2024-2025学年安徽省卓越县中联盟、皖豫名校联盟高二下学期4月期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省卓越县中联盟、皖豫名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中检测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系式，则该质点在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，得到，则该质点在时的瞬时速度为，故C正确.故选：C2.已知是公差不为0的等差数列，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】由等差数列的性质知，结合题设有.故选：D3.如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路．若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】甲地经乙地到丁地的路线共有条，甲地经丙地到丁地的路线共有条，故从甲地到丁地路线条数为，所以，解得.故选：B4.已知曲线在点处的切线的斜率为，则（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】，则，由题意知，解得.故选：D5.某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为（）附：.A.3.622 B.4.502 C.5.921 D.6.634【答案】A【解析】由有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，得的观测值在区间，所以的观测值不可能3.622.故选：A6.记是等比数列的前项和，已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在等比数列中，，而成等比数列，因此，所以.故选：B7.已知正项数列的前项和为，且满足，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为正项数列的前项和为，且满足，，当时，则有，即，解得（舍）或；当且时，由可得，上述两个等式作差得，整理得，由题意可知，所以，且不满足，所以，数列从第二项开始为以为公差的等差数列，故.故选：B.8.将20个大小，材质均相同的小球分别编号为1，2，3，…，20，将这20个小球随机分装到甲，乙两个盒子中，每个盒子装10个小球，设甲盒中小球的最小编号为a，最大编号为b，乙盒中小球的最小编号为c，最大编号为d，则“”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将这20个小球随机分为两组放入甲，乙两个盒子中，共有种方法，假设1号在甲盒中，则甲盒中小球的最大编号为13，故20号小球在乙盒中，乙盒中小球最小编号为8，从而编号从1到7的小球均在甲盒中，9,10,11,12号小球有任意2个在甲盒中，满足要求的情况数为，将甲盒与乙盒互换，同样有6种情况，综上，共有种，满足要求，所以“”的概率为.故选：C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（）A.是等比数列 B.是等差数列C.是等比数列 D.是等比数列【答案】ABD【解析】A选项，由题意得，故，其中，故为等比数列，A正确；B选项，，故，又，故是等差数列，B正确；C选项，，，，其中，故不是等比数列，C错误；D选项，，故，故，所以为等比数列，D正确.故选：ABD10.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，易得，故A错误，对于B，由对数运算性质得，则，故B正确，对于C，由同角三角函数的基本关系得，则，故C正确，对于D，由幂函数求导法则得，故D错误.故选：BC11.已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，…，满足，则下列结论中正确的是（）A.若，则的最小值为4B若，则C.若，则D.若，则四边形面积的最小值为128【答案】BCD【解析】当，即，故共线，所以是一条焦点弦，其最小值为通径长度为，A错；令，而，可设，联立抛物线得，所以，，则，，所以，B对；当，，、共线，如下图，令，，则，易知，，，，同B分析得，，所以，C对；，当时，最小，D对.故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的导函数为，函数，则__________．【答案】【解析】，所以，故答案为：13.亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为__________．【答案】【解析】由题设，5个团去往3个场地，可按人数分组为、两种，按分组，若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，若甲所在的组有两人，则选一人与甲去往有种，余下3人分成两组有种，再把两组安排到有种，所以共有种；按分组，若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，若甲所在的组有三人，则选两人与甲去往有种，余下2人分成两组安排到有种，所以共有种；综上，共有种分配方法.故答案：14.已知各项均不为0的数列的前项和为，且，则的最大值为__________．（注：）【答案】5【解析】因为，，所以，故，令，,则，因为，所以，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，其中，故在处取得最大值，最大值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若曲线与轴相切，求实数的值.解：（1）若，则，故，而，故曲线在点处的切线方程为.（2），设曲线与轴相切于，则，解得故.16.已知是正项等比数列，且和是方程两个不等实根．（1）求的通项公式；（2）若是递增数列，设，求数列的前项和．解：（1），解得或9，故或，设的公比为，当时，，，解得，所以；当时，，，解得，所以；（2）是递增数列，故，，所以①，②，式子①-②得，故.17.某高科技公司开发一款新型机器人，为了解市场销售情况，统计了过去8个月的广告投入（单位：万元）与销量（单位：万台）的数据如下：广告投入万元12345678销量万台2630313335383841（1）求；（2）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；（3）已知利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，若某个月的广告投入为10万元，预测该月的销量.参考公式：相关系数.参考数据：解：（1）由表格中数据，得，.（2）依题意，，相关系数，相关系数非常接近1，说明x与y有强线性相关关系，适合用线性回归模型.（3）由（1）知，因此关于的线性回归方程为，当时，，所以某个月的广告投入为10万元，预测该月的销量45万台.18.如图，在多面体中，AG，DE，BF均与平面垂直，且C，E，F，G四点共面，，，，．（1）求线段AG的长；（2）求直线AE与平面所成角的正弦值．解：（1）因为BF与平面垂直，平面，所以⊥，⊥，又，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，连接，，由勾股定理得，故，故，因为，，，所以≌，故，过点作⊥于点，故，所以，所以，又，所以，设，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，故，C，E，F，G四点共面，故，即，解得，故；（2），平面的法向量为，设直线AE与平面所成角的大小为，则，直线AE与平面所成角的正弦值为.19.在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和；（3）设，若集合中恰好有3个元素，求实数的取值范围.解：（1）由条件可知，，当为偶数时，，所以数列的奇数项成公比为2的等比数列，所以，所以为奇数时，，当为偶数时，，所以；（2）当为偶数时，；当为奇数时，，；，所以；（3），所以当为奇数时，数列单调递减，当为偶数时，数列单调递减，，，，，若集合中恰好有3个元素，则.安徽省卓越县中联盟、皖豫名校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中检测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系式，则该质点在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，得到，则该质点在时的瞬时速度为，故C正确.故选：C2.已知是公差不为0的等差数列，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】由等差数列的性质知，结合题设有.故选：D3.如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路．若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】甲地经乙地到丁地的路线共有条，甲地经丙地到丁地的路线共有条，故从甲地到丁地路线条数为，所以，解得.故选：B4.已知曲线在点处的切线的斜率为，则（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】，则，由题意知，解得.故选：D5.某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为（）附：.A.3.622 B.4.502 C.5.921 D.6.634【答案】A【解析】由有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，得的观测值在区间，所以的观测值不可能3.622.故选：A6.记是等比数列的前项和，已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在等比数列中，，而成等比数列，因此，所以.故选：B7.已知正项数列的前项和为，且满足，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为正项数列的前项和为，且满足，，当时，则有，即，解得（舍）或；当且时，由可得，上述两个等式作差得，整理得，由题意可知，所以，且不满足，所以，数列从第二项开始为以为公差的等差数列，故.故选：B.8.将20个大小，材质均相同的小球分别编号为1，2，3，…，20，将这20个小球随机分装到甲，乙两个盒子中，每个盒子装10个小球，设甲盒中小球的最小编号为a，最大编号为b，乙盒中小球的最小编号为c，最大编号为d，则“”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将这20个小球随机分为两组放入甲，乙两个盒子中，共有种方法，假设1号在甲盒中，则甲盒中小球的最大编号为13，故20号小球在乙盒中，乙盒中小球最小编号为8，从而编号从1到7的小球均在甲盒中，9,10,11,12号小球有任意2个在甲盒中，满足要求的情况数为，将甲盒与乙盒互换，同样有6种情况，综上，共有种，满足要求，所以“”的概率为.故选：C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（）A.是等比数列 B.是等差数列C.是等比数列 D.是等比数列【答案】ABD【解析】A选项，由题意得，故，其中，故为等比数列，A正确；B选项，，故，又，故是等差数列，B正确；C选项，，，，其中，故不是等比数列，C错误；D选项，，故，故，所以为等比数列，D正确.故选：ABD10.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，易得，故A错误，对于B，由对数运算性质得，则，故B正确，对于C，由同角三角函数的基本关系得，则，故C正确，对于D，由幂函数求导法则得，故D错误.故选：BC11.已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，…，满足，则下列结论中正确的是（）A.若，则的最小值为4B若，则C.若，则D.若，则四边形面积的最小值为128【答案】BCD【解析】当，即，故共线，所以是一条焦点弦，其最小值为通径长度为，A错；令，而，可设，联立抛物线得，所以，，则，，所以，B对；当，，、共线，如下图，令，，则，易知，，，，同B分析得，，所以，C对；，当时，最小，D对.故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的导函数为，函数，则__________．【答案】【解析】，所以，故答案为：13.亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为__________．【答案】【解析】由题设，5个团去往3个场地，可按人数分组为、两种，按分组，若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，若甲所在的组有两人，则选一人与甲去往有种，余下3人分成两组有种，再把两组安排到有种，所以共有种；按分组，若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，若甲所在的组有三人，则选两人与甲去往有种，余下2人分成两组安排到有种，所以共有种；综上，共有种分配方法.故答案：14.已知各项均不为0的数列的前项和为，且，则的最大值为__________．（注：）【答案】5【解析】因为，，所以，故，令，,则，因为，所以，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，其中，故在处取得最大值，最大值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若曲线与轴相切，求实数的值.解：（1）若，则，故，而，故曲线在点处的切线方程为.（2），设曲线与轴相切于，则，解得故.16.已知是正项等比数列，且和是方程两个不等实根．（1）求的通项公式；（2）若是递增数列，设，求数列的前项和．解：（1），解得或9，故或，设的公比为，当时，，，解得，所以；当时，，，解得，所以；（2）是递增数列，故，，所以①，②，式子①-②得，故.17.某高科技公司开发一款新型机器人，为了解市场销售情况，统计了过去8个月的广告投入（单位：万元）与销量（单位：万台）的数据如下：广告投入万元12345678销量万台2630313335383841（1）求；（2）由数据看出，可用线性回归