27.1 圆的认识（难点练）原卷版

27.1圆的认识（难点练）一、单选题1．（2021·广东深圳·九年级专题练习）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM．分析下列结论：①AP⊥BN；②BM＝DN；③点P一定在以CM为直径的圆上；④当AN＝时，PC＝．其中结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2021·重庆八中三模）如图，是的直径，为的弦，且于点，点为圆上一点，若，，，则的长为（）A． B． C．4 D．53．（2021·湖南·长沙市怡雅中学九年级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列五个结论中正确的选（）（1）H是FK的中点（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝（5）HG⊥HCA．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级月考）半径OA⊥弦BC于D，将⊙O沿着BC对折交AD于点E，，△ABE的面积为36，则OD的长为（）A．3 B． C．4 D．5．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（）A． B． C． D．6．（2021·安徽义安·二模）如图，的半径为2，定点在上，动点，也在上，且满足，为的中点，则点，在圆上运动的过程中线段的最大值为（）．A． B． C． D．7．（2021·江苏·镇江市大路实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以点A为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C是⊙上的一个动点，则的最小值为（）A． B． C． D．8．（2021·广东·广州市第一中学九年级期中）如图，直角中，，，点是内部一动点，总满足∠APC=150°，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．9．（2021·广东华侨中学二模）如图，已知的半径为3，弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．1210．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级期中）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（）A． B． C． D．11．（2021·安徽·三模）如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（）A． B． C． D．12．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）在矩形中，已知，，现有一根长为的木棒紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点在运动过程中所围成的图形的面积为（）A． B． C． D．二、填空题13．（2021·浙江浙江·九年级期末）图1是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，．（1）点P与点O之间距离的取值范围是_______．（2）若磨盘转动500周，则点P在轨道上滑动的路径长为__________m．14．（2021·上海市洛川学校九年级期中）在中，，，，点、分别在边、上，且，，将绕点旋转至，点、分别对应点、，当、、三点共线时，的长为______．15．（2021·湖北青山·三模）如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙O与y轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上移动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别相交于点D、E，则△CDE面积的最小值为_________．16．（2021·浙江·一模）如图1是护眼台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即弧和弧）．在转动过程中，（）总是与桌面平行．当时，．，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，，测得，则点E到桌面的距离为______．若此时点C，F，M在同一条直线上，弧的最低点到桌面的距离为，则弧所在圆的半径为_____（保留一位小数）．17．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．三、解答题18．（2021·福建省泉州实验中学九年级期中）在中，弦直径于点，为线段上一点，，连接并延长交于点，连接，．（1）求证：；（2）连接，，，若，，求线段的长度．19．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC到点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图1，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图2，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E在线段OA上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．20．（2021·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期中）如图，点A和动点P在直线上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线⊥，过点O作OD⊥于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF，设AQ=3x（1）用关于的代数式表示BQ，DF；（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长；（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形．21．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级月考）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为_______；②△ABC面积的最大值为_______；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=，BC=5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC=60°，求线段PB长的最小值为_______．22．（2021·云南·昆明市第一中学西山学校九年级月考）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．（1）求证：点为的中点；（2）若，，求的长；（3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．23．（2021·江苏·无锡市第一女子中学九年级月考）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…（1）请你完成小明剩余的证明过程；理解运用：（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD=；②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为；拓展延伸：（3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．24．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）问题提出：（1）如图①，在中，，，，若平分交于点，那么点到的距离为______．问题探究：（2）如图②，四边形内接于，为直径，点是半圆的三等分点（弧弧），连接，若平分，且，求四边形的面积．问题解决：（3）为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，如图③所示是其中一块圆形场地，设计人员准备在内接四边形区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形满足，，且（其中），为让游客有更好的观体验，四边形花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．25．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，且点A是弧CD的中点，点F在弧AB上，连接CF、BF．（1）求证：∠C+∠F+∠B＝90°（2）点G在弧BD上，连接CG与直径AB交于点H，连接DG，且DG＝CH．求证：AE＝EH；（3）在（2）的条件下，点K为弧FD的中点，连接FK、BK，FK＝5，过点C作CQ∥FK，交⊙O于点Q，交BK、BF于点M、N，MN＝3，OE＝EH，KM﹣4＝CN，连接FQ，求FQ的长．26．（2021·江苏·江门市第二中学九年级月考）问题提出如图1，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝BA+AD．小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC．∵M是的中点∴∴∠MCB＝∠MAC（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用如图3，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是．拓展研究如图4，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系，并说明理由．27．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级开学考试）如图，为的弦，弧＝弧，连接的延长线交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，于点交于点，连接交于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，的延长线交于点，求的长．28．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）已知AB、CD均为的直径，连接AC，AD，已知．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点E在弧BC上，连接AE、DE，过点A作AE的垂线交于点F，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF交AD于点G，在AC上取点M，连接EM，若，，，求线段DE的长度．29．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．30．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．设∠B＝α，∠ADC＝β．（1）求∠BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．31．（2021·黑龙江·哈尔滨市