杭州第四中学2025学年第一学期高三年级第一次月考

杭州第四中学2025学年第一学期高三年级第一次月考数学试题卷2025年8月考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号。3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。4．考试结束，只上交答题卷。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．已知，则的值为A． B．1 C．4 D．3．已知函数且是偶函数，则A． B． C．2 D．44．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则不同的停放方法共有种A．72种 B．144种 C．108种 D．96种5．已知数列满足，，则A．1 B．2 C．3 D．46．已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是A． B． C． D．7．知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为A． B． C． D．8．如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是A．B．2C．D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9．已知函数（，）的部分图象如图，则A．B．函数的图象关于轴对称C．函数在上单调递减D．函数在有4个极值点10．在正三棱柱中，已知，点，分别为和的中点，点是棱上的一个动点，则下列说法中正确的有A．存在点，使得平面 B．直线与为异面直线C．存在点，使得D．存在点，使得直线与平面的夹角为45°11．已知函数，设是曲线与直线的三个交点的横坐标，且，则A．存在实数，使得 B．对任意实数，都有C．存在实数，使得 D．对任意实数，都有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设为复数的共轭复数，若复数满足，则．13．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为．14．锐角中，边上的高为4，则面积的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；(3)过坐标原点O作曲线的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.16．（15分）如图所示，已知三棱台中，，，，，．(1)求二面角的余弦值；(2)设E、F分别是棱、的中点，若平面，求三棱台的体积．17．（15分）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.18．（17分）如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．(1)求曲线C的方程；(2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．19．（17分）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．(1)若，判断是否