《22.2.1 第2课时 因式分解法》名师课件

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第22章一元二次方程22.2

解一元二次方程22.2.1第2课时因式分解法

我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？一起看看吧！情境引入导入新课因式分解法解一元二次方程引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以

10

m/s

的速度竖直上抛，那么物体经过

xs

离地面的高度(单位：m)为

10x

-

4.9x2.

根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?分析：设物体经过xs

落回地面，这时它离地面的高度为

0m，即10x-4.9x2=0.①

新课讲授解：解：a=4.9，b=-10，c=

0.∴

Δ

=b2－4ac

=(-10)2

-

4×4.9×0

=

100.公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程

10x-

4.9x2=0.4.9x2

-

10x=0.因式分解如果

a·

b=0，那么a=0

或b=0.两个因式乘积为

0，说明什么？或

10

-4.9x=0降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？10x-

4.9x2=

0①

x(10

-

4.9x)=0②

x=0，

思考2

解方程①时，二次方程是如何降为一次的？思考1

除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？

使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.要点归纳因式分解法的概念因式分解法的基本步骤一移——使方程的右边为

0；二分——将方程的左边因式分解；三化——将方程化为两个一元一次方程；四解——写出方程的两个解.简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.试一试：下列各方程的根分别是多少？(1)x(x-2)=0；

解：(1)x1=0，x2=2.(2)(y+2)(y

-

3)=0；

(2)y1=

-2，y2=3.(3)(3x+6)(2x

-

4)=0；

(3)x1=-2，x2=2.(4)x2=x.(4)x1=0，x2=1.例1

解下列方程：解：(1)因式分解，得∴x

-

2

=

0，或

x＋1

=

0.

解得

x1

=

2，x2

=

-1.(2)

移项、合并同类项，得因式分解，得

(2x＋1)(2x

-

1)

=

0.解得∴

2x＋1

=

0，或

2x

-

1

=

0.(x

-

2)(x＋1)

=

0.典例精析练一练

解下列方程：(1)(x

+

1)2

=

5x

+

5；即

x1

=

−1，x2

=

4．(2)x2

−

6x

+

9

=(5

−

2x)2．解：∵

(x

+

1)2

=

5(x

+

1)，∴

(x

+

1)2

-

5(x

+

1)=

0.则(x

+

1)(x

−

4)=

0.∴

x

+

1

=

0，或

x

−

4

=

0，解：方程整理得

(x

−

3)2

−

(5

−

2x)2

=

0，则[(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0，∴

2

−

x

=

0，或

3x

−

8

=

0，即

x1

=

2，x2

=.即(2−

x)(3x

−8)=

0.十字相乘法拓展提升(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a，b均为常数)两个一次二项式相乘的积一个二次三项式整式的乘法反过来，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一个二次三项式两个一次二项式相乘的积因式分解如果二次三项式

x2+px+q中的常数项

q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数

p又恰好是

a+b，那么

x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.试一试

解方程：x2+6x-7=0.解：因式分解得(x+7)(x−

1)=0.∴x+7=0，

或

x−

1=0.∴x1=−7，x2=1.·×练一练

解下列方程：(1)x2

−5x

+6=

0；解：分解因式，得(x

−

2)(x

−

3)=

0，(2)x2

+

4x

−

5

=

0；解：分解因式，得(x

+

5)(x

−

1)=

0，解得

x1

=

2，x2

=

3.解得

x1

=

−5，x2

=

1．·×·×(3)(x

+

3)(x

−

1)=

5；解：整理得

x2

+

2x

−

8

=

0，(4)2x2

−

7x

+

3

=

0.解：分解因式，得(2x

−

1)(x

−

3)=

0，解得

x1

=

−4，x2

=2.分解因式，得(x

+

4)(x

−

2)=

0，解得

x1

=，x2

=3.例2

用适当的方法解方程：(1)3x(x+5)=5(x+5)；

(2)(5x+1)2=1；分析：该式左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快.解：变形得(3x

-

5)(x+5)=0.

即3x

-

5=

0，或x+5

=0.

解得分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.解：开平方，得

5x+1=±1.

解得

x1=

0，x2=

灵活选用适当的方法解方程(3)x2

-12x=4；(4)3x2=4x+1.分析：二次项系数为1，可用配方法解较快.解：配方，得

x2-

12x+62=4+62，

即(x-6)2=40.开平方，得

解得

x1=，

x2=分析：二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法.解：整理成一般形式，得

3x2-4x

-

1=0.

∵Δ=b2-4ac=

28>0，要点归纳一元二次方程的解法选择基本思路1.一般地，当一次项系数为

0

时(ax2

+

c

=

0)，应选用直接开平方法；2.若常数项为

0(ax2

+

bx

=

0)，应选用因式分解法；3.化为一般式

(ax2

+

bx

+

c

=

0)后，若一次项系数和常数项都不为

0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为

1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法.系数含根式时也可选公式法.填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.拓展提升一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0(p2-4q≥0)(ax+m)2

=n(a≠0，n≥0)ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)(ax+m)(bx+n)

=0(ab≠0)1.填空：①x2

-

3x

+

1

=

0；

②3x2

-

1

=

0；

③

-3t2

+

t

=

0；④x2

-

4x

=

2；

⑤2x2

=

x；

⑥5(m

+

2)2

=

8；⑦3y2

-

y

-

1

=

0；

⑧2x2

+

4x

=

1；

⑨(x

-

2)2

=

2(x

-

2).最适合运用直接开平方法：

；最适合运用因式分解法：

；最适合运用公式法：

；最适合运用配方法：

.⑥①③⑤⑦⑧⑨②④当堂练习2.解方程：x2

-3x-10=18.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解：原方程化为

(x-5)(x+2)

=

18.①由

x

-

5=3，得

x=8；②由

x+2=6，得

x=4.③∴原方程的解为

x1=8或

x2=4.④3.解方程

x(x+1)=2时，要先把方程化为

；再选择适当的方法求解，解得

x1=

，x2=

.x2+x-

2=0-21解：原方程化为x2

-3x

-28=0，

(x

-

7)(x+4)=0，

x1

=7，x2

=

-4.解：化为一般式为因式分解，得x2

-

2x

+

1=0.(x

-

1)2=0.∴x

-

1=0.解得

x1

=

x2

=

1.解：因式分解，得(2x+11)(2x

-

11)=0.∴2x+11=0或

2x

-

11

=0.4.解方程：解得

(4)x2

+

4x

−

2

=

2x

+

3；(3)2x2

−

5x

+1

=

0；解：a

=

2，b

=

−5，c

=

1.∴

Δ=

(−5)2−4×2×1=17.解：整理，得

x2

+

2x

=

5，∴

x2

+

2x

+

1

=

5

+

1，即

(x

+

1)2

=

6.(5)(3m

+

2)2

−

7(3m

+

2)+

10

=

0．解法一：解：方程整理得m2-

m=0.分解因式，得m(m

-

1)=0.解得

m1=

0，m2=

1.解法二：解：分解因式，得(3m

+

2

-

2)(3m

+

2

-

5)=

0.∴

3m

+

2

-

2

=

0，

或

3m

+

2

-

5

=

0，解得

m1=

0，m2=

1.将(3m+2)看作一个整体，进行因式分解5.把小圆形场地的半径增