《工程力学》课件第7章2

第7章运动动力学基础7.1质点的运动

7.2刚体的运动7.3动能定理7.4动静法7.1质点的运动

7.1.1自然表示法自然法又称为弧坐标法，其特点是结合轨迹来确定点沿轨迹运动的规律。所谓轨迹，是指动点运动时在空间经过的路线。对于轨迹已给出的问题，常用自然法求解。为了简单起见，这里只讨论动点运动轨迹为平面曲线的情形。

1．点的运动方程若动点M的轨迹为如图7.1所示的平面曲线，则动点M在轨迹上的瞬时位置可以这样确定：在轨迹上任选一固定点O为坐标原点，并规定O点某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置可用具有相应正负号的弧长来确定，即。s称为M的弧坐标，是代数量。动点沿已知轨迹运动时，弧坐标s随时间变化，是时间t的单值连续函数，即

s=f(t)[JY](7.1)式(7.1)称为点的弧坐标形式的运动方程。

2．点的速度速度是表示点运动的快慢和方向的物理量。设动点沿平面曲线AB运动，如图7.2所示，在瞬时t，动点在弧坐标为s的M处，瞬时t1=t+Δt，动点运动到M1位置，其弧坐标为s+Δs，则在时间间隔Δt内动点的位移为。位移与时间间隔Δt之比称为动点在Δt时间内的平均速度，以v*表示，即

v*与的方向一致。由此可见，速度是矢量。图7.2当Δt趋近于零时，点M1趋近于M，而平均速度趋近于一极限值，该值就是动点在位置M处(时刻t)的瞬时速度，即(7.2)当Δt趋近于零时，位移的大小趋近于弧长Δs，即，所以瞬时速度的大小为

(7.3)速度v的方向与位移在Δt趋近于零时的极限方向一致，即沿曲线在M点的切线方向，指向由导数ds/dt的正负号决定。由上述分析可知，瞬时速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数，若ds/dt>0，则点沿轨迹的正向运动，若ds/dt<0，则点沿轨迹的负向运动。瞬时速度的方向是沿运动轨迹在该点的切线方向，并指向运动的一方。速度的单位为m/s。

3.加速度加速度是反映点的速度大小、方向随时间变化的物理量。设点沿已知的平面曲线运动，在瞬时t位于M点，其速度为v，经过时间Δt，该点运动到M1处，其速度为v1，如图7.3所示。为了说明在Δt时间内点的速度变化情况，把速度v1

平移到M点，如图7.3所示，由矢量合成法则可得在Δt时间内速度改变量为Δv=v1－v，则在时间Δt内点的平均加速度为图7.3

平均加速度a*是矢量，其方向与Δv相同。当Δt→０时，平均加速度a*趋近于一极限值，这个极限值就是点在瞬时t的加速度a，有可把Δv分解为反映速度大小变化的Δvτ和反映速度方向变化的Δvn，在MC上找点B，使MB=MA=v，连接AB，则为Δvn，为Δvτ。其中，Δvτ=v1-v表示速度大小的改变量，而Δvn表示速度方向的改变量。由△ABC可得到Δv=Δvτ+Δvn，如图7.3所示。因此即加速度a可以分解为两个分量。(7.4)

一个分量是，用aτ表示，它描述了速度大小随时间的变化率。因为Δvτ=Δv=v1-v是一代数量，所以aτ的大小为

由图7.3可知，当Δt→0时，v1趋近于v，Δj→０，趋近于Δvτ的极限方向，与轨迹在M点的切线方向相重合，故aτ称为切向加速度。当aτ>0时，切向加速度指向轨迹的正向，反之指向轨迹的负向。（7.5）

另一个分量是，用an表示，它描述了速度方向随时间的变化率。其大小既与该点的速度有关，也与轨迹在该点的弯曲程度有关。经严密推导(本书从略)，可得(7.6)式中，ρ为轨迹曲线在M点的曲率半径。an的方向沿轨迹在该点的法线，并指向圆心,故称an为法向加速度。若点的运动轨迹是圆，则ρ=R，an=v2/R，即为向心加速度。综上所述，可得结论：切向加速度aτ表明了速度大小随时间的变化率，其大小为dv/dt，方向沿轨迹的切线方向；法向加速度an表明了速度方向随时间的变化率，其大小为v2/ρ，方向沿轨迹的法线方向，并指向轨迹曲线的曲率中心。点的全加速度a为切向加速度aτ和法向加速度an的矢量和，即

a=aτ+an(7.7)因aτ与an垂直，故全加速大小为全加速度的方向为式中，β为a与an所夹的锐角，如图7.4所示。加速度的单位为m/s2。（7.8）

（7.9）

图7.4

【例7.1】滑道摇杆机构由滑道摆杆BC、滑块A和曲柄OA组成，如图7.5(a)所示。已知BO=OA=10cm，滑道摆杆BC绕轴心B按φ=10t的规律逆时针方向转动(j的单位为rad，t的单位为s)，试求滑块A的运动方程、t时刻的速度和加速度。图7.5解(1)求滑块A的运动方程。滑块A的运动轨迹是以轴心O为圆心，OA为半径的圆。取滑块A在t=0时的位置A0为弧坐标原点，并以其初始瞬时的运动方向为弧坐标的正向，如图7.5(b)所示，则滑块经时间t后的弧坐标为式中，θ为曲柄OA在时间t内转过的角度。由图7.5(b)可知,θ=2j，于是上式可写成s=OA(2j)=0.1×2×10t=2t

这就是滑块A沿轨迹的运动方程。

(2)求A点的速度。

(3)求A点的加速度。切向加速度法向加速度故全加速度a的大小为方向为即沿OA指向O轴。下面分析几种典型的点的运动。

(1)直线运动：曲率半径ρ→∞，故an≡0，加速度仅有切向加速度aτ。

(2)匀速曲线运动：v为常数，故aτ≡0，加速度仅有法向加速度an。

(3)匀变速曲线运动：aτ为常数，加速度既有切向加速度，又有法向加速度。由积分可求得动点沿运动轨迹作匀变速曲线运动的三个基本公式：(7.10)

【例7.2】列车进入如图7.6所示的曲线轨道匀变速行驶，在M1处速度v1=54km/h，经过路程1000m后到达M2处，此时速度v2=18km/h。已知M1处的曲率半径ρ1=600m，M2处的曲率半径ρ2=800m。试求列车经过这段路程所需的时间及通过M1、M2时的全加速度的大小。图7.6解因列车作匀变速曲线运动，故可用匀变速曲线运动公式进行计算。

(1)求列车的切向加速度aτ的大小。由得式中，代入上式得

(2)求列车从M1运动到M2所需的时间。由v=v0+aτt得

(3)求列车通过M1和M2时全加速度的大小。7.1.2直角坐标表示法点作平面曲线运动时，对于未给出运动轨迹的问题，应考虑用直角坐标法求解。

1．点的运动方程设动点M作平面曲线运动，M相对于直角坐标系Oxy的瞬时位置可用其坐标x、y唯一确定。如图7.7所示，动点M运动时，其坐标x、y随时间t变化，它们都是时间t的单值连续函数，可以写成图7.7式(7.11)称为点的直角坐标形式的运动方程。如果消去式(7.11)中的时间t，即得动点M的轨迹方程y=j(x)。(7.11)

2．点的速度若已知动点M的直角坐标运动方程为如图7.8所示，t瞬时动点位于M处，经Δt时间后动点位于M′处，其平均速度为v*，显然与位移方向相同，v*在x、y轴上的投影分别以和表示(注意它们与矢量和的区别)。图7.8动点的位移在x、y轴上的投影分别以Δx和Δy表示。利用相似三角形关系，即有上式可改写为同理可得当Δt→0时，得瞬时速度的投影为即动点速度在直角坐标轴上的投影等于该点对应的坐标对时间的一阶导数。(7.12)

如图7.9所示，速度大小和方向分别为α为速度v与x轴所夹之锐角，v的具体指向由vx和vy的正、负号来决定。(7.13)

(7.14)

图7.9

3.点的加速度仿照直角坐标求速度的方法，可求得加速度在直角坐标轴上的投影为即动点加速度在直角坐标轴上的投影，等于该点速度对应的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。(7.15)

如图7.10所示，加速度大小和方向分别为β为加速度a与x轴所夹之锐角，a的具体指向由ax和ay的正、负号决定。(7.17)

(7.16)

图7.10

【例7.3】摆动导杆机构如图7.11所示，已知j=ωt(ω为常量)，O点到滑杆CD间的距离为l，求滑杆上销钉A的运动方程、速度方程和加速度方程。图7.11

解取直角坐标系如图7.11所示。销钉A与滑杆一起沿水平轨道运动，其运动方程为x=ltanj=ltanωt

将运动方程对时间t求导，得销钉A的速度方程：将速度方程对时间t求导，得销钉A的加速度方程：7.1.3矢量表示法设有动点M相对于某参考系Oxyz运动，如图7.12所示，由坐标系原点O向动点M作一矢量，即，矢量r称为动点M的矢径。动点M在坐标系中的位置由矢径唯一确定。动点运动时，矢径r的大小、方向随时间t而改变，故矢径r可写为时间的单值连续函数：r=r(t)(7.18)式(7.18)称为动点M矢量形式的运动方程，其矢端曲线即为动点的运动轨迹。图7.12若某瞬时t1，动点的矢径为r1，瞬时t2，动点的矢径为r2，则Δr=r2-r1称为时间间隔Δt=t2-t1内动点的位移，如图7.13所示。由速度和加速度的定义可以推出，动点的速度等于矢径对时间的一阶导数，动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数或其矢径对时间的二阶导数，即(7.15)

图7.147.2刚体的运动

7.2.1刚体的平动

1．工程中的平动问题工程中的平动问题是日常生活和生产实践中常有的现象。例如，如图7.14所示，沿水平直线轨道行驶的火车车厢，其上的任意一直线AB始终平行于初始位置A′B′。又如，图7.15所示为筛砂机，如果在筛砂机的筛子上作任一直线AB，则虽A点和B点的轨迹均为曲线(圆弧)，但因摇杆长OA=O1B，且AB=OO1，故直线AB始终与其初始位置A′B′平行。图7.14图7.15在上述机构中，车厢的运动和筛子的运动有着一个共同的特点，即在刚体运动的过程中，刚体内任一直线始终保持与原来的位置平行。一般称这种运动为刚体的平行移动，简称平动。刚体平动时，其上各点的轨迹若是直线，则称刚体作直线平动，如上述火车车厢的运动；其上各点的轨迹若是曲线，则称刚体作曲线平动，如上述筛砂机中筛子的运动。

2．刚体平动的特性如图7.16所示，设一刚体作平动，任取刚体上的两点A和B，则这两点以矢径表示的运动方程为rA=rA(t)rB=rB(t)连接B、A得矢量，由图中易见图7.16将该式两边对时间求导，并注意到由于A、B为刚体上的两点，且刚体作平动，因此矢量的大小和方向始终保持不变，即为常矢量，其导数为零，故有即

vA=vB(7.20)将式(7.20)两边再对时间求导，可得即

aA=aB(7.21)由式(7.20)和式(7.21)可得结论：刚体平动时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；在同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此，研究刚体的平动时，只需分析刚体上任意一点的运动，即可确定刚体上其余各点的运动状态。7.2.2刚体的定轴转动

1．转动方程、角速度和角加速度

(1)转动方程。为了确定转动刚体在空间的位置，过转轴z作一固定平面Ⅰ为参考面。如图7.17所示，半平面Ⅱ过转轴z且固连在刚体上，则半平面Ⅱ与刚体一起绕z轴转动。这样，任一瞬时，刚体在空间的位置都可以用固定的半平面Ⅰ与半平面Ⅱ之间的夹角j来表示，j称为转角。刚体转动时，角j随时间t变化，是时间t的单值连续函数，即

j=j(t)(7.22)图7.17式(7.22)被称为刚体的转动方程，它反映转动刚体任一瞬时在空间的位置，即刚体转动的规律。转角j是代数量，规定从转轴的正向看，逆时针转向的转角为正，反之为负。转角j的单位是rad。

(2)角速度。角速度是描述刚体转动快慢和转动方向的物理量，用符号ω表示，它是转角j对时间t的一阶导数，即角速度是代数量，其正负表示刚体的转动方向。当ω＞0时，刚体逆时针转动；反之则瞬时针转动。角速度的单位是rad/s。(7.23)

工程上常用每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢，称为转速，用符号n表示，单位是r/min。转速n与角速度ω的关系为(7.24)

(3)角加速度。角加速度是表示刚体角速度变化快慢和方向的物理量，用符号α表示，它是角速度ω对时间的一阶导数，即(7.25)

角加速度α是代数量，当α与ω同号时，表示角速度的绝对值随时间增加而增大，刚体作加速转动；反之，则作减速转动。角加速度的单位是rad/s2。虽然刚体绕定轴转动与点的曲线运动形式不同，但它们相对应的变量之间的关系是相似的，其相似关系如表7.1所示。表7.1刚体绕定轴转动与点的曲线运动

【例7.4】某发动机转子在起动过程中的转动方程为j=t3，其中t以s计，j以rad计。试计算转子在2s内转过的圈数和t=2s时转子的角速度、角加速度。

解由转动方程j=t3可知,t=0时，j

0=0，转子在2s内转过的角度为j-j

0=t3-0=23-0=8rad转子转过的圈数为由式(7.23)和式(7.25)得转子的角速度和角加速度为当t=2s时,有

ω=3×22=12rad/sα=6×2=12rad/s2

2．定轴转动刚体上各点的速度和加速度在机械加工的车、铣、磨等工序中，需要知道各种刀具的切削速度，以便设计和选择刀具；对于带轮、砂轮，要计算线速度。它们均与作定轴转动的刚体(主轴、带轮)的角速度有关，更确切地说，是与定轴转动刚体上点的速度、加速度有直接关系。因此，有必要研究定轴转动刚体的角速度、角加速度与刚体上各点的速度、加速度之间的关系。

1)转动刚体上各点的速度如图7.18所示，刚体作定轴转动时，刚体内各点始终都在各自特定的垂直于转轴的平面内作圆周运动。在刚体上任取一点M，设该点到转轴的垂直距离为R(称为转动半径)。显然，M点轨迹就是以R为半径的圆。若刚体的转角为j，则以弧坐标形式表示的M点的运动方程为(7.26)

M点的速度大小为即转动刚体上任一点的速度的大小等于其转动半径与刚体角速度的乘积。(7.27)

图7.18由式(7.27)可以看出，转动刚体上点的速度大小与点的转动半径成正比，方向垂直于转动半径，指向与角速度的转向一致，如图7.19所示。若以转速n表示刚体转动的快慢，则直径为D的圆周上各点的速度可表示为或

v=πDnm/min(7.28)图7.19

2)转动刚体上各点的加速度

由于定轴转动刚体上的各点作圆周运动，因此其加速度分为切向加速度和法向加速度。

M点切向加速度的大小为即转动刚体上任一点切向加速度的大小等于其转动半径与角加速度的乘积，其方向垂直于转动半径，指向与角加速度的转向一致，如图7.18所示。（7.29）

M点法向加速度的大小为即转动刚体上任一点法向加速度的大小等于其转动半径与角速度平方的乘积，其方向沿转动半径指向圆心，如图7.18所示。（7.30）

由此可确定M点全加速度的大小和方向，如图7.20所示。式中，θ是加速度α与转动半径R的夹角。（7.31）

式(7.31)表明定轴转动刚体上各点全加速度的大小与该点的转动半径成正比，方向与转动半径成θ角，且各点θ角均相同，其分布如图7.20所示。图7.20

【例7.5】轮Ⅰ和轮Ⅱ固连，半径分别为R1和R2，在轮Ⅰ上绕有不可伸长的细绳，绳端挂重物A，如图7.21所示。若重物自静止以匀加速度a下降，带动轮Ⅰ和轮Ⅱ转动。求当重物下降了h高度时，轮Ⅱ边缘上B2点的速度和加速度的大小。图7.21

解重物自静止下降了高度h时，其速度大为，其中v0=0，故。轮Ⅰ和轮Ⅱ的角速度、角加速度分别为轮Ⅱ边缘上B2点的速度、加速度大小为7.3动能定理

7.3.1力的功

1．常力的功设有一个不变的力F作用在物体上，如图7.22所示，物体沿直线运动。α表示力与运动方向间的夹角，s表示作用点走过的路程。我们把力F在运动方向的投影F·cosα与路程s的乘积称为力F在路程s上所作的功，以W表示,即

W=F·(cosα)·s=Fτ·s

(7.32)

由上式可以看出，当α<90°时，W>0，力作正功；当α>90°时，W<0，力作负功；当α=90°时，W=0，力不作功或功等于零。可见,功是代数量。图7.22

2．变力的功

设物体M在变力F的作用下，沿曲线Os运动，如图7.23所示，现在计算力F所作的功。将路程s分成无限多个微小段ds，在微小段ds上的力可近似看成常力，而ds也近似为直线，于是力在此微小段上所作的功称为元功，即dW=Fcosα·ds

式中，α为力F与轨迹切线方向的夹角。图7.23力在全部路程上的功为力在各微小段上元功的总和，即

(7.33)这就是说，变力在某曲线路程上作的功等于这个力的切向分力沿这段曲线路程的积分。

3．常见力的功

1)重力的功物体M的重量为G，沿曲线从位置M1运动到位置M2，M1与M2位置的高度差为h,如图7.24所示。重力G在这段路程上所作的功为

W=Gh(7.34)

即重力的功等于物体重量与重心始末位置高度差的乘积，与物体运动的轨迹无关。重物由高至低运动，重力作正功；反之，重力作负功。图7.24

2)弹性力的功物体M与弹簧一端连接，弹簧的另一端固定于O′点，如图7.25所示。设弹簧的原长为l0，刚度系数为k(使弹簧产生长度变形所需的力，其单位是N/m)。图7.25取弹簧自然长度的位置为坐标原点O，弹簧中心线为坐标轴，并以弹簧伸长方向为正方向。设物体位于M处，此时弹簧被拉长x。根据胡克定律，在弹性极限内，弹性力与弹簧的变形成正比，即F=－kx，弹性力的方向指向自然长度的O点，与变形方向相反。当物体M有一微小位移dx时，则弹性力的元功为dW=F·dx=-kx·dx

当物体由M1移动到M2，即弹簧的变形量δ=δ2-δ1的过程中，弹性力所作的功为式(7.35)表明，弹性力所作的功等于弹簧的刚度系数与其始末位置变形的平方差乘积的一半。可以证明当物体M作曲线运动时，弹性力的功也只取决于弹簧始末位置的变形量，而与物体的运动轨迹无关，计算公式仍与式(7.35)相同。(7.35)

3)力矩的功绕O轴转动的物体，受到力F的作用，当物体转过一微小角度dj时，如图7.26所示，力F所作的元功为dW=Fcosα·ds=Fτ·r·dj=M·dj

式中，M是力F对转轴O的力矩。图7.26当物体绕O轴转过j角时,力F所作的总功(即力矩M所作的总功)为

(7.36)于是可得出结论：当物体绕定轴转动时，作用在物体上的力所作的功，等于该力对转轴之矩对物体转角的积分。当力矩为常量时，则

W=M·j(7.37)显然,当力矩与物体转向相同时，力矩作正功，反之为负功。如果作用在转动物体上的力偶是常力偶，而力偶的作用面与转轴垂直，则功的计算仍按式(7.37)进行。

【例7.6】原长为、刚度系数为k的弹簧与长为l、质量为m的均质杆OA连接，杆OA直立于铅垂面内，如图7.27所示。当OA杆受到常力矩M作用时，求杆由铅垂位置绕O轴转动到水平位置时各力所作的功及总功。图7.27

解杆受重力、弹性力和力矩作用，所作之功分别为作用在杆上各力的总功为各个分力的功的代数和,因而7.3.2刚体的动能1．质点的动能设质量为m的质点，某瞬时的速度大小为v，则质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点在该瞬时的动能，以T表示，即由式(7.38)可知，动能是一个恒为正值的标量，其单位是焦(J)，与功的单位相同(7.38)

2．刚体的动能

刚体是不变质点系，质点系内各质点动能的总和为刚体的动能，记为

(7.39)由于刚体的运动形式不同，因此其动能的计算公式也不同，现分述如下：

(1)刚体作平动时的动能。刚体平动时，其内各质点的瞬时速度都相同，用质心C的速度vC代表，由式(7.39)可得式中,M=∑mi是刚体的总质量，vC为刚体质心C的速度。式(7.40)表明：刚体平动时的动能等于刚体的总质量与质心速度平方乘积的一半。(7.40)

(2)刚体绕定轴转动时的动能。刚体绕固定轴转动，某瞬时的角速度为ω，如图7.28所示，刚体内任一点的质量为mi，离转轴的距离为ri，速度vi=ωri，由式(7.39)可得式中，为刚体对转轴z的转动惯量(7.41)

图7.28式(7.41)表明,刚体绕固定轴转动时的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。工程中常常用到回转半径这一概念。如果一个刚体的质量为M，对固定轴z轴的转动惯量为Jz，则被定义为这个刚体对z轴的回转半径。显然，Jz=Mρ2。表7.2中给出了几种均质简单形状物体的转动惯量和回转半径。表7.2几种均质简单形状物体的转动惯量和回转半径

7.3.3质点与刚体的动能定理和回转半径

1．质点的动能定理设质量为m的质点M，在力F(合力)的作用下，沿曲线运动，如图7.29所示。开始时，质点在曲线上M1位置，速度为v1，质点在曲线上走过了路程后，到达M2位置，速度为v2。根据牛顿第二定律有ma=F将上式向切线方向投影得maτ=Fτ

即两侧同乘以ds得可写成mvdv=Fτ·ds,又因为

所以

将上式沿曲线积分得

即在任一路程中质点动能的变化，等于作用在质点上所有力的合力在这段路程上所作的功。这就是质点的动能定理。(7.42)

图7.29

【例7.7】在计算矿车的牵引力时，要考虑车轮轴承的摩擦及车轮与轨道间的滚动摩擦所消耗的能量，为此，利用阻力系数这一概念，即认为正压力N与阻力系数f的乘积等于所有摩擦阻力。为了测定阻力系数f，把矿车置于斜坡上的A点，让其无初速下滑，当它达到B点时，靠惯性又往前滑行一段路程而在C点停止，如图7.30所示，求阻力系数f。已知s1、s2和h。图7.30

解选矿车为研究对象，它受重力G、摩擦力F和法向反力N的作用，受力图如图7.30所示。矿车在A、C两位置的速度为零，故矿车在这两位置的动能也都为零。在这一过程中，作用于矿车上的各力所作的功如下：在AB段，重力所做的功为G·h。又因法向反力为

N=G·cosα

则F=N·f=G·fcosα所以，摩擦阻力的功为-G·fcosα·AB=-Gf·s1在BC段，重力不作功，又因法向反力为N=G

则F=G·f

所以摩擦阻力的功为-Gf·s2。根据动能定理，有0-0=Gh-Gf·s1-Gf·s2

故

2．刚体的动能定理质点的动能定理可以推广到质点系,刚体可视为各质点间的距离始终保持不变的质点系。设刚体内某质点的质量为mi，在某一段路程的末了和起始位置的速度分别为vi2、vi1，作用在该质点上所有力的功为Wi，则按质点的动能定理有由于功和动能都是标量，因此将刚体内所有质点的上述方程加在一起有上式可简化为

（7.43）

式中,∑Wi是作用在整个质点系上所有力的功，应该是外力和内力作功的总和。一般来讲，质点系内各质点间的距离是可变的，因此，内力作功的代数和不一定等于零。但对刚体来讲，因为刚体内各质点间的相对位置是固定不变的，因此刚体内力作功的代数和等于零,于是∑Ｗi对刚体来说，只表示所有外力作功的代数和。式(7.43)表明，刚体动能在任一过程中的变化，等于作用在刚体上所有外力在同一过程中所作功的代数和。这就是刚体的动能定理。对于用光滑铰链、不计自重的钢杆或不可伸长的柔索等约束连接的刚体系统，在不计摩擦的理想情况下，其内力作功之和也总等于零。

【例7.8】自动送料机构的小车连同矿石的质量为m1，毂轮的质量为m2，半径为r,对其转轴的回转半径为ρ，轨道的倾角为α，如图7.31所示。如在毂轮上作用一不变的力矩M将小车提升，求小车由静止开始沿轨道上升路程为s时的速度。略去摩擦和绳的质量。图7.31

解(1)先计算系统的动能。在初始位置时系统静止，故系统的初动能为零，即Ｔ1=0。设小车上升路程为s时速度为v，毂轮的角速度为ω，系统的末动能为小车动能与毂轮动能之和，即将代入上式，整理后得

(2)再计算外力的功。设小车上升s时毂轮的转角为j，则由于绳索不可伸长，因此由rj=s有，代入上式后得应用动能定理得由上式解得所以7.4动静法7.4.1惯性力的概念当物体受到外力作用运动状态发生变化时，运动物体也要对施力物体产生反作用力，因这种反作用力是由于运动物体的惯性所引起的，故称此为运动物体的惯性力，用FⅠ表示。需要特别指出的是，此力是作用在施力物体上的。例如，工人沿着光滑地面以力F推一质量为m的小车，如图7.32所示，小车产生的加速度为a，则F=ma。由作用力与反作用力定律可知，工人必受到小车的反作用力FⅠ，它与作用力F等值、反向且共线。因而，惯性力的大小等于运动质点质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反,即FⅠ=-ma=-F图7.32当质点作曲线运动时，质点的加速度可以分解为切向加速度aτ和法向加速度an。相应地,质点的惯性力可表示为切向惯性力FⅠτ=-maτ和法向惯性力FⅠn=-man，如图7.33所示，则质点的合惯性力FⅠ=FⅠτ+FⅠn。因为法向加速度总是指向曲率中心，所以法向惯性力总是沿着法向背离曲率中心，又称为离心力。例如，当用手使拴在绳子上的小球作圆周运动时，手上会感到经绳子传递过来的向外的拉力。图7.337.4.2质点的达朗贝尔原理从前面推车的例子中，我们看到，车的惯性力和它受到的推力F(如图7.32所示)是大小相等，方向相反，并作用在一条直线上的。但这两个力不作用在同一物体上。因此它们不是平衡力，也就是说，车并不平衡，而是作加速运动。但是，由于它们之间存在着上述关系，因此，如果假想将惯性力移到车上，则车实际所受的力F和假想作用在车上的惯性力必将构成一个平衡力系，即F+FⅠ=0。在一般情况下，质点的轨迹如图7.34所示，质点的质量为m，加速度为a，作用于质点的力有主动力F和约束反力FR。图7.34因为ma=FR+F,即FR+F-ma=0,而FⅠ=-ma,所以FR+F+FⅠ=0(7.44)式(7.44)表示，在质点运动的任一瞬时，如果在质点上除了作用有真实的主动力和约束反力外，再假想地加上质点的惯性力，则这些力在形式上构成一平衡力系，这就是质点的达朗贝尔原理。利用达朗贝尔原理求解动力学问题的方法称为动静法。应该指出，动静法只是解决动力学问题的一种方法，它并没有改变动力学问题的性质，因为质点实际上并不平衡。动静法在工程实际中应用较广，特别是在求解由惯性力引起的约束反力(即动反力)时，其优点特别明显。

7.4.3质点系的达朗贝尔原理对质点系中每一个质点应用质点的动静法，然后加以综合，就可得到质点系的动静法。设质点系由n个质点组成，其中第i个质点Mi的质量为mi，它在主动力Fi和约束反力FRi的作用下运动，其加速度为ai。根据质点的动静法，在Mi点上虚加的惯性力FⅠi=-miai，则有

FRi+FⅠi+Fi=0(i=1，2，…,n)(7.45)式(7.45)表明，每一个质点所受的主动力、约束反力与虚加的惯性力在形式上构成一个平衡力系。对整个质点系，这样的平衡力系共有n个，它们综合在一起仍构成一个平衡力系。因此，在质点系运动的任一瞬时，作用于质点的主动力、约束反力与虚加的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。这里要注