第四章 图形的相似 预习练（含解析）

第四章图形的相似

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

2a2b2c

1.已知a,b,c为VA3C的三边，且#=*===%,则上的值为（）

b+ca+ca+b

A.1B.；或-1C.-2D.1或一2

2.如图，已知直线。〃Z?〃c,直线加交直线。，b,。于点A,B,C,直线〃交直线〃，b,。于点。，

尸尸什AB1eDE/、

E,F,右-,则门口一（）

nC2Er

A\Da

----7------------b

B]\E

J\F

4----------X-c

A.1B.-C.-D.1

243

4DAF

3.如图，具备下列条件①N1=NC,②ZA=NC,③N2=ZB,④黑=失之一，就可以判定△AED

ACAB

与VABC相似的是（）

A

B乙----------------------ic

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

4.在比例尺为1:50000的地图上，两个城市之间的距离为18a”,则它们之间的实际距离约为（）

A.900OOOHAB.qoOOOHA

C.qOOOI4AD.900m

5.如图，在VABC中，DEl/BC,空=1,则罢=（）.

DD2oC

A

6.已知2〃=3b,则下列关于。，人的赋值，不或主的一组是（）.

A.a=2,b=3B.a=3,b=2

C.a=6jZ?=4D.a=—3,b=—2

7.如图，上体育课，九年级三班的甲、乙两名同学分别站在。、。的位置时，乙的影子恰好在甲的

影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是（）

A.4米B.5米C.6米D.7米

8.如图，AB//CD//EF,AF交BE于点G,若AC=CG,AG=/G,则下列结论错误的是（）

DG1CG1

空」B里」D.

BG2EF2BE~3CF3

9.如图，D、石分别是VABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得。石〃5C的是（

ADAEAD_AEADDEABAC

~BD~~CE~AB~~ACAB-BCBD^CE

10.如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影84由3

向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得

BC=3.2mn,CA=0.8m,则树的高度为（）

C.8mD.10m

11.如图，ABC中，D、尸在AB边上，E、G在AC边上，DE//FG//BC,且AD：DF：EB=3:2:1,

若AG=15,则CE的长为（）

A.qB.ISC.12.D.(o

12.如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5,4）,AD=2.若

动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA—AD-DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，

到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平

方单位），则y关于x的函数图象大致为（）

二、填空题

13.四边形ABCD和四边形A'B'CD，是位似图形，O为位似中心，若OA：OA',=1：2,那

么AB:A'B'=，S四边形ABCD:S四边形A，B，UDz=•

14.如图，/ACB=/BDC=Rt/,我们知道图中两个直角三角形不一定会相似.请你添加一个条件,

使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是.

15.如图，在△ABC中，DE//BC,AC=4,AB=3,EC=1,则A£>=_,BD=

16.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,0),D(3,0),AABC与ADEF位似，原点O是位

17.已知点C是线段的黄金分割点，即生=避二1,那么萼=—.

AB2CB

三、解答题

18.相似多边形都是位似多边形吗？若不是，请举反例；若是，请说明理由.

19.如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子

中看到旗杆的顶部B.已知小颖的眼睛D离地面的高度CD=1.5m,她离镜子的水平距离CE=0.5m,

镜子£离旗杆的底部A的距离AE=2m,且A,C,E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度.

20.已知O是坐标原点，A、8的坐标分别为(3,1),(2,-1).

⑴画出△Q钻绕点。顺时针旋转90。后得到的OAtBt；

⑵在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形华，使新图与原图相似比为2:1；

(3)若点6)在线段上，直接写出变化(2)后点。的对应点2的坐标为一

(4)分别求出的周长和△。外坊的面积.

21.现有一块直角三角形的铁皮ABC,ZACB=90°,AC=80,5C=60.要在其中剪出一个面积尽

可能大的正方形，小红和小亮各想出了甲、乙两种方案，请你帮忙算一算哪一种方案剪出的正方形面

积较大？

甲乙

22.已知：如图，D是AC上一点，BE//AC,BE=AD,4f分别交BD、5C于点F、Z1=Z2,探

索线段BF、F.G,EF之间的关系，并说明理由.

23.我们已经学习了相似三角形，也知道了:如果两个图形形状相同而大小不一定相同.我们就把它

们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长对应成比例，对应角相等就称为相似图形.那么下了

几组几何图形（1）两个圆；（2）两个长方形；（3）两个菱形；（4）两个正五边形.请指出哪几对是相似图形，

哪几对不是相似图形，并简单说明理由.

24.两个相似三角形一组对应边的长分别是24cm和12cm,若他们周长的和是240cm,求这两个三

角形的周长.

《第四章图形的相似》参考答案

题号12345678910

答案AADCAACCCC

题号1112

答案AC

1.A

9/72b2c

【分析】依据「匕=*=3=左，即可得出2(4+b+c)=2k(。+。+。)，再根据。、b、。为△ABC

b+ca+ca+b

的三边，可得〃+0+c#0,进而得到％=1.

..2a2b2c

【详解】解:•一——K7,

b+ca+ca+b

：.2a=k(b+c),2b—k(a+c),2c—k(a+b),

：.2(〃+Z?+c)=2k(〃+Z?+c),

9：a.b、c为△ABC的三边，

〃+A+cWO,

:・k=1.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了比例的基本性质的综合运用，解题关键是根据比例式得出含女的方程，再根

据再根据〃、b、。为AA3c的三边求解.

2.A

【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线可得普即可求解.

BCEF2

【详解】,：a//b//c,

.ABDE1

"BC"EF_2)

故选：A.

3.D

【分析】由两个角相等的两个三角形相似，可对条件①②③进行判断；由两边成比例且夹角相等的两

个三角形相似对条件④进行判断；即可得出结果.

【详解】解：：/l=NC,Z4=NA,

/.^AED^AABC,条件①符合题意；

•.•仅有NA=/C,无法确定△血＞与VA3C相似，

条件②不符合题意；

VZ2=ZB,ZA=ZA,

•*.^AED^AABC,条件③符合题意;

AAAED^AABC,条件④符合题意.

综上所述，具备条件①③④之一，即可判定即与VABC相似.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

4.C

【分析】首先设它的实际长度为xcm,再根据比例尺的定义，列出比例式，解方程即可求得答案.注

意单位换算.

【详解】解：设它的实际长度为XC7W,由题意，

得：l:50000=18:x,

解得：x=900000,

,/900000cm=9000m.

故选:C.

【点睛】比例尺=图上距离：实际距离，按照题目要求列出比例式进行计算即可.

5.A

【分析】根据平行线分线段成比例定理进行解答.

【详解】解：；DE〃BC,

AAD：AB=DE：BC,

VAD：BD=1：2,

AAD：AB=1：3,

/.DE：BC=1：3.

故选A.

【点睛】考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，本题注意将AD：BD=1：2转化

为AD：AB=1：3.

6.A

【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可得出答案.

【详解】解：：2a=36,

a_3

~b~2

A、当Q=2,6=3时，,故符合题意;

b32

B、当a=3,6=2时，；=故不符合题意；

c、当a=6,6=4时，?=?=故不符合题意；

。42

a—33

D、当，=—3,。=-2时，y==故不符合题意；

。一22

故选：A.

7.C

nFAD

【分析】利用相似三角形的判定与性质得出笠=嘿，进而求出AD的长即可得出答案.

nCAC

【详解】根据题意可得：

BC〃DE,故△AEDs-BC,

DEAD

贝U-=一，

BCAC

1.5AD

即on——=-----,

1.8AD+1

解得：AD=5,

故甲的影长是：AC=l+5=6(m),

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比

进行求解是关键.

8.C

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得笠=*,结合

BGAG

AC^CG,则啜=?=，，可判断A；胃=胃，结合题意得%=2%和EG=2DG,则

BCJACJ2EFFCJ

2=萼=!，可判断&由罢=罢，结合已知得8E=2BG和8G=2M，则当=!，可判定C；

EFFG2EGFGBE4

由空=变和=则空=四」，可判定D

CFDECFDE3

【详解】解：ABCD,

.DGCG

,BG-AG?

AC=CG,

DGCG1,,十包七AX.口石上

••~r~~~~~~~f故A正确，不付合意后；

BCJACJ2

CDEF,

.CDCG

,•而一同'

AC=CG,AG=FG,

:.FG=2CG,

:.EG=2DG,

・,•丝=*=!，故B正确，不符合题意;

EFFG2

-AB//CD//EF,

,BGAG

一而一而‘

AG=FG,

:.BG=EG,

:.BE=2BG,

DGCG_1

BG-AG_2?

:.BG=2DGf

BE=4DG,

.,隼故C错误，符合题意;

BE4

-CD//EF,

CGDG

'CF-DEJ

•・•BG=2DG,BE=4DG,

:,DE=3DG,

CGDG1,,十/FM人口=*

~f故D正确，不付合意思;

CFDE3

故选：C.

9.C

【分析】利用两边成比例且夹角相等证明即可判断A、B、D选项，熟练掌握全等

三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】解：A.•.•黑=笔，

DUC七

.ADAE

**AB-AC?

VZA=ZA,

:.AABC^Z\ADE,

：.ZADE=ZABC,

：.DE//BC；

故选项正确，不符合题意;

...丝=丝

B.ZA=ZA

ABACf

AABC^/\ADE,

：.ZADE=ZABC,

：.DE//BC；

故选项正确，不符合题意；

C.当=望无法推出小〃3C,

故选项错误，符合题意；

n..ABAC

BDCE

.ABAC

**AB-BD~AC-CE"

.ABAC

••茄一瓦’

又・・・NA=NA,

:.AABCSAADE,

：.ZADE=ZABC,

：.DE//BC；

故选项正确，不符合题意,

故选：C.

10.C

【详解】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似,

0.81.6

设树高X米,贝U啜="，即

ABx0.8+3.2x

x=8

故选C.

11.A

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到二=号，再利用比例性质由AD：DF：FB=3：2：1

DBEC

得芸二,=f，然后把AG=15代入计算即可•

DB3EC3

【详解】解：・・・DE〃FG〃BC,

・・・AFDB=AGEC,

而AD:DF:FB=3:2:1,

.AF5

••—―，

DB3

.155

••—―，

EC3

・・・EC=9.

故选A.

1

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，关键在于找出Af黑=黑AfZ.

DBEC

12.C

【详解】解：:D(5,4),AD=2.

・・・OC=5,CD=4OA=5

・•.运动x秒(x<5)时，OE=OF=x,

作EH_LOC于H,AG_LOC于点G,

・・・EH〃AG

AEHO^AAGO

EH^QE

AG^OA

即：—

45

4

AEH=-x

5

ii4o

.'.SAEOF=-OF*EH=-xxx-i=^x2,

225x5

故A.B选项错误；

当点F运动到点C时，点E运动到点A,此时点F停止运动，点E在AD上运动，△EOF的面积不

变，

11Rre

•,.SAEOF=-iOC«CE=^x(11-x)x5=-＞节是一次函数，故C正确,

故选c.

13.1：21：4

【分析】根据位似图形是相似图形，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比,

面积之比是相似比的平方，即可求解.

【详解】：四边形ABCD和四边形A'B'CD'是位似图形，点0是位似中心，0A：0A'=1：2,

/.AB：A'B'=OA：OA'=1：2,

2

S四边形ABCD:S四边形A，B'CD'-)=~=1-4.

24

故答案为(1).1：2(2).1：4

【点睛】本题考查位似图形的性质，解答本题的关键是熟练掌握位似图形的性质：位似图形是相似图

形，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

14.ZA=ZCBD(答案不唯一)

【分析】利用相似三角形的判定可求解.

【详解】解：添加=

ZA=NCBA,ZACB=/BDC=Rt/,

：.AACBsABDC,

故答案为：ZA^ZCBA(答案不唯一).

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

15.

44

AriApr)p

【分析】若。E〃BC,则得出对应边成比例，嘤=啜=n，然后进行求解.

ABACBC

【详解】,：DE//BC,

.DBECDB1

••---=---,即Rn---二一，

ABAC34

3

:・DB=一,

4

39

：.AD^AB-DB=3.

44

【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据条件先证明两三角形相似，然后得出对应边的比例最后可

得解.

16.4.5

【详解】解：已知A(1,0),D(3,0),可得04=1,。。=3,

又ZkABC与AOE尸位彳以，AB=1.5,

.AB_OA-1

,~DE~~6D~^3'

5=4.5.

17.^±1

2

AC>/5-1

【分析】根据已知可得百=2_（正一i）•化简可得.

【详解】因为点C是线段的黄金分割点，喷二浮

—AJ5一逆+i

那么CB2-(^5-1)

故答案为好±1

2

【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较

短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的好匚倍，则这个点叫这条线段的黄金分割

2

点，难度适中.

18.相似多边形不都是位似多边形，反例：任何相似多边形只要对应边不平行就不是位似多边形.

【分析】根据位似图形的定义和相似图形的定义，由位似图形的定义可知每组对应点的连线都经过同

一点的相似图形才是位似图形即可解答.

【详解】相似多边形不都是位似多边形，因为由位似图形的定义可知每组对应点的连线都经过同一点

的相似图形才是位似图形.

如图：正方形ABCD和正方形EFG”相似，但是对应边不平行，所以不是位似多边形

H

【点睛】本题考查的是位似图形的定义和相似图形的定义，熟练掌握位似图形的定义和相似图形的定

义是解题关键.

19.6m

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质.根据题意可得=可证得

△CDEs^ABE,即可求解.

【详解】解：根据光的反射定律得：ZDEC=ZBEA,

又ZDCE=ZBAE=90°,

ACDE^Z\ABE,

.DCCE

••瓦一法’

,•*AE=2m,CE=0.5m,CD=1.5m,

.1.50.5

••=，

AB2

AB=6m.

20.⑴见解析

(2)见解析

(3)(—2a,—2/>)

(4)周长2逐+,面积10

【分析】(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；

(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

(3)根据位似图形的性质，即可求解；

(4)根据勾股定理可得△OAB的三边长，可得到△。钻的周长；再由勾股定理逆定理可得△O4星是

直角三角形，即可求解.

【详解】(1)解：如图所示：。4月即为所求；

(2)解：如图所示：△。&与即为所求；

“1

(3)解：•.•作△OAB的位似图形△。&与，新图与原图相似比为2:1,且。(。,6),

点D的对应点D2的坐标为(-24,-26)；

故答案为：(-2a,-2b)

(4)解：根据题意得：OA=V32+12=V10,OB=722+12=A/5,AB=V22+12=75>

△OAB的周长=6+6+痴=26+如

22

OA,=76+2=2A/W,OB2=44?+2?=2底AB=依+2。=2后，

：.OA^=OB；+4与2,

•••△。4坊是直角三角形，

A(?AB2的面积；X2括X2君=10.

【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键.

21.方案乙剪出的正方形面积较大.

【分析】对于方案甲：先利用勾股定理计算出AB=100,再利用面积法计算出C