高中学科竞赛选拔考试题及答案

高中学科竞赛选拔考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\log_{2}(x^{2}-4x+3)\)的定义域为（）A.\((1,3)\)B.\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)C.\([1,3]\)D.\((-\infty,1]\cup[3,+\infty)\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m\)的值为（）A.-4B.4C.-1D.13.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)4.双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的渐近线方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)5.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^{2}\)，\(c=\log_{2}0.3\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(b\lta\ltc\)C.\(c\ltb\lta\)D.\(b\ltc\lta\)6.一个正方体的棱长为\(2\)，则该正方体的外接球的表面积为（）A.\(4\pi\)B.\(8\pi\)C.\(12\pi\)D.\(16\pi\)7.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^{2}-x\)，则\(f(-2)\)的值为（）A.2B.-2C.6D.-68.若直线\(ax+by+1=0\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）过圆\(x^{2}+y^{2}+8x+2y+1=0\)的圆心，则\(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\)的最小值为（）A.16B.20C.10D.89.已知\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(a_{3}+a_{7}=10\)，则\(a_{5}\)的值为（）A.5B.6C.8D.1010.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在\((0,+\infty)\)上单调递增的函数有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\lgx\)D.\(y=2^{x}\)2.已知集合\(A=\{x|x^{2}-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax-1=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，则实数\(a\)的值可能为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(2\)3.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为三条不同直线，\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)为三个不同平面，下列说法正确的是（）A.若\(a\parallelb\)，\(b\parallelc\)，则\(a\parallelc\)B.若\(\alpha\parallel\beta\)，\(\beta\parallel\gamma\)，则\(\alpha\parallel\gamma\)C.若\(a\parallel\alpha\)，\(b\parallel\alpha\)，则\(a\parallelb\)D.若\(\alpha\perp\beta\)，\(\beta\perp\gamma\)，则\(\alpha\perp\gamma\)4.设\(z=a+bi\)（\(a\)，\(b\inR\)），则下列命题为真命题的是（）A.若\(z\cdot\overline{z}=0\)，则\(z=0\)B.若\(a=0\)，则\(z\)为纯虚数C.若\(z+\overline{z}=0\)，则\(z\)为纯虚数D.若\(z\)是纯虚数，则\(z+\overline{z}=0\)5.已知函数\(f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx\)，下列说法正确的是（）A.\(f(x)\)的最大值为\(2\)B.\(f(x)\)的最小正周期为\(2\pi\)C.\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{3},0)\)对称D.\(f(x)\)在区间\([-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上单调递增6.已知\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，则（）A.\(z=x+2y\)的最大值为\(3\)B.\(z=x+2y\)的最小值为\(\frac{3}{2}\)C.\(z=2x+y\)的最大值为\(3\)D.\(z=2x+y\)的最小值为\(1\)7.已知\(\{a_{n}\}\)是等比数列，公比为\(q\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则下列说法正确的是（）A.若\(a_{1}=1\)，\(q=2\)，则\(S_{4}=15\)B.若\(q\gt1\)，则\(\{a_{n}\}\)是递增数列C.若\(a_{1}\gt0\)，\(0\ltq\lt1\)，则\(\{a_{n}\}\)是递减数列D.若\(S_{n}=3^{n}+m\)（\(m\)为常数），则\(m=-1\)8.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且在\([0,+\infty)\)上单调递减，则（）A.\(f(-2)\gtf(1)\gtf(3)\)B.\(f(1)\gtf(-2)\gtf(3)\)C.\(f(3)\gtf(-2)\gtf(1)\)D.\(f(3)\ltf(-2)\ltf(1)\)9.已知圆\(C_{1}:(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1\)，圆\(C_{2}:(x-4)^{2}+(y-5)^{2}=9\)，则（）A.圆\(C_{1}\)与圆\(C_{2}\)外切B.圆\(C_{1}\)与圆\(C_{2}\)内切C.两圆的公切线有\(2\)条D.两圆的公切线有\(3\)条10.已知函数\(y=f(x)\)的导函数为\(y=f^\prime(x)\)，下列说法正确的是（）A.若\(f^\prime(x_{0})=0\)，则\(x_{0}\)是\(f(x)\)的极值点B.若\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递增，则\(f^\prime(x)\geqslant0\)在\((a,b)\)上恒成立C.若\(f^\prime(x)\)在区间\((a,b)\)上恒大于\(0\)，则\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递增D.若\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)处取得极大值，则\(f^\prime(x_{0})=0\)且在\(x_{0}\)左侧\(f^\prime(x)\gt0\)，右侧\(f^\prime(x)\lt0\)三、判断题（每题2分，共20分）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，则\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）3.函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定义域是\((1,+\infty)\)。（）4.若向量\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}=0\)或\(\vec{b}=0\)。（）5.直线\(x=1\)的倾斜角为\(90^{\circ}\)。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）7.等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和公式为\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。（）8.若函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上的图象是连续不断的曲线，且\(f(a)\cdotf(b)\lt0\)，则函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)内至少有一个零点。（）9.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)。（）10.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，则\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=\log_{3}(x^{2}-2x-3)\)的单调递增区间。答案：先求定义域\(x^{2}-2x-3\gt0\)，得\(x\lt-1\)或\(x\gt3\)。令\(t=x^{2}-2x-3\)，其对称轴为\(x=1\)，在\((3,+\infty)\)上递增，又\(y=\log_{3}t\)递增，所以函数单调递增区间是\((3,+\infty)\)。2.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(\alpha\in(0,\pi)\)，求\(\tan\alpha\)的值。答案：将\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)两边平方得\(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}\)，即\(2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{24}{25}\lt0\)，因为\(\alpha\in(0,\pi)\)，所以\(\sin\alpha\gt0\)，\(\cos\alpha\lt0\)。\((\sin\alpha-\cos\alpha)^{2}=1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}\)，则\(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{7}{5}\)，联立\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，解得\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\)，所以\(\tan\alpha=-\frac{4}{3}\)。3.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)垂直的直线方程。答案：直线\(2x-y+1=0\)斜率为\(2\)，与其垂直的直线斜率为\(-\frac{1}{2}\)。由点斜式\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)（\((x_{0},y_{0})=(1,2)\)，\(k=-\frac{1}{2}\)）可得直线方程为\(y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\)，整理得\(x+2y-5=0\)。4.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式。答案：设等差数列公差为\(d\)，则\(d=\frac{a_{5}-a_{3}}{5-3}=\frac{9-5}{2}=2\)。又\(a_{3}=a_{1}+2d=5\)，即\(a_{1}+2\times2=5\)，得\(a_{1}=1\)，所以\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=x^{3}-3x\)的单调性与极值情况。答案：求导得\(y^\prime=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，函数在\((-\infty,-