利用导数研究不等式恒（能）成立问题 专项训练原卷版

重难点04利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训练）

【全国通用】

题型归纳

【题型1利用导数研究不等式恒成立问题1...................................................................................3

【题型2利用导数研究能成立问题】.............................................................3

【题型3分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】...............................................4

【题型4分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】...............................................5

【题型5构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】...............................................6

【题型6与不等式恒（能）成立有关的证明问题】.................................................6

【题型7洛必达法则】..........................................................................7

【题型8导数中双变量恒（能）成立问题1....................................................................................7

【题型9导数中双函数恒（能）成立问题】.......................................................10

命题规律

1、利用导数研究不等式恒（能）成立问题

导数中的不等式恒（能）成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，从近几年的高考情况来看，不

等式的恒（能）成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能

力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.

方;飙巧

知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略

1.不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式,

构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②。三/（X）恒成立a三/（X）max；

。w/（X）恒成立u=>aW/（X）min；

a三/（x）能成立a三/（x）min；

a&y（x）能成立a4/（x）max.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题

分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内

的函数值不满足题意即可.

知识点2双变量的恒(能)成立问题的解题策略

1.双变量的恒(能)成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换,常见的等价变换

有：

对于某一区间/,

(1)VX15X2e/,/(%))>g(X2)f(X)min>g(X).

⑵Vx1e/i,3x2el2,/(珀>g(x2)f(x)min>g(x)min.

(3)3e/15VX2E/2,/(^l)>g(》2)/(x)max>g(x)max.

知识点3洛必达法则

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经

常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现《型或高型可以考虑使用洛必达法则.

1.洛必达法则

法则1若函数式尤)和g(©满足下列条件：

(l)lim/(x)=0及limg(x)=O；

''V―¥nv-VZ7

(2)在点a的去心邻域内，危)与g(x)可导且gXx)W0；

⑶吧翱=4那么吧需=吧焉

法则2若函数兀0和g(x)满足下列条件:

(x)=8及limg(x)=co；

/x—ax—>a

(2)在点a的去心邻域内，於)与g(x)可导且gXx)W0；

(3)lim=4,那么lim=lim("=4.

xTaS(%)xTagwxTag'(x)

2.用洛必达法则处理，型函数的步骤：

(1)分离变量；

(2)出现《型式子；

(3)运用洛必达法则求值.

co

3.用洛必达法则处理号型函数的步骤:

(1)分离变量；

00

⑵出现晟型式子;

(3)运用洛必达法则求值.

【注意】：

1.将上面公式中的x—8换成xT+co,x->-oo,xTa+,xTtT,洛必达法则也成立.

2.洛必达法则可处理0-8,产,8。,0°,8—8型求极限问题.

3.在着手求极限前，首先要检查是否满足*称,。•叫产,8°,0°,8—8型定式，否则滥用洛必达法则会出

错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

1而4斗=1向马2=1加/黑，如满足条件，可继续使用洛必达法则.

x.ag(X)gWig(X)

举一反三

【题型1利用导数研究不等式恒成立问题】

【例1】(2025•海南•模拟预测)已知当x>0时，1血2出1«次恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(-oo,l]B.(-co,2-21n2]

C.(-oo,21n2]D.(-oo,2+21n2]

【变式1-1](2025•甘肃金昌・三模)若关于x的不等式ein3)ln(ax)W2xeZH在(0,+oo)上恒成立，则实数a的取值范

围为()

A.(0,e]B.(0,2e]C.(0,Ve]D.(0,e2]

【变式1-2](2025•广东广州•三模)若不等式e?日(e=2.71828…为自然对数的底数)对任意实数尤恒成立，

则实数上的最大值为()

A.0B.1C.eD.e2

【变式1-3](2025•江西新余•模拟预测)若关于x的不等式*力2+⑵加+1/+但42在(0,+oo)上恒成立,

则实数a的取值范围为()

A.[e,+<»)B.(0,e]C.R,+co)D.„

【题型2利用导数研究能成立问题】

【例2】(2025高三・全国・专题练习)函数/若存在工口。+切，使/■&丑0有解，则加的取值范围

为()

A.(-oo,l]B.(-oo,2]C.[l,+oo)D.[2,+co)

【变式2-1](2025•辽宁大连•三模)B^/(x^xe^-iwc-ax,若存在工()□丑,使得/&下1，则实数Q的取值范围是

A.（一叱）B.[-*）C.（-1,0）D.（0,1]

【变式2-2]（2025•河北张家口•一模）已知/（x）=lnx-a（x+l）,a\JR.

⑴若。=2,求曲线/（x）在x=l处的切线方程；

⑵若□与口（0,2],使/&（）；＞0,求a的取值范围.

【变式2-3]（2025・甘肃白银•模拟预测）已知函数/■&方佣六2尸-1,月/幻在x=0处取得极值.

（1）求m的值及/i纪的单调区间；

（2）若存在xDR,使得/在上2ex-a-l,求实数。的取值范围.

【题型3分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】

【例3】（2025•陕西•二模）口》口[1,2],有山升£-1加恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.[e,+oo）B.[l,+oo）C.D.[2e,+co）

【变式3-1]（2025•四川成都•三模）若》口;0,+切，r+^+lWe”恒成立，则实数a的最大值为（）

A.eB.2C.e-1D.e-2

【变式3-2]（2025•辽宁盘锦・三模）已知函数/3）=/-31+/1欣.

⑴当时，讨论危）的单调性；

（2）若口》口[2,4],/•6万0,求实数2的取值范围.

【变式3-3]（2025・江西・三模）已知函数/■&>e^Mnx+a.

（1）讨论函数的极值点个数；

⑵苟次乃。-刀&-1尸1恒成立，求实数a的取值范围.

【题型4分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】

【例4】（2025•海南•模拟预测）若不等式e"+2户史曲（2+x）对任意X口/1,+切恒成立，则实数f的最大值是（

A.-B.eC.-D.e2

22

【变式4-1]（2025•辽宁•一模）已知函数f&>e2Je-ax,若它0时，恒有力无0,贝必的取值范围是（

A.（-oo,2]B.（-oo,4]C.[2,+co）D.[4,+oo）

【变式4-2]（2025•新疆喀什•二模）已知函数依>产262+蛆+如）

（1）当加=-1时，求/&?的极值；

⑵若存在龙口42,0/,使得f&为％求加的取值范围.

【变式4-3]（2025•吉林延边•模拟预测）己知函数/'69=g+alm>&+l」x.

（1）当。=2时，求/A）的单调递增区间；

（2）若壮0,於巨《对%口/1，+°°?恒成立，求实数。的取值范围.

【题型5构造函数法解决不等式恒(能)成立问题】

【例5】(2025•黑龙江佳木斯・三模)已知不等式加+3,对□%□((),+8)恒成立，则加的取值范围为()

A.B.加C.m>-2D.m<-2

【变式5-1](2025•陕西商洛•模拟预测)已知函数/6片2%山孙2,若对任意的修/2口(。,+8),当修>必时，都

有2片我2)>2必十穴修)，则实数〃的取值范围为()

A.B.[l,+oo)C.卜,+8)D.[2,+co)

【变式5-2](2025・吉林长春•模拟预测)已知函麴7M=e'-Qx-l.

⑴当〃=1时，求/、口的单调区间与极值；

(2)若后一在工口o+切上有解，求实数0的取值范围.

【变式5-3](2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知函数/&>^+⑪+血&口口

(1)讨论〃切的单调性；

(2)若对于口%>0,不等式为e*+；x2恒成立，求实数a的取值范围.

【题型6与不等式恒(能)成立有关的证明问题】

【例6】(2025•安徽合肥•模拟预测)已知函数/㈤*=&*2必-).

(1)若函数/次)在区间(1,+oo)上单调递增，求实数加的取值范围;

⑵当机=g时，求证：对口工二(0,+co)；/[x)>ln(x+l)-gx恒成立.

【变式6-1](2025•安徽•三模)已知函数/6>e+Ulnx+/

(1)若加=2,求曲线在x=l处的切线方程；

(2)当加□◎口时，求证：关于x的不等式加叼如/1在口⑹上恒成立.

【变式6-2](2025•河南南阳•模拟预测)已知函数2axs口尺)

⑴当4=2时，求〃口的单调区间；

(2)当〃=0时，求证：对任意的工口色+切，恒成立；

【变式6-3](2025•河北•模拟预测)已矢叨后尸eJzsinx,且在x=0处取得极小值.

(1)求。的值；

(2)若g6六/反)+瓜2,且g6)在x=0处取得极大值，求b的取值范围；

(3)证明：对于任意的修>0处>0/>0,有％1分加山。+沙笔"1成立.

【题型7洛必达法则】

[例7](2025高三・全国・专题练习)已知函数/'(x)=alnx+bx{a,bER)在久=巳处取得极值，且曲线y=/(%)

在点处的切线与直线x—y+1=0垂直.

⑴求实数的值；

(2)若V%e[1,+00),不等式f(x)<(m-2)%恒成立，求实数TH的取值范围.

【变式7-1](24-25高二下•全国•期末)若不等式sin%>%-。炉对于久£(0,今恒成立，求a的取值范围.

【变式7-2](2024.浙江•二模)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结

论：若函数/(%),g(%)的导函数分别为/'(%),g'(x),且limfO)=limg(x)=0,则

x^aXia

lim^^=lim

x->ag(x)xrag'CO

②设a>0,左是大于1的正整数，若函数/(久)满足：对任意xe[0,a],均有f(x)2fo成立，且㈣/(久)=0,

则称函数/(乃为区间[0,a]上的左阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

(1)试判断f(久)=/一3x是否为区间[0,3]上的2阶无穷递降函数；

1

(2)计算：1面(1+久)力

x->0

(3)证明：(矍<cosx,Ke(Tt,|n).

【变式7-3](23-24高二下•广东珠海•期末)在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的

问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近

数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛

必达法则

该法则表述为：“设函数f(x),g(x)满足下列条件：

®lim/(x)=0,lima(x)=0；

x^ax^a

②在点a处函数/(久)和9(久)的图像是连续且光滑的，即函数门久)和g(x)在点。处存在导数;

③lim零=4其中A是某固定实数；

则lim3=四=A”

%fag(%)XTag，(x)

那么，假设有函数/(%)=ex,g(x)=tx+1.

(1)若/(%)Ng(%)恒成立，求，的取值范围；

(2)证明:ex—Inx＞2.

【题型8导数中双变量恒(能)成立问题】

【例8】(24-25高三上・贵州•阶段练习)已知函数/6分：》2m+血,。口五.若/6)有两个极值点看/2，且

/田入/出心版1+切恒成立，则实数力的取值范围为()

A.B.C.[-V2,+co)D.[V2,+co)

【变式8-1](2025•福建莆田•三模)已知函数/&＞巴g(x^=-x2-mx,若对区间[0,1]内任意两个实数修题(看力2)，

都有IAxi)：/(X2)|＞|g(Xi)-g(X2)|恒成立，则实数加的取值范围是()

A.[-l,2-21n2]B.[-e2-4,l]

C.[-l,e-2]D.[-1,1]

【变式8-2](2025・广西•三模)已知函数尸alnx-x+1&口及7

(1)当心0时，求函数〃幻)的单调区间；

(2)对任意的占河口QU，当修＜叼时，都有:双修)处2)]＜言，求实数。的取值范围.

【变式8-3](2025•江苏盐城•三模)已知函数/。)=加(/+2%)-111&切,(冽DR),g(x)=l-1ex+x2.

⑴求函数g6?在x=0处的切线方程；

⑵讨论函数〃与单调性；

(3)当机＞0时，若对于任意修＞0,总存在%2口[-2广1＞使得求加的取值范围.

【题型9导数中双函数恒(能)成立问题】

【例9】(2025•山东泰安・二模)已知函数/67=xe-%,g(x)=\wc-x+b(6口尺)若〃五左在x＞0时恒成立，贝防的取

值范围为()

A.(-co,e-1+l)B.(-co,e-1+l]C.(-co,e-1)D.(-co,e-1]

【变式9-1](2025・重庆•模拟预测)已知函数尸¥，g6下办e%若存在修口(0,1)22口(-8,0)使得/a)=862,

则实数。的取值范围为()

A.(-oo,-2)B.(-2,-1)C.(-l,+oo)D.(0,+oo)

【变式9-2](2025•广东汕头•三模)已知函数/a)=lnx-Qx,g&?=

⑴求函数〃切的单调区间；

(2)苟G为g67恒成立，求〃的最小值.

【变式9-3](2025•青海海东•三模)已知函数/(xA/hix,g(x尸。口区.

(1)求/(x)的极值；

(2)当好0时，讨论g(x)的单调区间；

⑶若口％口(1,+oo),/[x)＞g(x)，求〃的取值范围.

过关测试

一、单选题

1.(2025•山东烟台三模)若不等式xeOc-lgaK)恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(0,1]B.(0,e-l]C.(-oo,l]D.(-oo,e-l]

2.(2025•河南•二模)已知函数/&>x+e-x,若存在实数%,使得/成立，则实数。的取值范围为()

A.(-co,l-e]B.(l,+oo)

C.(l-e,l]D.(-oo,l-e]D(l,+oo)

3.(2025•海南•模拟预测)已知当xd(0,+oo)时，函数/(x)=axe"X-(x+l)lnx+axK)恒成立，求实数a的取值范围

是()

A.[j+co)B,g,+co)

C.D.[e,+co)

4.(2025・湖北•模拟预测)已知函数/■6尸axe〉+l吟若存在实数x0,使得f&o昌&o)，则实数。的

取值范围为()

A.(0,1]B.(-oo,0)□(0,1]C.(0,1]D.(-oo,0)U(0,^]

5.(2025・广西•模拟预测)若对任意的工口(-1,+8),不等式e-a)[ln(x+l)-6]N0恒成立，贝！Ja-6的最小值是()

A.-1B.0C.1D.2

6.(2025•河北秦皇岛•一模)若存在正实数,,使得□》□((),+oo),关于x的不等式上也卢](勺)<0恒成立，

则实数用的取值范围是()

A.(-4+1)B,G+l,+oo)C.(-co1)D.(\+co)

7.(2025・四川成都•模拟预测)已知函数女尸(%-1)--；，+1,g(x)=siwc-ax.用max{加,〃}表示相，〃的最大值,

记F(x)=max{/(x),ga)},若对任意xDR,/(工巨0恒成立，则实数。的取值范围为()

A.卬⑼B.(0,0C.g,l)D.[1,+功

8.（2025・天津红桥•二模）已知向量Z工是夹角为60。的单位向量，若对任意的期,工2口（私+00）,且修＜了2,

3心＞|落同，则加取值范围是（）

A.[e2,+oo）B.C.[e,+co）D.g+s）

二、多选题

9.（2025•江西新余•模拟预测）已知不等式左②-l*-2x+2K）恒成立，则实数化的可能取值为（）

A.2B.0C.1D.々

2e2

10.（2025•安徽马鞍山•一模）已知函数/&7=eFnx+«-l力:，若/仇注0恒成立，则实数方的可能的值为（）

1117

A.-B.-C.4D.-

e2e