2024-2025学年安徽省卓越县中联盟＆皖豫名校联盟高二上学期期中联考数学试题 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省卓越县中联盟＆皖豫名校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为．故选：C2.若直线与平行，则（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】若直线与平行，则，且，解得．故选：A.3.已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，设边的中点为，则，即，又，所以，故边上的中线所在直线的方程为，即．故选：D.4.已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，而，所以，又圆的半径为2，故圆上的点到直线的距离的最大值为．故选：B.5.已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，设，由题意知，且三向量两两夹角均为，，．故选：B.6.已知直线过点和，则点到直线的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由题意知，直线的一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，易知点不在直线上，，所以点到直线的距离为．故选：C.7.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为，则直线的方程为，设Ax1,y1因为点在内部，所以，又，所以，将代入，可得，再将代入，可得，又，所以，故的离心率．故选：D.8.在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】设分别为与同方向的单位向量，则．得，，由题可得，即，即，解得．故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（）A. B.C.可以作为空间的一个基底 D.在上的投影向量的模长为【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以或，故B错误；对于C，由选项，解析可知，由的坐标可知不共线，所以不共面，则可以作为空间的一个基底，故C正确；对于D，在上的投影向量的模长为，故D正确．故选：ACD.10.已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（）A. B. C. D.1【答案】BD【解析】在椭圆中，，半焦距，，由是直角三角形，得（）或，若（），由，得，则点到轴距离为，的面积，B正确；当是的上顶点或下顶点时，，的面积，D正确.故选：BD11.已知点，曲线是满足点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.若曲线与圆有公共点，则B.若，则两曲线交点所在直线的方程为C.若，则的取值范围为D.若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得【答案】AC【解析】设Mx,y，由，可得，整理得，所以曲线的方程为，表示圆心为，半径的圆．圆的圆心为点3,-4，半径，两圆的圆心距．对于A，若圆与圆有公共点，则，即，解得，故A正确；对于B，若，由A选项知两圆没有交点，故B错误；对于C，若，则，两圆外离，则有，即，故C正确；对于D，若，则四边形为正方形，，如图，又为，即，而，所以不存在这样的点，使得，故D错误．故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆的半径的最小值为______．【答案】【解析】】圆的方程可化为，半径为，当时，圆的半径取得最小值．故答案为：2.13.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于，两点，则三点能构成边长为的正三角形时，的方程为______．【答案】【解析】设，由题意知当时是边长为的正三角形，如图．由椭圆和正三角形的对称性，可知，所以，又，所以，由，得，故椭圆的方程为．故答案为：.14.如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为______．【答案】【解析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则．因为，所以，得，所以点的轨迹是一条线段，当时，，此时点的坐标为，当时，，此时点的坐标为，所以符合条件的点形成的轨迹的长度为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量．（1）若共面，求的值；（2）若，求的值．解：（1）与不平行，共面，存在实数，使得，即，解得，故实数的值为8．（2），且，，即，解得．16.已知直线的方程为．（1）证明：直线过定点．（2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？（1）证明：将直线的方程整理得，由，解得，所以直线恒过点．（2）解：由（1）可得直线过定点，设定点为．当时，点到直线的距离最大，且最大距离，即点到直线的最大距离为．此时，而直线的斜率，所以，解得．17.已知圆经过两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，求直线的方程．解：（1）设圆的标准方程为，由已知得，解得所以圆的方程为．（2）由(1)知圆的方程为，圆心为M1,1，半径．因为，所以要使最小，则需最小，此时与直线垂直，由直线，可得直线的斜率为，直线的方程为，即，由解得即，则以为直径的圆的方程为．由两式相减可得直线的方程为．18.如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是棱的中点，平面平面．（1）求证：．（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接，如图，由题知四边形是菱形，则，又分别为棱的中点，所以，故．因为为等边三角形，为的中点，所以．又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，故．又平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解：连接，如图．由，可知为等边三角形，又是的中点，所以，由(1)得平面，所以两两互相垂直．故以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，．假设在棱上存在符合要求的点，设，则．设平面的法向量为，则即即取，则，所以．由(1)得是平面的一个法向量，因为平面与平面的夹角的余弦值为，所以，即，解得或（舍去），故存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，使得平面与平面的夹角的余弦值为．19.已知椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，为上任意一点，且．（1）求的方程．（2）设过点直线与有两个不同的交点（均不与点重合）．（ⅰ）若以线段为直径的圆恒过点，求的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线的斜率存在且线段的中点为，求证：直线与直线（是坐标原点）的斜率之积为定值．（1）解：设椭圆的半焦距为．由题意得．因为的离心率，所以，结合，得，所以的方程为．（2）（ⅰ）解：设直线的方程为，由消去，得，所以，，所以，因为以线段为直径的圆恒过点，所以，即，所以，即，即，解得或（舍去），满足，故．（ⅱ）证明：由题可知．结合（ⅰ）可知，所以，所以直线的斜率，又直线的斜率，所以，为定值，证毕．安徽省卓越县中联盟＆皖豫名校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为．故选：C2.若直线与平行，则（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】若直线与平行，则，且，解得．故选：A.3.已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，设边的中点为，则，即，又，所以，故边上的中线所在直线的方程为，即．故选：D.4.已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，而，所以，又圆的半径为2，故圆上的点到直线的距离的最大值为．故选：B.5.已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，设，由题意知，且三向量两两夹角均为，，．故选：B.6.已知直线过点和，则点到直线的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由题意知，直线的一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，易知点不在直线上，，所以点到直线的距离为．故选：C.7.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为，则直线的方程为，设Ax1,y1因为点在内部，所以，又，所以，将代入，可得，再将代入，可得，又，所以，故的离心率．故选：D.8.在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】设分别为与同方向的单位向量，则．得，，由题可得，即，即，解得．故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（）A. B.C.可以作为空间的一个基底 D.在上的投影向量的模长为【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以或，故B错误；对于C，由选项，解析可知，由的坐标可知不共线，所以不共面，则可以作为空间的一个基底，故C正确；对于D，在上的投影向量的模长为，故D正确．故选：ACD.10.已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（）A. B. C. D.1【答案】BD【解析】在椭圆中，，半焦距，，由是直角三角形，得（）或，若（），由，得，则点到轴距离为，的面积，B正确；当是的上顶点或下顶点时，，的面积，D正确.故选：BD11.已知点，曲线是满足点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.若曲线与圆有公共点，则B.若，则两曲线交点所在直线的方程为C.若，则的取值范围为D.若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得【答案】AC【解析】设Mx,y，由，可得，整理得，所以曲线的方程为，表示圆心为，半径的圆．圆的圆心为点3,-4，半径，两圆的圆心距．对于A，若圆与圆有公共点，则，即，解得，故A正确；对于B，若，由A选项知两圆没有交点，故B错误；对于C，若，则，两圆外离，则有，即，故C正确；对于D，若，则四边形为正方形，，如图，又为，即，而，所以不存在这样的点，使得，故D错误．故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆的半径的最小值为______．【答案】【解析】】圆的方程可化为，半径为，当时，圆的半径取得最小值．故答案为：2.13.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于，两点，则三点能构成边长为的正三角形时，的方程为______．【答案】【解析】设，由题意知当时是边长为的正三角形，如图．由椭圆和正三角形的对称性，可知，所以，又，所以，由，得，故椭圆的方程为．故答案为：.14.如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为______．【答案】【解析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则．因为，所以，得，所以点的轨迹是一条线段，当时，，此时点的坐标为，当时，，此时点的坐标为，所以符合条件的点形成的轨迹的长度为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量．（1）若共面，求的值；（2）若，求的值．解：（1）与不平行，共面，存在实数，使得，即，解得，故实数的值为8．（2），且，，即，解得．16.已知直线的方程为．（1）证明：直线过定点．（2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？（1）证明：将直线的方程整理得，由，解得，所以直线恒过点．（2）解：由（1）可得直线过定点，设定点为．当时，点到直线的距离最大，且最大距离，即点到直线的最大距离为．此时，而直线的斜率，所以，解得．17.已知圆经过两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，求直线的方程．解：（1）设圆的标准方程为，由已知得，解得所以圆的方程为．（2）由(1)知圆的方程为，圆心为M1,1，半径．因为，所以要使最小，则需最小，此时与直线垂直，由直线，可得直线的斜率为，直线的方程为，即，由解得即，则以为直径的圆的方程为．由两式相减可得直线的方程为．18.如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别