辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二年级下册期末考试数学试题

辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知R是实数集，集合A={-1,O,1},B={x|2x-l>0},则An&8）=

A.{-1,0}B.{1}C.plD.s,J

2.命题“对任意xeR,都有fNO”的否定为（）

A.对任意xeR,都有Y<oB.不存在xeR,使得尤2<。

C.存在xeR,使得fzoD.存在xeR,使得YcO

3.已知变量具有线性相关关系，并且由最小二乘法计算得到回归直线方程为9=-2x+G.

若元=3方=1,则（）

A.-7B.5C.7D.9

4.山海相逢，跑动滨城.2025葫芦岛马拉松5月11日激情开跑.某单位从6名员工中选派志

愿者参加此次活动，要求必须有人去，其中甲、乙两人要么都去，要么都不去，则该单位选

派志愿者的方法共有（）

A.15种B.28种C.31种D.63种

4

5.已知数列{%}满足q=1,。同=2-一，则{%}的前2025项和为（）

an

A.2024B.2025C.2026D.2027

6.命题3，T，%2—为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>-6B.a>0C.a>~nD.a<0

7.若Ovbvl,则5+26-3/_J_的最大值为（）

1+b2b

A.5—^/6B.2C.3D.5+A/6

8.函数〃%）=x（ex-e2）-e21nx—左在（o,+动上有唯一的零点%,则下列结论正确的是（）

A.%=e?B.须）。"=e2

C.k>cD.—<x<—

e02

二、多选题

9.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，则下列正确的有()

A.若｛%｝为等比数列，S"="2"T+3,则加=-3

B.若｛凡｝为等差数列，则数列是等差数列

C.若｛”,｝为等差数列，$2025>0,S2026<0,贝｝]S]o[3>S]014

D.若｛%｝为等比数列，贝|耳,52.—S..S"—S.一定是等比数歹U

10.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次

抽取2个节目，则()

2

A.第1次抽到舞蹈节目的概率为§

3

B.第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为不

C.第2次抽到语言类节目的概率为:

一3

D.在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为w

11.设函数/(%)=2尤尤2+(l+a)x+b.下列正确的是()

A.若/(力在处的切线斜率为2,则a=l

B.当。=-1时，若有三个零点，则6的取值范围是

C.当。=一1时，若xe(O,l),则

D.若满足/J-x1-2-则a,6,c成等差数列

三、填空题

12.已知[6-的展开式中第3项是常数项，则实数〃的值为.

13.关于x的不等式如2+IOX+8<O的解集为其中。<。，则机+。的值为.

14.当a>1时,函数=与g(x)=log〃x的图象有两个交点，则a的取值范围为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.近年中国新能源汽车进入高速发展时期.已知某数据显示，400名消费者中中老年人共有

150人.中老年人中愿意购买新能源车人数是愿意购买燃油车人数的2倍:青年人中愿意购买

新能源车人数是愿意购买燃油车人数的4倍.

(1)完善2x2列联表，请根据小概率值a=0.01的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油

车的购买意向是否与年龄有关；

愿意购买愿意购买合

新能源车燃油车计

青年人

中老年人

合计

(2)从愿意购买新能源车的消费者中按年龄比例进行分层抽样，得到容量9的样本，再从这9

人中随机抽取4人，求这4人中青年人数为3人的概率.

n(ad-bc)2

附:Z2n=a+b+c+d

(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)'

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

16.已知S〃是等差数列｛为｝的前〃项和，S3=%=9,数列｛2｝是公比大于1的等比数歹！J,

且4+d+4-14,4・d•4=64.

⑴求数列｛«„｝和也｝的通项公式；

⑵设4=%也,，求匕｝的前〃项和

17.全国大学生机器人大赛(RoboMaser)是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的

机器人竞技平台.某高校为了选派优秀选手参加大赛，准备开展校内选拔赛.已知初赛共有

2000名选手参加，初赛入围选手参加晋级赛.

211

⑴若甲、乙、丙3名选手入围的概率分别为,求这3人中至少有1人未入围的概率;

(2)若初赛成绩Z近似服从正态分布N(90,9),试估计这些选手中成绩超过96分的人数；(结

果四舍五入，精确到个位)

3

(3)晋级赛共有3道试题，若初赛入围选手小明答对每道题的概率均为且每题答对与否

都相互独立，记小明答对试题个数为X,求X的分布列与数学期望E(X).

参考数据：

P(//-CT<Z<//+cr)®0.6827,P(//-2cr<Z<//+2cr)«0.9545,P(//-3cr<Z<4+3b)q0.9973

18.已知函数=-(a+l)x+lnx,a>0.

⑴讨论/(X)的单调性；

⑵设g(x)=/(x)+(a-l)x,已知g(x)有两个极值点西<%2).

①求。的取值范围；

②求证：g(xJ+g(X2)<-2-：

19.“牛顿数列”是英国著名物理学家牛顿发现并定义的，它在航空航天中应用极其广泛.“牛

/(/)

顿数列”的定义是：对于函数/(无)，若数列｛七｝满足无角=%，则称数列｛4｝

广区)

为函数f(x)的“牛顿数列”.已知数列｛%｝为函数/(x)=/-x的牛顿数列，且数列｛%｝满足

Y

,J

q=l,a„=ln—--,xn>1.

(1)求4;

(2)证明数列｛6｝是等比数列并求为；

2

(3)设数列｛%｝的前〃项和为Sn,若不等式(-1)"-t.(Sn+l)-16<(S„+1)对任意的neN*恒成

立，求f的取值范围.

试卷第4页，共4页

《辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ADCCBBABBCACD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】先求出集合B的补集再与集合A进行交集运算.

【详解】•••8噌lx?；

\g哪|x<g

即A?S){-1,0}

故选A.

【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算.在解题过程中，正确求出补集和交集

是关键.

2.D

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.

【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：

命题“对任意xeR,都有尤久。”的否定为“存在xeR,使得，<o".

故选：D

3.C

【分析】根据线性回归方程必过样本中心点求

【详解】根据线性回归方程必过样本中心点得：l=-2x3+a=>a=7.

故选：C

4.C

【分析】根据“其中甲、乙两人要么都去，要么都不去”分“甲乙都去”和“甲乙都不去”两种情

况讨论，结合“要求必须有人去”的条件，分别求出两种情况选派方法再相加即为该单位选派

志愿者的方法数.

【详解】根据“其中甲、乙两人要么都去，要么都不去”分两种情况讨论：

情况①甲乙都去：

此时需要从剩余4人中选，因为甲、乙已去，所以只要选法存在即满足“要求必须有人去”

答案第1页，共12页

条件，

故选派方法为：《+禺+C+玛+。：=24=16种.

情况②甲乙都不去：

此时需要从剩余4名员工中至少选1人，以满足“要求必须有人去”的条件，

因为“至少1人去”的对立事件是“0人去”，

所以“至少1人去”等价于“4人的总共选派方法”减去“0人去的选派方法”：

C；+C；+C；+C：+C：-C；=2"-1=15种.

综上，该单位选派志愿者的方法为情况①和②之和，即16+15=31种.

故选：C.

5.B

【分析】根据数列的地推关系，计算％,%，为判断函数的周期性，然后求和即可.

【详解】由题可知：«i=l>«„i=2--,

+an

444

所以4=2--=-2,%=2-一=4,%=2-一=1,所以可知数列｛%｝是周期数列，最小正周

CI3

期为3,

所以4+4+%=3,设数列｛%｝的前2025项和为邑025，

则1^2025=ai+«2+--+«2025=675/(0)+&+q)=2025.

故选：B

6.B

【分析】根据题意该命题的否定是真命题，由此求出。的取值范围，再找出它的一个充分不

必要条件即可.

【详解】命题“Vxe[-3,-l],x2-a>7”为假命题,即命题“qe[-3,-l],x2-a<7”为真命题.

所以a2(d_7%,

因为f(x)=f-7在[-3,-1]是单调减函数,所以〃力.=〃—1)=6,所以心-6.

因为｛a|a20｝是｛布2-6｝的真子集，而其他选项对应的集合都不是｛a\a>-6｝的真子集，

故B正确，A,C,D均错误.

故选：B.

答案第2页，共12页

7.A

【分析】证明原式=（-36+5）-《，利用基本不等式即可求解.

2b

【详解】注意至IJ5+4—3从=（1+/；）（5—3b）,且0<6<1,

^JM^=-3Z?+5--=5-|3Z?+—|<5-2./3Z?x—=5-46,

2b2bJV2b

当且仅当3b=J即％=骼©（0,1）时等号成立，

所以5+2b-的最大值为5一指.

1+b2b

故选：A.

8.B

【分析】求导可得/'（耳=（1+1）［，-、;再根据函数的单调性以及极值点和零点即可知毛

为函数“X）的零点和极小值点，进而根据与满足的关系式逐个选项判定即可.

［详解］由题，尸（x）=（e-e2）+xe，_±=e%x+l）_e2四=（x+l）e1--

2

令/'（九）=。，因为%£（0,+oo）,故e"---=0,

x

2

设e'-土e=0的根为4，

X

则可知在区间（0,%）上/（无）<。，"X）单调递减，且“X）e（〃占）,+8）,

在区间（小y）上尸（尤）>。〃同单调递增，且e），

故/（x）在x=X］时取最小值，〃%）=0,玉=%.

2

ev2

且峭=一，BPxoe°=e,故B正确；

%

22

因为/（Xo）=xo（e&-e）-elnxo-fc=O,

222222

即左=xoe^-x0e-elnx0=e-e（x0+Inx0）e-e（ine而+ln尤0）

22222222

=e-elnxoe*=e-eIne=e-2e=-e,故AC错误；

令g（x）=xe",则g（x）=（e+l）e'>。,

答案第3页，共12页

故g(x)=xe"为增函数.

又gg]=g[<e2=g(x。)，故x°>g,故D错误.

故选：B

9.BC

【分析】由已知得4=H=〃z+3即可判断A；由等差数列前〃项和公式及等差数列的定义判

断B；由等差数列前W项和公式及已知得％>…>01013>°>«1014>---，作差法比较九13，几14

大小判断C；应用特殊数列｛q｝是首项为1,公比为-1判断D.

【详解】A：由题设％=工=m+3,若%=-3,则4=0,显然不满足｛%｝为等比数列，错;

B：由｛6｝为等差数列，则.=故｝=4要，

所以辿一幺詈=4±守为定值，贝"号4是等差数列，对;

n+1n2221nJ

C：由｛4｝为等差数列，且

2025(;+%25)=2025«1013>0,S2026=202"+脸)=10i3K13+%。*)<0,

所以“1013>。,"1013+“1014<。,即"1014<°<“1M3，显然｛%｝的公差d<0,

所以%>■■->01013>0>%o[4>…，

1013(q+«)1014(q+4014)

由S1013=1013=10136i,S=5°7(。507+。5。8)

250710142

=

所以Hou一10]4=508a507—507°508"507一507">0,即SJQU>51014,对；

D：若｛%｝是首项为1,公比为-1的等比数列时，52=S4-S2=S6-S4=0,显然不满等比数列

的性质，错.

故选：BC

10.ACD

【分析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,第二次抽到语言

类节目为事件C,分别求出事件A,事件8和事件C的基本事件数，进而结合古典概型的概

率公式、条件概率公式判断各选项即可.

【详解】设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,第二次抽到语言

类节目为事件C.

答案第4页，共12页

对于A,从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为〃（。）=A需=30,

根据分步计数原理有"（A）=A；A；=20,

所以P（A）=—^=云=”故A正确；

/\9z\n（AB\122

对于B,MAB）=A；=12,贝|P（A3）=今寻=运=三，故B错误；

对于C,〃（C）=A；+A；A；=10,贝|]2（0=喘=噂=:，故C正确；

几（\Z）JUJ

2

对于D,P（B|A）=^^=1=|,故D正确.

3

故选：ACD.

11.ACD

【分析】利用导数的几何意义判断A,求导确定函数的单调性求得极值，构造不等式判断

BC,将/\-1=-2-〃同代入解析式化简，结合等差数列的定义判断D即可.

【详解】由题意可知/'（x）=6d+6x+l+a,

若在处的切线斜率为2,

则由导数的几何意义可知r（-l）=6x（-l）2+6x（-l）+l+a=2,解得a=l,A说法正确；

当口=一1时，/,（X）=6X2+6X,

由广（无）<。解得-1<X<0,由1（同>。解得了<一1或x>0,

所以函数〃x）在（-8,-1）和（0,+“）上单调递增，在（T,。）单调递减，

所以函数/■（》）在x=T处取得极大值，在尤=0处取得极小值，

若有三个零点，则j7o）[<o，解得B说法错误；

因为当。=-1时，函数“X）在（。,+⑹上单调递增，

若无40,1）,则0<d<x<i,所以/小卜/⑴，C说法正确；

答案第5页，共12页

若〃尤)满足了|j-xj=_2-〃x),

+(1+a^x+b

=2任一%x+j2

—X131|十+D3|(-。-2-CX+X2I+--XHQX+2/++(1+4)X+2Z?

I8422

c33cac(32c

22

=—\--c-\-------1------------F2Z7+——c-3cx+(3C+6)X=-2,

44222

+.7

3

则<—c9—3c=0解得2b=a—2

3c+6=0

所以2b=a+c,^a-b=b-c,满足。也。成等差数列，D说法正确;

故选：ACD

12.6

【分析】利用二项展开式的通项公式，求解即可

【详解】（五-/1展开式中第3项为：

的展开式中第3项是常数项，

.•.^-3=0,解得：〃=6

故答案为：6

13.-2

4

【分析】由题可得如2+10%+8=。的两根为〃,一，然后由韦达定理可得答案.

a

【详解】因关于X的不等式做2+10尤+8<0的解集为,

一4

则如2+10x+8=0的两根为〃,一，由韦达定理，

a

答案第6页，共12页

Q_|——5

a=>/+5〃+4=0=>(〃+4)(〃+1)=0,

48

a-=—m=2

、am

、4

则〃=-1或〃=7,因一>〃，则〃=-4,从而%+々=-4+2=—2.

a

故答案为：-2

【分析】根据题意，结合反函数的性质将问题转化为函数%(尤)=(与〉=也。在(0,+8)上

有两个交点，

【详解】由于函数““="与8(”=功/互为反函数，其图象关于直线丁=龙对称,

因为函数“力=相与8(%)=108/的图象有两个交点,

所以这两个交点一定在直线y=X上，

InY

令优=%,x>0,两边取对数得xln〃=lnx,即lna=---,

x

设力(%)=电二，x>0,

则问题转化为函数〃(同=F与y=In。在(0,+8)上有两个交点，

由〃令〃(x)>0,得0<x<e；令〃(x)<0,得x>e,

所以函数Mx)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

又/z(e)=L/:(1)=0,且x->0时-oo,x>l时，/?(x)>0,

e

要使函数〃(x)=呼与y=Ina在(0,+8)上有两个交点，

则°<ln“<：，解得1<”£，

则a的取值范围为

故答案为:

15.(1)列联表见解析，认为消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄有关

答案第7页，共12页

【分析】（1）依据题意直接得到列联表，然后计算卡方即可判断；

（2）先得到青年人，中老年人的人数，然后按照古典概型计算即可.

【详解】（1）2x2列联表如下：

愿意购买愿意购买合

新能源车燃油车计

青年人20050250

中老年人10050150

合计300100400

零假设4：消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄无关.

400x(200x50-50x100)2

2®8.889>6.635

z250x150x300x100-」

根据小概率a=0.01的独立性检验，我们推断名不成立，即认为消费者对新能源车和燃油

车的购买意向与年龄有关.

（2）由题可知：抽取的9人中青年人有9'黑=6人，中老年人有9x照=3人.

记“从这9人中随机抽取4人，求这4人中青年人数为3人”的概率尸,

n,八或C10

贝I」P

=-VC；"=—21

16.⑴bn=2".

⑵北=6+（2〃-3卜2角

【分析】（1）根据等差、等比数列基本量的计算公式，结合等差、等比数列的性质求它们的

通项公式.

（2）利用错位相减求和法求数列的前〃项和.

【详解】⑴对等差数列数列{%},因为邑=%+。2+。3=3%=9=>%=3,

由%=%+3d=3+3d=9=>d=2.

所以见=2+（^-2）6?=3+（n-2）x2=2n-l.

答案第8页，共12页

对公比大于1的等比数列｛〃｝：4也也=6=64=仇=4,

4

由4+4+4=14=—+4+4q=14=2/-5夕+2=0=(2^-1)(^-2)=0,

q

又g>i,所以q=2.

所以么=仄0々=4x2-2=2".

所以4=2〃-1,bn=T.

(2)因为c〃=(2“—1)x2",

所以(=1x2+3x22+5x23+…+(2〃-l)x2"

23,,+1

27；I=lx2+3x2+...+(2n-3)x2+(2n-l)x2",

两式相减得：—雹=2+2x(22+2?+…+2")-(2〃-1)x2,1+1

=2+2」)_(2“—l)x2向=-6+(3-2M)X2"+1.

所以北=6+(2〃-3)x2向

17.(1)7；

O

(2)46；

9

(3)分布列见解析，4，

【分析】(1)依对立事件概率及独立事件概率公式列式计算.

(2)利用正态分布性质求出概率，进而估计人数.

(3)求出X的可能值，再二项分布求出分布列及期望.

211

【详解】(1)记甲、乙、丙入围的事件分别为A,B,C,则P(A)=I，PCB)=5，P(C)=3,

2115

则甲、乙、丙至少有1人未入围的概率尸=1-P(ABC)=1-彳x彳=K

3226

(2)依题意，〃的近似值为90,的近似值为3,

则P(Z>96)=P(Z>〃+2cr)=g—、(〃-+x002275,

W2000x0.02275®46,

所以估计这些员工中成绩超过96分的人数为46.

答案第9页，共12页

3

(3)依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,X〜5(3.),

4

且尸(X=。)=《少$，尸(X=I)=C.|.(%晨,

P(X=2)=C；(j)24=H，P(x=3)<(|)3=||.

4464464

所以X的分布列为：

X0123

192727

P

64646464

39

数学期望E（X）=3x；=：.

44

18.（1）答案见解析

⑵①（0,1）;②证明见解析

【分析】（1）求导，根据导数的几何意义按。的不同取值分类讨论即可;

（2）①由g（x）有两个极值点％可得g'（x）=。有两个变号零点，根据一元二次函数的图

象和性质列不等式组求解即可；②利用韦达定理将g&）+g（无2）<-2-，转换为。的函数,

利用导数研究函数的单调性即可得证.

【详解】（1）对函数/（x）=gax2-（a+l）x+lnx求导得

z(、11ax2-ax-x+l_(ar-l)(x-l)

j(x)=ax-a—\+—=----------—，(47°)，

xxX

因为4>0,令/'(x)=0角单得尤=,或X=1,

a

当0<“<1时，->1,此时当0<x<l或无〉，时/''（x）>0,/（X）单调递增,

aa

当i<x<工时，r（x）<o,〃x）单调递减，

a

当a=l时，：=1,此时尸（x）N0在xe（O,+«）上恒成立，在（0,+功上单调递增,

当°>1时，-<1,此时当0<x<,或彳>1时/''（x）〉。，/（X）单调递增，

aa

当，〈尤<i时，r（x）<o,〃x）单调递减，

a

综上所述当0<〃<1时，〃尤）在（0」），单调递增，在）,£|单调递减，

当a=l时，f（x）在（0,+e）上单调递增,

答案第10页，共12页

当4>1时，“X)在］。，9，(1,+8)单调递增，在单调递减.

(2)①由题意可得g(x)=gor2一（Q+l）%+lnx+（Q-l）%=g2-2x+Inx

axx>0,

/、1ax2-2x+l„

求导得g（x）=ax-2+—=----------,x>0,

XX

因为g(x)有两个极值点项，无2，所以g'(x)=。有两个变号零点七,无2,

所以》=--2尤+1在彳«0,+0))上与》轴有两个不同的交点,

A=4-4〃>0

x+x=-^>0,解得即。的取值范围为（。,1）.

所以l2

玉%2=~>0

a

②由(2)①得g(xj+g(尤J=)办；一2无]+比无]_2%+ln尤2

2-I