实数-2023年中考数学一轮复习

专题02实数

除命.趋势

实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，

主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法.

1.实数的相关概念和运算.如对平方根、立方根与n次方根，实数的表示与运算，分数指数暴等知识点直

接考查.

2.出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解，结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小.，但对运

算理解的考一查力度较.

3.主要体现的思想方法：转化的思想、「分类讨论的思想、数形结合的思想等.

在知宫导图

平方根与算术平方根的联系与区别

分类

在重点考向

一、平方根

2

算术平方根概念：一般的如果一个正数X的平方等于a,即X=a,那么这个正数X叫做a的算术平方根。

算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作护，读作根号a,其中a是被开方数。

平方根概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x=a，那么x叫做a

的平方根。

平方根的性质与表示：

表示；正数a的平方根用士而表示，会叫做正平方根，也称为算术平方根，-瓜叫做a的负平方根。

性质：一个正数有两个平方根：士后（根指数2省略）且他们互为相反数。

a(aNO)

(Va)2=a(a>0),=-

-a(a<0)

0有一个平方根，为0,记作m=0

负数没有平方根

平方根与算术平方根的区别与联系：

一、单选题

1.下列说发正确的的是（）

【答案】C

【分析】根据平方根的定义：一个数X的平方为X叫做。的平方根；算术平方根的定义：•个非负数X的

平方为x叫做。的算术平方根，逐一进行计算判断即可.

B、2是J话的算术平方根，选项错误，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考察平方根、算术平方根的定义.熟练掌握相关定义是解题的关键.注意先化简，再计算.

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】D

【分析】根据平方根的性质列方程求解即可；

故选：D.

【点睛】本题主要考查平方根的性质及解•元•次方程，正确理解•个正数有两个平方根，它们互为相反

数是解决本题的关键.

3.质的算术平方根是（）

【答案】C

・•・病的算术平方根是6

故选：C.

【点睛】本题考查了算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质，从而完成求解.

4.估计A的大小应在（）

【答案】B

【分析】先把质平方，再把选项中的数分别平方，即可解答.

故选:B.

【点睛】本题考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的

方法.

5.下列各式正确的有（）个

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据算术平方根的性质判断①②；根据负数没有平方根判断③；根据平方根的性质判断④，即可.

所以正确的有1个.

故选：A

【点睛】本题考查算术平方根，平方根，掌握一个正数的平方根有2个，且互为相反数；。的平方根是0；

负数没有平方根是解题的关键.

6.下列各数中一定有平方根的是（）

A.tr-5B.-aC.a+\D.a2+l

【答案】D

【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0,负数没有平方根.题中要求这个数•定有平方根，所以这

个数不论机取何值，都得是非负数.

【解析】解：A.当。=0时，a2-5=-5<0,不符合题意；

B.当〃=1时，不符合题意；

C.当。=-5时，。+1=-4<0,不符合题意；

D.不论〃取何值，『20,『+1>0,符合题意.

故选D.

【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根.

A.1B.1C.5D.5

【答案】A

【分析】根据绝对值的非负性质及算术平方根的性质求出x、y的值，代入所求代数式计算即可.

故选：A.

【点睛】本题考查了算术平方根的性质及非负数的性质，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质：几个

非负数的和为。时，这几个非负数都为0.

【答案】C

【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大1（）倍，可与答案.

故选：C.

【点睛】本题考查了算术平方根，解题关键是掌握被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍.

9.示意图，小宇利用两个面积为1，加2的正方形拼成了一个面积为24小的大正方形，并通过测量大正方形

的边长感受了血，加的大小.为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试,

下列做法不能实现的是（）.

【答案】V13

•••阴影部分为正方形，

・•・阴影正方形的边长为：V13,

故答案为：V13.

【点睛】本题考查了算术平方根和正方形的面积，熟练掌握算术平方根的定义及正方形的面积公式是解题

的关键.

【答案】±4百

【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可；

故答案为：±4；百

【点睛】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的关键.

14.一个自然数的算术平方根是。，则和这个自然数相邻的下一个自然数是.

【分析】首先根据算术平方根的定义求出这个自然数，然后即可求出与这个自然数相邻的下一个自然数即

可.

【解析】解：.••一个自然数的算术平方根为小

，这个自然数是

【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，同时要知道相邻的两个自然数相差为1.

【答案】-2或4##4或-2

【分析】根据题意列出方程，解方程即可求得.

故答案为：4或-2

【点睛】本题考查了程序框图及求一个数的平方根，理解题意，列出方程是解决本题的关键.

【答案】3五

【分析】利用完全平方公式解题即可.

故答案为：372.

【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，注意二次根式的非负性，能够熟练运用完全平方公式是解题

关键.

三、解答题

(1)求这个正数是多少？

【答案】(1)49

(2)3

【分析】(1)依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出〃匕

(2)利用(1)的结果及算术平方根的定义即可求解.

【点睛】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数.

【答案】该学校不能实现这个愿望.

【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断.

・••正方形的边长为16m,

・••当长方形的边与正方形的边平行时，该学校不能实现这个愿望.

【点睛】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题.

19.(1)若〃是最大的负整数，〃是绝对值最小的数,c是倒数等于它本身的正数，"是9的负平方根.则—；

b=；c=；d=___.

【答案】(1)-1,0,1,-3(2)-1

【分析】(1)直接利用负整数、绝对值、倒数、平方根的定义分别分析得出答案；

【解析】解：(1)・・Z是最大的负整数，力是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方

根，

故答案为：-1,0,1,-3；

(2)〈a与〃互为相反数，c,与d互为倒数，

=-1.

【点睛】此题主要考查了负整数、绝对值、倒数、平方根、相反数、互为倒数的定义，正确掌握相关定义

是解题关键.

学重序考向

二、立方根和n次方根

1、立方根概念：如果一个数的立方等于a,即x3=a,那么x口L做a的立方根或三次方根，

表示方法：数a的立方根记作强，读作三次根号a

立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。

0的立方根是0.

开立方概念，求一个数的立方根的运算。

开平方的表示：（国）3:a嵋=a曰=-%«取任何数）

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

注意：0的平方根和立方根都是0本身。

2、1收方根

概念：如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a,这个数就叫做a的n次方根。

当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。

当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。

性质：正数的偶次方根有两个：土贴；0的偶次方根为0：%=0；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。

1.下列结论正确的是（）

A.216的立方根是±6B.立方根是等于其本身的数为0

C.-5没有立方根D.64的立方根是4

O

【答案】D

【分析】根据立方根的概念和求一个数的立方根的方法求解并判断即可.

B、立方根是等于其本身的数为-1,0,1,故选项B错误，不符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了立方根的概念和求一个数的立方根的方法，熟练掌握求一个数的立方根的方法是解答

本题的关键.

A.1B.±1C.-1D.0

【答案】C

【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求得。、A值，再根据立方根的定义求解即可.

故选：C.

【点睛】本题考查算术平方根和绝对•值的非负性、立方根，正确求得。、人值是解答的关键.

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】直接利用平方根以及立方根、相反数的定义得出〃的值，进而得出答案.

【解析】解：•・•数。的平方根与其立方根相同，数。和其相反数相等，

故选:B.

【点晴】本题主要考查了平方根以及立.方根、相反数的定义，正确得出小〃的值是解题关键.

A.2B.2C.±2D.±4

【答案】C

故选C.

【点睛】本题主要考查偶次方根，熟练掌握偶次方根是解题的关键.

5.在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（）

A.立方B.〃次方C.开奇次方D.开偶次方

【答案】D

【分析】根据立方根、〃次方根的意义可进行排除选项.

【解析】解：A、任意实数都可以开立方，故不符合题意；

B、当这个数为正实数时，可以开〃次方，当这个数为负实数时，可以开〃次方（〃为奇数），当这个数为0

时，都可以开〃次方（〃不为0）,故不符合题意；

C、任何实数都可以开奇次方，故不符合题意；

D、当这个数是负实数时，则开信次方无意义，故符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查立方根、〃次方根，熟练掌握立.方根、"次方根的意义是解题的关键.

6.底表示的含义是（）

A.。的正的〃次方根B.〃的〃次方根

【答案】D

【分析】根据〃次方根的意义可依此进行排除选项即可.

【解析】解：对于A、B选项当aVO时，〃为偶数时，无意义，

对于C,需多加一个条件，〃为偶数时；

对于D选项，其说法正确；

故选D.

【点睛】本题主要考查〃次方根，熟练掌握〃次方根的意义是解题的关键.

7.下列运算中，正确的是（）

【答案】B

c、"-方=\a\-\b\,故错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查偶次方根的性质，熟练掌握偶次方根的性质是解题的关键.

【答案】A

【分析】根据立方根的定义求出大正方体的棱长，取其一半即可；

故选：A.

【点睛】本题考查了立方根的定义；熟练掌握立方根的计算法则是解题的关键.

二、填空题

【答案】015-6

【分析】根据算术平方根的定义及性质和立方根的定义及性质直接求解即可得到答案.

故答案为：0；15；-6.

【点睛】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根的定义及性质，立方根的定义及性质是解决

问题的关键.

【答案】"

2

【分析】根据算术平方根、立方根的意义，即可解答.

・•・阚的立方根是2.

故答案为：币,2.

【点睛】本题主要考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键.

【答案】4

故答案为:4.

【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握若•个数的立方等于则这个数称为。的立方根是解题

的关键.

【答案】6

【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义，先求出〃和匕的值，再将。和力的值代入求解即可.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义.

13.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的），是

是有理数

【答案】a

【分析】直接根据题意列式计算即可.

2是有理数，

即输出的y是正，

故答案为收.

【点睛】本题考查/求算术平方根和立方根即根据图片列式计算，能够根据图片正确列出算式是解题的关

键.

【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案.

【点睛】此题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握".方根和算术平方根的定义是解题的关键.

【答案】①②

【分析】实数包括有理数和无理数，结论①②先将答案解出来，再判断，结论③将一看成整体，用配方法

解出，结论④将不等式化简，再判断

【解析】①方程，=3在实数范围内有解

故结论①正确

故结论②正确

由于2<5<20

故结论③错误

故结论④错误

故答案为：①②.

【点睛】本题考查实数及算术平方根，正确理解乘方的意义是关键，注意结论②®中偶数次界的解有正负

两个，注意结论④要分情况讨论.

【答案】2

【分析】根据偶次方根的性质即可完成.

故答案为：2.

三、解答题

17.计算：

【答案】（1）一3

⑵Y8

⑶2

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答：

（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答.

=-3；

=2.

【点睛】本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根，准确熟练地化简各式是解题的关键.

⑴求小b,c的值

⑵±4

【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；

（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可.

【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数％的平方是x国做"的平方

根；算术平方根：一个非负数》的平方是“，》叫做〃的算术平方根；立方根：一个数x的立方是“，x叫做

〃的立方根，是解题的关键.

【答案】2a

【点睛】此题考查了整式的加减和绝对值的意义、立方根、算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关

键，并注意整体代入思想的运用.

【答案】1

【分析】根据分式以及根式有意义的条件计算出x与y的值，进而可计算出当的值，进而可求出其〃次方.

当x=2时，y无意义,

・二户2时,）,二1,

，1的〃次方为1,

故答案为1.

【点睛】本题考查分式，根式有意义的条件，乘方运算,能够根据分式和根式有意义的条件求出X,y的值

是解决本题的关键.

在重点考向

三、实数与分数指数赛

无理数的概念：无限不循环小数时做无理数C

实数概念：有理数和无理数统称为实数

实数的分类：

1.按属性分类：2.按符号分类

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：

实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示

一个实数.

也的画法：画边长为1的正方形的对角线

在数轴上表示无理数通常有两种情况：

1•尺规可作的无理数，如血

2•尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如n，1.……

实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法

实数的三个非负性及性质：

1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2.非负数有三种形式

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|20；

2

②任何一个实数&的平方是非负数，即a）0；

③任何非负数的算术平方根是非负数，即而20

3.非负数具有以下性质

①非负数有最小值零；

②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0

分数指数累

把指数的取值范围扩大到分数，我们规定

mm

上面规定中的a〃和cJI叫做分数指数塞，a是底数.

总例引裾

一▲—----一▲L

一、单选题

1.下列四个数中，大于1而又小了2的无理数是（）

【答案】D

【分析】根据无理数的定义和估算无理数大小的方法求解即可.

3

【解析】解：A.］是有理数，不符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数的估算，实数的大小比较，掌握估算无理数的方法是解题的关

键.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据无理数的定义即无理数就是无限不循环小数分别遂行分析，即可得出答案.

故选：C.

3.下列说法中错误的是（）

A.有理数和无理数统称为实数

B.实数和数轴上的点是一一对应的

C.平方根是其本身的数只有0

D.负数没有立方根

【答案】D

【解析】解：A、有理数和无理数统称为实数，说法正确，不符合题意；

B、实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确，不符合题意；

C、平方根是其本身的数只有0,说法正确，不符合题意；

D、负数的立方根还是负数，原说法错误，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了实数的定义，实数与数轴的关系，平方根利立方根的定义，熟记相关定义并理解是解

本题的关键.

4.纳米是•种长度单位，I纳米=0.米，已知某种花粉的直径为5300纳米，这种花粉的直径用科学记数法

表示为()

【答案】C

【分析】先把5300纳米换算成53(X)xl()9米，再用科学记数法表示为5.3x1()6.

【脩析】解：由题意可知：3530()纳米=5300x1()9米=5.3x1(A

故选:C.

【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数.一般形式为axlO,其中区间＜10,n为由原数左

边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

5.下列说法正确的是()

A.我是无理数

B.我大于2

C.面积为8的正方形边长是布

D.数轴上表示小的点不存在

【答案】C

【分析】根据立方根的定义，算术平方根的应用，数轴上点的特点逐项进行判断即可.

C.面积为8的正方形边长是应，故C正确；

D.数轴上的点与实数一一对应，所以数轴上表示几的点存在，故D错误.

故选:C.

【点睛】本题主要考查了立方根的应用、算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握相关的

定义.

ninnm

A.〃切B.〃1-4“C・〃Cc团D.〃”

【答案】D

【分析】根据分数指数易与乘方和开方的对应关系可得.

故选：。

【点睛】考核知识点:分数指数基的意义.理解分数指数事与乘方和开方的对应关系是关键.

二、填空题

【答案】V<

【分析】实数比较大小，化简成相同的形式在比较大小.

故答案为：V,V.

【点睛】两个正数的算术平方根比较大小，较大的数的算术平方根更大

【答案】-8,-1-21，Jid,0；-0.9,-3.6；m51.2020020002....

【分析】根据整数、负分数、无理数的概念判断即可.

【解析】解：整数8,|2|,Ji£o；

负分数0.9,3.6

无理数兀，-^/9,1.2020020002...；

【点睛】本题考查的是实数的概念，掌握实数的分类是解题的关键.

•・•点A表示的数是1,且点石在点A左侧，

【点睛】本题主要考查实数与数轴，算术平方根，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键.

10.把密写成幕的形式是.

【答案】

故答案为：

【点睛】本题考查了分数指数寻，正确理解分数指数幕的含义以及会逆向推理是解题的关键.

【答案】<##0.5

【分析】把原式化成分数指数累计算即可.

故答案为：-g.

【点睛】本题主要考查了分数指数幕的计算，将根式转化为分数指数幕是求解本题的关键.

12.已知机，”是两个连续整数，且〃+则〃?+〃=.

【答案】5

【分析】估算确定出〃?与〃的值，即可求出〃?+〃的值.

【解析】解：•・•IV3V4,

Al<>/3<2,即2V6+1V3,

:・m=2,〃=3,

贝ljm+〃=2+3=5,

故答案为5

【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清无理数估算的方法是解本题的关键

【答案】12

【分析】首先求出〃，和〃的值，然后代入求解即可.

故答案为：12.

14.如图，在纸面上有一数轴，点4表示的数为T,点8表示的数为3,点。表示的数为若子轩同学

先将纸面以点8为中心折叠，然后再次折叠纸面使点八和点B重合，则此时数轴上与点。重合的点所表示

的数是_______.

【分析】先求出第•次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠

与C点重合的点表示的数即可.

此时与数轴上的点。重合的点表示的数为：

【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键.

三、解答题

【分析】先逐项化简，再算加减即可.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握分数指数'幕、负整数指数耗、零指数'幕、绝对值的意义是

解答本题的关键.

【答案】2v

【分析】根据分数指数基的意义即可求出答案.

【点睛】本题考查分数指数累计算，熟练掌握分数指数鼎的意义是解题的关键.

【分析】（1）根据用同底数基相乘及积的乘方计算即可；

（2）先计算乘方，再进行实数加减即可.

【点睛】本题考查了同底数幕相乘、积的乘方、有理数的分数指数籍等知识点，熟悉运算法则是解题关键.

18.如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.

图1

（1）图中阴影部分是一个正方形ABC。，求出阴影部分的面积及其边长.

（2）把正方形ABC。放到数轴上.如图2.使得A与1重合，那么。在数轴上表示的数为.

（3）在（2）的条件下，把正方形A8c。沿数轴逆时针方向滚动.当点B第一次落在数轴上时，求点4在数轴

上表示的数.

【答案】（1）阴影部分的面积为2,边长为右;

【分析】（1）根据立方体的体积公式，求出棱长，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可

求解；

（2）根据AD的长以及A与1重合，即可求解；

・,・小立方体的棱长为1,

答：阴影部分的面积为2,边长为夜；

又YA与1重合，。在A的左边，

又・,工与1重合,

19.在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近近的近似值，请

回答如下问题：

请解答：①M的整数部分是___________，小数部分是___________；

【分析】（1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案；

【点睛】本题考查了无理数的估算，算术平方根和平方根的意义，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键.

由模犁检测

一、单选题

1.（2018•上海•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.-81平方根是-9B.如■的平方根是±9

【答案】D

【分析】A、根据平方根的概念即可得到答案；

B、同的平方根其实是9的平方艰；

C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；

【解析】A、-81是负数，负数没有平方根，不符合题意；

C、平方根等于它本身的数是0,I的平方根是±1,不符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考杳了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键.

2.（2022・上海闵行•二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（）

A.圾B.TC.75D.0.2022022022...

【答案】C

【分析】根据有理数，无理数的定义进行判断即可.

M是分数，不是无限不循环小数，B选项不符合题意；

不是无限不循环小数，C选项符合题意；

0.2022022022…是无限循环小数，D选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，涉及求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题

的关键.

3.（2021•上海浦东新•模拟预测）无理数2面的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

【答案】C

【分析】先计算出（2而二的值为24,把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出2#的范围即可.

【解析】解：（2>/6）2=22x（显）2=4x6=24,

V16<24<25,

.*.4<2>/6<5.

故选：C.

【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（2后）2是解题的关键.

4.（2021・上海奉贤•三模）点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（）

A.点A表示的数一定是整数

B.点A表示的数一定是分数

C.点A表示的数一定是有理数

D.点A表示的数可能是无理数

【答案】D

【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，可得答案.

【解析】数轴上的点与实数一一对性应，故A错误；

数轴上的点与实数一一对应，故B错误；

根据互为相反数的两个数的绝对值相等，故C错误；

数轴上的点与实数一一对应，所以点A有可能是无理数，故D壬确；

故选D.

【答案】A

【分析】根据零指数呆定义、负整数指数累定义、实数的乘方计算法则即立方根的定义分别判断.

【解析】解：

故选：A.

【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握零指数塞定义、负整数指数幕定义、实数的乘方计算法则即分数

指数基的定义是解题的关键.

6.（2022•上海市青浦区教育局二模）