集合（基础+重难点）-2025年高考数学一轮复习（新高考）解析版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第01练集合（精练）

明课标要求知练题方向

!L了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列

I

举法或描述法描述不同的具体问题.

2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的

含义.

I3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用

Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.

_______________________________________________________________________________________________________________

真题风向标

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）设全集U={0,1,246,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则（）

A.{024,6,8}B.{0,146,8}C.{124,6,8}D.U

【答案】A

【分析】

由题意可得的值，然后计算MuQ,.N即可.

【详解】

由题意可得乐N={2,4,8},则MU”={024,6,8}.

故选：A.

2.（2023・全国•高考真题）已知集合加={-2,-1,0,1,2},TV={x|x*12-x-6>o},则用cN=（）

A.{-2,-1.0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为％=卜上2_1_620}=(-⑦-2]33，+的，而"={—2,—1,04,2},

所以McN={-2}.

故选：C.

方法二：因为股={-2,-1,0,1,2},将-2,-1,01,2代入不等式/_..6之0,只有-2使不等式成立，所以

卜2}.

故选：C.

3.(2023•全国•高考真题)设集合，={0,-。},5={1M-2,加一2},若4=8,则。=().

A.2B.1C.1D.-1

【答案】B

【分析】

根据包含关系分。-2=0和2。-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为A=4,则有：

若4-2=0,解得a=2,此时4={0,-2},八{1,0,2},不符合题意；

若2〃-2=0,解得〃=1,此时4={0,-1},^={1-1,0},符合题意；

综上所述：＜7=1.

故选:B.

4.12023•全国•高考真题)设全集U=Z,集合”={Hx=3k+\,keZ}yN={jAx=3k+2,keZ]t金(MuN)=

()

A.{x|x=3Z,ZwZ}B.{Mx=3&feZ}

C.{A|x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集Z={x|x=3k/eZ}{x[x=3攵+l#eZ}{x[x=3攵+2,&wZ},U=Z,所以，

N)={x|x=3A,AeZ}.

故选：A.

5.(2023・全国高考真题)已知等差数列{4}的公差为斗，集合5=林。8帅封},若5={4力},则加()

J

A.-1B.--C.0D.g

22

【答案】B

【分析】

根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.

【详解】

依题意，等差数列{q}中，。“=4+(〃-1)胃=,〃+(6-弓)，

显然函数y=cos咛〃+(%-§]的周期为3,而〃即cosa“最多3个不同取值，又

{cos67a|/?eN*}={a,b},

贝U在cosq,cosa2,cos中，cosa{=cosa2工cos/或cosq工cos%=cos%,

于是有cos0=cos(0+g),即有0+(0+g)=2履,ZcZ,解得0=E-

所以keZ,ab=cos(H-—)cos[(bt--)+—1=-cos(kn--)coskn=-cos2kitcos—.

333332

故选：B

6.(2022•全国•高考真题)设全集U={123,4,5},集合M满足Q,M={1,3},则()

A.2wA/B.3<=MC.4A/D.5任A/

【答案】A

【分析】先写出集合M,然后逐项验证即可

【详解】由题知用={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

7.(2022•全国•高考真题)若集合M={X|4<4},7V={X|3X>1},则MCN=()

A.{x|0Kxv2}B.<x-<x<2-C.{x|3<.¥<16}D.<x-<x<16•

3

【答案】D

【分析】求出集合M,N后可求McN.

【详解】/W={x|0<x<16},?/={x|x>-},故

33

故选：D

【分析】求出全集，然后根据补集运算可得.

【详解】因为A={1,2},U={-

所以Q，A={-2,T,0}.

故选：D

3.(2024・山东・二模)已知集合4=卜馆(工-1)<0}.8=<汇-1<人工3卜则A[3=()

••

A.(0,2]B.[1,|C.(0,2)D.(04

【答案】B

【分析】先化简集合A,再利用交集运算求解.

【详解】由皿(_¥_1)〈0=仙1可得A={x|lvxv2},

所以A18=(1，T.

故选：B

4.(23-24高三下•四川成都•阶段练习)己知集合4={1,2},8={2,3},则集合C={z|z=A,)，c母的

子集个数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】计算出集合。的元素后可得其子集的个数.

【详解】C={3,4,5},故其子集的个数为8,

故选：D.

5.(2024•陕西安康•模拟预测)已知集合4={xwN[0<log3X<2}.B={x|x=2k+l,ktZ},则18=()

A.{1,357}B.{5,6,7}C.{3,5}D.{3,5,7}

【答案】D

【分析】先求出集合A,再根据交集的定义即可得解.

【详解】A={xeNl0vlog3Xv2}={xeN|lvx<9}={2,3,4,5,6,7,8},

所以A18={3,5,7}.

故选：D.

6.（23-24高三下•四川雅安•阶段练习）若集合A={-2,1,4,8},八卜一用.4,）*用，则“中元素的最大

值为（）

A.4B.5C.7D.10

【答案】C

【分析】根据B中元素的特征，只需满足“一（丁）”而即可得解.

【详解】由题意，

（x-y2）=-一（力=8-12=7.

故选：C

7.（2024・四川成都•三模）设全集U={1,2,345},若集合M满足{l,4}qQ,M,则（）

A.41MB.1eM

C.2G；WD.3/W

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.

【详解】全集U={123,4,5},由{1,4仁6用，知le枷,4w“M,则1/M,4把M,A错误，B正确；

不能判断2eM,也不能判断3纪M,CD错误.

故选：B

8.（2024.河北沧州•模拟预测）已知集合4={4仁用1<4},8=卜卜二〃2-1,〃£A},P=AcB,则集合尸的

子集共有（）

A.2个B.3个C.4个D.8个

【答案】C

【分析】首先用列举法表示出集合A、9,即可求出集合尸，再求出其子集个数.

【详解】因为A={xcNk<4}={0,123},又8={小=/尸一口好A},

所以3={T0,3,8},所以P=Ac8={0,3},则集合尸的子集共有2z=4个.

故选：C

9.（2024.全国.模拟预测）若集合A={x£Z|f<8},8={X（x+l）（x-5）>-8},则Ac（Q8）=（）

A,{0,1,2}B.1|0Mx<2&}C.[^\<x<2y/2}D.{1,2}

【答案】D

【分析】化简集合4、&根据集合的运算的定义求AC(QB).

【详解】由题意，得A={-2,T,0,l,2},

因为(4+1)(工一5)>-8,即丁—4/+3>0,解得8=U|xvl或x>3}

则《"一{印—43},所以4c33)-{1,2}.

故选:D.

10.(2024.四川泸州.三模)已知集合人二卜k2一21_3<0},8={0,力，若AcB中有且仅有一个元素，则

实数。的取值范围为()

A.(-1,3)B.(-j[3,+oo)

C.(-3,1)D.(^o,-3]u[l,-w>)

【答案】B

【分析】根据不等式的解法求得人二{JV|-1<x<3},结合Ac8中有且仅有一个元素，即可求解.

【详解】由不等式/一2%—3<0,即5—3)(x+l)vO,解得T<x<3,即A={x[-l<x<3},

因为8={0,力，要使得AcB中有且仅有一个元素，则4W-1或々23,

即实数”的取值范围为l]U[3,—).

故选：B.

11.(2024•北京东城•一模)如图所示，U是全集，A3是U的子集，则阴影部分所表示的集合是()

A.4c3B.ADBC.Q，(4C8)D.

【答案】D

【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得

解.

【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是Q(A8).

故选：D.

二、多选题

12.（2024・甘肃定西•一模）设集合A={Rf-xW6},/?={❷，|xeA,yeA},则（）

A.AB=B

B.4cz的元素个数为10

C.AuB=B

D.AlZ的子集个数为64

【答案】BCD

【分析】解二次不等式化简集合A,进而求得集合3,利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合

子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.

【详解】对于ABC,因为A={X|X2-X46}={X|-2WXW3},

所以8={plxeAyeA}={AI-6^X<9},即

所以4cB=A,Akj8=8,8cZ有6+1+9=16个元素，故A错误，BC正确；

对于D,而AIZ有2+1+3=6个元素，所以AIZ的子集个数为26=64,故D正确.

故选：BCD.

13.（23-24高一上.陕西西安.阶段练习）设集合A4小2_2..3=0},B={x|av-3=0},若B=A,则。的

取值可能是（）

A.-3B.1C.-1D.0

【答案】ABD

【分析】解方程，分情况讨论集合与元素的关系.

【详解】因为A=卜上2-21—3=0}={—1,3},

所以一IwB或3金8或8=0,

所以。=-3或。=1或。=0,

故选：ABD.

14.（2024•广西•二模）若集合M和N关系的Venn图如图所示，则可能是（）

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.用=俨f<]},N={x|x〉-l}

C.M={Ry=lgx},N={y|y=e'+5}

D.M={(x,y)|/=y2},N={(x,y)|y=x}

【答案】ACD

【分析】根据Venn图可知NM,依次判定选项即可.

【详解】根据Venn图可知NM,

对于A,显然NM,故A正确；

对于B,M={X|-1<X<1},7V={J|X>-1},则MqN,故B错误;

对于C,M={x\x>O},/V={y|y>5},则NMt故C正确；

对于D,M={(x,y)ly=x,或尸一对，N={(x,y)|y=x},

则NM,故D正确.

故选：ACD

三、填空题

15.（2024高一上•全国•专题练习）已知集合〃={〃-2,/+4410},且一3",则〃=

【答案】-3

【分析】根据题意，列出方程，求得。的值，结合集合元素的互异性，即可求解.

【详解】因为-3eA,所以。一2=-3或a?+4a=-3,解得a=T或〃=一3,

当。=-1时，«-2=3,/+4〃=-3,集合A不满足元素的互异性，所以。=-1舍去;

当〃=-3时，经检验，符合题意，所以。=-3.

故答案为：-3.

16.（2024高三下.全国・专题练习）集合{（xMK+y2v2,%eZ,yeZ}的真子集的个数是.

【答案】31

【分析】利用列举法解出该集合，结合真子集的定义即可求解.

【详解】{（1曰*+尸<2>“€〃"司={（0,0）,（-1,0）,（0,-1）,（1,0）,（0,1）}共5个元素,

则真子集的个数是257=31.

故答案为：31

17.（23-24高一上.辽宁大连・期中）设4={巾-5=0},4=k卬-1=0},若8,则实数”的值为.

【答案】0或1

【分析】依题意可得分8=0和3={5}两种情况讨论.

【详解】因为4={#-5=0}={5}.

又标=8,所以

当〃=0时8={H奴-1=0}=0,符合题意；

当8={5},贝1）5G-1=0,解得。=（,

综上可得4=0或4=!，

故答案为：。或1

18.（2024・安徽合肥•一模）已知集合4={兄丁<4},8=3a-lGWa+l},若AcA=0,则口的取值范围

是.

【答案】（华,-3）」（3*）

【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.

【详解】由得（X—2）（X+2）K0,解得一2WxW2,

所以A={M-2W2}.

因为Ac8=0,

所以〃+1<-2或cl>2,解得。〈-3或。>3,

所以。的取值范围是（-co,-3）（3,抬）.

故答案为：（y0,-?>（3,+8）.

19.（2024高三•全国•专题练习）设集合A=且2e/,3任4,则实数〃的取值范围

为.

【答案】（L2]

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再根据2G4且3盾A得到不等式组，解得即可.

【详解】由（工一4丫<1,即一解得a-l<x<a+l,

即4=卜|（彳-〃）-<l}={x|q_]<x<a+l},

因为2e彳且3任A,

«-1<2

所以<〃+1>2,解得1<。工2,即实数"的取值范围为（L2].

a+l<3

故答案为：（1,2]

四、解答题

20.（23-24高一上.广东湛江.期末）已知集合A={x[（x-2）（x+3）W0},8={斗-1vxva+1},定义两个集

合P,Q的差运算：Q—Q={x|xeP,日/gQ}.

（1）当a=l时，求与4-A：

（2）若“xe4”是“xe8”的必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】⑴A-A=E-3WxW0,典=2},B-A=0.

⑵卜2』

【分析】（1）用集合的新定义求解即可；

（2）由“xeA”是“xeB”的必要条件得到再利用范围求出即可.

【详解】（1）A={x|（x-2）（x+3）<0}={x|-3<x^2},

当a=l时，8={x|0<x<2},

所以A-8={x卜3WxK0,或r=2},

B-A=0.

(2)因为“xeA”是的必要条件，

所以80A,

\a-i>-3

故|a+lW2'

解得—2KaKl,

即实数a的取值范围是［-25.

21.(2024高三.全国•专题练习)设”是由直线Ar+8)，+C=。上所有点构成的集合，即

M={(x,y)\Ax+By+C=0}，在点集M上定义运算“⑥”：对任意1：内,y)eM,(x,,y2)eM,则

。、凹)区(孙%)=%%+%%•

⑴若M是直线2x-y+3=0上所有点的集合，计算(1,5虑(-2,-1)的值.

⑵对(1)中的点集M,能否确定(3,a)®S,5)(其中a,beR)的值？

⑶对(1)中的点集若(3,0®依c)〈0,请你写出实数a,b,c可能的值.

【答案】⑴-7

⑵可以,48

(3)。=9/=-3,c=-3(答案不唯一)

【分析】⑴根据运算响”的定义代入运算即可.

⑵由题知点在直线上，代入直线方程，解得。，力的值，再根据运算“8”的定义代入运算即可.

⑶根据点在直线是上，求得叫〃,c的值与关系，再根据运算“③”的定义代入运算，即可求得b的范围，在相关范

围内取值均可.

【详解】(1)由运算“8”的定义知,(L5)®(-2,1)=1X(-2)+5X(T)=-7.

(2)・・・(3,a)cM,即点(3,4)在直线24一)，+3=0上,.・・2乂3-々+3=0,得4=9.

同理由功-5+3=0,得b=l.

由运算“噂”的定义知,(3M)飘45)=(3,9)®(1,5)=3x1+9x5=48.

所以可以确定，值为48.

(3)由(3,〃)€”,(〃,。)£何，知2><3—〃+3=0,即。=9,且2乂6—。+3=0,即。=处+3.

由运算"8”的定义知,(3,a)2S,c)=3"ac=3力+9(2"3)=2g+27<0,解得人<-3.

取〃=一2,知c=-l,此时(3M)③(b,c)=(3,9)区(—2,-1)=-6-9=-15〈0,即。=9/=-2"=-1符合题意.

取分=-3,知c=-3,即。=98=-3«=-3也符合题意.

【B级能力提升练】

一、单选题

1.(2024.全国.模拟预测)已知集合M={H2x-l>0},P={H210g2A1V0},则McP=()

A.x-<x<>/2•B.x-<x<4>

22

C.&vx<4}D.{x\2<x<4]

【答案】A

【分析】求出集合M，P,根据集合交集运算可得结果.

【详解】因为M={.r|2x-l>0}=■xx>^|,P=1x|21og2x-l<0}=1A0<X<V2J,

所以McP='xn1.v0<x<VSj=jx-^<x<>/2’.

故选：A.

2.(2024•宁夏银川一模)设全集U={0』,2,3,4.5.6},A={l,2,3.4,5},B={xeZ|«v2},则集合[4,5}二()

A.B.3，A)CB

C.AG&8)D.(标)c(/)

【答案】C

【分析】由交集，补集和解不等式运算可得.

【详解】因为&<2,所以0。<4,

所以8={XGZ|0VX<4}={1,2,3},

所以28={0,4,5,6},

所以A?（Q4）{4,5},

故ABD错误，故C正确；

故选：C

3.（23-24高三上呐蒙古赤峰•阶段练习）已知集合4=何2*>4；，，集合4={x|x<。},若AuB=R,则实

数”的取值范围为（）

A.（—co,2]B.[2,+00）C.（f2）D.（2,+8）

【答案】D

【分析】先求出集合A,然后根据Au4=R,即可求解.

【详解】由2、>4,得x>2,所以A=（2,xo）,

因为8=（YO,〃），4UB=R,所以。〉2,故D正确.

故选：D.

4.（23-24高一上•全国•期末）已知mwR,〃eR,若集合•〃?,'』}二卜+则"严、，产”的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得〃?，〃，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，〃2,",1={m\m+n,0],

2=0

tn〃=0〃=0

所以<m=〃2+〃，解得{或〈

m=1〃？=-1

m~=1

当〃?=1时，不满足集合元素的互异性，

故阳=T,〃=0,帆畋3+〃.3=（—]）*+0的=一1.

故选：B.

5.（23-24高三下.湖南长沙•阶段练习）已知全;®U=Au8={xwN|（）W10},AcQ）={1,3,5/},则

集合4的元素个数为（）

A.6B.7C.8D.不确定

【答案】B

【分析】由已知求出全集，再由4c向5）={1,3,5,7}可再A中肯定有1,3,5,7,8中肯定没有1,3,5,

7,从而可求出4中的元素.

【详解】因为全集（/=478={六四0"工10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},AcQ/）={1,3,5,7},

所以A中肯定有1,3,5,7,8中肯定没有1,3,5,7,A和B中都有可能有0,2,4,6,3,9,10,

且除了1,3,5,7,A中有的其他数字，8中也一定会有，A中没有的数字，8中也一定会有，

所以"={024,6,8910},

故选：B

6.（23-24高二下・甘肃•阶段练习）如果集合。存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的

非空子集A，4，，4（k€NX22）,且满足AU&ULu&=。，那么称子集组A，A2,…,4构成集合U的

一个A划分.若集合/中含有4个元素，则集合/的所有划分的个数为（）

A.7个B.9个C.10个D.14个

【答案】D

【分析】分别计算2划分，3划分和4划分的个数，再相加即可.

【详解】不妨设/={123,4},则:

/的2划分有{2,3,4}_{1},{1,3,4}{2},{1,2,4}{3},{1,2,3}{4},{1,2}{3,4},{1,3}{2,4},{1,4*{2,3}；

/的3划分有{1,2}{3}）{4},{1.3},{2}1{4},{1,4}I{2}1{3},{2,3}1{1}'{4},{2,4}{1}{3},

{3,4}U{1}U{2}；

/的4划分只有{1}U{2}U{3}U{4}.

综上，/的划分共有7+6+1=14个，D正确.

故选：D.

二、多选题

7.（2024•江苏泰州•模拟预测）对任意A8uR,记A㊉B=史AcB},并称A㊉8为集合AB

的对称差.例如：若4={1,2,3},6={2,3,4},则A㊉3={1,4}.下列命题中，为真命题的是()

A.若A,8=R且A㊉8=8,则A=0

B.若A,8qR且A㊉B=0,则A=8

C.若ABqR且A㊉81则AgB

D.存在ABqR,使得A㊉〃。忸㊉RB

【答案】AB

【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可.

【详解】对于A,因为A㊉4=4,所以B=3X€AU8，X史ADM，

所以且8中的元素不能出现在Afp中，因此A=0,即A正确；

对于B,因为Ae6=0,所以。=XiB},

即'IP与413是相同的，所以A=8,B正确；

对于C,因为A㊉8uA,所以{x|.re4J"，"N8}qA，

所以4=4,即C错误；

对于D由于

RXR

瘠4㊉RB=^x|xe^Au&任物1c闺,={xxw疮(Ac8),x纪(AuB)}=何xe工金AcB},

而A㊉8=gAc8},故A㊉4=夕以㊉即D错误.

故选：AB.

三、填空题

8.(2024・浙江绍兴•二模)己知集合4=凶/+m”0},B=且4c8有4个子集，贝U实数，"的

最小值是.

【答案】1/0.5

【分析】根据ACB的子集个数，得到AC8元素个数，分，〃-1〉-：和〃讨论，进而得到实数m

JJ

的取值范围.

【详解】由ACB有4个子集，所以Ac3中有2个元素，

所以8IA=8,所以A={H12+"wWO}={X一〃2«工40},

-ni<—

.3

-HI212

所以满足（.]=>74〃?<彳，或“〃_1>_彳=彳<m41,

m-\<―2333

3w-l<0

综上，实数机的取值1范围2为或2品〃臼，

故答案为：7

9.（2024.湖南•二模）对于非空集合P,定义函数£,（X）二彳''已知集合A={M（）<x<l},B=3/<x<2/|,

I,X£1y

若存在xeR,使得力（x）+/（x）>0,则实数，的取值范围为.

【答案】（Q1）

【分析】根据题意，由函数的定义可得以（X）+/B（X）可取±2,0,即可得到『的取值范围.

【详解】由题知：人（力+4（力可取±2,0,

若力（司+京（力>0.则人（力+人（力=2,

即集合AC8H0,得即，的取值范围为（0,1）.

故答案为：（04）

【C级拓广探索练】

一、单选题

1.（2023・上海普陀•一模）设A、4、A3、L、4是均含有2个元素的集合，且Ac4=0,

4八4+1=0（，=1，2,3,・・,6）,记8=4=4=4=VA7,则8中元素个数的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】设七、々、L、王（〃之9是集合8互不相同的元素，分析可知〃24,然后对〃的取值由小到大进

行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.

【详解】解：设与、乙、L、七(〃之4)是集合8互不相同的元素，若〃=3,则Ac&w0,不合乎题意.

①假设集合B中含有4个元素，可设A=U，z｝，则4=4=4=｛知七｝，

A=A=4=卜』,七｝,这与Aca=0矛盾；

②假设集合3中含有5个元素，可设A=4=｛百，&｝，4=4=k，z｝，

4=^，耳｝，4=｛七,七｝，A=k，&｝，满足题意.

综上所述，集合8中元素个数最少为5.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大

进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.

二、多选题

2.(2024.浙江宁波.二模)指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U为全

/、/、fl,X€S

集且元素个数有限，对于U的任意一个子集S,定义集合S的指示函数k(x)/s(x)=若A8,C=U,

U,X€QjJ

贝I」()

注：£/")表示M中所有元素x所对应的函数值〃”之和(其中何是定义域的子集).

mM

A.ZtiU)<E1A(x)

xcAxaU

B.l^(x)<l4(x)<I^8(x)

xeUxeU

D.E(1TQ))(1TQ))(1TC(X))=Z1U3-Z1AWC")

xeUXEUXEU

【答案】BCD

]JV£S

【分析】根据l(x)的定义*W=kL即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,由于AqU,所以婆八")=2**)+21/幻=2?4。

xeUxeAXGA

故Z"(x)二》式X),故A错误，

JMAxeU

对于B,若xwA&则1gB（x）=l/A（x）=l，mx）=l，此时满足LCB（X）WL（X）41-B（X），

若xeA且xwB时，1AC8（X）=°，L（x）=1，1-8（x）=1，

若且x史A时，1ACB（X）=°，L（X）=°，1AD8（X）=1，

若工史A且x足B时，UCB（X）=。，LA（X）=0/4UB（X）=0，

综上可得1M8。）<1式上<，故B正确,

对于c2（1八*）+。。）-1式幻1式幻）=Z（1A（X）+U（X）T式x）l/,*））+Z（1式*+

9XEU.呵〃'咯5）fjA]

+Z（1A（X）+1£X）—1/x）l£x））+Z（1式幻+。"）一1式%）l£x））

.vejAcb）（A<JB）

=Z（L（X）+1B（幻-1A（X）1B（X））+Z（1式.1）+。（幻-1式幻1式，1））+Z（1式*+18。）-14工）18（4））+X0

x^AT\^B]XW（5C〃A）.阳SB）xe^（A<jB）

=Z（1八（幻+1"“）-"（©1"（幻）

x«AuH）

而ZLzB（X）=Z1-*）+S1-B（©=Z/B（“）,

入0Jx€AuBXAM/KJB）X6A^B

由于L30（x）="”a（AD8），所以1式幻+。（幻一1式必83）=1和/幻

故».28。）=£（1式x）+l/x）Tdx））,c正确，

A€（/XeU

21。（#-£12叱*）=Zla）

xeUxeU.《eg（八u队/C）

当xcAuB”时,此时1式力,1式力儿（力中至少一个为1，所以（1TQ））（1-1Q））（1TC（X））=0,

当工旗AuBuC）时，此时1八（x）L（x）/c（x）均为。，所以（1—1,3）-）（一（功=1，

故E。-。（幻）（lf（x））（lTc（x））=Z（1-1A（X））（1-1S（X））（1-1C（X））=ZL（x）故D正确

切爬“，哪一⑷xwuWM）'期卬如

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：充分利用l.、3的定义1、3=以及Z.〃x）的定义，由此可得X武

XEQj3x€M

时，此时IA（K）[8（X）/C（X）均为o，xeAuBuC时，此时"幻[""）,〃。）中至少一个为1，结合k（x）的定

义化简求解.

三、填空题

3.(23-24高三上.江西•期末)定义：有限集合A={xk=a/W〃,ieN.,〃eN.},S=%+%+…+%则称S为

集合A的“元素和”，记为何.若集合尸=卜卜=("1)2：注〃,注电,〃62},集合户的所有非空子集分别为片，

尸2,…，"，则园+|闱+…+园=.

【答案】小4”

【分析】根据错位相减可得尸中的元素和，根据每一个元素在子集中出现的次数为2”T，因此

|川+|闱++闻=2"-5,即可求解.

【详解】由题意知集合产中的元素分别为2x2,3x2?,4x2。L,(〃+1)2,

设S“=2xT+3x2?++(〃+1).2"①,则2sll=2x2?+3x2,++(〃+1).2同②,

①一②，得—S.=4+(22+23++2")-(〃+1).2"同=4+"2"2-(〃+1).22=-〃.2向,所以

1—2

由于集合户中每一个元素在子集中出现的次数为2”“，所以

161+161++1^1=2lt-'-S„=2n-'-n-2n+l=n-22n=/r4".

故答案为：〃・4".

四、解答题

4.(2024•浙江台州・二模)设A,E是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素工,按照某种确定的

对应关系/,在集合A中都有唯一确定的元素)，和它对应，并且不同的1对应不同的y：同时8中的每一个

元素)，，都有一个A中的元素x与它对应，则称/：Af8为从集合A到集合8的一一对应，并称集合A

与B等势，记作1=].若集合A与8之间不存在一一对应关系，则称A与8不等势，记作

例如：对于集合联a八{2〃,cN'},存在一一对应关系)，=2MxwA)，w8),因此

⑴已知集合。={"3尸+>2=1},D=l(x,y)ly+y=l^试判断"行是否成立?请说明理由；

(2)证明：①(0,1)=(-oo,+oo)；

②守工部二口

【答案】(1)成立，理由见解析

⑵①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）根据新定义判断即可；

（2）①取特殊函数满足定义域为（0」），值域为R即可利用其证明

②设A=N"6=卜,口叶},假设［=］,利用反证法得证.

x=2.%,

【详解】（1）设尸G=（x,j）eD