2026高考数学一轮复习：曲线对称性的研究（含答案）

2026《高考数学一轮复习微专题106讲》含答案84.曲线对称性

的研究利用曲线方程研究曲线的对称性

一.基本原理

1.关于大轴对称

代数判断方法：若对于曲线方程尸（x,y）=0,将），换为一y后方程尸（占-），）=0与原方程

/（乂）,）=0等价，则曲线关于x轴对称.

2.关于），轴对称

代数判断方法：若对于曲线方程/*,y）=0,把/换为-x后方程产（-苍y）=0与原方程

/（乂）,）=0等价，那么曲线关于），轴对称.

3.关于原点对称

代数判断方法：对于曲线方程/（乂），）=0,把x换为-x,）,换为一），后方程厂（一x,-y）=0

与原方程尸（乂），）=（）等价，则曲线关于原点对称.

4.关于直线y=x对称

代数判断方法：将曲线方程/（x,y）=。中的x与），互换，得到方程尸（y,x）=（）,若它与原

方程等价，则一曲线关于直线y=x对称.

5.关于直线丁二-不对称

代数判断方法：将曲线方程F（x,），）=0中的工换为一），，y换为-x,得到F（-y,-x）=0,

若与原方程等价，则曲线关于直线），=-犬对称.

二.典例分析

例L（四川省成都市2025届高三二诊）.对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖

住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最

小圆称为最小覆盖圆.则曲线/+），4-//一/一）,2=（）的最小覆盖圆的半径为.

解析：因为把I换成T,方程不变，所以曲线X4+），4T2y2-x2—y2=（）关于），轴对称；

因为把y换成一九方程不变，所以曲线f+），47、2一9一）,2=0关于］.轴对称；

因为把X换成同时把）'换成-九方程不变，所以曲线f+），47学72一）,2=0关于坐

标原点对称；

因为把X换成）'，同时把换成X,方程不变，所以曲线d+V-dJ-V—）,2=0关于直线

）'=x对称，因此最小覆盖圆圆心必在坐标原点，从而最小覆盖圆的半径为曲线

x4+/-x2/-x2-y2=。上点到原点距离最大值，X”+y4T2y2）j=（）

...，+）,2）2_*2+）,2）=3[2）,2«3（夸片）,（当且仅当工2=/时取等号）

」.OKf+产工4,0工乒了工2,因此最小覆盖圆的半径为2,故答案为：2

例2.已知曲线E的方程为1+），2=凶+3,则（）

A.曲线£关于直线）对称

B.曲线E围成的图形面积为兀+2

C.若点小,外）在曲线E上，则|一笥色乂与工笥区

D.若圆/+9=/（r>0）能覆盖曲线E,贝"的最小值为今旦

22

解析：曲线E上任意点（内）有：x+y=\j]+\y\f该点关于x的对称点（y,x）有

9+f=N+N，即由线E上任意点关于直线），=大的对称点仍在曲线七上，故选项A

正确；

因为点在曲线E上，点（-占），），点@,一”也都在曲线E上，则曲线“关于x轴，y轴对

称，当xNO,”。时，曲线E的方程为k』+（），-步;，表示以点为圆心，与

为半径的圆在直线工+>=1上方的半圆（含端点）,因此,曲线E是四个顶点为（7,0）,（。,-1）,

（L0）,（0,1）的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图，所以曲线E围成的图形的

面积是:x2x2+4x；7tx(*)=兀+2,

故选项B正确;

点5，%）在曲线E上，则看+城=1$1+1%1,；.（闯-+（尻卜；）=；,

.•.（闻曰为闻工学，解得_与纹故选项C正确；

曲线E上的点到原点距离最大值为J+（；J+曰=拒，圆F+）/=/（/>0）能覆盖曲

线E，贝儿面=正，故选项D不正确.故选：ABC.

例3.（2025•安徽合肥•一模）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优

美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”

C：X2+25X2/+/-9=0,则()

A.曲线C关于直线N=-r对称

B.曲线。有4个顶点

C.曲线C与直线y=-x+3有4个交点

D.曲线C上动点”到原点距离的最小值为短

5

解析：对于A,将x，y交换方程依然成立，所以曲线关于y=x对称，A正确；

对于B,易得曲线有四条对称轴X轴，)’轴，直线直线y=-工，共有8个顶点，B

错误；

得f+25/(―X+3『+(-X+3)2-9=0,

即25X2(-X+3)"+2A(X-3)=0,可得x(x-3)(25f-75x+2)=0,对于方程25./-75x4-2=0,

A=(-75)2-4x25x2>0,则方程25/一75x+2=0有两不等实根,且方程的根不为。和3,

所以方程x(x-3乂25d-75x+2)=0有4个不等实根,

从而曲线C与直线)，=f+3有4个交点，C正确;

对于D,由丁+25臼,2+),2_9=0得/=士二，

25x*+1

2229-X225X2+12262

X2+=x2+——；—=----------+-7——:_r------

25/+12525(25/+1)25

l25x2+l226225/226225x2+l226

-J—一.25(25x2+l)-25=-25―一25*当且仅当25—25(25.r+1]即

/=叵二1时取等号，则Y+y2的最小值为拽至一2,曲线©上动点P到原点距离的

252525

最小值J拽至三,D错误；故选：AC

V2525

三.习题演练

1.在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖

圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三

角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已知x,y满足方程/+./=4,记其构成的平面图

X

解：对于①，用（y,x）替换方程中的（乂），），方程形式不变，所以曲线。关于直线）一”对称，

故①正确，

对于②，设点P（x,y）是曲线上任意一点，贝|」，+）,2丫=4/），2,则点。到原点的距离为

产T7,由（9+），2）'=4/域4、（沼£）,解得斤了”1,当且仅当/=/=《时取

等号，故②正确，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1,

所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2,故③错误.

故选

85.解析几何新概念多选压轴中的八种命题形式

★L卡西尼卵形线

定义：到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.

设两定点为0&且闺周=2,动点P满足俨4户周="（我0且为定值），取直线

耳鸟作为x轴，耳弱的垂直平分线为）'轴建立平面直角坐标系.设尸3,y）,则

7U+D2+K-,整理得：。2+丁）2-2（尤2一>2）=〃2一］,解得

>2=（—x~-1）+14x~+〃2（1-ClX~W1+4）.

于是曲线。的方程可化为J2=（一/一1）+〃/+储（1-6/<X2<l+6Z）.

进一步，对于常数〃20

当4=0时，图像变为两个点6（-1,0）,工（1,0）

当时，图像分为左右两支封闭曲线，随着4的减小而分别向点耳，用收缩

当。=1时，图像呈8字形交叉，称为双纽线

当1<。<2时，图像为中部凹陷的光滑曲线

当。=2时，图像中部接近水平

当。>2时，图像为光滑卵形封闭曲线

例1.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形

线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲

线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为

常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F、(-1,0)和6(1,0)的距离的积等于常数/.>1)的

点的轨迹，则下列命题中错误的是()

A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称

C.曲线。关于坐标轴对称D.若点尸在曲线C上，则鸟的面积不大于:/

解析：由题意设动点坐标为(X,)，)，则加1+1)2+产“1尸+),2=/,

即[(x+1)2+/][(x-l)2+/]=",

即曲线C的方程为[(A-+If+/][(X-l)2+/]="(4>1),

若曲线C过坐标原点(0,0),将点(0,0)代入曲线C的方程中可得/=|与已知4>1矛盾，

故曲线。不过坐标原点，故A错误；把方程中的X被T代换，)'被一)•代换，方程不变，

故曲线。关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的火被f代换，方程不变，故此曲

线关于)'轴对称，把方程中的)'被-)'代换，方程不变，故此曲线关于X轴对称，

故曲线。关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则|P用

S/m=；归用|尸周当且仅当/月尸6=90。时等号成立，

故△£。区的面积不大于故D正确.故选；BCD.

2

例2.(2023届广州一模)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，

它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系工。丫

中，M(-2,0),N(2,0),动点尸满足1PMi・|呐|=5,则下列结论正确的是()

A.点P的横坐标的取值范围是[石，石[B.|0”的取值范围是[1,3]

C.dMN面积的最大值为，D.|PM|+|PN|的取值范围是[2石,5]

解析：设点PC"),依题意，[(%+2)2+-依％―2『+*=25,

222

对于A,25=[(x+2)+V][(x-2)+/]>(x+2)(x-2)?=(/_4『，当且仅当产()时取等号,

解不等式(丁-4尸425得：-3Mx=3,即点P的横坐标的取值范围是「3,3],A错误；

对于B,[(./+),2+4)+4制(炉+),2+4)-4出=25,则f+)>+4=,25+16/，

显然因此|0P|=&+国=历5+16犬-441,3]，B正确；

对于CN的面积S=^\PM\\PN\sin4MPN<^\PM||P/V|=|,当且仅当/MPN=90

时取等号，当NMPN=90时，点尸在以线段MN为直径的圆/+丁=4上，由

ff.一辆

\x~+y2=4x--5

、,i-------解得」4,所以△PMN面积的最大值为彳，C正确；

，+),2+4=j25+16F?=+52

-V--4

对于D,因为点(3,0)在动点尸的轨迹上，当点P为此点时，|PM|+|PN|=5+1=6,D错误.

故选：BC

★2.双扭线

例3.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线

条,其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xO)，平面上，把与定点小修。,0)

距离之积等于片(。>。)的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当〃=2夜时的双纽线，P是曲

线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的是().

①曲线C关于原点对称

②曲线C上满足归用=归用的尸有且只有一个

③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4

④若直线>=匕与曲线。只有一个交点，则实数人的取值范围为(f-1)。(1,内)

A.①②③B.®@®C.®@@D.②③④

解析：根据双纽线的定义可得，yl(x+a)2+y2/x-a)2^y2=a2,当〃=2夜时，曲线C：

如++/加一2d+)】=&,BP/+2y2(x2+8)+(x2-8)2=64,整理，得

(x2+y2)2=16(x2-y2),①：用(-覆-)，)替换方程中的3.丁)，原方程不变，所以曲线。关于

原点中心对称，故①正确；

②:若曲线C上点尸满足|P用=|"|,则点尸在)，轴上，即x=0,代入曲线方程，解得y=o,

所以这样的点仅有一个，故②正确；

③：由(犬+)，2)2=16(/-)，2),得一+)，2=1空飞316,所以曲线C上任意一点到原点

x*+y

的距离d=&+），2W4,即都不超过4,故③正确；

④：直线丁=心与曲线C一定有公共点（0,0）,若直线），="与曲线C只有一个交点,

2222222

将y=kx代入方程（x+y）=16*2一/）中,得k4x4+2kx\x+8）+（x-8）=64,

整理，得（1+公）2工4=］6（1-二口2,方程无解，则1_抬40,解得ZWT或太21,故④错误.

故选：A.

例4.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符

合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与

智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，

却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C：

（/+）,2）2=9（i2—y2）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.若直线），=履与曲线c只有一个交点，则实数女的取值范围为（F，T3I，M）

解析：把（一,一），）代入卜2+），2）2=9卜2-），2）得,+力2=9卜272）,所以曲线。的图象关

于原点对称，故A正确；令y=0解得x=0,或0±3,即曲线经过（0,0）,（3,0）,（-3,0）,

结合图象，-3M3,令x=±1,得,2=-1〈［，令彳=枝手此产二T7［，362<2,

因此结合图象曲线C只能经过3个整点，（0,0）,（2,0）,（-2,0）,故B错误；

+V丫=4/）可得■+）,2=9*-；2）工§,所以曲线C上任意一点到坐标原点。的

距离〃=历了43,即都不超过3,故C正确；直线），=米与曲线1+户2=9，一）,2）

一定有公共点（0，。），若直线片丘与曲线C只有一个交点，所以卜"力=9（*-），）

y=kx

整理得f（1+公）2=9/（1-r）无解，即1_攵*0,解得“（—，T3l，y），故D正确.故

选：ACD.

★3.心形线

例5.(2019年北京理)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：X2+)，2=1+卜|)，

就是其中之一(如图).给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)，

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过0；

③曲线。所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A.①B.②C.SX2)D.①②③

解析：由f+9=]+国)、得,),2一曲,二]一工2,0叫=1手,]手面户2?

所以X可为的整数有0,-1,1,从而曲线C：/+y2=1+国)，恰好经过(0,1),(0,.1),(1,0),(1,]),

(・1,()),(4,1)六个整点,结论①正确.

由X2+)7=1+国),得,犬+媪1+^_±2_，解得/+y2工2,所以曲线。上任意一点到原

点的距离都不超过夜.结论②正确.

如图所示，易知4(0,-1)1(1,O),C(1J),£)(0,1),四边形A8CO的面积

13

S.C”=5X1X1+1X1=5,很明显“心形”区域的面积大于2sA8C/)，即“心畛’区域的面积大

★4.阿波罗尼斯圆

定义：已知平面上两点A,6,则所有满足酱|=儿＞1工1的劭点产的轨迹是一个以定比为

m:〃内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.若A（a,0）,8S,0）,则圆的半径

龙+1

为圆心为（-IAB|,0).

无一122-1

解析：设A（—c,0）,8（c,0）,尸（X,），）.因为A尸=/lBP（c>0,；l>0且由两点间距离公

式得J（x+c）2+y2=/lJ（X-C）2+）3,化简得X--——C+）产二宝——C.

所以点P的轨迹是以彳「*0为圆心，以C为半径的圆.

U--iJ1

例6.在平面直角坐标系中，三点A（—1,0）,8（1,0）,C（0,7）,动点P满足PA=gPB,

则

A.点P的轨迹方程为（X-3『+丁=8B.AM3面积最大时PA=2限

C.NQ钻最大时，PA=2y/6D.P到直线AC距离最小值为述

5

解析：由题意可设P（x,）；）,由PA=6PB,可得姑2=22区2,

即（X+1『+），2=2[（X+1）2+），2],化简可得（x-3『-y2=8,故选项A正确；

对于选项B,|45|=2,且点尸到直线AB的距离的最大值为圆（x—3『+），2=8的半径r,

即为2及，所有△PA8面积最大为:x2x2a=26，此时2（3,28），所以

PA=^（3+1）2+（2X/2）2=2V6,故选项B正确；

对于选项C,NQA8最大时，为过点4作圆（x—3『+y2=8的切点，求得切点不为

（3,±2五），则PAw2〃，故选项C错误；

对于选项D,直线AC的方程为7x-y+7=0,则圆心（3,（））到直线AC的距离为

容±2=电1,所以点/>到直线AC距离最小值为业^-2后=逑，故选项D正

555

确；故选ABD.

结论♦…已知圆（X-。）2+（y-份2=,上任意二点P和坐标轴上任意两点4J,…求形如

"A±QA（PA±/IPB）的最值问题,…可逆用阿氏圆转化为三点芸线最值计算一

例7.已知圆C是以点M：2,2b）和点N（6,-26）为直径的圆，点P为圆C'上的动点，若点

A（2,0）,点5（1,1）,则2陷一阀的最大值为（）

A.x/26B.4+V2C.8+50D.V2

解析：由题设，知：C（4,0）且IMN|="（-2G-26）2+（6-2尸=8，即圆C的半径为4,

・••圆C：*一4）2+），2=[6,

4I

如上图，坐标系中Q（Y,O）则OD=2AC=CP=OC=4,・・.一=—二一，即△APC〜△PCD,

CPDC2

pA1

故制=5,（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.

：.2\P^-\PB\=\PD\-\PB\t在△/祝）中|PQ|-|依|<18。|,・•・要使|9|-|。用最大，

夕，氏。共线且最大值为IBQI的长度./.|BD\=7（1+4）2+1=V26.故选：A

★5.四叶玫瑰线

例8.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线。：（丁+），2丫=4/），2被称为“四叶玫瑰线”（如图

所示）.给出下列三个结论：

①曲线c关于直线y=x对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；

③存在一个以原点为中心、边长为&的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是（）

A.①②B.®@C.D.①②③

解：对于①，用（），,»替换方程中的（xy）,方程形式不变，所以曲线c关于直线丁二”对称,

故①正确，

对于②，设点户（乂），）是曲线上任意一点，贝1」■2+），2丫=4人勺2,则点p到原点的距离为

后寿，由（/+），2）3=4/咒,4*1三昔），解得斤了.1,当且仅当工2=），2=：时取

等号，故②止确，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1,

所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2,故③错误.

故选：A

★6.包络曲线

例9.（湖北省部分地市州25届高三元月联考）.直线族是指具有某种共同性质的直线的全

体，例如），=h+1仅cR）表示过点（。,1）的直线族（不包括直线x=0）.直线族的包络曲线

定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切

线都是该直线族中的某条直线.已知直线族3+与，=1（〃力eR）,则下列说法正确的是（）

A.若a=cosa〃=sine（6w［0,27i））,则该直线族的包络曲线为圆

B.若。=财为=财（加＞〃＞0,。«0,2冗）），则该直线族的包络曲线为椭圆

mn

C.当。=》=一3（＞0）时，点（％,2£）（%＞0）可能在直线族…P上

D.当/+力=（）时，曲线/=4），（.忏0）是直线族心与』的包络曲线

解析：对于A,设圆0：/+产=］上的点为「（85“痴0）,直线OP的斜率为%°=当，

8S。

过点P作圆的切线/,由得勺=-笆，所以切线/的方程为

sine/

CCS。

y-sin0=---—（x-cos0）,即xcos。+ysin。=1,故A正确；

sin®

对于B,设椭圆£+£=1上的点为P（〃mse,〃sin。），过点。作圆的切线/,当切线斜率存

nrn~

KJ'—1

在时，设丁=米+力，'H2,联立得：（/+〃/公）f+2版〃2工+〃/力2一〃?2/=o,

y=kx+b

fxriz＞kbm'..n~b止有mcQsOknr殂

BTkA/zzcos0——z---；-r-9usin0n=kfitcosdn+b=-z---z—"•ip商z------=---z—9

n2+nrk2n2+tn2!c2〃sin。n2

k=_ncos^f所以切线/的方程为y_〃sin8=-^J.icos。），即汉与史皿=］；

msinO〃?smHmn

当切线斜率不存在时，0=0或。="，则切线方程.y=〃和）'=一〃亦满足笆"+凶卫=1,

mn

故B正确；

对于C,将（马,2片）代入y=3t2x-2f得2/-3/小+2片=0,构造/（/）=2尸一3Ao+2*,

/（）=&（/一%），当小（0,小）时，r（/）＜0.当/e（%,+8）,八。＞。.所以/（，）在（0,.%）上单调

递减，/⑺在（％,+8）上单调递增，因而当，=与时，/⑺取到最小值

/30）=2£-3年.q+2石=片＞0,所以/⑺在（。,+8）无零点，2〃-3〃/+2£=0无解，故C错

误;

对于D,若（如%）不在直线族上，则将小,%）代入直线?二}-5得.%/-以（）+1=0无解,

则A=X-4%<0,所以必今因而可得当（.％,.%）在曲线产=4），上时，则一定在直线族上，

联立y=--^和丁=4，.，得/一±入+3=0,所以△=（一3]-4•:=0,故直线y='x--T

aa-'aa-\a）a-aa-

和f=4），相切，又，…e不包括直线），=0,所以f=4乂-0）是直线族皿/，小的包络曲线,

故D正确.故选：ABD.

★7.高次曲线

例10.（2025•江西•一模）我们把形如§+1=1（〃的曲线叫作拉梅曲线，该曲

线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的.下列说法正确的

是（）

A.若〃=1,则拉梅曲线|丐"+/’=1围成的封闭区域的面积为4面

B.若〃=!，则拉梅曲线+?”=1围成的封闭区域的面积小于（4-兀）/

C.若拉梅曲线f"+2"=l与曲线网=1恰有4个公共点，贝U〃=log.2

aa

D.若P（“。）为拉梅曲线呼+1"=1上第一象限内一点，贝昨％城《皇

解析：当〃=1时，拉梅曲线方程为§+1=1为菱形，与坐标轴交于点（±。,0）,（。,9），

则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab,A不正确.

当〃=:时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线口“+口”=1在第一象限的情形，

2I。也

此时由g+后=1可得丫=（«-«）,下证（6<a-y/a~-（x-a）2,

BPiiE«-2>Jax+A-<a-Jzar-x），即证+-x2v（），

即证4+1247<2&，即证2a+26（2〃-x）<4a,即证Jx（2a-x）<a,

即证M加一即证（x—a）]〉。，这显然成立.

因为），=〃一一（1一〃）2（（）<.¥<«）表示圆心为（4,4）.半径为a的四分之一圆弧.

所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为（1-;兀）/,

x

则拉梅曲线=1与第一象限围成的封闭区域的面积小于

a4

则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于（4-九）。2,B正确.

x

当拉梅曲线+£=1与曲线的=1恰有4个公共点时,

ab

\n

根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由

xy=\.

整理得V"_。"父+]=o恰有1个正根，贝!|A=-4=0，

解得a”=2,即〃=loga2,C正确.

若。（不，为）为拉梅曲线2”+博

=1上第一象限内一点,

从而（/儿）"</

则=⑶+闺』旧K打D正确.

故选：BCD.

★8.圆锥曲线（前面曲线）的拼接与组合

例11.（24-25高三下•浙江•开学考试）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两

条曲线构成，曲线6：[+[=1,上顶点为E,右顶点为G,曲线G上的点满足到尸（0.-1）

和直线丁=1的距离之和为定值4,已知两条曲线具有公共的上下顶点，过”作斜率小于。

的直线/与两曲线从左到右依次交于A8,C,。且以21,则（）

A.曲线G由两条抛物线的一部分组成

B.线段转的长度与A点到直线）=5的距离相等

C.若线段A8的长度为，，则直线/的斜率为

64

D.若S~^=3SMFG，则直线/的斜率为-辿

3

对于A选项，设曲线g上任意一点M（x,y）,

由G定义可知，工，）'满足•不存+|）」1|=4,移项，平方可得:

x2+（y+l）2=（4-|y-l|）2=16-8|y-l|+（y-l）2,即W=16-4-=产，

为两条抛物线，故A正确；

对于B选项，/和直线y=5分别为抛物线.d=_i2y+24的焦点和准线，由抛物线定义可知，

故B正确

对于C选项，设/与J轴夹角为自厂同时为抛物线炉=_]2），+24和椭圆的焦点，〃=6,

|AB|=|AF|-|BF|=—=（,解得cos"：,则勺=_:，故C错误.

l+cos®2-cos。653

对于D选项，易知产为抛物线Y=4），+8和/=-12丁+24的焦点，前者〃=2,后者

〃=6,A£。尸分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此

\AF\=--^--,\DF\=-^--,\AF\=3|DF|,由于=3s：，则4』=%./,因此EG/H,

1+cos。l+cos/9

所以勺=女房=-迈，故D正确，故选：ABD

3

三.习题演练

1.（2025•山东潍坊•模拟预测）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形

线、卵形线等.己知卵形线C：x-2&+），2=0,则（）

A.C关于直线），=。对称

B.C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个

C.C上存在点P,使得P到点（L0）的距离小于1

D.C围成区域的面积大于4

2.（2025•安徽合肥•一模）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美

曲线”与其对称轴的交点叫作，，优美曲线，，的顶点.对于“优美曲线”Gx2+25xy+/-9=0,

则（）

A.曲线。关于直线户=工对称

B.曲线。有4个顶点

C.曲线C与直线y=-x+3有4个交点

D.曲线C上动点P到原点距离的最小值为硬

5

3.（2025•云南昆明•一模）“四叶草”形态优美、寓意美好.已知曲线。：*2+严3=（4工»,

其形态极像“四叶草”，设。为坐标原点，。为C上异于原点的一点，过点，作直线OP的垂

线交坐标轴于A,8两点，则（）

A.C有4条对称轴B.C围成的面积大于4兀

C.同=4D.△048的面积最大值为4

参考答案

1.解析：由C:x-2&+y2=o,则U(«-l)2+y2=i,对于曲线上任意点《)，)，其关于X轴对

称点为(苍一y)，把(乂一丁)代入x-24+(--y)2=x-2«+y2=0成立，曲线关于直线了=()对称,

A对；

所以y2=i-(«-])2w】nTwyG,得0工五工2,故0WxK4,x=0时y=()；x=l时y=±l；

x=4时y=0,故曲线过点(0,0),(1,±1),(4,0),曲线C上恰好有4个整点,B对；

由圆(x-1)2+)，2=1过点(0.0),(1,±1),(1,0),故圆上点均在曲线上或内，所以曲线C上不存在

点尸，使得P到点(L0)的距离小于1,C错：

如图中，四边形OAC8在曲线C内部，故曲线C所围成区域的面积大于5OM8=；X2X4=4,

D对.故选：ABD

2.解析：对于A