江苏省南京市某中学2026届高三年级上册模拟预测数学试题（含解析）

高三考前模拟综合检测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合'斗腕2》42},8={-1,1,3},则zn5=（）

A.{1}B-{fl}C{1,3}D.{-1,1,3}

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数的定义与单调性求解集合A,然后求解交集.

【详解】由log2X<2,则0<x44,

所以NcB={l,3}.

故选：C.

22

2.已知椭圆。：二+与=1（。〉6〉0）的左顶点为A,上顶点为8.若|幺石是C的焦距的血倍，则C

ab

的离心率为（）

A2RV22y/~6

9333

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，列出方程求出离心率.

22

【详解】设椭圆。：=+与=1的半焦距为C,而2（-。,0））（0力），又M司=02,

ab

则必不=2怎，整理得2/一C2=8°2,因此02=彳=*，

a9

所以C的离心率为e=^

3

故选：B

3.&是等比数列{当}的前〃项和，若£,£,总成等差数列，则{4}的公比q的值为（

11

A.-B.2C.——D.-2

22

【答案】D

【解析】

【详解】由£,S3,W成等差数列，得2s=£+£,即2(21+32+53)=2(ai+az+as+a)+桀，整理得as=一

a、

2a4,所以一=—2,即q=~2,故选D.

%

4.已知角a,4满足tane=2tan4，sin(a-〃)=g,则sin(a+£)的值等于()

A.1B.-1C.0D.±1

【答案】A

【解析】

【分析】由切化弦，结合两角和差的正弦公式即可求解.

【详解】因为tana=2tan/7,

sincrsin/?

所以-----=2-----,gpsinacosp=2sinpcosa,

cos＜2cos/?

又sin(a-B)=sinacos/一sin/cosa=~

2

两式联立可得：sin。cos/?=2sin/?cosa=

所以sin(6Z+/?)=sinacos/?+sin£cosa=1,

故选：A

xInx-xInx八

5.若对于任意的加＜玉＜%2,都有7’―-—1—2?工＜2,则实数冽的最小值为()

-再_12

11

A.eB.2C.D.-

2Te

【答案】D

【解析】

xInx-xlnxInx+2Inx+2/、lnx+2

【分析】由机＜再＜/，都有二9~L一91＜2转化为——＞一?-一,得到函数/(x)=-----在

再一%%]12X

(机,+“)上单调递减，求出函数的导数，得到/'(“＜0在(7〃,+")恒成立，求出加的最小值.

xInx.-xlnx仁

【详解】由机＜不＜々，都有‘7~!一!~-7＜2,

xl-x2

InM+2Inx9+2

转化为——>——,

石x2

构造f（x）=在（机,+"）上单调递减，

X

求导/。）=心¥口40在（叫+。）上恒成立,

JC

则一Inx-1<0,解得x>—,

e

故加2工，即加的最小值为工.

ee

故选：D.

6.“3<16”是“圆C：(x+l)2+(y-2)2=/卜>0)上恰有2个点到直线/：3x+4y+15=0的距离

为1”的（）条件

A.充分不必要B,必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线与圆位置关系，以及充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】如图所示：

设与直线/平行且与直线/之间的距离为1的直线方程为3x+4）+c=0,

|c-15|

则溶2（3）7=1'解得C=1°或c=2°，

,1-3+8+101

圆心G(—1,2)到直线3x+4y+10=0的距离为4=^=^==3,

|-3+8+20|

圆G(-1,2)到直线3x+4j+20=0的距离为4==5,

j4?+(—3)2

由图可知，圆G与直线3x+4y+10=0相交，与直线3x+4y+20=0相离,

所以4<外<42，BP3<r<5,

故"3<"6”是“圆C：(x+l)2+(y-2>=/&>())上恰有2个点到直线

/:3》+4>+15=0的距离为1”的必要不充分条件.

故选：B.

123

7.满足优=〃'=。2,----;+二=0(%),2©1^)的有序实数组(。,“。)可以是()

%Vz

A.(4,3,2)B.(4,2,3)C.(3,9,2)D.(18,12,2)

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数运算化简得〃=℃3,逐个选项分析即可判断.

111

【详解】记优=〃=/="0,则〃_八

CL——L9U——V—L

1232

因为-----+—=0(x,y,zeR),所以「所以52=43,

xyzty=tx

对于A,32/4x23,故A错误；

对于B,22^4x33，故B错误；

对于C,92/3x23,故C错误；

对于D,12?=18x23,故D正确.

故选：D.

8./(x)是定义在R上的偶函数，对X/xeR,都有/(2—x)=/(2+x),且当xe［—2,0］时，

/(x)=［；］—1.若在区间(—2,6］内关于x的方程/(x)—log.(x+2)=0(a〉1)至少有2个不同的实数

根，至多有3个不同的实数根，则。的取值范围是()

A.(1,2)B.(2,+co)C.［^4,2)D.(1,^4)

【答案】C

【解析】

【分析】先根据题意分析函数/(x)的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数/(x)在

［-2,6］上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.

【详解】由/(2-x)=/(2+x),可得：/(-x)=/(x+4).

又因为/(x)是定义在R上的偶函数，

则/(-X)=/(x)，且函数/(X)图象关于〉轴对称.

所以/(x+4)=/(x),即/(x)的周期为4.

作出函数/(x)=［!|—1在xe［—2,0］上的图象，根据/⑴对称性及周期为4,可得出“X)在［—2,6］

令g（x）=log.（x+2）（a〉l）

若在区间(-2,6］内关于x的方程/(x)-log,(x+2)=0(o>1)至少有2个不同的实数根，至多有3个不同

的实数根,

则函数/(x)与函数g(x)=log“(x+2)伍〉1)在(-2,6］上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交

点.

g⑵"⑵logfl（2+2）<3

所以《解得/Wa<2.

g(6)>/(6)log,（6+2）〉3

故答案为：C

【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在

于根据题意分析出分析函数/(x)的对称性及周期性，并作出/(x)和g(x)图象；将方程根的问题转化为

函数图象交点问题，数形结合解答即可.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题是假命题的是()

A.命题“IcWO,炉一XNO”的否定是“Vx>0,x2-x<0"

1

B.函数J=J—+4+最小值为‘

2

C.函数y=lglO"与y=103是同一个函数

D.若不等式aV+bx+c〉。的解集为{x[l<x<3},则不等式才+陵+口々的解集为<xg<x<l,

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据存在性命题的否定判断A,利用换元法结合对勾函数单调性可判断B,根据函数定义域判断

C,由一元二次不等式、一元二次方程的关系求不等式的解集判断D.

【详解】对于A,"3x<0,必一XNO”的否定是“vxwo,必―x<0"，故A为假命题；

对于B,令/=6+4,则/之2,所以函数>=五一+，±彳=，+：在/e[2,+”）上单调递增,

所以y»2d—=—,故B选项为真命题；

22

对于c,函数了=igi（r定义域为R,函数y=io蛇定义域为{x|x>o},

定义域不同，两函数不是同一个函数，故C选项为假命题；

对于D,由题意，方程af+H+cuO的解为X]=1,%=3,且4<0,

AC

由韦达定理可得玉+x=—=4,玉/=—=3,解得b——4Q,C-3a,

2aa

则不等式ex2+Zzx+a<0,即3ax2-4ax+a<0，

由。<0,则不等式变为3必一4x+l〉o,解得{x[x<；或X〉l},故D为假命题;

故选：ACD.

10.已知点尸是抛物线C：/=8x的焦点，点/是抛物线C的准线与X轴的交点，过点/且斜率为左的直

线/与C交于"，N两点，则下列说法正确的是（）

\AM\_|^|

A"的取值范围为（T0）U（0,l）B.

\MF\~|A^F|

22

C.若|NF|=2|"F|,则左=§或左=—§D.点M关于x轴的对称点在直线NF上

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出抛物线的焦点、准线方程，将直线/的方程与抛物线方程联立，由判别式判断A；利用抛物线

的定义结合几何图形推理判断B；利用韦达定理求出上判断C；利用斜率坐标公式、结合韦达定理求解判断

D.

【详解】抛物线C/=8%的焦点尸（2,0）,准线％=—2,点4-2,0）,直线/:»=左（X+2）,

y=A：（x+2）.%。0

对于A,由《2O消去尤得：32—8V+16左=0,依题意，〈一…2八，

y2=8x"[64-64左‘〉0

解得—1〈左＜1且左HO,因此左的取值范围为（—1,0）U（0,1）,A正确；

对于B,过M,N作准线的垂线，垂足分别为。,£,则M）//NE,|M0=|〃F|,|NE|=|NR|,

因此S="出即入四

B正确;

IZN|L|w\MF\\NF\

,,,,\AD\\MD\\MF\1

对于c由四1=21杵I，得两=两=问=5,设WWW),

则%=2%,而％+%=¥，%%=16,联立解得左=±冬巨，C错误;

k3

对于D,直线板的斜率瓯片工,直线NF的斜率心=表

vV%（?—4）+%（斗—4）-^-4（J,+J）

k+k=M+_2=_k_________k____=_k___________2__=0，

MFNFX]—2（x「2）（々—2）（再―2）（%—2）

X2-2

令点M关于x轴的对称点为M',则直线〃户的斜率如k=-kMF=kNF,

而直线V户与直线人丁有公共点尸，因此点M'在直线NE上，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：作出几何图形，利用平行线分线段成比例，结合抛物线定义是判断选项B的关键.

11.已知棱长为1的正方体48CD-451GA的所有顶点都在以。为球心的球面上，点E是棱AB】的中

点，点尸是棱上的动点.则下列说法正确的有（）

A.若P是棱/。的中点，则PE//平面BQ。

4

B.点尸到直线耳£的距离的最小值为不

jr

C.棱上存在点尸，使得男尸=4

D.若尸是棱的三等分点，则过尸的平面截球。所得的截面面积最小为幺

9

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,设8。的中点为尸，通过证明四边形尸为平行四边形，可证得尸£〃平面8G。；

对于B,通过建系设点尸(x,0,0),利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C,利用向量的坐标表

示出夹角/。1用尸，计算出当x=万时，ZD.B,P=-,即可判断；对于D,由题意可求|。0|,再利用球

的截面问题可直接求截面面积的最小值.

【详解】如图，设8G的中点为P，连接跖,。尸，

•.•E是BB1中点、，；.EF〃B|Cl，且EF=ggG，

对于A,若尸是中点，尸〃BC,且。q

2

EF//DP,且EF=DP,所以四边形EFD0为平行四边形,

PE//DF,又产£«平面BG。，。尸u平面3CQ,

.•.尸£〃平面8。1。，故A正确；

根据题意，以。为原点，以直线。所在方向分别为x，％z轴建立空间直角坐标系,

设尸(x,0,0),xe[0』，有=|。/,一£|,=(x-1,0,-1),

所以点p到直线4E的距离d=—4向1E=^(x-l)2+|-

即点p到直线4E的距离的最小值为冬5,故B错误;

5

对于c,4(1,1,1),2(0,0,1),所以率=(x—丽＞(—1,—1,0),

/ADDB[P，B[D[—x+1+1iBn

则cosNA"P=|蒜/i,当》=彳时，cosND&,P=S即/2男尸=:

修尸旭阳0xj(x—iy+221124

71

所以棱ZD上存在点尸，使得N〃4P=a，故C正确；

对于D,当尸是棱4D的三等分点时，点尸［g,O,o］或尸（g,O,o］,球心

所以|0尸「=2,又正方体外接球半径及=立，

11362

所以截面所得圆的最小半径r='/之_|。尸「=也,其面积为5="2=四，故口正确.

11\43639

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.展开式中的第三项为.

【答案】84x

【解析】

【分析】根据二项式的通项公式：对于（4+6）”,其展开式的第r+1项为代入已知条件求

解.

【详解】根据二项式的通项公式得：

4=式.铲2卜御=21-X5-=84X

故答案为：84%.

13.已知角a的正切tana=3,贝ijcos［2a—；［=

【答案】—正##」也

1010

【解析】

【分析】先利用两角差的余弦公式和二倍角公式展开，利用同角三角函数关系平方关系和商关系化简求得

答案;

【详解】cos2a—；=cos2acos—+sin2asin—=(cos2a-sin26z)+2sinicosisin

4422

V2cos2^z-sin26z+Zsin6zcos6zV21-tan2a+2tani

----x----------------------5----------------x---------------------

2cos26r+sin26z21+tan2a

V2l-9+2x3V2

―yx-Y+31--而

故答案为：_巫.

10

14.2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三

个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用

X表示这三个年级中分配的最少名额数，则X的数学期望E(X)=

3911

【答案】—##1—

2828

【解析】

【分析】问题化为9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有Cj=28种分组,

且X=1,2,3并应用古典概型的概率求法求对应概率，进而求期望.

【详解】若三个年级人数分别为“c,则a+3+c=9,又每个年级至少一个名额，

所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有C；=28种，

由题意X=min{a,"c},则X=1,2,3,且各年级人数为(a,"c),

其中X=3的情况有(3,3,3)一种情况，即尸(X=3)=上,

28

X=2的情况有(2,2,5)、(2,5,2)、(5,2,2)、(2,3,4)、(2,4,3)、(3,2,4)、(3,4,2)、(4,2,3)、

9

(4,3,2)九种情况，即尸(X=2)=二，

28

所以尸(X=1)=1—工■—2=普，

2o2o2o

191839

综上，£(X)=3x—+2x—+lx—=—.

28282828

39

故答案为：—

28

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.已知数列｛%｝的前"项和为S“，且满足q=2,%+]=S〃+2"+i.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列｛S“｝的前〃项和却

【答案】(1)证明见详解

(2)<=(〃—1)2e+2

【解析】

【分析】(1)利用%+i与S“M的关系先表示出。川，再代入原式变形，然后根据等差数列的定义证明即可;

(2)先求出与的解析式，再利用错位相减法求数列｛5„｝的前〃项和Tn即可.

【小问1详解】

因为%+1=邑+2向，又因为S“，

所以Sn+l-Sn=Sn+2向,即5„+1=2S”+2”+i,

5申_2s2用

两边同时除以2"+i可得,----------——--------------1------------

2〃+i2〃+i2"+i

即#=才+1，所以萧-才=L

因为q=2,所以U=U=7=1，

222

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.

2"

【小问2详解】

由(1)可知*=1+(〃—1)x1=〃，所以S,=〃-2".

所以7；=1x2+2x22+3x23+…+〃x2",

27；,=1X22+2X23+3X24+L+«X2,,+1,

所以一7；=T-2T=2+22+23+---+2"-nx2n+l

--------------„"+1=2n+1-2-«x2B+1=(1-«)2,,+1-2,

1-2--------x--2------------------------------''

所以<=(〃_l)2"+i+2.

16.已知双曲线°：・一《与苗〉。,/）〉。）的左、右焦点分别为四，F2,且阳闻=8,渐近线方程为

ab

y=±V3x.

（1）求C的方程；

（2）设x轴上方的点A,3分别在C的左支与右支上，若蕈=3月7,求四边形幺大鸟5的面积.

【答案】（1）—-^=1；

412

（2）16V15.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出6即得C的方程.

（2）设4>o，%）,%〉O,利用向量关系表示出点B坐标，再建立方程组求出点A坐标即可求出面积.

【小问1详解】

22kL

双曲线C:1—4=1的渐近线方程为歹=±—X,依题意，_=也,半焦距C=4,

abaa

而Q2+Z?2=C2'解得Q=2/=2A/§\

所以C的方程为《=1.

412

【小问2详解】

设＞0,而片(一4,0),巴(4,0),由可=345,得8(3%+16,3%)),

’22

9_区=1p3

依题意，1412,解得J/—即4-3,历)，

(3%+16)2(3为y[y0=^5

-1

〔412

|^|=4,|^5|=12,\F2A\=2a+\FlA\=8=\FlF2\,

等腰△耳片N底边片Z上的高五=J片《/_(小片小y=2岳,

又四边形AgB为梯形，则SgB=二"?鸟/-h=上手•2^/15=16^/15,

所以四边形AF^B的面积为16&?.

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,NADC=90°，平面PADJ_底

面ABCD,Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2,BC=-AD=1,CD=G.

2

(1)求证：平面PQBJ.平面PAD；

(2)若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；

(3)若二面角M—BQ—C大小为60°,求QM的长.

2g

【答案】(1)详见解析；(2)-V7；(3)

72

【解析】

【分析】(1)由题意先证明由面面垂直的性质定理得8。，平面尸/。，再运用面面垂直的判

定定理证明

(2)以。为原点建立空间直角坐标系，求出直线AP与BM的向量表示，然后运用空间向量知识求出异

面直线所成角的余弦值

(3)结合(2)中的空间直角坐标系，运用向量知识结合二面角为60°求出结果

【详解】(1)证明：•.・NDII8C,=为/。的中点，

四边形8CQQ为平行四边形，

：.CD\\BQ

•：NADC=90°,.AQB=90°,即QB1AD

又平面PAD±平面ABCD，且平面PADn平面ABCD=AD,

BQ±平面PAD

•.•5。匚平面尸。5,.•.平面尸”，平面尸2。

(2)解：：PA=PD,Q为AD的中点，

•/PQ±AD

,/平面PAD±平面ABCD，且平面PADn平面ABCD=AD，

尸。,平面48CZ).

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

贝以0,0,0),/1,0,0),尸(0,0班,5(0,百,0),。卜1,0,0),

■：M是PC的中点，，〃一二,，

222

设异面直线4P与5河所成角为。，

八IfmlAP-BM2近

则cos8=cos/尸,BM\=।।]]=------

।।।4尸7

异面直线AP与BM所成角的余弦值为空.

7

(3)解:由(2)知平面5QC的法向量为万=(0,0,1)

由西=4⑪+(1-4)英且0V/IW1

又砺=伙,6刀)，

设平面法向量为沅=(x,y,z),

由m•QM=0及比-QB=0可取丽=

n-in£

・・•二面角M—50—。为60°/.cos60°=

2

...:.\QM\=^~

【点睛】本题主要考查了面面垂直、异面直线所成角以及二面角问题，涉及平面与平面垂直的判定，建立

空间直角坐标系是解决问题的关键，属于中档题.

18.已知函数/(x)=x-sinx-办2,aeR.

(1)当a=0时，求曲线>=/(》)在点(匹/(兀))处的切线方程；

(2)若/(x)在区间(0,兀)上有且仅有一个极值点，求。的取值范围；

(3)当a=L时，若/(石)=/(%)，且一四<西<々<四，求证：/'(五署】<0.

兀22[2)

【答案】(1)2x-y-7i=0

(2)[o,—

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义可求切线方程；

(2)g(x)=/'(x),则g(x)在(0,兀)上有且仅有1变号零点，就。之3、(z<0>0<a<1■分类讨论

后可得。的取值范围；

\.x-x1

}sin-9----

(3)记/=*,由/(西)=/(%2)结合三角变换公式可得/'(%)=(：05%0———----1,利用

2—%2

[2,

导数可证sinx<x,从而得到了'[三产]<0,或者可以利用极值点偏移的方法来证明

西72卜o.

【小问1详解】

当Q=0时，/(x)=x-sinx,//(x)=l-cosx,

/(兀)=兀，/'(兀)=1一(—1)=2,

所以/(X)在点(兀,/(冷)处的切线方程为了一7l=2(X-7l),即2%一^一兀=0.

【小问2详解】

/'⑴=1—COSX—2QX,令g(%)=/'(x)，则g'(x)=sinx—2a,

①若口之；，当xe(O,?i)时，g'(x)<0,/'(x)单调递减，

所以/'(x)</'(O)=O,/(x)单调递减，不符合；

②若aWO,当xe(O,7i)时，g,(x)>0,/'(x)单调递增,

所以/'(x)>/'(0)=0,/(x)单调递增,不符合；

③若0<。<；,贝Usin2x—2a=0在(0,兀)有两个解，不妨设为占，x2(<%2).

列表如下：

(O,xJ(4工2)(》2,兀)

X不x2

g'(x)—0+0—

/'(x)极小值/极大值

当0<%<3时,/,(x)</,(0)=0,则/'(x)在(0,项)上没有零点.

要使/(x)在(0,劝上有且仅有1个极值点，

则/'(x)在(石,兀)上有且仅有一个变号零点，

则需要/'(兀"0,即/'(兀)=2-2颂N0,解得塔《」.

71

又因为0<a<,，所以0<a41.

271

，,,

当0＜a〈L时，/（x2）＞/（7r）＞0,/（x1）＜0,

71

由零点存在性定理知，存在唯一零点/€（西，》2），使得/'（叫））=0，

当石＜x＜%0时,/，（%）＜0,/（x）为减函数；

当时，/'（x）＞0，/（X）为增函数，所以X。为/（X）的极小值点.

综上所述，。的取值范围为（o,g.

【小问3详解】

112

法1：当。=一时，/（x）=x—sinx—必，所以=l—cosx—xf

兀兀兀

由/('1)=/(%2)可得玉—sin再—X；—x2~sinx2—x；，

~兀兀

即须-x2--(%1+%2)(七一々Asin%1+sinx2=0,

71

7i兀11/\sinx-sinx八

又---<玉<%2<一，两边同时除以西一％2，得1(%1+%2)?=。,

22兀X]-/

sin^^

+

因此1」（石+凡）一

兀

CX+x.X-x

12cos-----9sin-----7

所以1一工(石+々)--------2--------^=o,

兀x{-x2

、rX,+x,、2cosxsin—~

记X。二丁，则1—2%-------n------2_=0-

71X1~X2

2

因止匕/'(Xo)=l—cosxo---XQ

兀

G.再一'2.x-x,

2cosvx0sin--,---sin-----

2--1

=----------------cosx0=cosx0

xx-x2

令0(x)=sinx—x,XG0?—,贝10‘(x)=cosx—l<0,

所以9(X)在|o,1J上为减函数，故9(x)<9(0)=0,即xe[o,1J时，sinx<x.

sin—sin----L

因为------2—=------2―

X]-x2x2-X]

22

.X-X,

sin-----

所以o<sin三二五〈三二土，所以-------Z——1<0

22xx-x2

2

7171

当玉)£时,cosx>0,

2?20

(

.X-x9)

sm—----

国+工2

贝1=2--1<0,即/'<0.

X]-x22

27

法2：当。=工时，/(x)=.12

x-sinx——x，，所以/'(X)=l-COSX——X,

兀7171

2兀兀

令9(%)=/'(%)，则d(%)=sinx——,故d(x)在I—上单调递增.

7122

根据零点存在性定理，存在唯一的使得"(Xo)=O.

当时，0'(x)<0,/'(x)单调递减；

当e'(x)〉0,/'(x)单调递增.

所以/'(/)</'[5]=1_2*：=0,

)兀2

X/1-^=l+-x^=2>0,且广(0)=1—1=0,

y2y兀2

所以当1寸，/,(x)>0,/(x)单调递增;

当时，/,（x）<0,/（x）单调递减.

由于/（玉）=/卜2），且—

m兀八兀口，兀MM兀

则—<x<0<x<一，从而—<------<一.

222424

要证/,『产’0,只要证0<出产<2,只要证出丁〉0,即证%>—马.

因为占，-x2,所以即证》2）,即证〃》2）〉/（一》2）・

令P（x）=/（x）-/（-%），xe］。，!"；

22

贝!Jpr（x）—1—cosx—x+1—cos（—x）H—x—2（1—cosx）>0,

兀兀

所以P（x）在。,鼻上单调递增，所以Mx）>p（o）=/（o）—〃0）=0・

所以夕（％）=/（々）―/（一%）〉0，即/（》2）〉/（一%）•故

19.某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为〃（〃eN*）的且全部由o组成的

数码串.传输过程中，每位数码以概率。传输记为0,以概率1-2传输记为1,其中每位数码的

传输相互独立，并设事件4为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件.

2

（1）当夕二1时，求尸（4）；

（2）证明：对任意的正整数〃，有尸（4）=1+（2；T）；

（3）在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为8,问：？（川4,）是否存在最大值？若存在，

求出使尸（囚4,）取到最大值的正整数〃；若不存在，请说明理由.

14

【答案】⑴P（4）=—

（2）证明见解析（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由条件可知这3个0都传输为0,或传输为2个1和1个0,再按照独立重复概率公式，列式

求解;

（2）首先根据题意求尸（4）和尸（%）,再根据尸（工）+0（4）=1和根据二项式定理计算尸（4）-尸（4卜

联立方程求解尸（4）,即可证明；

（3）根据（2）的过程计算产（84）+尸（8⑷和尸（84）—尸（8%）,联立后计算尸（皿），再代入条件

概率公式求尸（叫4）,从而构造/（〃）=。-夕）一\,根据;/J,讨论。的取值，判断函

1+（2/>-1