题型专攻：相似三角形的性质【九大题型】（原卷版）

相似三角形的性质【九大题型】【题型1利用相似三角形的性质求角度】【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．135° B．90° C．60° D．45°【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，ΔPBC是等边三角形，当ΔPAB∼ΔDPC时，∠APD的度数为（

）A．120° B．100° C．110° D．125°【题型2利用相似三角形的性质求线段长度】【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（

）A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为2，14，3，△DEF的其中的两边长分别为1和7，则第三边长为______．【变式2-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=___．【题型3利用相似三角形的性质求面积】【例3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25:36，则△ABC与△DEF的对应边的比是（

）A．5:6 B．6:5 C．25:36 D．36:25【变式3-1】（2022·河南新乡·九年级期末）△ABC与△A'B'C'的位似比是1:2，已知△ABC的面积是A．3 B．6 C．9 D．12【变式3-2】（2022·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的__________倍．【变式3-3】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于______．【题型4利用相似三角形的性质求周长】【例4】（2022·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（

）A．425 B．845 C．21 D【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【变式4-2】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是______．【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且AB=2A【题型5利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】【例5】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分∠BAC，ABAD(1)求证：∠E=∠C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．【变式5-1】（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在△ABC中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且∠A=∠EPB=∠ECB．(1)求证：BE⋅BA=BP⋅BD；(2)若∠ACB=90°，求证：CP⊥BD．【变式5-2】（2022·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，连接AD，DE．（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；（2）若点E是AC的中点，AD=2AE，求证：∠1=∠C．【变式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DE∥BC，DF∥AB．(1)求证：∠B=∠EDF．(2)若CF＝13BC，求S【题型6利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】【例6】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求证：DFDE【变式6-1】（2022·江苏·九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：OCPD（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是边BC的延长线上一点，E是边AC上一点，且∠EBC=∠D．求证：CEAB【变式6-3】（2022·湖南益阳·九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．(1)求证：EGAD(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；【题型7尺规作图作相似三角形】【例7】（2022·山东烟台·八年级期末）尺规作图：如图，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）(1)在AB边上求作点D，使DB=DC；(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．【变式7-1】（2022·山东济宁·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．(1)求作△CDE使点E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若BA=3,∠ABC=60°，求【变式7-2】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法）【变式7-3】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B．(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：①过点D作AB的平行线交BC于点F；②P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；(2)在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝．【题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形】【例8】（2022·安徽合肥·二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．(1)请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形：(2)线段AO的长为______．【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画△A'B'C（2）△A'B【变式8-2】（2022·浙江温州·九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段AB的中垂线(2)如图2，在线段AB上找出点C，使AC:CB=1:2．【变式8-3】（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在8×8的方格中，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．(1)请在图1中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1(2)请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且面积比为2：1【题型9新定义中的相似三角形】【例9】（2022·陕西渭南·九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；(2)如图2，四边形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，求AC的长．【变式9-1】（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之间的等量关系；②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．【变式9-2】（2022·江苏常州·九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．(1)在△ABC中，∠A=30．①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；②如图2，若∠B=90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是．如图3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．【变式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形