八年级数学（北师大版）寒假提升-第10讲 一元一次不等式组（解析版）

第10讲一元一次不等式组思维导图核心考点聚焦1.一元一次不等式组的定义2.求一元一次不等式组的解集3.求一元一次不等式组的整数解4.由一元一次不等式组的解集求参数5.不等式组和方程组结合的问题6.列一元一次不等式组7.一元一次不等组的应用一．一元一次不等式组的定义（1）一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．（2）概念解析形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．二．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．三．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．四．由实际问题抽象出一元一次不等式组由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．五．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．1.解一元一次不等式组的解集时，去分母不要忘记漏乘.2.由不等式的解集求字母参数问题，要把题目中的字母看成参数解不等式或方程组，然后根据条件求解.3.一元一次不等式组的应用时，看清楚“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等关键词.考点剖析考点一、一元一次不等式组的定义例题：下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选B．【变式训练】1．下列各式中是一元一次不等式组的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、第二个不等式不是整式不等式，故本选项不合题意；B、该不等式组中有2个未知数，故本选项不合题意；C、该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不合题意；D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；故选D．2．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有()①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，故选B．考点二、求一元一次不等式组的解集例题：解不等式组，并将解集表示在数轴上．【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，表示在数轴上，如图所示：【变式训练】1．解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【解析】解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，在数轴上表示不等式组的解集，如图所示，2．解下面的不等式组：(1)；(2)．【解析】（1）∵，∴解①得，，解②得，，∴不等式组的解集为．（2）∵，∴解①得，，解②得，，∴不等式组的解集为．考点三、求一元一次不等式组的整数解例题：不等式组的整数解是．【答案】【解析】，解不等式①得，解不等式②得，故不等式组的解集为，故不等式组的整数解为．故答案为：【变式训练】1．满足不等式组的最大整数解是．【答案】【解析】解不等式，得；解不等式，得．∴不等式组的解集为．∴最大整数解为．故答案为：．2．不等式组的整数解为．【答案】【解析】由①可得：，由②可得：，∴原不等式组的解集为，∴该不等式组的整数解为；故答案为．考点四、由一元一次不等式组的解集求参数例题：若关于不等式组无解，则的取值范围．【答案】【解析】不等式整理得：，不等式组无解，，解得．故答案为：．【变式训练】1．若的不等式组有两个整数解，则的取值范围是．【答案】【解析】解不等式得：，解不等式得：，∴不等式组的解集为，∵不等式组有且只有两个整数解，∴不等式组的两个整数解为和，∴，解得，即a的取值范围是，故答案为：．2．关于x的不等式组的解集为，则的取值范围是．【答案】/【解析】，解不等式①，得，解不等式②，得，关于x的不等式组的解集为，，故答案为：．考点五、不等式组和方程组结合的问题例题：已知：关于x，y的方程组的解为负数，求m的最大负整数值．【解析】解方程组，得，，由解为负数可得：，解得，所以m的最大负整数值为．【变式训练】1．已知关于x、y的方程组的解满足x为非负数，y为负数．(1)求m的取值范围；(2)当m为何整数时，关于z的不等式的解为．【解析】（1）解方程组得：由题意知，解得；（2）由得：，∵不等式的解为，∴，解得，由（1）得：，则，∴m的整数值为：．考点六、列一元一次不等式组例题：根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是．【答案】【解析】根据与和的倍是非正数得：，根据的倍与的差小于得：，因此可以列不等式组为．故答案为：．【变式训练】1．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为．【答案】【解析】由已知条件可得，梨的总数为个，若每人6个，则最后一个学生得到梨的个数为：，最后一个同学最多分得3个，则，即．故答案为．2．若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为【答案】【解析】设有间宿舍，则学生有人，由题意得：，故答案为：．考点七、一元一次不等组的应用例题：在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？(2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？(3)上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？【解析】（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：，解得．答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，则，解得，即，16，17．故共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．（3）方案一：总费用为万元；方案二：总费用为万元；方案三：总费用为万元．∴方案三费用最低．【变式训练】1．某厂租用两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆型车和1辆型车装满货物可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租用两种型号车6辆一次配送完货物，且型车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮助厂家设计完成一次配送完21吨货物的租车方案，并写出所有方案．【解析】（1）设1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨，由题意得：，解得，1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨（2）设租用辆型车，则租用辆型车，由题意得：，解得，为整数，可以为1，2，3，厂家共有3种租车方案，方案一：型车1辆，型车5辆；方案二：型车2辆，型车4辆；方案三：型车3辆，型车3辆．2．为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和1个灰色垃圾桶共需280元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需460元．(1)求每个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶分别为多少元？(2)为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过9000元的资金购入两种垃圾桶共计100个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？(3)每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中的所有购买方案费用相同，求m与n之间的数量关系．【解析】（1）设每个绿色垃圾桶为元，每个灰色垃圾桶为元，由题意得：，解得，答：每个绿色垃圾桶为100元，每个灰色垃圾桶为80元．（2）设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，由题意得：，解得，为正整数，可能为45，46，47，48，49，50，答：共有6种购买方案．（3）设购买总费用为元，则，∵（2）中的所有购买方案费用相同，，．过关检测一、单选题1．下列不是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意；D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；故选C．2．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵点在第二象限，∴，解得，故选B．3．关于的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A． B．

C． D．【答案】D【解析】解：，解不等式得，，解不等式得，，在数轴上表示为：故选：D．4．八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则该小组的同学人数为（

）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人【答案】A【解析】设该小组的同学人数为x人，植树的棵数为棵，∵若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树的棵数不到3棵，植树的总棵数为棵，∴可列不等式组为，解不等式组得：，∵人数要取非负整数，∴，故选A．5．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵关于的不等式组的整数解共有5个，即3，2，1，0，，∴，即．故选C．二、填空题6．不等式组的最大负整数解是．【答案】-2【解析】由不等式可得，由不等式可得，∴不等式组的解为，∴最大负整数解是－2；7．等腰三角形的周长为10，腰长为x，则x的取值范围为.【答案】【解析】等腰三角形的周长是10，腰长为x，底边长为：，，解得．故答案为：．8．已知关于x、y的方程组的解是正数，则a的取值范围是．【答案】【解析】解方程组得：，∵x、y是正数，∴，解得，故答案为：．9．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是．【答案】【解析】，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵关于的一元一次不等式组无解，∴，解得，故答案为：．10．若关于x的一元一次不等式组的解集为；且关于y的方程有正整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是．【答案】【解析】解不等式，得：，∵关于x的一元一次不等式组的解集为，∴，方程去括号得：，解得，∵关于y的方程有正整数解，∴，解得，综上所述，由有正整数解可得或或，∴所有满足条件的m的整数值之和是，故答案为：．三、解答题11．解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．【解析】，由①可得：，由②可得：，∴该不等式组的解集为，在数轴上表示如图所示：12．解不等式组：并把它们的解集在数轴上表示出来【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为：，数轴如下：13．解不等式组：，在如图所示的数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解．【解析】，，，解得，，，，，解得，∴不等式组的解集为，在数轴上表示解集为：∴不等式组的最大整数解为．14．为打造“书香校园”，学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．(1)请问符合题意的组建方案有哪几种?(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低?最低费用是多少元?【解析】（1）设组建中型图书角个，则组建小型图书角为个．由题意，得解这个不等式组，得由于只能取整数，∴的取值是．当时，；当时，；当时，．故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．（2）方法一：令总费用为w，则，∴当取最小值18时，总费用最低，最低费用是元．∴组建中型图书角18个，小型图书角12个，总费用最低，最低费用是22320元．方法二：方案一的费