定理可得．．．在中，由勾股定理可得．【点睛】本题是圆的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形中位线定理，垂径定理，圆内接四边形性质，同弧所对的圆周角相等等知识，关键熟练掌握圆的相关知识外，重视与其它几何图形结合的综合分析能力的培养，学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．19．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC到点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图1，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图2，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E在线段OA上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB=AD=10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，再证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：①当时；②当时；讨论即可求得线段OE的长．【详解】解：（1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC=BC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B=60°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°；（2）连接DA．∵则AC垂直平分BD，∴AB=AD=10，∵DE=8，DE⊥AB，∴AE=6，∴BE=4，∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°，∴∠CDF=∠EAF，∵∠AEF=∠DEB=90°，∴△AEF∽△DEB，∴EF:EB=AE:DE，∴EF=3；（3）答；存在，①如图，当时，∠FOE=∠CAB，则OF=AF，又∵DE⊥AB，∴OE＝AE＝；②如图，当时，则∠EOF=∠CBA，则OF∥BD，则∴而∴，∴，∴OE＝，经检验：OE＝符合题意，综上所述：OE的长为或．【点睛】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．20．（2021·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期中）如图，点A和动点P在直线上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线⊥，过点O作OD⊥于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF，设AQ=3x（1）用关于的代数式表示BQ，DF；（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长；（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形．【答案】（1），;（2）；（3）当为12或或3时，矩形是正方形．【分析】（1）由，，易得，由勾股定理得，再由中位线的性质得，求得，；（2）利用（1）的结论，易得的长，作于点（如图，则，由垂径定理得，由矩形性质得，利用矩形面积，求得，得出结论；（3）点在点的右侧时（如图，利用（1）（2）的结论和正方形的性质得，得；点在点的左侧时，当点在右侧，时（如图，，解得，易得；当时（如图，，得；当点在的左侧时，即（如图，同理得；【详解】解：（1）在中，，，，，，，，，，，；（2），，，作于点（如图，，是的外接圆，，点是的中点，，，，，解得：（舍去），，；（3）①若矩形是正方形，则，．点在点的右侧时（如图，解得：，；．点在点的左侧时，当点在右侧，时（如图，，，，解得：，；当时（如图，，，，解得：（舍去），当点在的左侧时，即（如图，，，，解得：，，综上所述：当为12或或3时，矩形是正方形；【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．21．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级月考）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为_______；②△ABC面积的最大值为_______；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=，BC=5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC=60°，求线段PB长的最小值为_______．【答案】（1）①2；②；（2）见解析；（3）【分析】（1）①设O为圆心，连接BO，CO，则由圆周角定理可得△OBC为等边三角形，从而可得该弧所在圆的半径；②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO交圆于点D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA′，交圆于点D，连接CD，则由同弧所对的圆周角相等有∠D=∠A=30゜，再由三角形外角的性质即可得到所证的结果；（3）点P在以CD为弦的圆弧上运动，设圆弧所在的圆心为O，连接OP、OD、OC，连接OB交圆于点F，过点O分别作OE⊥CD于E，OG⊥BC于G，则可求得圆的半径及OB的长，由BP+OP≥OB得BP≥OB－OP，即BP的最小值为OB－OP，从而可求得BP的最小值．【详解】（1）①设O为圆心，连接BO，CO，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，即半径为2；故答案为：2；②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO交圆于点D，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，∵OB=OC，OE⊥BC，∴，由勾股定理得：，∴，∴，∴△ABC的最大面积为；故答案为：；（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，∵点D在圆上，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）如图，点P在以CD为弦的圆弧上运动，设圆弧所在的圆心为O，连接OP、OD、OC，连接OB交圆于点F，过点O分别作OE⊥CD于E，OG⊥BC于G，∵四边形ABCD是矩形，∴，∠BCD=90゜．∵OC=OD，OE⊥CD，∴．∵∠COD=2∠DPC=120゜，OD=OC，∴∠OCE=30゜，∴，∴OC=2OE=2．∵OE⊥CD于E，OG⊥BC，∠BCD=90゜，∴四边形OECG是矩形，∴，．∵BG=BC－CG=4，∴在Rt△OBG中，由勾股定理得：，∵BP+OP≥OB，∴BP≥OB－OP，即当P点与F点重合时，BP最短，且最小值为OB－OP，∵OP=OC=2，∴，即BP的最小值为．故答案为：．【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆周角定理，三角形面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，两点间线段最短，涉及的知识点较多，难度大，关键是找出点P的运动路径，这也是本题第（3）题的难点．22．（2021·云南·昆明市第一中学西山学校九年级月考）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．（1）求证：点为的中点；（2）若，，求的长；（3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD﹣OF即可；（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵＝，∴∠COD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则∠ODH＝30°，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝，∴PC+PD的最小值为．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．23．（2021·江苏·无锡市第一女子中学九年级月考）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…（1）请你完成小明剩余的证明过程；理解运用：（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD=；②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为；拓展延伸：（3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①；②4；（3）AD长的最大值为10．【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，根据勾股定理即可证明；（2）①利用中线定理计算即可；②利用中线定理即可解决；（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．利用中线定理求出DE，再利用三边关系即可解决问题；【详解】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，∴AB2+AC2=2AE2+（x+y）2+（x-y）2=2AE2+2x2+2y2=2AE2+2BD2+2DE2=2AD2+2BD2；（2）①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2，∴62+42=2AD2+2×42，∴AD=；②如图3中，∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，∵2EF2+2AE2=AF2+OF2，2AF2+2BF2=AB2+AC2，OF2=OB2-BF2，∴4EF2=2OB2-4AE2=2OB2-OA2，∴EF2=OB2-OA2=16，∴EF=4（负根舍弃），故答案为：①；②4；（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．由（2）的②可知：DE2=OB2-OA2=，∴DE=；在△ADE中，AE=，DE=，∵AD≤AE+DE，∴AD长的最大值为+=10．【点睛】本题考查了圆的性质、中线定理、勾股定理、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考压轴题．24．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）问题提出：（1）如图①，在中，，，，若平分交于点，那么点到的距离为______．问题探究：（2）如图②，四边形内接于，为直径，点是半圆的三等分点（弧弧），连接，若平分，且，求四边形的面积．问题解决：（3）为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，如图③所示是其中一块圆形场地，设计人员准备在内接四边形区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形满足，，且（其中），为让游客有更好的观体验，四边形花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．【答案】（1）；（2）32；（3）存在，【分析】（1）根据角平分线的性质和等积法可求出点D到AC的距离；（2）连接OB，根据题意得，作AE⊥BD，利用解直角三角形可求AB的长，通过解直角三角形分别求出BC，AD，CD的长，再根据面积公式求解即可；（3）过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，可得，根据面积法求出关于面积的二次函数关系式，根据二次函数的性质求出最值即可．【详解】解：（1）如图，设点D到AC和AB的距离分别为DE，DF，∵AD平分∠BAC∴DE=DF∴，∴∴，即点到的距离为，故答案为：；（2）连接OB，∵点是半圆的三等分点（弧弧），∴∴∵AC是的直径，∴∵BD平分∠ABC∴过点A作AE⊥BD于点E，则∴AE=BE设AE=BE=x，则∵BD=BE+DE=∴x=∴∵∴∴BC=∵BD平分∠ABC∴∴∴AD=CD∵AE⊥DE∴∵，∴∴===32；（3）过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，∵AB=AD∴∠ACB=∠ACD∴AM=AN∴△ABN≌△ADM∴∵AN=AM，∠BCA=∠DCA，AC=AC∴△ACN≌△ACM∴∵∠ABC=60°∴∠ADC=120°∴∠ADM=60°，∠MAD=30°设DM=x，则AD=2x，∴∵∴，即∵抛物线对称轴为x=5∴当x=4时，有最大值，为【点睛】本题主要考查了圆的综合问题，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，解题的关键是作出恰当的辅助线构建全等三角形和直角三角形求值计算与列出正确的函数关系式．25．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，且点A是弧CD的中点，点F在弧AB上，连接CF、BF．（1）求证：∠C+∠F+∠B＝90°（2）点G在弧BD上，连接CG与直径AB交于点H，连接DG，且DG＝CH．求证：AE＝EH；（3）在（2）的条件下，点K为弧FD的中点，连接FK、BK，FK＝5，过点C作CQ∥FK，交⊙O于点Q，交BK、BF于点M、N，MN＝3，OE＝EH，KM﹣4＝CN，连接FQ，求FQ的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）15．【分析】（1）设AB与CF相交于R，应用三角形外角和定理、垂径定理即可解决问题；（2）连接AC，DH，首先判定AB是CD的垂直平分线；其次应用垂直平分线的性质得出HC＝HD；接着通过不同线段之间的转化，得出角之间的关系；然后通过弧和对应圆周角之间的关系，求出弧相等；再由弧相等，推出弦（边）相等AC＝DG＝CH；最后通过等腰三角形的三线合一定理得到结论AE＝EH；（3）连接CA，CO，连接CK交FB于点S，作CT⊥KB于点T，首先，由平行的性质得出角度之间的关系∠FKC＝∠KCQ；由A是的中点，K为弧的中点，以及平行得出的角度的关系，推导出弧所对应圆周角的度数，以及弧之间的度数关系，设对应的圆周角度数为a，对应的圆周角度数为b，可得对应的圆周角度数为b，对应的圆周角度数为a+2b；由等腰三角形，∠BFK＝90°﹣a﹣b，∠FKC＝2a+2b，∠FSK＝＝90°﹣a﹣b＝∠BFK，KS＝KF＝5，∠CNF＝∠SFK＝∠FSK＝∠CSN，CS＝CN；然后，由已经条件和（2）相关结论，由OE＝EH，可得EH＝18m，OE＝7m，AE＝18m，OC＝OA＝25m，CE＝24m，AC＝30m；再然后，通过辅助线构造两个相似三角形Rt△CAE∽Rt△CKT，再结合直角三角形，从而求得CK＝5n，CT＝4n，KT＝3n，CN＝CS＝5n﹣5，CM＝5n﹣2，KM＝5n﹣1，MT＝KM﹣KT＝2n﹣1，最后，在Rt△CTM中，应用勾股定理求出n，即求得FQ＝CK＝15．【详解】解：（1）设AB与CF相交于R，如图：∵AB是直径，A是的中点，∴AB⊥CD，∴∠C+∠CRB＝90°；∵∠CRB＝∠F+∠B，∴∠C+∠F+∠B＝90°；（2）如图2，连接AC，DH，∵AB是直径，A是的中点，∴E是CD的中点，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴HC＝HD，∴∠HCD＝∠HDC，∵DG＝HC，∴DG＝DH，∴∠DGH＝∠DHG＝2∠HCD，即∠DCG＝∠DGC，∵A是的中点，∴对应的圆周角度数为∠DGC，而对应的圆周角度数为∠DCG＝∠DGC，∴，∴AC＝DG，∴CA＝CH，又∵CE⊥AH，∴E是AH的中点，∴AE＝EH；（3）连接CA，CO，AK，连接CK交FB于点S，作CT⊥KB于点T，如图：∵CQ∥FK，∴∠FKC＝∠KCQ，∴，∴，∴CK＝FQ．设对应的圆周角度数为a，对应的圆周角度数为b，∵点K为弧FD的中点，∴对应的圆周角度数为b，∴对应的圆周角度数为a+2b，∵A是的中点，∴对应的圆周角度数为a+2b，∴∠BFK=∠BAK＝90°﹣a﹣b，∠FKC=∠AKF+∠AKC＝2a+2b，∴∠FSK＝180°﹣∠BFK﹣∠FKC＝90°﹣a﹣b＝∠BFK，∴KS＝KF＝5，∵CQ∥FK，∴∠CNF＝∠SFK＝∠FSK＝∠CSN，∴CS＝CN，∵OE＝EH，设EH＝18m，则OE＝7m，由（2）知AE＝EH＝18m，∴OC＝OA＝OE+AE=25m，在Rt△CEO中，OE2+CE2＝OC2，解得CE＝24m，在Rt△CEA中，AE2+CE2＝AC2，解得AC＝30m，∵∠CAE＝∠CKT，且∠AEC＝∠KTC＝90°，∴Rt△CAE∽Rt△CKT，∴CK：CT：KT＝CA：CE：AE＝30m：24m：18m＝5：4：3，设CK＝5n，那么CT＝4n，KT＝3n，∵SK＝5，MN＝3，∴CN＝CS＝5n﹣5，CM＝CN+MN＝5n﹣2，又∵KM﹣4＝CN，∴KM＝CN+4＝5n﹣1，MT＝KM﹣KT＝2n﹣1，在Rt△CTM中，CT2+TM2＝CM2，（4n）2+（2n﹣1）2＝（5n﹣2）2，解得n1＝3，n2＝（不符合题意，舍去），∴FQ＝CK＝5n＝15．【点睛】本题考查垂径定理，三角形外角性质，平行线性质，弧、弦、圆周角之间关系，等腰三角形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，掌握垂径定理，三角形外角性质，弧、弦、圆周角之间关系，等腰三角形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理是解题关键．26．（2021·江苏·江门市第二中学九年级月考）问题提出如图1，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝BA+AD．小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC．∵M是的中点∴∴∠MCB＝∠MAC（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用如图3，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是．拓展研究如图4，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系，并说明理由．【答案】问题提出：见解析；推广运用：1+；拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD，理由见解析【分析】问题提出：首先证明△EAM≌△BAM（SAS），进而得出ME=MC，再利用等腰三角形的性质得出ED=CD，即可得出答案；推广运用：首先证明△ABF≌△ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出BE的长即可得出答案；拓展研究：连接EA，EF，ED，EB交AC于N，根据已知条件得到∠BEM=∠CEM，根据全等三角形的性质得到CD=ND，∠ECD=∠END，根据等腰三角形的判定得到AN=AB，于是得到结论．【详解】问题提出：证明：如图2，延长CA至E，使AE=AB，连接MA、MB、MC、ME、BC，∵M是的中点，∴MB=MC，∠MBC=∠MCB，∵∠MAB=180°-∠MCB，∠EAM=180°-∠CAM=180°-∠MBC，∴∠EAM=∠BAM，在△EAM和△BAM中，，∴△EAM≌△BAM（SAS），∴ME=MB=MC，又∵MD⊥AC，∴ED=CD，∴DC=AD+AE=BA+AD；推广运用：解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE=，则△BDC的周长=BC+BD+CD=BC+2BE=1+，故答案为：1+；拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD，证明：延长MD交圆O于点E，如图④，连接EA，EF，ED，EB交AC于N，∵M是的中点，∴∠BEM=∠CEM，在△EDN和△EDC中，,∴△EDN≌△EDC,∴CD=ND，∠ECD=∠END，∵∠ECD=∠ABE，∠ENC=∠ANB，∴∠ANB=∠ABE，∴AN=AB，∴AD=AN+ND=BA+CD．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．27．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级开学考试）如图，为的弦，弧＝弧，连接的延长线交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，于点交于点，连接交于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，的延长线交于点，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据等弧所对的弦相等可得，根据半径相等可得，进而可得；（2）作的中点，连接，根据中位线定理可得，根据直接三角形中线的性质，根据半径相等可得，根据等角的余角相等，可得，进而可得，，证明四边形是平行四边形，可得，进而得出结论；（3）先证明及勾股定理求得，证明求得，进而求得【详解】（1）连接，，如图，在的垂直平分线上，（2）作的中点，连接垂直平分，四边形是平行四边形即（3）如图，连接在中即设则解得（舍）即．【点睛】本题考查了圆的性质，垂直平分线的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键．28．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）已知AB、CD均为的直径，连接AC，AD，已知．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点E在弧BC上，连接AE、DE，过点A作AE的垂线交于点F，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF交AD于点G，在AC上取点M，连接EM，若，，，求线段DE的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由CD为圆的直径，，可得，从而，即得；（2）过点A作于点H，过点B作于点G，连接BE，BF，BD，由四边形AFBE是矩形，可得，根据，得，故，，证明，可得，即得；（3）设CD与ME交于N，过D作于H，连接CE、BE，设，，则，由是等腰直角三角形，可得，，，中，可得，即半径为，即可求，根据，可列方程①，证明，可得，即，而，故，即得，另一方面，由，有，可得，解得，把代入①即得，从而求得．【详解】解：（1）∵CD为的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）证明：过点A作于点H，过点B作于点G，连接BE，BF，BD，如图：∵AB为的直径，，∴，∴四边形AFBE是矩形，∴，∵，由（1）知：直径，∴，，∴，∵，，∴和均为等腰直角三角形，∴，，∵AB为直径，∴，又∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴；（3）设CD与ME交于N，过D作于H，连接CE、BE，如图：由（2）知：，四边形AFBE是矩形，设，，则，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，中，，中，，，∴，即半径为，∴，∵CD为的直径，∴，中，，由图可知：，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴①，∵，而，∴，又，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，解得（舍去）或，把代入①得：，解得：，∴，∴．【点睛】本题主要考察圆的综合应用，其中包含圆的性质、等腰直角三角形的性质与证明、全等三角形的判定与性质、矩形的证明与性质、相似三角形的证明与性质等，属于综合的几何问题求解，难度较大．解题的关键是由题干的垂直条件画出辅助线和巧设未知数，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解问题．29．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）．【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论，（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出和是等腰三角形，得出BM=MC=FG=CG，MH=HG，进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；（3）过O点作OP⊥AC，由垂径定理得出，再由和平行线分线段成比例定理求出，由勾股定理进而可求BH，再利用相似三角形对应边成比例求出HG，即可得BF长．【详解】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，

∵AB=AC，

∴，

∵AE过圆心O，

∴，，

∴∠BAC=2∠BAE，

∵OA=OB，

∴∠ABD=∠BAE，

∴∠BAC=2∠ABD；（2）如解图（2），连接OA并延长AO交BC于E，AE交BF于M，连接MC，设，则∵AE=EC，AE⊥BC，

∴BM=MC，

∴∠MBC=∠MCB，

∵BG⊥AC，AE⊥BC，

∴∠EAC+∠ACE=90°，∠HBC+∠ACE=90°，

∴，

∴，

∵，

∴，∴∠G=∠CMG，

∴CG=CM=BM，∵AC⊥BG，

∴MH=HG，∵OA=OC，∴∴，∵，即，∴，∴FG=CG，∴BM=MC=FG=CG，又∵MH=HG，∴BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，∴BF=2HG．（3）过O点作OP⊥AC，如解图（3）∵AO是∠BAC的角平分线，∴点O到AB、AC的距离相等，∴，∵AD=2，CD=3，∴AB=AC=5，∴，即：，∵OP⊥AC，∴，，∵，∴OP//BH，∴，∴，∴，，∵在中，，∵，，∴，∴即：，∴，∴，由（2）得BF=2HG，∴【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．30．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．设∠B＝α，∠ADC＝β．（1）求∠BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．【答案】（1）∠BOD＝2α+2β；（2）AC＝；（3）OC＝．【分析】（1）作辅助线OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可确定∠DOB的值；（2）分析△ACD中只有∠D可能等于30°，得出∠D的对应角为∠B，根据相垂径定理可得出AC的长；（3）先根据比例中项得出a和b的关系式，再