辽宁省大连市某中学2023-2024学年高二年级上册12月学情反馈数学试题（解析版）

大连市第十二中学2023-2024学年度上学期12月份学情反馈

高二年级数学科试卷

时间：90分钟分值：100分

一、单选题(每题4分，共计40分)

1.在空间直角坐标系°盯z中，与点(一L2，l)关于平面左。对称的点为()

A.(―1,—2,1)B.(—1,2,1)C.(―1,—2,—1)D.(1,—2,—1)

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.

【详解】解：因为点(—1,2,1),则其关于平面无Oz对称的点为(一L—2,1).

故选：A.

2.已知两点3),8(4,2),直线6+y—3左一1=0线段A5相交，则上的取值范围是(

A.-l<k<1B.左W—1或左C.k<1D.k>-l

【答案】B

【解析】

【分析】化简直线方程，得到直线必过的定点C,可求出心O，怎c，进而可求出％的取值范围.

因为直线AB：x+3y-10=0,如图

直线/:kx+y-3k-l-Q即左(x-3)+y-l=0恒过C(3,l),

k,3-1,,1-2,

fiuk^Ac==-］，-=1

AC—BC3_4

因为直线/与线段A3相交，结合图形，

故直线/的斜率上的范围为：k<-l^k>l.

故选：B

3.已知抛物线C:/=8x的焦点为产，点M在。上.若M到直线x=—3的距离为5,贝

（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用抛物线的定义求解即可.

【详解】因为抛物线C:/=8x的焦点/（2,0）,准线方程为x=—2,点M在。上，

所以M到准线％=—2的距离为|阿|,

又M到直线x=-3的距离为5，

所以|阿|+1=5,故|MF|=4

故选：D.

4.下列命题正确的是（）

A.若直线/的方向向量为e=（l,0,3）,平面戊的法向量为〃=2,0,g],则直线/〃a

B.若。〃匕，则存在唯一的实数X,使a=

C.若空间向量卜|=1,|同=2,且a与小夹角的余弦值为则a在。上的投影向量为一

111136

D.若向量。=（2,—1,3）,匕=（T,2/）的夹角为钝角，则实数♦的取值范围为，叫号]

【答案】C

【解析】

【分析】A直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，据此可得答案.

B注意到当/,=0时不满足题目描述；

C由投影向量计算公式可判断选项正误；

D两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0,且两向量不共线，据此可判断选项正误.

【详解】A选项，注意到e-"=0,但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误；

B选项，注意到当b=0时，若awO，则不存在2，使a=2b，故B错误;

C选项，a在人上的投影向量为卜，Jb=I=

141446

故C正确;

D选项，向量3=(2,—1,3),Z?=(T,2")的夹角为钝角，则人方<0且也不共线，

-8-2+3?<0

得<—4_2t=>?e(-ao,-6)1J-6,y,故D错误

I2-13

故选：C

5.已知双曲线C:「—4=l(a〉0/〉0)的离心率为有，C的一条渐近线与圆(X—2)2+(y—3)2=1交

ab

于A,5两点，则|AB|二()

AA/5R275「3石n4石

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

22J2z2

【详解】由6=君，则二=3?=1+」=5,

aaa

b

解得2=2,

a

所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2无，

|2x2-3|_75

则圆心(2,3)到渐近线的距离1=

VF+I5

所以弦长|AB1=2占—/=2

故选：D

6.关于圆锥曲线的命题正确的是()

①设A,B是两个定点，左为非零常数，若|Q4|—|尸3|=左，则P的轨迹是双曲线;

②过定圆。上一定点A作圆的弦A3,。为原点，若0P=g（0A+03）,则动点尸的轨迹是椭圆;

③方程2d—5x+2=0的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；

222

④双曲线匕=1与椭圆土+y2=l有相同的焦点.

25935

A.①②③B.①③C.②③④D.③④

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线定义、向量线性运算及圆的性质判断①②；根据椭圆、双曲线离心率范围判断③；由椭圆、

双曲线方程确定参数c和焦点位置判断④.

【详解】①若10AH尸则P的轨迹不是双曲线，错；

即点P为48的中点，而是定圆C上的弦，则CPLA3,则动点P的轨迹是以C4为直径的圆，错;

③2x2—5x+2=（2x—l）（x—2）=0,故x=g（可为椭圆离心率）或x=2（可为双曲线离心率），对；

④对于土—匕=1,C=后再=庖，且焦点在X轴上；

259

2_____

对于或+/=1,c=J35-1=取，且焦点在无轴上；

222

所以双曲线^--匕=1与椭圆乙+丁=1有相同的焦点，对.

25935

故选：D

22

7.已知椭圆。：0+1=1（a>6>0）的长轴长为2的，且与>轴的一个交点是（0,一夜），过点

的直线与椭圆。交于A3两点，且满足上4+尸2=0,若/为直线A3上任意一点，。为坐标原

点，则|。河|的最小值为（）

A.1B.72C.2D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可求得椭圆方程为三+匕=1,由P4+PB=0,得点P为线段A5的中点，然后利用

62

点差法可求出直线A5的方程，则的最小值为点。到直线A3的距离，再利用点到直线的距离公式

可求出结果.

【详解】由题意得2a=2、/匕,6=,则a=J3,6=、/5,c=\Ja2-b2=2>

22

所以椭圆方程为二+乙=1,

62

因为_1>则在椭圆内,可知直线A3与椭圆总有两个交点,

-----1-----=-<1I',/

622

因为P4+P5=0，即点P为线段A3的中点,

设4（%，%）,3（々，%），显然玉，々，则%+%=3,%+%=1，

(22

-%------1----------1

62可得F+F=°'

22

2+生=1

162

则（尤2+再）（%2一玉）+3（%+%）（%一X）=0，即3（为一%）+3（々一%）=0，

所以="=-1,即直线AB的斜率左=—1，

所以直线AB为y_万=_[x—/),即x+y—2=0,

因为M为直线AB上任意一点,

|0+0-2|

所以|。河|的最小值为点。到直线AB的距离d==^2,

8+F

故选：B.

8.已知抛物线C：V=2px的准线为直线x=—1,直线(：x—叼―百=0与。交于尸，。两点(点P在

X轴上方)，与直线x=—1交于点R,若IQF|=3,则:①=()

,△PRF

5369

A.—B.-C.—D.一

7777

【答案】c

【解析】

【分析】根据抛物线的焦半径公式和IQF|=3得到X。=2,联立直线和抛物线方程，根据韦达定理得到

5SORF\QR\XO+1

xP=-,然后根据三角形面积得到1=-^―.可得答案.

2SPRF|P7?|xP+l

【详解】由题可得抛物线方程为V=4x,所以b(1,0),

如图所示，则|。歹|=3=&+1,解得々=2,

联立方程卜「冲一有二°,消去y得：炉_(4疗+2百口+5=0.

y=4x

可知2%=5,解得Xp=g,

SQRF\QR\xe+l2+16

所以二；=两=不=“=,

2

故选：C.

22尤2V2

9.设F一8分别为椭圆G：・+%=l（a〉6〉0）与双曲线。2：萨—台=1（%>°，4>。）的公共焦

点，它们在第一象限内交于点M,Z^MF2=60°,若椭圆的离心率ee与与,则双曲线C2的离心

率/的取值范围为（）

A哲岳

FA/6巫

C-.,

22

【答案】D

【解析】

MF】=a+q

【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得,.进而在△班玛中，由余弦定理可得

MF2=a-ax

求解即可得出答案.

在△河耳心中，由余弦定理可得

|叫「+|炳「一寓心「.(a+c^y+[a-aY-4c21

cos/F\MF?=x

2|M£“M阊2(a+aJ(a-aJ2

整理可得，/+3a；-4c之=0,

两边同时除以02可得,

Oy

「0忖193

因为e£7-，一丁，所以一Ve«一，

22J24

411418

所以一V二V2,所以，-2V—-<—,2<4—-<—,

3//3/3

2/1\218

所乩--<-----<-

3-39

L，7

两边同时开方可得，—<—«.

3q3

根据不等式的性质，两边同时取倒数可得，-4-=—<e<-1==—

2724V62

故选：D.

10.如图，在棱长为2的正方体ABC。—A4C。中，分别是棱44,4。的中点，点E在

上，点尸在耳c上，且6石=。/，点P在线段CM上运动，下列说法正确的是（）

A.三棱锥N-QWE的体积不是定值

B,直线瓦。到平面OWN的距离是2

2

C.存在点P,使得NBFQ=90

D.△尸面积的最小值是上叵

6

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点2到平面OWN的距离判断B；建立空间直角

坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最

小值判断D.

【详解】对于A,股,"分别是棱4用，42的中点，则BR//MN,

因为且所以四边形BBQ。为平行四边形，所以耳^/加。，

所以BDUMN,因为MVu平面OWN,BDu平面CMV,所以班>//平面CMN,

因为E在血上，所以点E在平面OWN的距离不变，而,OWN面积是定值，则三棱锥E-CVW的体积

不变，

即三棱锥N-CME的体积不变，故A错误；

对于B,因为B、DJIMN,用平面CAW,MNu平面CMN,于是用"//平面CMN,

因此直线耳R到平面CMN的距离等于点D]到平面CMN的距离h,

MN=y/2,CM=CN=yjCDf+D^N2=“2亚丫=3，

V

c-MND,=-x（-xlxl）x2=->sCMN=；x&xb'VD「CMN=；.吗~'h，

J乙D乙Y乙乙3乙

由％―MNDi=%]-CMN,得'=1.h，则%=英立,B错误；

33217

对C,以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则”（1,0,2）,C（2,2,0）,4（2,0,2）,

设=2),则尸2f+2),PBlPDl=(-t-l,2-2t,2t),

”[0,1],

2

由ZB}PR=90。,得Pg.=(1T)(T—1)+(—2f)(2—2t)+2t-2t=9t-4t-l=Q,解得

9

由于t=2±普因此存在点P,使得/男尸。=90。，C正确；

对于D,由选项C得尸(f+12,—2f+2)在DDX的投影点为(0,2,-2?+2),

22

则P到DDX的距离d=7(/+1)+(2-2/)=/5("|下+：，

△PDA面积为$=g.2.d=,5(/—|y+g«e[0』)，所以当f=|时，S取得最小值为竽，D

错误.

故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面平行的判定来判定A,再通过等体积法求出距离从而判断B,

C,D选项通过建立合适的空间直角坐标系解决.

二、填空题（每题4分，共计16分）

11.抛物线x=4y2的焦点到准线的距离为.

【答案】-##0.125

8

【解析】

【分析】先把方程化为标准形式，结合方程可得答案.

【详解】因为X=4y2,所以y2='x,

4

11

由=2PMp>0）的焦点到准线的距离为P,可得抛物线V=-X焦点到准线的距离为石.

48

故答案为：-

8

12.将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.

【答案】288

【解析】

【分析】先将除甲外其它3个女生排一排，再分两种情况：若2个男生与女生甲排一起，再插入4空中的1

个、若2个男生中的一个与女生甲排一起，再和另一个男生插入4空中的2个，最后应用分步分类计数、间

接法求2个男生都不与女生甲相邻的排法.

【详解】先将除甲外其它3个女生排一排有A；=6种，共有4个空，

若2个男生与女生甲排一起有A；=6种，再将他们插入上述4个空中的一个有C；=4种，

此时，共有6x4x6=144种；

若2个男生中的一个与女生甲排一起有C；A；=4种，再将他们和另一个男生插入上述4个空中的两个有

A；=12种，

此时，共有4x12x6=288种；

又6个人做全排列有A。=720种，故2个男生都不与女生甲相邻的排法有720-144-288=288种.

故答案为：288

13.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖ST’等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一些特殊锥体的称

呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖膈”，现有如图所示的“鳖席”四面体

PABC,其中孙，平面ABC,PA=AC=1,8C=、巧，则四面体B42c的外接球的表面积为.

p

【答案】铉

【解析】

【分析】根据“鳖腌”四面体出3c的特征，可确定外接球球心为PB的中点，即可求解.

【详解】如图,

P

由题意/AC8=90。,则取形的中点为点。，

可得OA=OB=OP=OC,即。为球心，

22222

则其半径R=LpB=LVPA+AB=-ylPA+AC+BC=1,

222

则其表面积为S=4兀R?=4万，

故答案为：4乃

14.如图所示，B地在A地的正东方向4协1处，。地在3地的北偏东30方向2版处，河流的沿岸PQ

（曲线）上任意一点到A的距离比到3的距离远2切1.现要再曲线PQ上任一处M建一座码头，向氏C两

地转运货物.经测算，从M到B和M到C修建公路的费用均为。万元/左根,那么修建这两条公路的总费用

最低是万元.

【答案】（277-2）a

【解析】

【详解】分析：以A5所在直线为了轴，A3的中垂线为>轴，建立平面直角坐标系，

2

可得M的轨迹方程为Y—q=i（x〉0）,根据双曲线的定义，结合平面几何知识，即可得结果.

详解：以A3所在的直线为X轴，A3的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A（—2,0）,3（2,0）,。（3,6），由知点M的轨迹，

2

即曲线尸。的方程为x2-^-=l（x>0）,

:.\MB\+\MC\=\MA\-2+\MC\

=\M^+\MC\-2>\AC\-2=2-f/-2,

修建这两条公路的总费用最低是（2-2）a万元，故答案为（2近-2）a.

点睛：本题主要考查利用定义求双曲线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般

有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将

圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有

界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.

三、解答题（15、16每题10分，17、18每题12分，共计44分）

15.已知工ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,_ABC的面积为S,且2S—屉ccosA=0.

（1）求角A的大小；

（2）若a=7,Z?c=40,求ABC的周长.

【答案】（1）A=1

(2)20

【解析】

【分析】(1)先利用题给条件求得tanA=G，进而求得角A的大小;

(2)先利用余弦定理求得〃+c=13,进而求得一ABC的周长.

【小问1详解】

因为2S-J§/?ccosA=0，所以6csinA-J§Z?ccosA=0，

则sinA=3cosA，所以tanA=也■

又因为Ae(O,兀)，所以A=m.

【小问2详解】

由余弦定理得，cosA=:即^+2—49=/^,

得(人+c)2=49+3bc=169,则Z?+c=13,

故的周长为〃+Z?+c=20.

16.已知定义在R上的奇函数〃x),当x>0时，f(x)=x2-4x.

(1)求函数7(%)在R上的解析式；

(2)在坐标系中作出函数7(%)的图象；

(3)利用图象解不等式2,⑴一,(T)>0.

X

/、~x~—4x,x<0

【答案】(1)/(%)=2

')[X2-4X,X>0

(2)图象见解析⑶(4,4W)U(7,4)

【解析】

【分析】(1)令x<0,则-x>。，再根据已知区间的函数解析式及函数的奇偶性即可得解;

（2）根据函数解析式作出函数图象即可；

（3）由题意可得2/。）+/。）＞0,即/区＞0,则]/（*）＞°或[，（*）＜°,结合图象即可得解.

xx[x＞0[x＜0

【小问1详解】

由定义在R上的奇函数/（%），

得〃0)=0"(—x)=—“X),

令x<0,则一%>0,

2

故/(-X)=X+4X=-/(X),所以/(X)=_工2_4x,

-x2-4x,x<0

所以/"(%)=<

x2-4x,x>0

【小问2详解】

函数/（%）的图象如下图所示:

则殳攵3＞。，即加〉0,

/（力＞。或y（x）＜。

所以

x＞0x＜0

由图可知，x＞4或不＜-4,

所以不等式27（x）：0＞0的解集为（4,一）U（TX）,4）.

17.如图，在四棱台ABC。—AAG2中，A&，底面是A。中点.底面A3CD为直角梯形,

且A£>〃6C,AB=8C=gAD="=A',ZABC=90。.

(1)证明：直线。平面AB2；

(2)求二面角G—BC—M的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)3屈

10

【解析】

【分析】(1)根据题意先证1平面相，。，进而可得A3,根据勾股定理可得J.C，，根

据线面垂直的判定定理分析证明；

(2)建系，分别求平面瓦CG、平面4cM的法向量，利用空间向量求二面角.

【小问1详解】

因为A4,_L底面ABC。，ABu底面A3CD,则

由题意可知：AD,AB,且AA.ADu平面A412r),

所以AB工平面朋QD,且。D]u平面441rIQ,可得AB_L£>Z>],

不妨设AB=2，由题意可得：g"9=2拒,2=4,

2

可知：AD^+DD；=AD,即ADX±DDX,

且AD[cAB=A,ADl,ABu平面ABDl,

所以直线。。，平面AB。.

【小问2详解】

如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设A3=l,

zk

则C（2,2,0），4（l,0,2），G（LL2）,M（0,2,0）,

uuuuiuuuuuu

可得B£=（0,1,0）,4。=（1,2,-2）,MC=（2,0,0）,

设平面BCG的法向量”=（九,y,z）,贝1।.，

n-BXC=x+2y-2z=0

令x=2,则y=0,z=l,可得〃=（2,0,1）,

n•MC=2〃=0

设平面4cM的法向量加=（〃,瓦C）,贝M

n・Bg=a+2b-2c=0

令b=l,则a=0,c=l,可得根=（0,1,1）,

/rRn-m1A/10

可得8sd呵=必=反&="，

设二面角G—gc—M为氏则|c°sq=W，

所以二面角Q-B.C-M的正弦值sin0=Vl-cos20=圭叵.

10

18.设圆炉+/+2%—15=0的圆心为A,直线/过点2(1,0)且与x轴不重合，/交圆A于两点，过

8作AD的平行线交AC于点E.

(1)写出点E的轨迹方程；

(2)设点£的轨迹为曲线G，过A且与/平行的直线与曲线G交于RQ两点，求|AD-P0的取值范围.

22

【答案】(1)5+4=1(丁力0)

(2)[6A16)

【解析】

【分析】(1)求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆

的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A,3为焦点的椭圆，求得。，b,c,即可得到所求轨迹方程;

(2)联立直线与圆，以及直线与椭圆方程，可得跟与系数的关系，结合向量的坐标运算，即可根据数量积

(r2+1)(4?+3)

的坐标运算得|AD-,进而利用函数的性质即可求解.

【小问1详解】

圆A的标准方程为(％+lf+y2=16，故半径厂=4

因为|A£)|=|AC|=r=4,EB//AC,故=ZADC=ZACD,

所以|E3|=|ED|,^\EA\+\EB\=\EA\+\EDHAD\,

因此|EA|+|E3|=4,

由题设得A(—1,0),8(L0),\AB\=2<\EA\+\EB\,

22

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:—+2L=i(y^0).

43

【小问2详解】

设直线C