2024-2025学年吉林省白城市高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省白城市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教B版必修第一册、必修第二册、必修第三册、必修第四册第九章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意知，，所以．故选：B．2.已知，，点P满足，则点的坐标是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】点，，则，于是，所以点的坐标为.故选：C3.设的内角的对边分别为，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理得，所以.故选：D.4.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D5.在中，，则的形状是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】根据题意，得，所以，所以，所以，即，所以的形状是直角三角形．故选：A．6.已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（）A.8 B.64 C. D.33【答案】A【解析】由题意，样本数据的方差为16，则样本，，，…，的方差为，所以样本，，，…，的标准差为．故选：A7.已知，，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，由指数函数是单调递减，所以，又，所以，又，所以，所以．故选：B．8.已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，取的中点，连接，因为，所以，所以，又为公共点，所以共线，且，所以点为的重心，因为，所以，所以，所以，因为，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】BCD【解析】对于A，，A不可以；对于B，假定与共线，则，则且，矛盾，向量和不共线，B可以；对于C，不能由表示出，即向量和不共线，C可以；对于D，假定与共线，则，则且，矛盾，向量和不共线，D可以.故选：BCD10.下列等式成立的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：BC.11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.的最小值为C.的最大值为D.若P在线段BC上，且，则的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，由正八边形的结构特征可知：，则，所以，所以，故A正确；对于B，由正八边形的结构特征可知，当点在边上时（不包含两点），的夹角为锐角，此时，当点在上时，设，则，则，当时，取得最小值，综上所述，的最小值为，故B正确；对于C，由题意可知，当点在边上时，在方向上的投影最大，最大值为，根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误；对于D，设，则，所以，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是相互独立事件，且，，则______．【答案】0.426【解析】因为是相互独立事件，所以，所以．故答案为：0.42613.已知角满足，若，则的值为__________．【答案】【解析】由已知，因为，又，所以.14.已知的内角的对边分别为，且，则__________，的最小值为__________．【答案】3；【解析】在中，由及余弦定理，得，因此；，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：3；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，，求边上的高.解：（1）因为，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以.（2）因为，，，由余弦定理得，即，即，解得或（舍）.设边上的高为，所以，即，解得，即边上的高为.16.已知向量，．（1）求；（2）若向量，且，求m的值；（3）求与垂直的单位向量的坐标．解：（1）由向量，，得，所以.（2）向量，则，由，得，解得，所以m的值为.（3），设与垂直的向量，则，取，得，则，与向量共线的单位向量为，所以与垂直的单位向量的坐标或.17.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式及单调递减区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围．解：（1）由图可得，函数的最小正周期为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，解得，所以，令，解得，所以的单调递减区间为．（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，当时，，所以．若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以，解得，即的取值范围是．18.已知的内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，点是边上的一点，且．求的长；（3）若是锐角三角形，，点为的中点，求的取值范围．解：（1）在中，由，得，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）得，由点是边上的一点，且，得，在中，由余弦定理得，即，所以.（3）在锐角中，，则，，由正弦定理得，在中，点为的中点，，由余弦定理得，所以CE的取值范围是.19.设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题：（1）已知向量，满足，，，求的值；（2）若向量，满足，，求证：；（3）已知向量，，，求的最小值．解：（1）由，，，得，解得，，，所以.（2）由，得，则，，所以.（3）由（2）得，而，，于是，，，当且仅当，即时取等号；所以的最小值是.吉林省白城市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教B版必修第一册、必修第二册、必修第三册、必修第四册第九章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意知，，所以．故选：B．2.已知，，点P满足，则点的坐标是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】点，，则，于是，所以点的坐标为.故选：C3.设的内角的对边分别为，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理得，所以.故选：D.4.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D5.在中，，则的形状是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】根据题意，得，所以，所以，所以，即，所以的形状是直角三角形．故选：A．6.已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（）A.8 B.64 C. D.33【答案】A【解析】由题意，样本数据的方差为16，则样本，，，…，的方差为，所以样本，，，…，的标准差为．故选：A7.已知，，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，由指数函数是单调递减，所以，又，所以，又，所以，所以．故选：B．8.已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，取的中点，连接，因为，所以，所以，又为公共点，所以共线，且，所以点为的重心，因为，所以，所以，所以，因为，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】BCD【解析】对于A，，A不可以；对于B，假定与共线，则，则且，矛盾，向量和不共线，B可以；对于C，不能由表示出，即向量和不共线，C可以；对于D，假定与共线，则，则且，矛盾，向量和不共线，D可以.故选：BCD10.下列等式成立的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：BC.11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.的最小值为C.的最大值为D.若P在线段BC上，且，则的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，由正八边形的结构特征可知：，则，所以，所以，故A正确；对于B，由正八边形的结构特征可知，当点在边上时（不包含两点），的夹角为锐角，此时，当点在上时，设，则，则，当时，取得最小值，综上所述，的最小值为，故B正确；对于C，由题意可知，当点在边上时，在方向上的投影最大，最大值为，根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误；对于D，设，则，所以，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是相互独立事件，且，，则______．【答案】0.426【解析】因为是相互独立事件，所以，所以．故答案为：0.42613.已知角满足，若，则的值为__________．【答案】【解析】由已知，因为，又，所以.14.已知的内角的对边分别为，且，则__________，的最小值为__________．【答案】3；【解析】在中，由及余弦定理，得，因此；，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：3；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，，求边上的高.解：（1）因为，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以.（2）因为，，，由余弦定理得，即，即，解得或（舍）.设边上的高为，所以，即，解得，即边上的高为.16.已知向量，．（1）求；（2）若向量，且，求m的值；（3）求与垂直的单位向量的坐标．解：（1）由向量，，得，所以.（2）向量，则，由，得，解得，所以m的值为.（3），设与垂直的向量，则，取，得，则，与向量共线的单位向量为，所以与垂直的单位向量的坐标或.17.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式及单调递减区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围．解：（1）由图可得，函数的最小正周期为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，解得，所以，令，解得，所以的单调递减区间为．（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，当时，，所以．若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以，解得，即的取值范围是．18.已知的内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，点是边上的一点，且．求的长；（3）若是锐角三角形，，