2023年浙江杭州市重点中学小升初自主招生分班考数学试卷（全解全析）

绝密★启用前2023年浙江杭州市重点中学小升初自主招生分班考数学试卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。一．耐心审题，巧思妙算（共3小题，满分24分）1．（10分）直接写出得数2.3+7.28＝﹣0.01＝1.7×0.04＝2.4÷0.08＝+＝9×＝÷2.4＝252＝10﹣0.25+0.75＝0.1×+÷0.1＝0.4+0.4÷0.1＝【分析】根据小数加法、小数减法、小数乘法、小数除法、小数四则混合运算、分数乘法、分数除法、分数加法、分数四则混合运算的法则直接写出得数即可。【解答】解：2.3+7.28＝9.58﹣0.01＝0.191.7×0.04＝0.0682.4÷0.08＝30+＝9×＝÷2.4＝252＝62510﹣0.25+0.75＝10.50.1×+÷0.1＝1.010.4+0.4÷0.1＝4.4【点评】本题主要考查了小数加法、小数减法、小数乘法、小数除法、小数四则混合运算、分数乘法、分数除法、分数加法、分数四则混合运算，属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。2．（6分）解方程。：＝：x＝（x﹣4.5）×7＝17.5【分析】（1）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时乘2；（2）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时除以4；（3）方程两边同时除以7，两边再同时加上4.5。【解答】解：（1）：＝：xx＝2×x＝x＝（2）＝4x＝604x÷4＝60÷4x＝15（3）（x﹣4.5）×7＝17.5（x﹣4.5）×7÷7＝17.5÷7x﹣4.5＝2.5x﹣4.5+4.5＝2.5+4.5x＝7【点评】熟练掌握比例的基本性质和等式的基本性质是解题的关键。3．（8分）递等式计算。2.8×（75%﹣）17×（）×18（1993×1994﹣1）÷（1993+1992×1994）×11×55×15【分析】（1）先算括号里的减法，再算括号外的乘法；（2）（3）（4）根据乘法分配律进行简算。【解答】解：（1）2.8×（75%﹣）＝2.8×＝1.3（2）17×（）×18＝17×18×+17×＝9+＝14（3）（1993×1994﹣1）÷（1993+1992×1994）＝（1993×1994﹣1）÷[1993+（1993﹣1）×1994]＝（1993×1994﹣1）÷（1993+1993×1994﹣1994）＝（1993×1994﹣1）÷（1993×1994﹣1）＝1（4）×11×55×15＝×11×5×11+＝（）×11＝3×11＝33【点评】考查了运算定律与简便运算，分数四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。二．认真思考，准确填空（共8小题，满分16分，每小题2分）4．（2分）如图，根据长方体展开图标出的长度，这个长方体的体积60cm3，表面积是104cm2。【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是6厘米，宽是5厘米，高是2厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。【解答】解：6×5×2＝30×2＝60（立方厘米）（6×5+6×2+5×2）×2＝（30+12+10）×2＝52×2＝104（平方厘米）答：这个长方体的体积是60立方厘米，表面积是104平方厘米。故答案为：60，104。【点评】此题主要考查长方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。5．（2分）爸爸去理发，原价a元，付了a元，相当打了七五折；一根方木，截去，还剩下m，剩下的长度与截去的长度之比是3：4（最简单的整数比）。【分析】把原价看作单位“1”，则付了原价的，＝0.75＝75%＝七五折，即想当于打了七五折；把这根方木的长度看作单位“1”，截去，还剩下（1﹣），根据比的意义即可写出剩下的长度与截去的长度之比，再化成最简整数比。【解答】解：＝0.75＝75%＝七五折答：相当打了七五折。（1﹣）：＝：＝3：4答：剩下的长度与截去的长度之比是3：4。故答案为：七五；3：4。【点评】此题考查的知识点：分数乘法的意义、分数与折扣的关系及转化，比的意义及化简。6．（2分）一个长方体木块，长、宽都是6cm，高是9cm，如果将这个长方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是84.78cm3；如果将这个长方体切成棱长为2cm的小正方体，最多可以切成36个这样的小正方体。【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出圆锥的体积即可；用长方体的长、宽、高都除以2，商取整数，再把商相乘即可。【解答】解：6÷2＝3（厘米）3.14×3×3×9÷3＝28.26×3＝84.78（立方厘米）6÷2＝39÷2≈43×3×4＝36（个）答：圆锥的体积是84.78cm3；最多可以切成36个这样的小正方体。故答案为：84.78；36。【点评】熟练掌握圆锥的体积公式和立体图形的切拼知识，是解答此题的关键。7．（2分）4个边长为1cm小正方形组成图形。下面这一列图形由重叠而成。按这样的方式重叠，第5个图形的周长是24cm。【分析】观察可得规律，第1个图形周长是8厘米，第2个图形周长是（8+4）厘米，第3个图形周长是（8+4×2）厘米，……第n个图形周长是[8+（n﹣1）×4]厘米。第5个图形的周长即可求。【解答】解：第1个图形周长是8厘米，第2个图形周长是（8+4）厘米，第3个图形周长是（8+4×2）厘米，……第n个图形周长是[8+（n﹣1）×4]厘米。第5个图形的周长是：8+（5﹣1）×4＝8+16＝24（厘米）故答案为：24。【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。8．（2分）如图，把这个展开图折成一个长方体，（1）如果A面在底部，那么F面在上面．（2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么E或C面在上面．【分析】利用长方体及其表面展开图的特点解题．这是一个长方体的平面展开图，共有六个面，其中面“A”与面“F”相对，面“B”与面“D”相对，“C”与面“E”相对，再根据AF折的方向判断E或C哪个面在上面．【解答】解：由图可知，“C”与面“E”相对．则（1）因为面“A”与面“F”相对，所以A面是长方体的底部时，F面在上面；（2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“C”面在下面，因为面“E”与面“C”相对，当AF向上折，E会在上面，当AF向下折，C面会在上面；故答案为：F，E或C．【点评】注意长方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．9．（2分）按照下面图形与数的排列规律，下一个数应是125，第n个数是n3．【分析】观察图形，根据正方体的体积公式可知，1＝13，8＝23，27＝33，64＝43，…，第n个图，每条棱上就有n个小正方体，所以小正方体的个数是n3，即表示的数是：n3；据此解答即可．【解答】解：下一个数应是：53＝125（个）第n个数是：n×n×n＝n3；故答案为：125；n3．【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．10．（2分）一个立体图形从上面看是，从左面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用5个小正方体，最多可以有7个小正方体．【分析】从左面看，物体有两层，上层有1排，下层有两排；从上面看，物体有两排，上一排有3个小正方体，下排有1个小正方体；要搭成这样的立体图形下层需要3+1＝4个小正方体，上层最少只有1个小正方体，最多可以是7个小正方体，由此即可解答．【解答】解：最少有：4+1＝5（个），最多有：4+3＝7（个），故答案为：5，7．【点评】此题考查了从不同方向观察物体和几何体．三视图可以锻炼学生的空间想象力和抽象思维力．11．（2分）小明读一本故事书，第一天读了20页，第二天读了全书总页的，第三天读的页数相当于前两天读书页数总和的50%，这时还剩下50页没有读，这本书一共有128页．【分析】把这本书的总页数看做作单位“1”，第一天读了20页，第二天读全书的，第三天读了相当于前两天读书页数总和的50%，即20的50%，是10页，全书的的50%是全书的，还剩下50页没有读，则20+10+50占全书的（1﹣﹣），已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法列式解答即可．【解答】解：（20+20×50%+50）÷（1﹣﹣×50%）＝（20+10+50）÷（1﹣﹣）＝80÷＝128（页）答：这本书一共有128页．故答案为：128．【点评】本题的关键是找出单位“1”，并找出数量对应了单位“1”的几分之几，再用除法就可以求出单位“1”的量．三．慎重考虑，合理选择（共6小题，满分6分，每小题1分）12．（1分）如图所示，下面说法错误的是（）​A．甲的周长是2a+2b B．整个长方形面积是（a+b）a C．乙的面积是a2 D．整个长方形周长是5a+2b【分析】根据长方形的面积＝长×宽，长方形的周长＝（长+宽）×2，解答此题即可。【解答】解：甲的周长是2a+2b；整个长方形面积是（a+b）a；乙的面积是a2；整个长方形周长是4a+2b。故选：D。【点评】熟练掌握长方形的周长和面积公式，是解答此题的关键。13．（1分）相同时间内，甲走的路程比乙多，下面表述正确的是（）A．甲走的路程与速度成反比例 B．甲与乙速度比是4：5 C．乙走的路程是甲的 D．甲5分钟走的路程，乙需要4分钟走完【分析】由题意可知，时间一定的情况下，甲走的路程与速度成反比例；相同时间内，甲走的路程比乙多，把乙行驶的路程看成单位“1”，甲是乙的（1+），甲乙的路程比是5：4，则甲与乙速度比5：4；相同的路程，甲乙的时间比应该是4：5；所以题干说法错误，据此判断。【解答】解：由分析可知：A，时间一定的情况下，甲走的路程与速度成反比例，所以本题错误；B：把乙行驶的路程看成单位“1”，甲是乙的（1+），甲乙的路程比是5：4，则甲与乙速度比5：4，所以题干说法错误；C：把乙行驶的路程看成单位“1”，甲是乙的（1+），甲乙的路程比是5：4，乙的路程是甲的，题干说法正确；D：把乙行驶的路程看成单位“1”，甲是乙的（1+），甲乙的路程比是5：4，则甲与乙速度比5：4；相同的路程，甲乙的时间比应该是4：5；所以题干说法错误。故选：C。【点评】本题考查行程问题，探讨了速度、时间、路程比及正反比例的关系问题。14．（1分）下面说法正确的是（）A．如图，这幅统计图中，虚线位置能表示出这组数的平均数。​ B．描述小张同学从一年级到六年级的身高变化趋势情况，最好用条形统计图来表示。 C．用四张卡片中任意抽两张求积。所有积中，结果是偶数的可能性比结果是合数的可能性大。 D．描述某班托管人数占全班人数的情况，用折线统计图表示。【分析】A.超过横线和不足的部分大致相等时，横线所在的位置能反映这组数据平均数据此判断即可。B.条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。C.分别求出结果是偶数和合数的可能性，再比较即可。D.首先要清楚每一种统计图的特点：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；据此求解。【解答】解：A.超过横线的部分多于不足的部分，虚线位置不能表示出这组数的平均数，本题说法错误，不符合题意。B.描述小张同学从一年级到六年级的身高变化趋势情况，最好用折线统计图来表示，本题说法错误，不符合题意。C.结果是偶数的可能性是：5÷6＝结果是合数的可能性是：4÷6＝＞答：结果是偶数的可能性比结果是合数的可能性大，本题说法正确，符合题意。D.描述某班托管人数占全班人数的情况，用扇形统计图表示，本题说法错误，不符合题意。故选：C。【点评】本题主要考查了求平均数的方法，统计图的选择以及可能性的大小，要熟练掌握。15．（1分）一块地的公顷用来种土豆。如图表示正确的有（）个。A．1 B．2 C．3 D．4​【分析】把1公顷看作单位“1”，把它平均分成5份，每份是它的，是公顷，公顷表示其中3份；也可把3公顷看作单位“1”，把它平均分成5份，每份是它的，是公顷；把10公顷看作单位“1”，把它平均分成10份，每份是它的，是公顷。【解答】解：一块地的公顷用来种土豆。如图表示正确的有②、③、④3个。故选：C。【点评】1公顷的等于3公顷的，是常考题，多以填空、选择、判断题的形式出现。16．（1分）小塘有若干颗大铁球和小铁球，他想测量一颗小铁球的体积，过程如图：①将300mL的水倒入一个容量为600mL的杯子中；②将5颗相同的大铁球放入水中，结果水刚好到杯口，没有溢出；③将6颗相同的小铁球放入水中，结果水没有满；④再加入一颗大铁球，结果水满溢出来。根据以上过程，推测一个小铁球的体积大约在（）A．30cm3～40cm3 B．40cm3～50cm3 C．50cm3～60cm3 D．正好40cm3【分析】没水部分的体积是300毫升，由②可知，5个大铁球的体积正好等于300毫升，进而求出大铁球的体积。由③可知，6颗小铁球的体积小于300毫升，6颗小铁球再加1个大铁球的体积大于300毫升。由此判断。【解答】解：600﹣300＝300（毫升）300÷5＝60（立方厘米）300÷6＝50（立方厘米）（300﹣60）÷6＝240÷6＝40（立方厘米）答：一个小铁球的体积大约在40cm3～50cm3。故选：B。【点评】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗大铁球的体积，进而得解。17．（1分）给下面每个格子涂上红色或黄色或蓝色，如果从左往右一列一列地涂，那么至少涂（）列才能保证其中有两列的结果相同。A．4 B．7 C．9 D．10【分析】涂色时，先涂出每列都不同的情况，若再画一列，就会有相同的涂法；据此解答即可。【解答】解：如图：给每个格子涂上红色或黄色或蓝色，如果从左往右一列一列地涂，那么至少涂10列才能保证其中有两列的结果相同。故选：D。【点评】解题的关键是尽量把每列用不同的方法涂色。四．火眼金睛，细心裁判（共4小题，满分4分，每小题1分）18．（1分）把一个三角形按2：1放大后，它每个角的度数也扩大到原来的2倍．×．（判断对错）【分析】因为把一个三角形按2：1放大，只是把三角形的三条边的长度扩大了；而角度的大小只和两边叉开的大小有关，和边长无关，所以角度不变．【解答】解：由分析得出：把一个三角形按2：1放大后，它每个角的度数不变．所以题干说法错误．故答案为：×．【点评】解决本题的关键是明确角的大小与边长无关，只和角的两边叉开的大小有关．19．（1分）任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形．×．（判断对错）【分析】两个完全一样的梯形能拼成一个平行四边形，等底等高的梯形并不一定会是完全一样的．据此可判断．【解答】解：两个完全一样的梯形能拼成一个平行四边形，等底等高的梯形并不一定是完全一样的．如图：这两个梯形等底等高，但不能拼成平行四边形．故答案为：×．【点评】本题考查了学生对等底等高的梯形，并不一定是完全一样的梯形的掌握情况．20．（1分）一根绳子长米，也可以写成97%米．×．（判断对错）【分析】百分数是“表示一个数是另一个数百分之几的数．”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量，所以，97%米的表示方法是错误的．【解答】解：根据百分数的意义可知，百分数不能表示某一具体数量，所以，97%米的表示方法是错误的．故答案为：×．【点评】百分数不能表示具体的数量是百分数与分数的区别之一．21．（1分）两个圆半径长度的比是1：2，则它们的面积比也是1：2．×（判断对错）【分析】根据圆的面积公式s＝πr2先写出它们的面积比，再化简即可得答案．【解答】解：（π×12）：（π×22）＝1：4；故答案为：×．【点评】此题主要考查圆的面积公式及化简比的知识．五．手眼并用，动手操作（共2小题，满分10分，每小题5分）22．（5分）按3：1画出三角形放大后的图形；按1：2画出长方形缩小后的图形。​【分析】直角三角形两直角边即可确定其形状，根据图形放大的意义，把三角形的两直角边均放大到原来的3倍所得到的图形就是原图形按3：1放大后的图形；根据图形缩小的意义，把长方形的长、宽均缩小到原来的所得到的长方形就是原图形按1：2缩小后的图形。【解答】解：根据题意画图如下：【点评】图形放大缩小的倍数是指对应边（线段）放大或缩小的倍数，对应角大小不变，即图形放大或缩小，改变的是大小，形状不变。23．（5分）动手操作．（1）在上面的方格图中标出点A（7，2），B（11，6），C（13，6），D（13，2），再依次连接各点围成封闭图形．（2）画出这个封闭图形绕A点逆时针方向旋转90°后的图形．【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可在网格图中描出A（7，2）、B（11，6）、C（13，6）、D（13，2）各点，并依次连接各点围成封闭图形．（2）根据旋转的特征，这个封闭图形绕点A逆时针旋转90°，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形．【解答】解：（1）在上面的方格图中标出点A（7，2），B（11，6），C（13，6），D（13，2），再依次连接各点围成封闭图形（图中红色部分）．（2）画出这个封闭图形绕A点逆时针方向旋转90°后的图形（图中绿色部分）．【点评】此题主要考查的两个方向的知识点：数对与位置；作旋转一定度数后的图形．六．应用知识，解决问题（共8小题，满分40分）24．（4分）甲、乙两种商品成本共2200元。甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来在顾客的要求下，两种商品按定价打9折，结果仍获利122元。问：甲、乙两种商品成本各多少元？【分析】根据题意设甲商品的成本价为x元，则乙商品的成本价是（2200﹣x）元，据此可知甲商品最后的定价：[（1+20%）×0.9x]元，乙商品最后的定价为：[（2200﹣x）×（1+15%）×0.9]，根据最后的定价仍获利122元，可列方程：（1+20%）×0.9x+（2200﹣x）×（1+15%）×0.9﹣2200＝122，据此解答。【解答】解：设甲商品的成本价为x元。（1+20%）×0.9x+（2200﹣x）×（1+15%）×0.9﹣2200＝1221.08x+（2200﹣x）×1.035﹣2200＝1221.08x+2277﹣1.035x﹣2200＝1220.045x+77＝1220.045x＝45x＝10002200﹣1000＝1200（元）答：甲是1000元，乙是1200元。【点评】此题主要考查了百分数与折扣的联系及应用，以及列方程解决问题的方法及应用。25．（4分）学校六年级3个班在植树活动中总共植树360棵，其中六（1）班和六（2）班植树棵数的比是2：3，六（3）班植树棵数是总数的．三个班分别植树多少棵？【分析】把植树的总棵数看作单位“1”，六（3）班植树棵数是总数的．根据一个数乘分数的意义，用乘法即可求出六（3）班植树的棵数，又知六（1）班和六（2）班植树棵数的比是2：3，也就是六（1）植树的棵数占还剩的，六（2）植树的棵数占还剩的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【解答】解：六（3）班植树：360×＝120（棵）；六（1）班植树：（360﹣120）×＝＝96（棵）；六（2）班植树：（360﹣120）×＝＝144（棵）；答：六（1）植树96棵，六（2）植树144棵，六（3）植树120棵．【点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义，比与分数之间的联系及应用．26．（4分）一个圆锥底面周长是37.68cm，高是5cm。把圆锥浸没到一个圆柱形容器里，水面上升了0.5cm（没有溢出水），圆柱形容器的底面积是多少cm2？【分析】求出圆锥的体积与液面上升的体积相等，然后运用V＝Sh进行计算即可。【解答】解：37.68÷3.14÷2＝6（cm）62×3.14×5×÷0.5＝3.14×60÷0.5＝3.14×120＝376.8（cm3）答：圆柱形容器的底面积是376.8cm2。【点评】此题主要考查圆锥、圆柱的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。27．（4分）A、B两地相距864千米，甲乙两车分别从两地同时相对开出，经过6小时相遇，甲车与乙车的速度之比是5：4，甲、乙两车每小时各行驶多少千米？【分析】甲乙两车的速度比是5：4，甲车的速度就是两车速度和的，乙车的速度就是两车速度和的，根据速度和＝路程÷相遇时间，求出两车的速度和，再根据分数乘法的意义列式解答。【解答】解：864÷6＝144（千米）144×＝144×＝80（千米）144×＝144×＝64（千米）答：甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶64千米。【点评】本题的关键是先求出两车的速度和，然后再根据分数乘法的意义列式解答。28．（6分）小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？【分析】先求出小强后面从家到学校需要的时间，再减去原来追上一直匀速步行的小塘的那一段路的时间，就可以得到从追上小塘那里开始到学校小钱需要花的时间，然后再求出小塘从那里开始到学校所花的时间，就可以得到同样的路程小塘用的时间是小钱的几倍，进而可以求出小塘从家到学校的时间。【解答】解：原来小钱的速度：现在小钱的速度＝1：2原来用的时间：现在用的时间＝2：1（46﹣40）÷2×1＝6+2÷1＝3（分钟）小钱在路上的时间：60﹣40﹣6＝14（分钟）拿好笔回学校的时间：14﹣6﹣3＝5（分钟）第一次遇见小塘的地方到学校的时间：5﹣3＝2（分钟）小塘从第一次遇见小塘到学校的时间：60﹣46＝14（分钟）14÷2＝7（分钟）5×7＝35（分钟）60﹣35＝25（分钟）小塘从家里出发的时间：7：25答：小塘是7：25从家里出发的。注：思考角度多样，言之有理即可。【点评】此题需要学生读懂题意，缕清思路，逐步分析。29．（6分）李、丁、楼、吕四位退休阿姨，一起合伙开了一家轻食餐饮店。她们的出资情况如图。预计这家轻食餐饮店全年的营业额将达到80万元，房租、人工、材料等成本费预计支出53.6万元，还要按营业额的3%缴纳增值税，剩下的就是这家轻食餐厅店的净利润。​​（1）这家轻食餐饮店这一年将交多少万元的增值税？（2）如果按出资比例将这一年的净利润进行分配，李阿姨预计可以分到多少万元？（3）如果成本费不变，要使丁阿姨按出资比例能分到5.7万元的净利润，那么这家轻食餐厅店这一年的营业额至少要做多少万元？（得数保留整数）【分析】（1）根据增值税＝营业额×税率计算即可。（2）72°÷360°＝0.2＝20%，即丁阿姨和楼阿姨投资所占的百分比都是20%，营业额﹣增值税﹣成本费＝净利润，净利润×李阿姨投资所占的半分比（1﹣15%﹣20%﹣20%）即是李阿姨预计分到的钱。（3）若使丁阿姨按出资比例能分到5.7万元的净利润，那设营业额至少为x万元，根据（营业额﹣增值税﹣成本费）×20%＝5.7列方程，解出x即可。【解答】解：（1）80×3%＝80×0.03＝2.4（万元）答：这家轻食餐饮店这一年将交2.4万元的增值税。（2）72°÷360°＝0.2＝20%所以丁阿姨和楼阿姨投资所占的百分比都是20%。（80﹣2.4﹣53.6）×（1﹣15%﹣20%﹣20%）＝24×45%＝24×0.45＝10.8（万元）答：李阿姨预计可以分到10.8万元。（3）