2026年高考数学一轮复习：任意角和弧度制、三角函数的概念【五大题型】解析版

专题4.1任意角和弧度制、三角函数的概念【五大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1终边相同的角】...........................................................................4

【题型2象限角］.................................................................................5

【题型3弧度制及其应用】........................................................................6

【题型4任意角的三角函数的定义及应用】.........................................................9

【题型5三角函数值符号的判定】.................................................................10

►考情分析

1、任意角和弧度制、三角函数的概念

考点要求真题统计考情分析

(1)了解任意角的概念和

弧度制任意角和弧度制、三角函数的概念

⑵能进行弧度与角度的2023年北京卷：第13题，5是三角函数的基础，是高考数学的必考

互化，体会引入弧度制的分内容之一.从近几年的高考情况来看，主

必要性2024年北京卷：第12题，5要考察任意角的概念、三角函数的概念，

(3)借助单位圆理解三角分一般以选择题、填空题的形式出现，试

函数(正弦、余弦、正切)题比较简单.

的定义

►知识梳理

【知识点1三角函数的基本概念】

1.任意角

(1)角的概念

角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

(2)角的表示

如图：

①始边：射线的起始位置04;

②终边：射线的终止位置。3；

③顶点：射线的端点。；

④记法：图中的角可记为“角a”或“.a”或“.AOB".

2.象限角与终边相同的角

(1)终边相同的角

若角a终边相同，则它们的关系为：将角a的终边旋转(逆时针或顺时针)网左eZ)周即得角B.

一般地，我们有：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合

S={夕/=a+上.360。,左GZ},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

(2)象限角、轴线角

①象限角、轴线角的概念

在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与无轴的非负半轴重合.那么，角的终边在

第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限,

称这个角为轴线角.

②象限角的集合表示

象限角角的集合表示

第一象限角{a\k-3600<a<k-360°+90°,左eZ}

第二象限角{a\k-360°+90°<ct<A;-360°+180°,无GZ}

第三象限角{a\k-360°+180°<a<k-3600+270。斥Z}

第四象限角{a\k-360°+270°<a<k-3600+360。,左GZ}

3.角度制、弧度制的概念

(1)角度制

角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的高.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角

度制.

(2)弧度制的相关概念

①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.

4.任意角的三角函数

(1)利用单位圆定义任意角的三角函数

设a是一个任意角，aGR,它的终边。尸与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即产sina；

②把点尸的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa；

③把点尸的纵坐标与横坐标的比值训做a的正切，记作tana,即「ana(#0).

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数y=sinx,xGR

余弦函数y=cosx,x£R

TT

正切函数y=tanx,xW,+Ax（z左£Z）

(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设a是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点。重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离

为r.则sina=L,cosot=—,tana=—.

rrx

【知识点2任意角和弧度制的解题策略】

1.终边相同的角的集合

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集

合，然后通过集合中的参数版上GZ)赋值来求得所需的角.

2.确定ka,三依GN*)的终边位置的方法

先写出妹或假的范围，然后根据后的可能取值确定桁或得的终边所在的位置.

3.应用弧度制解决问题的几大要点

应用弧度制解决问题时应注意：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【知识点3三角函数的定义及应用的解题策略】

1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角

的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.

2.判定三角函数值的符号的解题策略

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各

象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.

►举一反三

【题型1终边相同的角】

【例1】(2024•全国•模拟预测)下列与？的终边相同的角的表达式中，正确的是()

A.2kn+手(kGZ)B.2kn+?(k&Z)

C.ku-*keZ)D.fcn+Y(fceZ)

【解题思路】利用终边相同角的定义即可求得与?的终边相同的角.

【解答过程】与牛的终边相同的角为2加+?(kez).

故选：B.

【变式1-1](23-24高一上•内蒙古•期末)若角a与角-金的终边相同，则a可能是()

12TT_10K22n_22n

A.—B.—―C.—D.——

【解题思路】根据a=-g+2kiT,keZ观察选项得答案.

【解答过程】由已知a=-冷+2kn,keZ

观察选项可得只有一等=-?-4冗，所以a可能是一等.

故选：D.

【变式1-2](23-24高一下•河南驻马店•阶段练习)若角a的终边在直线y=x上，则角a的取值集合为

()

A.{a|a=k-360°+45°,kEZ)B.[a|a=fc-360°+135°,kEz}

C.[a|a=fc-180°-135°,k&z}D.{a|a=fc-180°-45°,kez]

【解题思路】根据角a的终边在直线y=x上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况,

即可求出角a的集合.

【解答过程】由题意知角a的终边在直线y=x上，

故a=k•360°+45°,fceZ或a=k-360°+225°,fc6Z,

即a=(2k+1)-180°-135°,fcGZ或a=(2fc+2)-180°-135°,kEZ,

故角a的取值集合为{ala=k-180°-135°,fceZ).

故选：C.

【变式1-3]（23-24高一下•安徽蚌埠•阶段练习）将角a的终边绕坐标原点。逆时针旋转60。后与130。角的

终边重合，则与角a终边相同的角的集合为（）

A.{0|£=kx180。+90。加62}B.{/?|^=fcx360O+90°,fcGZ}

C.{）?|/?=fcx180°+150°,/ceZ}D.[^|）S=/cx360o+70o,/ceZ}

【解题思路】根据题意设。+60。=360。卜+130。/62,解出即可；

【解答过程】设a+60°=360°k+13（T,keZ,

解得&=360。卜+70。流€2,

所以与角a终边相同的角的集合为{0/=kx360°+70°,fcGZ},

故选：B.

【题型2象限角】

【例2】（2024•全国•模拟预测）若a是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（）

A.90°—ccB.180°-ccC.270°—ccD.—cc

【解题思路】根据象限角的概念判断即可.

【解答过程】若a是第一象限角，则M360°<a<90°+k-360°,kCZ,

—90°—k-360°<—a<-k,360°,fc6Z,则—a是第四象限角，故D错误；

-k-360°<90°-a<90°-fc-360°,fceZ,贝的0。一戊是第一象限角，故A错误；

90°-/c-360°<180°-a<180°-fc-360°,fceZ,则180。一。是第二象限角，故B错误；

180°-k-360°<270°-a<270°-fc-360°,fcGZ,则270°-a是第三象限角，故C错误.

故选：C.

【变式2-1]（23-24高一上•河北唐山•期末）己知a=944。，贝布是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【解题思路】&=944。=224。+2x360。，再根据终边相同的角的集合，判断224。是第几象限角，即可求

出结果.

【解答过程】因为戊=944。=224。+2x360。，又224。是第三象限角，

所以a是第三象限角，

故选：C.

【变式2-2]（23-24高一下•河南•阶段练习）已知角a以x轴正半轴为始边，终边经过点P（sing,cos亨），

贝lj3n+a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【解题思路】先确定点P在第四象限，即角a的终边在第四象限，3TT+a的终边为角a终边的反向延长线,

即可得出答案.

【解答过程】sin与=冬cos^=-i即P伴,_£）,

故点尸在第四象限，即角a的终边在第四象限，

3TT+a的终边为角a终边的反向延长线，那么3Tt+a的终边在第二象限.

故选：B.

【变式2-3］（2024•贵州•模拟预测）“a是第四象限角”是吗是第二或第四象限角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.

【解答过程】当a是第四象限角时，~+2kn<a<2n+2kn,kEZ,则?+/ot<慨<兀+eZ,即，是第

二或第四象限角.当f=?为第二象限角，但戊=与不是第四象限角，故"a是第四象限角”是吗是第二或第四象

限角”的充分不必要条件.

故选：A.

【题型3弧度制及其应用】

【例3】（2024・湖南•一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，

体扁平，呈扇面状，黄身外楼空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各

项数据（图2）：AB«8cmfAD«2cm,AO«5cm,若sin37°右.豆、3.14,则璜身（即曲边四边形4BCD）面

积近似为（）

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

【解题思路】根据给定图形求出圆心角再利用扇形面积公式计算即得.

【解答过程】显然△AOB为等腰三角形，。4=。8=5/8=8,

则COSNC4B=^=：sin"*，又疝3T

所以乙。48a37°,于是N40B=180°-2x37°=106°=黄，

所以璜身的面积近似为YaOB,（O42_o£）2）=gx票X（52-32）~14.8（cm2）.

故选：C.

【变式3-1］（2024•新疆克拉玛依•三模）掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷

出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”.经测量此时两手掌心之间的弧长是等，“弓”所

在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（）米.

A.挈

【解题思路】由已知结合弧长公式可求an,进而可得答案.

【解答过程】根据题意作出下图,弧"的长为“℃=皋=今

所以4B=2AD=2x1.25-sing=2.

故选：C.

【变式3-2】（2024•贵州贵阳•三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章

给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=,（弦x矢+矢2）,弧田（如图）由圆弧和其所对弦所

围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为4遮+2,且

弦是矢的2百倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（）

【解题思路】根据弧田面积可求得CD,利用勾股定理可构造方程求得半径r,并根据长度关系得到圆心角弧

度数，利用扇形弧长公式可求得结果.

【解答过程】如图，

由题意得：AB=2^CD,

弧田面积=9乂（26（?。・。。+。。2）=48+2,解得：CD=2.

设圆半径为r,则有4。2=4。2+002,即尹=（2百）+（r—2产，解得：r=4,

0D=2,贝悔Rt2\4。。中，/.A0D=1,：­/.AOB=y,

•・•所求弧长为4x与=岑.

故选：D.

【变式3-3]（2023•浙江嘉兴•二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了

地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进

行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处4的太阳光线与地面成角8=82.8。，又知某商队

旅行时测得4与S的距离即劣弧席的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125,则可估计地球半径约为（）

A.35000古希腊里B.40000古希腊里

C.45000古希腊里D.50000古希腊里

【解题思路】利用1°圆心角所对应的弧长是仁辞即可求解.

【解答过程】设圆周长为C,半径长为R,两地间的弧长为I,对应的圆心角为n°,

360。的圆心角所对应的弧长就是圆周长C=2TTR,

••.1°的圆心角所对应的弧长是1=鬻，即芸，

□OUlow

于是在半径为R的圆中，71°的圆心角所对的弧长[为：/=粤，

n180/

•••R=--.

nn

当（为5000古希腊里，72=90°—仇即72=7.2°时,

180x5000

R=—=40000古希腊里.

nn3.125x7.2

故选：B.

【题型4任意角的三角函数的定义及应用】

【例4】(2023•福建福州•模拟预测)已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cosa=£,P(m,2)

为其终边上一点，则()

A.-4B.4C.-1D.1

【解题思路】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解.

【解答过程】始边与%轴非负半轴重合，cosa=^,P(zn,2)为其终边上一点，

则；^^=弓，且小＞0，解得爪=1.

故选：D.

【变式4-1](2024•江西•二模)已知角a的终边经过点贝！Jcosa=()

A.当B.苧C.V2D.孝

【解题思路】根据三角函数的定义求解.

【解答过程】根据题意r=\0M\=J(V2)2+12=V3,

由三角函数的定义得cosa=?=噜=乎.

'V33

故选：A.

【变式4-2](2023,河南开封三模)设a是第二象限角，尸(x,1)为其终边上一点，且cosa=(x,贝i]tana=

()

A.--B.--C.*D.空

2424

【解题思路】利用三角函数的定义先解得X,再求正切值即可.

【解答过程】由三角函数定义可知：©(^。二彳喜二卜今万二士？血,又a是第二象限角，

故x=-2&,所以tana=?=-¥.

故选：B.

【变式4-3](2023・湖南岳阳•模拟预测)已知角a的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非

负半轴上，终边与单位圆相交于点(-容冬)，贝Usinacosa=()

A.B.--C.1D.孝

【解题思路】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可.

【解答过程】因为终边与单位圆交于点(-苧,孝)，则终边落在第二象限，

所以sina=¥，cosa=一孝，sinacosa=­

故选：A.

【题型5三角函数值符号的判定】

【例5】(2024•河南•模拟预测)已知a是第二象限角，则点(cos(sina),sin(cosa))所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.

【解答过程】因为a是第二象限角，所以0<sinaVl,-1<cosa<0,

进而石甬定cos(sina)>0,sin(cosa)<0.

所以点(cos(sina),sin(cosa))在第四象限.

故选：D.

【变式5-1](2023・四川宜宾・三模)已知角a的终边上一点的坐标(a,2),其中。是非零实数，则下列三角

函数值恒为正的是()

A.cosatanaB.sinacosaC.sinatanaD.tana

【解题思路】先根据定义求出sina,cosa,tana,然后逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【解答过程】因为角a的终边上一点的坐标(a,2)且。是非零实数，所以根据三角函数的定义知，sina=

2a2

而,cosa=^=,tana=1

2

选项A,cosatana=——>0,故选项A正确；

Va2+4

选项B,sinacosa=裳下因为a的正负不知，故选项B错误；

4_

选项C,sincrtana=-—,因为a的正负不知，故选项C错误；

aVra2+4

7

选项D,tana=1因为a的正负不知，故选项D错误；

故选：A.

【变式5-2](2023•河南•模拟预测)已知a是第二象限角，则点(cos(-a),sin(—a))所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】利用诱导公式化简再确定象限.

【解答过程】由题意知：cosa<0,sina>0,进而得到cos(-a)=cosaV0,sin(-a)=-sincr<0,

所以点(cos(-a),sin(-a))位于第三象限.

故选：C.

【变式5-3](2024•北京海淀•一模)在平面直角坐标系％Oy中，角a以。%为始边，终边在第三象限.则()

A.sina—cosa<tanaB.sina—cosa>tana

C.sina•cosa<tanaD.sina-cosa>tana

【解题思路】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.

【解答过程】由题意可得sina<0、cosa<0,tana>0,

对A：当sina—。一时，COSQT—1,贝!Jsina-cosa71,tanat0,

此时sina-cosa>tana,故A错误；

对B：当口=半时，sina—cosa=sin孚—cos孚=0Vtan孚=1,故B错误；

4444

t.nsinaQ[ac

对C、D：sincr-coscr=coszcr------=coszcr-tancr,由一1<cosaVO,

cosa

故cos2ae（0,1）,则cos2a•tana<tana,即sina-cosa<tana,

故C正确，D错误.

故选：C.

►过关测试

一、单选题

1.⑵-24高三下•甘肃•阶段练习）集合4={a|a=-2024°+k-180°,fcGZ}中的最大负角a为（）

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

【解题思路】利用任意角的定义与集合力所表示的角即可得解.

【解答过程】因为一2024°=-44°-11x180°,

所以集合4={a|a=-2024°+k-180°,/ceZ}中的最大负角a为一44。.

故选：C.

2.（2024•河北衡水•模拟预测）“角a,£的终边在同一条直线上”是“sin（a—£）=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】借助a-£的值，直接分别判断充分性和必要性.

【解答过程】由角a,S的终边在同一条直线上，彳导a=B+kgk€Z,

即a—0=kti,kEZ,所以sin（a_0）=sin/cit=0,kGZ.

反之，由sin（a-0）=0,得a-夕=nnvneZ,

当山为偶数时，角a,0的终边在同一条射线上；

当山为奇数时，角a,£的终边在同一条直线上.

综上，“角a-的终边在同一条直线上”是“sin（a-0）=0”的充要条件.

故选：C.

3.（23-24高一下•河南•阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角a的集合是（）

A.^a|+2kit<a<(2k+l)ir,/c6zjB.^a\^-+kit<a<(k+1)TT,/Cezj

C.{a|—g+2/CTTWa<(2k—l)n,k€z}D.^a|—+2kn<a<2ku,kezj

【解题思路】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角a的集合.

【解答过程】终边落在阴影部分的角为|+MrWaW(k+l)n,fceZ,

即终边落在阴影部分(包括边界)的角a的集合是{a|*+kTTWaW(k+l)TT,kez}.

故选：B.

4.(2024•山东•模拟预测)已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与%轴的非负半轴重合，终边经过点尸

(sin^cos^,则cos(a+》=()

A.0B.1C.YD.空

【解题思路】由三角函数的定义即可求得a,从而得到结果.

【解答过程】由题意可得P停,乡，则tana=^=浮所以a=3+2Mt,keZ,

所以cos(a+]=cosg+2kn+-)=cos^=

故选：B.

5.(2024•全国•模拟预测)石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像

砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流

派.苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛

等建筑中.图(1)是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环4BCD,如图(2),砖雕厚度为6cm,AD=80

cm,CD=3AB,而所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为(单位：cm?)()

图⑴图⑵

A.3200-nB.480Tt+960C.6880n+960D.3680TT+960

【解题思路】先求出而=60ncm,AB=207tcm,进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环ABC。的面积可得该梅

花砖雕的表面积.

【解答过程】

延长ZL4与CB交于点0.由而=3而，AD=80cm,得。4=40cm,OD=120cm.

因为丽所对的圆心角为直角，所以而=6(hTcm,AB=20ncm.

所以该梅花砖雕的侧面积5侧=6(CO+AB+AD+BC)=480Tt+960(cm2),

扇环4BCD的面积为x1202-TTX402)=3200TT(cm2),

则该梅花成雕的表面积S表面积=4801T+960+2X3200TT=6880TT+960(cm2).

故选：C.

6.(2024・四川成都•模拟预测)在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合,

sina+2cosa

终边经过点P(3,4),则)

cosa—sina

A.11B.-10C.10D.-11

【解题思路】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得sina,cosa的值，代入计算即可.

【解答过程】因为角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合,

且角的终边经过点P(3,4),

所以sina=W，cosa=^=3,

sina+2cosa

所以

cosa—sintz

故选：B.

7.(2024•浙江•二模)古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函

数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot。=上，正割函数sec8=吃，余割函

Lantzcost/

数esc。=—,正矢函数uersin。=1-cos。，余矢函数uercos。=l-sin。.如图角。始边为久轴的非负半轴，其

Sint?

终边与单位圆交点P,4B分别是单位圆与无轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，

垂足分别为“、N,过点4作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交。的终边于T、S,其中4M、PS、BS、NB

为有向线段，下列表示正确的是()

A.versinO=AMB.cscd=PS

C.cotO=BSD.secO=NB

【解题思路】利用单位圆以及三角函数的定义可知sin。=MP,cos®=OM,tan0^AT,然后结合新定义简

单计算可判断各个选项.

【解答过程】根据题意，易得乙OMP〜△OATSBOPNO,

对于A,因为1—cos。=1—0M=M4,即versing=AM,故A错误；

对于B,根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，csc8=二=2=^=端=0S,故B错误;

11

对于C，8修=,故正确;

tanz.OSB=BS,C

11nAr）T

对于D,根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得sec8=2=I=^=累=。7,故D错误.

故选：C.

8.（2024•山东青岛•一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆

举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就

是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S，型双龙，造型精美.现要

计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：AB«8cm,AD«2cm,AO«5cm,若sin37°=

Q

f,n«3.14,则璜身（即曲边四边形/BCD）面积近似为（

D.22.4cm2

【解题思路】根据给定图形求出圆心角N40B,再利用扇形面积公式计算即得.

【解答过程】显然△力。B为等腰三角形，。八。8=5/8=8,则cos皿八陪.sin皿8/

即NtMB=37°,于是乙40B=106°=黄，

所以璜身的面积近似为14。〃（。42_0£）2）="等x（52-32）x14.8（cm2）.

故选：C.

二、多选题

9.（2023・贵州遵义•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.若sina=sin0,贝!]a与0是终边相同的角

B.若角a的终边过点P（3k,4k）（k力0）,贝i]sina=2

C.若扇形的周长为3,半径为1,则其圆心角的大小为1弧度

D.若sina•cosa>0,则角a的终边在第一象限或第三象限

【解题思路】举反例a+£=兀判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由sina与cosa同号判

断D.

【解答过程】对于A：当a+/?=7T时，sina=sin£,但终边不同，故A错误；

对于B：r=V（3/c）2+（4fc）2=5|/c|,当k<0时，sina=故B错误；

对于C：由2r+Z=3,r=l,得2=l,a=：=l,故C正确；

对于D：sina-cosa〉0,即sina与cosa同号，则角a的终边在第一象限或第三象限，故D正确；

故选：CD.

10.（2023•河北石家庄•一模）在平面直角坐标系中，角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重

合，终边经过点「律,»且sina=|无，贝卜的值可以是（）

A.±V2B.±1C.0D.±2

【解题思路】根据三角函数的定义及已知列方程求参数x即可.

X2

【解答过程】由题设sina=而=|工，故泉=备，整理得好=%4,

所以汽=。或％=±1.

故选：BC.

11.（2023・吉林・二模）如图，A,5是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点4在（1,0）处，质点

3在第一象限，且乙4。8=y.质点4以轴d/s的角速度按顺时针方向运动，质点5同时以"rad/s的角速度按

逆时针方向运动，则（）

A.经过Is后，扇形的面积为工

B.经过2s后，劣弧痛的长为与

C.经过6s后，质点8的坐标为（—§3）

D.经过年s后，质点/,8在单位圆上第一次相遇

【解题思路】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解.

【解答过程】对于A,由题意可知：经过1s后，乙40B=?—（—>+"=居，

所以此时扇形AOB的面积为1-r2=|x§xl2=g,故选项A错误；

对于B,经过2s后，乙4。8=，—2x（―勺+2x己=竽，

所以此时劣弧丽的长为ar=g,故选项B正确；

对于C,经过6s后，质点B转过的角度为6x^=1,结合题意，此时质点B为角，+5=与的终边与单位圆的

交点，所以质点2的坐标为（-今乎），故选项C错误；

对于D,经过左后，质点B转过的角度为弓><工=岩，质点4转过的角度为年x（—>=—耳，因为君—（—等

）+5=2TT,所以经过等s后，质点4B在单位圆上第一次相遇，故选项D正确，

故选：BD.

三、填空题

12.（2024・宁夏•二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针4h（时）转出的扇形面积是

_|_平方厘米.

【解题思路】根据任意角的概念及角度制与弧度制的转化关系化为弧度制，再由扇形面积公式计算可得.

【解答过程】时针长度是1厘米，则时针4h（时）转出的扇形面积S=：x与X12=与（平方厘米）.

故答案为：

13.（2024•全国•模拟预测）已知角8的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴.若P（m,2）是角。终边上一

点，且cos。=一¥1^，则爪=-6.

【解题思路】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.

【解答过程】由题设知cose=^M=-噜，

Ym”十410

BPlOm2=9（m2+4）,且zn＜0,

即血2=36,且m＜0,

解得m=-6,

故答案为：-6.

14.（2023•广东佛山•一模）若点/（8$。》也6）关于原点对称点为8（（：059-。）凤11（巳-。）），写出。的一个取

值为靠（答案不唯一，且=|f±kjL^_keZ均可以）.

【解题思路】根据a、B关于原点对称，所以两角的终边在一条直线上，得：e=/e+（2k+i）mfcez.M

令k随意取值，可得结论.

【解答过程】••,4（＜：0545比6）和8（（：05（2-。）⑼119-8））关于原点对称.

与£—9的终边在一条直线上.即：9=6+（2k+l）ir,fc6Z.

.*.0=y^+/cir,fceZ.

令左=0得9=工.

故答案为：（满足。="+而，kez即可）.

四、解答题

15.（2024高一下•全国・专题练习）已知角a的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：

a

（1）5；

a

（2序

【解题思路】⑴由。为第四象限角可知苧+2而＜。＜271+2加上62,根据不等式的性质可得角|终边所

在区域，分类讨论可得角终边所在的位置;

(2)由a为第四象限角可知三+2/cnVaV27r+2Mr,k€Z,根据不等式的性质可得角争冬边所在区域，分类

讨论可得角终边所在的位置.

【解答过程】(1)由于仇为第四象限角可知与+2所1V/<271+2的11€2,.

所以乎+kn<]<11+kji,kEZ

当/c=2?i时，+2nn<|<ir+2mi,nEZ,终边在第二象限，

当々二2九+1时，4+2nn<74<2n+2nn,nGZ,终边在第四象限，

(V

所以5的终边在第二或第四象限；

(2)由(1)得5+w-<§<w+w-,/cCZ,

当k=3几时，5+27171<三〈亨+27171,71CZ,终边在第二象限，

当k=3?i+l时，=+2zmV?<¥+2九71,71€Z,终边在第三象限，

当k=3几+2时，¥+2?rn:<§V2ir+27171,71WZ,终边在第四象限，

6J

(Y

所以与的终边在第二、第三或第四象限.

16.(23-24高一•全国•随堂练习)写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720。W0<

360。的元素。写出来：

(1)60°；

(2)-45°；

(3)1303°18,；

(4)-225°.

【解题思路】(1)(2)(3)(4)根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式-720。

</?<360°,求出满足条件的整数k的值，即可得出满足条件的元素/?.

【解答过程】(1)解：与60。终边相同的角的集合为{/?|0=6(r+h36(r,keZ},

由一720°<60°+k-360°<360°,可得一5<fc<1,

当k=-2时，/?=60°-2x360°=-660°,

当k=-l时，£=60°-360°=-300°,

当k=0时，0=60。，

所以，适合不等式一720°W/?<360°的元素0为一660°、―300°、60°.

(2)解:因为一45°=315°-360°,

所以，与-45。终边相同的角的集合为｛/?|£=315°+k-360。#GZ),

由可得一月

—720°<315°+k-360°<360°,O<k<~O,

当卜=-2时，S=315°—2x360°=—405°,

当卜=一1时，£=315。-360°=—45。，

当k=0时，£=315°,

所以，适合不等式—720°360°的元素£为一405°、-45°、315°.

(3)解：因为1303°18'=223°18'+3*360°,

所以，与1303。1&终边相同的角的集合为｛/?/=223。18,+k-360°,fcGZ｝,

由—720°W223.3°+h360°<360°(keZ),可得k=-2、-1、0,

当k=-2时，6=223°18'-2X360°=一496°42',

当k=-l时，0=223°18'—360°=—136°42，，

当k=0时，0=223。18,

所以,适合不等式一720°<£<360°的元素£为一496°42\-136°42\223°18;

(4)解：因为一225°=135°-360°,

所以,与一225。终边相同的角的集合为｛/?|0=135°+k-360°,kGZ｝,

1QC

由—720。<135°+k-360°<360°,可得一4<k<^,

oo

当k=-2时，S=135。-2乂360。=-585。，

当k=-l时,£=135°-360°=-225°,

当k=0时，0=135°.

所以，适合不等式一