（人教A版）必修一高一数学上册同步题型讲练+同步检测2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（教师版）

第页2.3二次函数与一元二次方程、不等式【知识点梳理】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案．知识点六一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.知识点七简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇题型三：含有参数的一元二次不等式的解法题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题题型六：不等式的恒成立问题【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1．不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】直接解一元二次不等式即可得答案.【详解】解：原式化为，即，故不等式的解集为.故选:D例2．不等式的解集是（

）A．R B． C．或 D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质，分析即可得答案.【详解】由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，，所以恒成立，所以不成立，故的解集为.故选：B例3．不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；【详解】解：依题意可得，故，解得或，所以不等式的解集为或故选：B．例4．解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)或；(2)【解析】(1)(1)因为，所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.所以原不等式的解集为或.(2)(2)因为，所以方程有两个相等实根x1＝x2＝所以原不等式的解集为.【方法技巧与总结】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)根据图象写出不等式的解集．题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例5．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，且，所以，当且仅当时等号成立.故选：C例6．已知不等式的解集为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.【详解】由不等式的解集知：和是方程的两根，.故选：A.例7．若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.【答案】3【分析】根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.【详解】由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，故.经检验满足题意故答案为：3.例8．已知不等式的解集是，则不等式的解集是________.【答案】【分析】根据给定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.【详解】依题意，，是方程的两个根，且，于是得，解得：，因此，不等式为：，解得，所以不等式的解集是.故答案为：【方法技巧与总结】三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例10．解关于x的不等式【分析】原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式【详解】解：关于x的不等式可化为（1）当时，，解得．（2）当，所以所以方程的两根为-1和，当，即时，不等式的解集为或}，当，即时，不等式的解集为．当，即时，不等式的解集为或}，．（3）当时，因为方程的两根为—1和，又因为，所以即不等式的解集是，综上所述：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或}.例11．已知关于x的不等式的解集为．(1)写出a和b满足的关系；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.(1)解：因为，所以，因为不等式的解集为，所以，且，解得．(2)由（1）得，则不等式等价为，即，即．因为，所以不等式的解为．即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）例12．设函数.(1)若，解不等式；(2)若，解关于x的不等式【答案】(1)或；(2)详见解析.【分析】（1）利用二次不等式的解法即可得解；（2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解.(1)当时，由，解得或，故当时，不等式的解集为或.(2)由可得，当时，方程的两根分别为，.当时，，解原不等式可得；当时，原不等式即为，该不等式的解集为；当时，，解原不等式可得.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.例13．已知函数.(1)若关于的不等式的解集为，求的值；(2)若，解关于的不等式.【答案】(1)(2)时，解集为；时，解集为；时，解集为或【解析】(1)的解集为，和是方程的两个根，∴，解得：.(2)不等式，可化为：.当时，原不等式即为，．当时，原不等式化为，或.当时，原不等式为，可化为因，．综上，时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为或【方法技巧与总结】解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．题型四：一次分式不等式的解法例15．若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】由不等式的解集为可得参数a的值，则不等式也具体化了，按分式不等式解之即可.【详解】由不等式的解集为，可知方程有两根，故，则不等式即等价于，不等式的解集为，则不等式的解集为，故答案为：.例16．不等式的解集是____________.【答案】##【分析】根据题意将化为，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.【详解】可化为，，等价于，解得，所以不等式的解集是，故答案为：.例18．不等式的解集是_________【答案】【分析】原不等式转化为，即，进而可解得结果.【详解】等价于，即，等价于，解得.故答案为：.【方法技巧与总结】分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例20．黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．(1)求的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【答案】(1)(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析【分析】（1）根据条件可建立方程，解出即可；（2）设第天发生危险，由题意得，解出此不等式，然后可得答案.(1)由题意得：，即(2)由（1）得设第天发生危险，由题意得，即，得．所以汛期的第9天会有危险例22．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.【答案】(1)10米(2)平方米【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以，又，所以，解得，所以宽的最大值为10米；(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得，，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米例23．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米．(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．【答案】(1)15米(2)864平方米【分析】（1）根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值.（2）求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值.(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得，∵矩形草坪的长比宽至少多5米，∴，∴，解得，又，∴，草坪宽的最大值为15米．(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意可得，当且仅当时，等号成立，∴整个绿化面积的最小值为864平方米．【方法技巧与总结】利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．题型六：不等式的恒成立问题例26．若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．【答案】或【详解】本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a的范围．【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意；当时，若不等式有解，则满足，解得或；当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，所以，综上可得，实数a的取值范围是或.例27．关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．【答案】【解析】在内有解，，其中；设，则当时，，，解得：，的取值范围为.故答案为：.例28．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】求出的最大值，然后可得，解出即可.【详解】因为关于的不等式在上有解，的最大值为4所以，解得，故答案为：例29．若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________．【答案】【分析】分和两种情况分析求解即可【详解】当时，不等式为满足题意；当时，需满足，解得综上可得，a的取值范围为，故答案为：例30．若对任意，恒成立，则的最大值为_________．【答案】【分析】先令，可得，再根据恒成立，可得，，由此可得，再验证符合恒成立即可．【详解】解：令，则，故，对任意，，则恒成立，∴，∴，此时，∴，当时取等号，此时成立，∴的最大值为．故答案为：．例31．设二次函数．（1）若方程有实根，则实数的取值范围是______；（2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______；（3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______．【答案】

或.

【分析】根据方程的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果.【详解】对于（1），因为方程有实根，故，解得或.对于（2），因为不等式的解集为，故，解得.对于（3），不等式的解集为R，故，故.例32．若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】.【分析】根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，借助基本不等式计算作答.【详解】对于任意的，不等式，即，因此，对于任意的，恒成立，当时，，，当且仅当，即时取“=”，即当时，取得最小值4，则，所以实数的取值范围是.【方法技巧与总结】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。【同步练习】一、单选题1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案.【详解】解：当时，恒成立，符合题意；当时，由题意有，解得，综上，.故选：B.2．若不等式的解集是，则的值为（

）A．-10 B．-14 C．10 D．14【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a、b，即可得结果.【详解】由题意，和是方程的两个根，由韦达定理得：且，解得：，，所以.故选：B3．已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图像性质即可求出k的取值范围.【详解】的图象都在轴上方，①时，k＝－5或k＝1，k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；k＝1时，y＝3满足条件；故k＝1；②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数，则，解得；综上，.故选：A.4．不等式的解集为，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，然后利用二次不等式的解法解所求不等式，即可得解.【详解】由题意可知，关于的方程的两根分别为、，则，可得，故所求不等式为，即，解得.故选：A.5．一元二次不等式的解集为R的一个充要条件是（

）A．a>0,Δ>0 B．a>0,Δ<0 C．a<0,Δ>0 【答案】D【分析】依据二次函数的图像性质把不等式恒成立转化成不等式组即可解决.【详解】一元二次不等式的解集为R，即二次函数的图像在x轴的下方，等价于，则一元二次不等式的解集为R的充要条件是选项A：二次函数的图像只有一部分在x轴的下方.判断错误；选项B：二次函数的图像都在x轴的上方.判断错误；选项C：二次函数的图像只有一部分在x轴的下方.判断错误；故选：D6．使不等式成立的充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义结合集合间的关系直接判断作答.【详解】解不等式得：，对于A，因，即是成立的充分不必要条件，A正确；对于B，是成立的充要条件，B不正确；对于C，因，且，则是成立的不充分不必要条件，C不正确；对于D，因，则是成立的必要不充分条件，D不正确.故选：A7．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（

）A． B． C．或1 D．或4【答案】A【分析】，利用韦达定理可得答案.【详解】关于x的方程有两个实数根，，解得：，关于x的方程有两个实数根，，，，，即，解得：或舍去故选：A.8．不等式组有解，则实数a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】根据给定条件化简不等式组，再列式即可求解作答.【详解】依题意，，而不等式组有解，则不等式成立，因此，，即，解得，所以实数a的取值范围是：.故选：A二、多选题9．关于x的不等式-10(其中xZ，a)的解集中元素的个数可能有（

）A．个 B．个 C．个 D．无数个【答案】AC【分析】在限定条件下讨论的取值情况，从而判断解集中x的个数【详解】由题(其中xZ，a)，当时，，解得，即解集中有3个元素；当时，，故，解集中只有一个解，即解集中只有1个元素；故选：AC10．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（

）A． B．不等式的解集为C．不等式的解集为或 D．【答案】AD【分析】由一元二次不等式的解集可确定，并知两根为和，利用韦达定理可用表示，由此将不等式中用替换后依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A，由不等式的解集可知：且，，，A正确；对于B，，又，，B错误；对于C，，即，解得：，C错误；对于D，，D正确.故选：AD.11．已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（

）A．，，，B．C．D．【答案】ACD【分析】只需分别利用二次方程根与系数的关系，以及判别式判断出正确的结论．【详解】解：对于A：由知，与同号．若，则，这时，所以，此时与矛盾，所以，．同理可证，故A正确；对于B：根据题意可知，，，，解得．同理，，即，故B不正确，D正确；对于C：由A知，，，，是整数，所以，．由韦达定理有，所以，故C正确；故选：ACD．三、填空题13．关于的方程的两个根为素数，则___________．【答案】【分析】设关于x的方程的两根分别为，由韦达定理得，则中一个是偶数一个是奇数，从而得，进而求出参数．【详解】设关于x的方程的两根分别为，且则因为均为素数，所以中一个是偶数一个是奇数，故，所以．故答案为：．14．不等式的解集为__________．【答案】{x|x≥1或x＜﹣2}【分析】利用移项，通分，转化整式不等式求解即可．【详解】由得，即，解得：x≥1或x＜﹣2，所以原不等式的解集为{x|x≥1或x＜﹣2}．故答案为：{x|x≥1或x＜﹣2}．15．记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.【答案】【分析】首先将不等式变形，再对与分三种情况讨论，分别求出集合，根据集合的包含关系得到不等式组，即可求出参数的取值范围；【详解】解：原不等式可变形为，当，即时，，满足题意；当，即时，，所以，解得，所以；当，即时，，所以，解得.综上可得，即；故答案为：16．设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________.【答案】【解析】解：关于x的一元一次不等式组的解集为