专题22.4 解一元二次方程-直接开平方法和因式分解法（拓展提高）（解析版）

专题22.4解一元二次方程—直接开平方法和因式分解法（拓展提高）一、单选题1．方程的解是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平方根的定义直接开平方求x的值即可.【详解】解：，直接开平方可得：x=，故选B.【点睛】本题主要考查直接开平方解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握直接开平方法解方程.2．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8【答案】C【分析】先直接开平方求得a2+b2﹣3＝±5，然后再整体求出a2+b2即可．【详解】解：∵（a2+b2﹣3）2＝25，∴a2+b2﹣3＝±5，∴a2+b2＝3±5，∴a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2＝8．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法解一元二次方程和整体思想是解答本题的关键．3．已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（）A．6 B．10 C．12 D．24【答案】C【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为×4×6＝12．故选：C．【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．4．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（）A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8【答案】A【分析】分和两种情况，分别可得一个关于的方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当时，则，即，解得或（舍去）；（2）当时，则，即，解得（舍去）；综上，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，正确理解新运算的定义是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则的值为（）

A． B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根据直线与函数有交点，解方程组求解交点坐标，再使用待定系数法求出k．【详解】解：与相交，∴k＞0，设A坐标为，B坐标为，代入得∴∴（舍去）或，故答案选：D【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键．6．如图，正方形的边长为，点分别为边上的点，点分别为边上的点，连接，若线段与的夹角为，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点B作BKEF交AD于K，作BMGH交CD于M，则BK＝EF，BM＝GH，作∠KBN＝45°交DA的延长线于N，得到∠ABN＝∠CBM，根据全等三角形的性质得到BN＝BM，AN＝CM，根据勾股定理得到CM，过点K作KP⊥BN于P，设EF＝BK＝x，则BP可求，再列方程即可得到结论．【详解】解：如图，过点B作BKEF交AD于K，作BMGH交CD于M，则BK＝EF，BM＝GH＝，∵线段GH与EF的夹角为45°，∴∠KBM＝45°，∴∠ABK＋∠CBM＝90°−45°＝45°，作∠KBN＝45°交DA的延长线于N，则∠ABN＋∠ABK＝45°，∴∠ABN＝∠CBM，在△ABN和△CBM中，，∴△ABN≌△CBM（ASA），∴BN＝BM，AN＝CM，在Rt△BCM中，CM＝，过点K作KP⊥BN于P，∵∠KBN＝45°，∴△BKP是等腰直角三角形，设EF＝BK＝x，则BP＝KP＝BK＝x，解得x＝，经检验：x＝是原方程的根，是增根，舍去，所以EF＝，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．二、填空题7．若分式的值为零，则的值为_______．【答案】【分析】根据分式值为的条件：分子为0，分母不为0，列式即可．【详解】解：∵分式的值为零，∴=0且，解方程得，；解不等式得，，∴故答案为：．【点睛】本题考查了分式值为零的条件，包含一元二次方程和一元一次不等式，解题关键是明确分式值为0，分子为0分母不为0，列出方程和不等式求解．8．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，则的长度是_________．【答案】2【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可，进而全等三角形的性质得出的长．【详解】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE=BD=3，CE=CF=10，∴BC=BE+CE=BD+CF=13，在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2，即（10+x）2+（x+3）2=132，整理得，x2+13x=0，解得：x=2，或x=15（舍去），即正方形ADOF的边长是2，∴DO=FO=2，∵△BOD≌△BOE，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．9．已知关于的一元二次方程有一个根是零，则=______．【答案】【分析】由一元二次方程可知二次项系数不为0，得到关于k的一个不等式，由它有一个根是0，将0代入后又得到关于k的一个一元二次方程，综合这两个式子即可求解．【详解】解：由题可得故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元二次方程根的的概念，解题过程中涉及到了解不等式和一元二次方程，因此牢记相关定义和计算步骤是解题关键．10．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为____________．【答案】8【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长．【详解】解：由题可知：．不成立，由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，三角形周长为2+3+3=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和解一元二次方程的内容，学生需要掌握三角形任意两边之和大于第三边的结论，题中方程用因式分解法解更为简便，该题考查了考生对三角形三边关系的理解与应用以及灵活运用恰当的方法解一元二次方程的能力．11．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____．【答案】1或-9【分析】通过解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解．【详解】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2．①若x=0是两个方程相同的实数根．将x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=-3，符合题意，∴m=1；②若x=2是两个方程相同的实数根．将x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0，∴m=-9，此时原方程为x2+3x-10=0，解得：x1=2，x2=-5，符合题意，∴m=-9．综上所述：m的值为1或-9．故答案为：1或-9．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．12．对于实数，定义运算“”：．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．【答案】或【分析】首先解出一元二次方程的两个解，然后根据定义新运算分情况讨论即可．【详解】∵是一元二次方程的两个根，，∴或，当时，；当时，；综上所述，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查定义新运算，分情况讨论是关键．13．已知等边，，连接，交于点，连接，，，若时，则__________．【答案】7【分析】延长AD至G点，使得FG=FC，连接BG，CG，作BH⊥DG于H点，通过条件证明△ABD≌△CAE，得到△FGC为等边三角形，再分别在Rt△BHG，Rt△BFH，和Rt△ABH中运用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，延长AD至G点，使得FG=FC，连接BG，CG，作BH⊥DG于H点，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CA，∠ABD=∠CAE=60°，∵AE=BD，∴△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，∴∠DFC=∠CAF+∠ACE=∠CAF+∠BAD=∠BAC=60°，∴△FGC为等边三角形，∴∠FCG=60°，FC=GC，∵∠ACB=60°，AC=BC，∴△ACF≌△BCG，∴AF=BG，∠AFC=∠BGC=120°，∴∠BGH=60°，在Rt△BHG中，设GH=x，则BG=2x，BH=x，∴FH=FG-GH=5-x，则在Rt△BFH中，，解得：，（不符合题意，舍去）∴GH=，BG=AF=2GH=3，FH=，BH=，∴AH=AF+FH=，在Rt△ABH中，，∴AC=AB=7，故答案为：7．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形等，灵活结合等边三角形的性质以及常见证明全等的模型构造出辅助线是解题关键．14．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0的解．解决问题：求方程的解为___________．【答案】【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．【详解】解：∵x3−10x＋3＝0，

∴x3−9x−x＋3＝0，

x（x2−9）−（x−3）＝0，

（x−3）（x2＋3x−1）＝0，

∴x−3＝0或x2＋3x−1＝0，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程．三、解答题15．解方程：（1）x2﹣7x﹣18＝0（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣2；（2）x1＝3，x2＝1【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）把（2x﹣3）看成整体，利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）x2﹣7x﹣18＝0，（x﹣9）（x+2）＝0，∴x﹣9＝0或x+2＝0，∴x1＝9，x2＝﹣2；（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0，[（2x﹣3）﹣3][（2x﹣3）+1]＝0，∴（2x﹣3）﹣3＝0或（2x﹣3）+1＝0，∴x1＝3，x2＝1.【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程、解一元二次方程-因式分解法，准确计算是解题的关键．16．先化简，再求值：，其中a是方程x2＋2x﹣3＝0的一个根．【答案】；【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到a的值，代入计算即可求出值．【详解】解：，∵a是方程x2＋2x﹣3＝0的一个根．∴或1，当a=1时，原式无意义，舍去；当a=-3时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）；（2）此题答案不唯一，，，【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；（2）令，利用因式分解法求解方程即可．【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程一般式为，∴，∵方程有两个不相等的实数根，．，；（2）此题答案不唯一．如，∴一元二次方程为，因式分解得，，．∴当时，方程的根为，．【点睛】本题主要考查根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．18．已知是方程组的解．（1）求的值；（2）若已知一个三角形的一条边长为4，它的另外两条边的长是方程的解，试判断这个三角形的形状并说明理由．【答案】（1）；（2）该三角形是直角三角形．理由见解析．【分析】（1）将x与y的值代入原方程组即可求出a、b的值；（2）将（1）中求得a，b值代入，列出方程x2-8x+15=0，利用因式分解法求得该方程的两根．然后判断该三角形的形状．【详解】解：（1）把代入方程组，得，解得：．所以；（2）该三角形是直角三角形．理由如下：由（1）知，，则，．由题意知，．整理，得．解得，，所以该三角形的三边长分别是3，4，5．因为．所以该三角形是直角三角形．【点睛】本题综合考查了二元一次方程组的解，三角形的三边关系，因式分解法解一元二次方程，还考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．对于实数、，定义一种运算：．（1）求的值：（2）如果关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算即可得出结论；（2）根据新运算“△”的运算公式将方程进行变形，再根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解:（1）（2），整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0．∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴，∴a＝0．【点睛】本题考查了实数的运算、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算；（2）由原方程有两个相等的实数根，找出关于a的一元一次不等式及一元二次方程．20．阅读理解：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”．解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点P(m，n)是直线y＝﹣x上一动点．

（1）已知4个点：B(2，﹣3)、C(2，﹣2)、D(﹣2，2)、E(2，)，则线段OA的“等距点”是，线段OA的“完美等距点”是．（2）若OP＝，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）B，C，E为等距点，C为完美等距点；（2）(0，)或(0，