4.4探索三角形相似的条件课件北师大版九年级数学上册

第四章图形的相似北师大版八年级数学上册4.1探索三角形相似的条件学习&目标1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件.2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）第1课时情境&导入问题1：这两个三角形有什么关系？全等三角形

那这样变化一下呢？探索&交流相似三角形相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.对应角……？对应边……？问题2：相似多边形的定义是什么？根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？全等是一种特殊的相似

探索&交流例题&解析

例题欣赏☞例1.如图4-4-2，已知△ABC∽△ADE，∠A=70°，∠B=40°，AB=6，BC=6，AD=3.(1)求△ABC与△ADE的相似比；(2)求∠AED的度数和DE的长.

例题&解析探索&交流问题3：三角形全等的性质和判定方法有哪些？思考

全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？定义：三角、三边对应相等的两个三角形全等探索&交流∽△ABC△A'B'C'∠A=∠A'∠B=∠B'∠C=∠C'需要6个条件吗？

想一想探索&交流如果两个三角形只有一个角相等，他们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？(1)一个条件①一个角相等②两边成比例只有一个角相等，两个三角形相似吗？只有两边成比例，两个三角形相似吗？ABCA'B'C'ABCA'B'C'反例：反例：问题一

度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值.你有什么发现？CABA'B'C'与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：这两个三角形是相似的探索&交流已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.B'A'DEC'BAC证明猜想：证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分别截取A′D=AB，A′E=AC，连结DE.∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B.又∵∠B′=∠B，∴∠A′DE=∠B′，∴DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.探索&交流1.定理

两角分别相等的两个三角形相似.2.几何语言：如图4-4-3，在△ABC和△DEF中，∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.探索&交流注意：对应点写在对应的位置.例题&解析

例题欣赏☞例2如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.平行角相等解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.ABCDE∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.△相似∴∴练习&巩固1.下列说法中错误的是(

)A．两个全等三角形一定相似B．两个直角三角形一定相似C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D．相似的两个三角形不一定全等练习&巩固2.如图，点P是ABCD边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有(

)A．0对B．1对C．2对D．3对练习&巩固3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.AEFBCD小结&反思利用两角判定三角形相似定理：两角分别相等的两个三角形相似相似三角形的判定定理1的运用学习&目标1.掌握相似三角形的判定定理2.（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2．（难点）第2课时情境&导入问题1有两边对应成比例的两个三角形相似吗?3355不相似问题2类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？3355相似探索&交流如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴验证猜想：∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵A′D=AB，∴探索&交流探索&交流

例题&解析

例题欣赏☞例1如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且

，求DE的长.ABCDE例题&解析∵BC=3，解：∵AE=1.5，AC=2，又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）

想一想探索&交流如果△ABC与△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？50°4ABC3.2250°EDF1.6两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似。结论：判定两个三角形相似角必须两边的夹角.例题&解析

例题欣赏☞例2

如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.ABCDE证明：∵△ABC与△ADE是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.例题&解析练习&巩固1.

如图，D是△ABC一边BC上一点，连结AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCABCD练习&巩固2.如图，已知，AD＝3cm，AC＝6cm，BC＝8cm，则DE的长为________cm.练习&巩固3.如图，在△ABC中，D，E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4.求证：△ADE∽△ACB.小结&反思ABCA′B′C′相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.几何语言：∵∴△ABC∽△A′B′C′学习&目标1.掌握相似三角形的判定定理3.（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理3．（难点）第3课时情境&导入我们接着来考虑增加的条件是“另两边成比例”的问题.如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

做一做探索&交流①任意画△ABC；②再画△A′B′C′，使

；③量出∠A及∠A′的度数，∠A＝∠A′吗？④由上面的画图，你能发现△ABC与△A′B′C′有何关系？说说你的理由.⑤改变k值的大小，再试一试.ABCA′B′C′△ABC∽△A′B′C′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）探索&交流∴

C′B′A′证明:在线段AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC.BCADE又,AD=A′B′，∴，

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探索&交流

探索&交流特别提醒:由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.例题&解析

例题欣赏例1.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABCDFE解：在△ABC中，AB>BC>CA.∴△ABC∽△DEF.

31.83.52.142.4在△DEF中，DE>EF>FD.例题&解析

例题欣赏☞例2.如图，在△ABC和△ADE中，，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.ADCEB∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）解：∵∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC.即∠BAD＝∠CAE.∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°.

议一议探索&交流如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？ABCA′B′C′48假设每一小格的边长为1，练习&巩固1.如图,△ABC与△A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的判断?CBAA′B′C′练习&巩固2.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(

)练习&巩固3.在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．ACBC′A′B′

小结&反思利用三边判定三角形相似定理：三边对应成比例的两个三角形相似相似三角形的判定定理3的运用学习&目标1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比.2.能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点）第4课时情境&导入通过观察，你觉得下面那副图最有美感？事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系.

情境&导入ABC点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.探索&交流例题&解析

例题欣赏AAC例1.计算黄金比.解：由，得AC2＝AB·BC设AB＝1，AC＝x，

∴x2＝1×（1－x）即x2＋x－1＝0解这个方程，得（不合题意，舍去）则BC＝1－x.所以，黄金比较长线段原线段＝较短线段较长线段比值称为黄金比，近似值为0.618线段AB被点C黄金分割黄金分割点AAC黄金比是一个比值﹐它没有单位!探索&交流

探索&交流

想一想探索&交流古希腊时期的巴台农神庙ABDCEF图1图2如果把图1中用虚线表示的矩形画成图2中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD.那么我们可以惊奇地发现点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?探索&交流ABDCEF由，可得即因此点E是AB的黄金分割点.是黄金比，（即）也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.例题&解析

例题欣赏例2.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更