2026届高考数学一轮总复习 提能训练68 二项分布与超几何分布

练案68二项分布与超几何分布

A组基础巩固9

一、单选题

1.(2025•四川内江模拟)已知离散型随机变量X服从二项分布X〜B

则尸(X=2)=()

4070

A.243B.243

80160

C.243D.243

A

40

［解析］因为X〜5,所以尸(X=2)=C先2*3=243.故选A.

2.(2025•浙江名校协作体适应性考试)设随机变量X服从二项分布B

若P(论1)=0.9984,则。(㈤=()

A.0.16B.0.32

C.0.64D.0.84

C

［解析］P(A>l)=l-P(X=O)=l-C0xox«=i-“=0.9984,

4116

得〃=4,所以X〜8,则。⑶=〃夕(1—0=4x5x5=25=0.64.故选C.

3.(2024•陕西汉中联考)某实验室有6只小白鼠，其中有3只测量过某项指

标.若从这6只小白鼠中随机取出4只，则恰好有2只测量过该指标的概率为()

22

A.3B.5

33

C.5D.4

C

93

［解析］由题意，恰好有2只测量过该指标的概率为=15=5.故选c.

1/13

4.（2025•广西示范性高中质检）甲同学每次投篮命中的概率为p,在投篮6

次的实验中，命中次数X的均值为2.4,则X的方差为（）

A.1.24B.1.44

C.1.2D.0.96

B

［解析］由题意得X服从二项分布，为X〜P（6,p）,E（X）=6p=2A,则

P=0.4,所以。（X）=62（1—p）=1.44.故选B.

5.（2024•安徽合肥质检）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7

1

局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为5,则甲

以4比2获胜的概率为（）

13

A.64B.32

515

C.32D.64

C

［解析］根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以

15

4比2获胜的概率为B3.2x5=32.故选c.

6.（2023•四川统测）某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成

长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3

名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的

均值为（）

3

A.1B.2

5

C.2D.2

C

［解析］记所选取的3人中女生人数为X,则X的可能值为1,2,3,且

131

尸（X=l）==5,p（x=2）==5,p（x=3）==5,则X均值E（X）

2/13

131

=1X5+2X5+3X5=2.

4

秒杀解法：E(&=3x4+2=2.故选C.

7.(2024•广西北海模拟)端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只

蜜枣粽子.现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有

两只蜜枣粽子的概率为()

11

A.3B.4

11

C.6D.8

D

［解析］由题意，只能第一次两人交换相同的粽子，第二次小明用肉粽子

1

换小华的蜜枣粽子，所以尸=C?x2义2=8,故选D.

二、多选题

5

8.(2025・广东部分学校质检)若随机变量X〜8(6,p),且尸(X=3)=16,则()

1

A.p=2B.E(X)=2

C.E(2X+1)=7D.。⑶=3

AC

5

［解析］因为X〜8(6,p),所以尸(X=3)=C623(1—夕)3=16,整理得p(l—p)

111113

=4,解得夕=2,则E(&=6X2=3,E(2X+1)=2E(X)+1=7,Q(X)=6X2X2=2.

故选AC.

9.(2025•陕西渭南测试)某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为

14、21、14,现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查.已知

抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3

人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则()

3/13

A.从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人

B.随机变量X〜8

15

C.随机变量X的数学期望为7

2

D.若事件Z="抽取的3人都感兴趣”，则P(Z)=7

ACD

土2L工

［解析］设甲、乙、丙三个社团分别需抽取x,»2人，则14=21=14=

7

14+21+14,所以户2,尸3,z=2,所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数

分别为2人、3人、2人，所以A正确；随机变量X的取值有1,2,3,P(X=1)=

142

=7,p(x=2)==7,p(X=3)==7,

所以随机变量X的分布列为

X123

142

P———

777

所以B错误;

由期望公式可得随机变量X的数学期望

14215

£⑶=1X7+2X7+3X7=7,所以C正确；

2

因为P(N)=尸(X=3)=7,所以D正确.故选ACD.

三、填空题

10.(2024•陕西西安模拟)9粒种子分别种在3个坑内，每个坑种3粒，每

粒种子发芽的概率为05若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补

种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假设每个坑至多补种一

次，每补种1个坑需10元，用X表示补种费用，则X的数学期望为.

15

4

4/13

1

［解析］每个坑需要补种的概率是相等的，都是3=8,所以此为3次

1

独立重复试验模型，每次试验发生的概率都是8,所以需要补种的坑的个数的数

13315

学期望为3义&=&,补种费用X的数学期望为10x1=4.

11.（2025・广东八校检测）盒中有3个红球、机个黄球、〃个绿球，所有球

除颜色不同外其他没有任何区别.从盒中任抽两球，抽到两球均为红球的概率

1

为5.从盒中任抽3个球，记其中红球的个数为X,贝!］£（&=.

3

2

1

［解析］设盒中共有左个球，则=5,解得左=6,依题意X满足超几何

33

分布X〜//（6,3,3）,故£（凶=3'6=2.

12.（2025•湖北部分地区开学考试）某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多

21

轮射击对决.每轮射击中，甲命中目标的概率为3,乙命中目标的概率为5.若每

轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结

果相互独立.则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为.

64

81

［解析］进行五轮射击后，甲的总得分不小于3包括命中目标3次或4次

164

或5次，所以概率尸=C33义2+c34X3+C5占81.

四、解答题

13.（2024•安徽三模）甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，

答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立.已知

甲答对每题的概率均为p,乙答对每题的概率均为q（0<"<q<l）,且某道题两人

31

都答对的概率为10,都答错的概率为§

5/13

(1)求p,q的值；

(2)乙回答3题后，记乙的积分为X,求X的分布列和期望E(X).

［解析］(1)由题意可得

解得

(2)X的可能取值为0,40,80,120,

8

P(X=O)=C0x3=125,

336

P(X=40)=C3X5X2=125,

54

P(X=80)=C3X2X=125,

27

P(X=120)=C3X3=125,

则其分布列为

X04080120

8365427

P

125125125125

8365427

E⑶=0x125+40x125+80x125+120x125=72.

14.(2025•广东部分名校摸底)在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，

其中一个球的标号为1,另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个

球的标号为2,3.

(1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1,2,3的三

个球中至少有两个的概率；

(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X,求X的

分布列.

［解析］(1)由题意可得共有C3C先=100(种)不同的抽法，抽取的四个球中，

标号为1,2,或1,3的种数有C4c2c3,标号为2,3的种数有C@,抽到1,2,3的

种数有C4,合计C4c2c3+〃+C4=34(种)不同的抽法，所以抽取的四个球中,

6/13

3417

标号为1,2,3的三个球中至少有两个的概率为100=50.

(2)由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4.

15

P(X=0)==42,p(x=l)==21,

105

P(X=2)==21,P(X=3)==21,

1

尸(X=4)==42,

所以X的分布列为

X01234

151051

P

4221212142

/B组能力提升9

1.(多选题)(2024•云南、广西、贵州诊断性联考)袋子中有2个黑球，1个

白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，

黑球记1分，记4次取球的总分数为X,则()

A.X〜B

8

B.P(X=2)=81

8

C.X的期望EQ0=3

8

D.X的方差。⑶=9

ACD

［解析］从袋子中有放回的随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每

次取到黑球的概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑

球的个数，所以随机变量X服从二项分布X〜5,故A正确；又尸(X=2)

828

=C3x2x2=21,故B错误；因为X〜8,所以E(&=4X3=3,故

7/13

218

C正确；因为X〜8,所以。(X)=4X3X3=9,故D正确.故选ACD.

2.(2025•福建莆田一中测试)如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉

着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作

为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰

到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到

右分别编号为0,123,4,5用X表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是()

11

A.P(X=0)=32B.尸(X=5)=64

55

C.E(X)=2D.D(X)=4

B

1

［解析］设4="向右下落"，贝咽=“向左下落”，P(Z)=P回=2,因为小球

最后落入格子的号码X等于事件Z发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小

1

木钉5次，所以X〜8,0(X=0)=5=32,故A正确；P(X=5)

11515

=5=32,故B错误；£(&=5X2=2,故C正确；。田=5义2=4,故

D正确.故选B.

3.(2025•湖南部分学校质检)下列说法错误的是()

A.若随机变量6〃满足〃=24—1且。©=3,则。(〃)=12

1

B.已知随机变量X〜8(〃，p),若E(X)=2,D(X)=1,则P=2

C.若事件2、8相互独立，则尸(却8)=尸(Z)

D.若/、8两组成对数据的相关系数分别为以=0.95、3=—0.98,则幺

组数据的相关性更强

8/13

D

［解析］因为〃=24—1且。(0=3,所以。(〃)=。(24—1)=22乂。(。=12,

故A正确；随机变量X〜5(〃，p),则E(㈤=〃夕=2,D(X)=np(l-p)=l,解得

1

p=2,故B正确；若事件2、8相互独立，则尸(45)=尸(Z)尸(5),所以尸(却5)=

PDABDPnADPOBn

尸口3口=PUBD=尸睇)，故C正确；若Z、5两组成对数据的相关系数

分别为以=0.95、砧=—0.98,因为|明习■，所以8组数据的相关性更强，故

D错误.故选D.

4.(2024•福建永春一中等四校联考)为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程,

某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有Z和8两类试题，

每类试题各10题，其中每答对1道Z类试题得10分；每答对1道8类试题得

20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答

(每道题抽后不放回).已知某同学Z类试题中有7道题能答对，而他答对各道

2

5类试题的概率均为I

(1)若该同学只抽取3道Z类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总

得分，求X的分布列和期望；

(2)若该同学在Z类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道

题的概率.

［解析］(1)X的所有可能取值为0,10,20,30,

1217

尸(X=0)==120,P(X=1O)==120=40,p(x=20)

6321357

=120=40,尸底=30）==120=24

所以X的分布列为

X0102030

17217

P

120404024

17217

所以E（》）=0xl20+10x40+20x40+30x24=21.

9/13

(2)记“该同学仅答对1道题”为事件

731219

尸(M)=10x2+10xC2x3.3=90,

19

・•・这次竞赛中该同学仅答对1道题的概率为90.

5.(2025•辽宁七校协作体联考)某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分

两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从Z类7道题中任选4道进行答题，

答完后正确数超过两道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从3

类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止./类题每答对一道得10分，B

类题每答对一道得20分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜.总分70分或

80分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖.某班小张同学Z类题中有5

3

道会做，8类5题中，每题答对的概率均为5,且各题答对与否互不影响.

(1)求小张同学被终止比赛的概率；

(2)现已知小张同学第一轮中回答的Z类题全部正确，求小张同学第二轮答

完题后总得分X的分布列及期望；

(3)求小张同学获得三等奖的概率.

［解析］(1)从2类7道题中任选4道，其中2道会做，2道不会做，则被

终止比赛，

2

所以小张同学被终止比赛的概率为=7.

(2)由题意可知，X的所有可能取值为40,60,80,100,

8

贝I]P(X=40)=3=125,

36

产(X=60)=C3Xx2=125,

54

P(X=80)=C3X2x=125,

27

P(X=100)=C3x3=125,

所以X的分布列为

10/13

X406080100

8365427

P

125125125125

8365427

所以E（X）=40xl25+60xl25+80xl25+100x125=76.

（3）小张获得三等奖，共有两种情况，

①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道），概率为-C3-

2

2x5.

②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道），概率为<3-

2

2x5,

22

所以小张同学获得三等奖的概率为<3-2义5+C3-2x5=

54

175.

组拓展应用（选作）；?

（2025•河南五育联盟综合测试）某公司举行年终联欢活动，每位员工可从下

表所示两种方案中选择一种抽取红包.

4个红包内分别装有现金200元、400元、600元、800元，参与抽红

方案一

包的员工可从中随机抽取2个；

员工通过手机扫描公司提供的二维码进入活动页面抽取红包，每位员

方案二工可抽4次，每次抽中红包的概率均为0.5,每个红包的金额均为。元.

已知员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙

抽取的红包总金额分别为x