向量基本定理与动点最值 （13大巩固提升练+能力提升练）-2025年新高二数学暑假提升专练（人教A版）

专题01向量基本定理与动点最值

o内容早知道

b第一层巩固提升练

题型一：空间基底基础

题型二：基底求参

题型三：基底坐标

题型四：平面基底表示向量

题型五：求长度型最值

题型六：动点数量积型最值与范围

题型七：动点距离最值范围型

题型八：动点型轨迹

题型九：动点角度范围型：线线角

题型十：动点角度范围型：线面角

题型十一：动点范围型：折线距离

题型十二：存在型动点

题型十三：空间向量综合难题

■第二层能力提升练

・第三层高考真题练

-------------------------------------------------------------------------

题里

…-…01空间基底基础

□技巧积累与运用

如果三个向量入b,C不共面，那么对任意一个空间向量P，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得

0=尤。+了6+2。.其中，把｛。,瓦c｝叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，空间任意三个不共面

的向量都可以构成空间的一个基底.

1.若｛4,6,c｝为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是(~)

A.｛a+c,a-b,b+c｝B.｛c,a+b,a-b｝

C.[a,a+b,a-b]D.｛a+b,a+b+c,c｝

【答案】B

【分析】由空间基底的概念逐个判断即可.

【详解】对于A,因为(a+c)-(d-6)=6+C,所以向量a+c,a-b，b+c是共面向量，因此这三个向量

不能构成基底，故A错误；

对于B,因为｛a,b,c｝为空间的一个基底，所以这三个向量不共面，若｛。,。+。,。-0｝不构成一个基底，

则有e=x(a+6)+y(a-6),即c=(x+y)a+(x-y)6,所以向量a,b,d是共面向量，

这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此｛C,a+瓦方｝能构成一个基底，故B正确；

对于C,因为(a+b)+(a-6)=2a,所以向量a,a+b,“4是共面向量，因此这三个向量不能构成一个

基底，故C错误；

对于D,因为(a+6+c)-(a+b)=e,所以向量a+b+c，c是共面向量，因此这三个向量不能构成

一个基底，故D错误.

故选：B.

2.若｛。力,。｝是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有()

A.a+2b,b-c,a+2cB.a+b,b+c,c+a

C.2ahe-aD.a+b,a+b+c,c

【答案】BC

【分析】A选项，设&+2b=〃z(b-c)+"(a+2c),从而得到方程组，方程组有解，故三向量共面，不能构

成基底；BCD选项，同A,看方程组是否有解，判断能否构成一个基底.

【详角星】A选项，设d+2b=加仅一e)+〃(a+2c),

SPa+2b=na+mb+(2n—mjc,

n=l

n-\

所以＜m=2，解得

m=2

2n-m=Q

故Q+25,。-c,a+2W共面，不能构成空间的一个基底，A错误；

B选项，设a+B=+c)+y(c+々),即a+b=ya+xb+(x+y)c,

y=i

所以,X=1,无解,故Q+b,Z?+c,c+Q不共面，可以构成空间的一个基底，B正确;

x+y=0

C选项，设2〃=sb+，(c—。)，即24=奶+纭—山，

5=0

故“=0，无解，故2〃*,c-Q不共面，可以构成空间的一个基底，C正确；

—t=2

D选项，设Q+b=p(q+b+c)+qc,即〃+b=〃〃+〃>+(〃+q)c,

fD=1,(p=l

故，c，解得<1，故a+Z?,Q+/?+c,c共面，

［7+q=0［夕=_1

不能构成空间的一个基底，D错误.

故选：BC

3.已知｛〃/,。｝是空间的一个单位正交基底，向量p=a-2Z?-4c,｛〃+"〃-b,c｝是空间的另一个基底，用

基底｛a+z?,@-A,e｝表示向量〃=.

13

【答案］--｛a+b)+-｛a-b)-^c

【分析】根据空间向量基底的意义表示向量p,再借助相等向量列出方程组求解即得.

【详解】设p=Ma+0)+y(a-0)+zC,

依题意，〃=(x++(x—+zc=Q—2Z?—4c,而｛〃力,。｝空间的基底，

x+y=l

13

则-y=-2,解得％=一不、=不2=_4,

22

Z=-4

~13

所以P———(a+b)+-(a-b)—4c.

13

故答案为：-/(。+6)+](«-6)-4c

题型

02基底求参

1.已知｛。勺,63｝是空间的一个基底，向量iz=3q+2e2+03,b=Ae2+e3,c=—^+e2+e3,若｛a,6,可能作

为基底，则实数几的取值范围是（）

A.（YO,-1）.（-1,-Hx））B.（-00,0）（0,+oo）

C.（-oo,l）（l,+oo）D.0）U（0,1）U（1,+＜x＞）

［答案］B

【分析】根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理进行求解即可.

【详解】若〃共面，由共面向量定理知，存在实数x,y,使得a=xZ?+yc,

即36+2e2+e3=x^e2+6）+ygq+4+/）.

.3

因为％,e2,%不共面，所以3=5＞，2=xX+y,\=x+y,

解得x=—1,y=2,2=0,即当4=0时，a=—b+2c

此时｛a,b,c｝不能作为基底，所以若｛a,6,寸能作为基底，

则实数几满足的条件是2H0.

故选：B.

2.已知也,屋）是空间的一组基，若｛a+6,6-6,婢是空间的另一组基，则相不可以为（）

A.aB.cC.a+cD.a—c

［答案］c

【d析】根据空间向量基底的定义直接判断.

【详解】由｛a+b/-c,时可作为空间的一组基底，

则a+6,b-cf机不共面，

玉=1

当机=a时，假设存在区,乃）使"7"（〃+6）+%（6-。），贝1］＜占+M=。，无解，

1％=0

即a+8，。-c,，〃不共面成立，A选项错误；

当m=c时，由A分析同理可知不存在（%2，%）使根=尤2（。+"）+%伍-C），即“+〃，b-c,m不共面成立,

B选项错误；

当〃z=a+c时，加=（。+6）-伍-C）,即a+分，b-c,戊共面，不可作为基底，C选项正确；

X3=1

当机=a-c时，假设存在（七,%）使"2=尤3（。+6）+%仅一。），贝上鼻+为=。，无解，

-y3=-1

即a+Z?,8-c,不共面成立，D选项错误；

故选：C.

3.若卜,《2,e?｝是空间的一个基底，且｛q+e；,62+63,4+,｝不能构成空间的一个基底，贝此=（）

A.-1B.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】分析可知存在x，ywR，使得=x（6+e2）+Me；+e3）,结合空间向量基本运算求解.

【详解】因为｛C，63｝是空间的一个基底，可知4+02胆2+，，4+叱；均不为零向量，

若不能构成空间的一个基底，则存在x，yeR,使得q+re；=Mq+e2）+y（e2+e3）,

x-\

可得＜x+y=0,解得t=—l.

y=t

故选：A.

题型

03基底坐标

1.已知｛4,b,c｝是空间中一组基底，若向量p=xa+yb+zc,则称向量p在基底下坐标为(x,%z).若

向量4在基底｛a,瓦c｝下坐标为(3,-1』)，则向量q在基底｛。+〃,口-5,2c｝下的坐标为()

A.^1,—2,—B.(1,~2,1)C.[2]]D.(1,2,1)

【答案】C

【分析】由条件得到“=3a->+c,然后利用待定系数法求解即可.

【详解】因为向量/在基底｛«,b,耳下坐标为(3,-1,1),

所以q=3a-b+c,

^q=3a-b+c=x(a+b\+y(a—b\+2zc,

3=x+yx=1

则T=X-y,解得＜y=2,

l=2zi

z=一

2

下的坐标为

所以向量q在基底｛a+6,a-6,2c｝“2£|,

故选：C

2.下列说法正确的是()

A.已知。=(0,1,1),^=(0,0,-1),贝普在b上的投影向量为(0,-g

一5

B.若两个不同平面a,£的法向量分别是"，v,且a=(2,0,4),v=(-4,0,-8)则a邛

233

C.OG=—OA.+—OB+—OC,则A,B,C,G四点共面

D.若向量p=〃zx+〃y+^z,(尤,y,z都是不共线的非零向量)则称p在基底｛x,y,z｝下的坐标为(/”,〃,左)，

若p在单位正交基底｛a,b,c｝下的坐标为(1,2,3),则p在基底｛a-b,a+b,c｝下的坐标为

【答案】BD

【分析】根据投影向量公式计算判断A,应用向量共线判断B,判断四点共面判断C,根据基底运算判断D.

【详解】对于A由于淀=(0,U),1=(0,0,-1),则。在6的投影向量为

对于B：若两个不同平面a,4的法向量分别是“，v,且6=(2,0,4),v=(-4,0,-8),-2u=v，则,

故B正确；

233233

对于C：由于+OG=—OA+—OB+—OC,故A,B,C,G四点不共面，故C错误；

对于D：p在单位正交基底｛a,Z?,c｝下的坐标为(1,2,3),即〃=Q+2/?+3。=(1,2,3),

所以p在基底｛〃一。,〃+Z?,c〉下满足(1,2,3)=x｛a-b)+y｛a+b)+zc=(x+y)a+｛y-x)b+zc

二(%+y,y—%z),

13

故x+y=l,y-x=2,z=3,解得x=——，y=—,z=3,

22

则P在基底｛〃-dc｝下的坐标为卜;,"Ij),故D正确.

故选:BD.

3.若向量p在空间的一组基底｛〃也c｝下的坐标是(3,1,2),则p在基底｛〃+/?,a-/?,<:｝下的坐标是

【答案】(2,1,2)

【分析】根据同一基底下的向量表示唯一，即可求解.

【详解】因为p在基底｛。也c｝下的坐标是(3,1,2),所以p=3〃+A+2c,

设〃在基底｛〃+力,Q-b,。｝下的坐标为(%,y,z),

贝〃=x(a+。)+y(a-5)+zc=(x+y)a+(%-y)b+zc，

因止匕3a+Z?+2c—(x+y)a+(x—y^b+zc,以x+y=3/~y=l,z=2,

即x=2,y=1,z=2,

即向量p在基底｛a+b，6,e｝下的坐标为(2,1,2).

故答案为：(2,1,2)

题型

........04平面基底表示向量

□技巧积累与运用

用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向

量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论：利用空间的一个基底｛a,b,c｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a,b,

c,不能含有其他形式的向量.

1.如图，在四面体Q4BC中，点M在棱。4上，且满足OM=2MA,点N,G分别是线段BC,的中

点，则用向量OA，OB，OC表示向量OG应为()

A.OG^-OA+-OB+-OCB.OG=-OA--OB+-OC

344344

C.OG=-OA--OB--OCD.OG=-OA+-OB--OC

344344

【答案】A

【分析】利用空间向量加法法则直接求解.

【详解】因为OA/=2MA,所以31=—。4.

3

因为点N,G分别是线段5C,MN的中点，

11IQ11111

所以0G=-0A/+-0N=-x—0A+-x—（0B+0C）=—0A+—08+-0C,

222322、,344

所以OG=1OA+1OB+LOC.

344

故选：A.

2.如图，在棱长为3的正四面体P4BC中，。为VA3C的中心，。为R4的中点，BE=3BC,则()

P

A.DE=-PA+-AB+-ACB.\PO\=>/6

23311

C.P0DE=6D.PODE=3

【答案】ABD

【分析】对于A：根据向量的线性运算求解；对于B：根据正四面体的结构运算求解；对于CD：根据向量

的数量积运算求解即可.

【详解】连接AO,AE,PE,

对于选项A：因为PO=PA+AO=PA+；（A8+AC）=PA+：（P3-PA+PC—PA）

=^PA+PB+PC

DE=DA+AB+BE=-PA+PB-PA+-BE

23

=--PA+PB+-（PC-PB\=-PB+-PC--PA,故A正确;

23、7332

对于选项B：因为|40|=|*孚=若，所以|PO|=JPA2_AO2=底,故B正确;

uunUUMuumuunuunuuniuir9uim1uum

对于选项CD：PODE=PO\DA+AE)=PO^PA+-AB+-AC}

1uunuur1uunuuruun

=-POPA=-(PO+OA)PO

22

1I一|21

=-|PO|=5X6=3,故C错误，D正确；

故选：ABD.

3.如图，在四面体。43c中，04=Q,OB=b，OC=c，点M在。4上，且OM=2MA,点N为3C的

中点，设MNxa+yb+zc,贝!]3x+3y+3z=.

【答案】i

【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解.

【详解】在四面体0A8C中，

MN=MO+OC+CN=--OA+OC+-CB=--OA+OC+-(OB-OC)

3232

211211

=—OA+—OB+—OC=—a+—b+—c,JfnMN=xa+yb+zc,

33

2I

所以％=一=2=5,3%+3y+3z=l.

故答案为：1

题型

……-05求长度型最值___________________

□技巧积累与运用

1.在空间直角坐标系中，设2（%也g）,则片，鸟两点间的距离配=明|=_

-弓）2+（。2-4）2+（。2-。1）~一­

|OP\=\OA+OB+OC\=yl（OA+OB+OC）2

=7（OA）2+（OB）2+（OC）2+2OA.OB+2OA.OC+2OB.OC

1.已知正四面体P-ABC的棱长为6,空间中一点V满足PM=xPA+yP8+zPC,其中x,>,zeR,且

x+y+z=l.则|正陷的最小值为（）

A.2A/3B.4C.6D.2A/6

【答案】D

【分析】对尸M=xPA+yPB+zPC结合x+y+z=1化简^AM=yAB+zAC,从而可矢口点M在平面ABC内,

所以当PM，平面ABC时，|尸河|最小，从而可求得结果.

【详解】

=xPA+yPB+zPC,x+y+z=l,

所以PM=(l-y-z)PA+yPB+zPC,

PM=PA-yPA-zPA+yPB+zPC,

所以PA/-PA=y(PB-PA)+z(PC-PA),

所以AM=yA8+zAC,

因为AB,AC不共线，所以AM,AB,AC共面，

所以点M在平面ABC内，

所以当平面ABC时，|外4最小，

取3C的中点D,连接AD,则点M在AD上，

MAM=-AD=-XV62-32=2百，

33

所以尸Af=JPT_AM2=业_Q⑹2=2娓,

即,M的最小值为2折

故选：D

2.已知四棱柱ABC。-ABIG2的底面是边长为6的菱形，AAJ•平面A3CD,44,=3,乙943=三，点p

^^AP=AAB+/uAD+tAA{,其中2,〃，/e[O,l],则()

A.当尸为底面ABiGA的中心时，4+〃+，=2

B.当2+〃+f=l时，AP长度的最小值为逆

2

C.当2+〃+1=1时，AP长度的最大值为6

D.当22+〃2+沏=/=1时，|吊尸|为定值

【答案】ACD

【分析】对于A：根据空间向量的线性运算分析求解即可；对于BC：分析可知点尸在.A2D及内部，利用

等体积法求最小值，取端点验证最大值；对于D：利用空间向量的数量积可得黠2=45,进而可求,尸|.

【详解】由题意可知：网TAnbNAAbZAB.ADuGxGxll&AB.AVO.AVAnuO.

对于A,当P为底面AB]GA的中心时,

贝！]AP=M+AiP=AAx+；(A4++A4),

即％=；,〃=；，r=l，所以4+〃+f=2,故A正确;

对于BC,当4+〃+1=1时，可知点尸在A8D及内部,

设AC30=0,点A到平面4BD的距离为“，

由题意可知：一为等边三角形，且AC23£),

可得4台=4。=3君，BO=BD=3,AO=3A/3,^0=6,

因为匕-型》=七置友),gp|c/x|x6x6=|x3x|x3^x6,解得“=亭，

所以AP长度的最小值为d=述，故B错误；

2

若点尸分别与我2A重合时，”长度分别为6,6,3,

所以AP长度的最大值为6,故C正确；

对于D,若丸2+储+2/z=t=1,

贝i|AP2=(2AB+]LIAD+tAA^

UUQ2UUB12uuu2uunuumuunuunurnuun

=AB+〃~A。+1~+22〃A3•AZ)+22fAS・+2〃fAZ),

=36(/I2+42+切)+9户=36+9=45,

又因为AP=AA+AP,

贝I]AP?=AA?+AP2+24A.AP=AA?+AP2+2A1A•(ZAB+pAD+tAA^

・2-2-2

=4A+AP-2t\A=9+45—2x9=36,

所以,/|=6为定值，故D正确；

故选：ACD.

3.已知正四面体A-BCD的边长为2,点M,N为枝BC,A。的中点，点E,尸分别为线段AM,CN上的

动点，且满足=则线段EF长度的最小值为.

【答案】叵

5

【分析】根据给定条件，取定空间的基底｛AB,AC,A。｝,利用空间向量的线性运算表示向量以乙再利用向

量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值.

【详解】在棱长为2的正四面体A-3CD中，由点M,N为棱BC,A。的中点，得A〃=CN=石，

由点E,尸分别在线段AM,CN上,AE=CF,令AE=e[0,1],则C尸=XCN/e[0,1],

.1一1—―.

所以EF=人尸一AE=(AC+。尸)一；1AM=AC+〃—AC+]AD)—5〃AB+AC)

34___丸___a_

=(1——)AC——AB+—AD,又AC•AS=|AC||A51cos60=2,

ACAD=|AC||AZ)|cos60=2,ADAB=|AD||AB|cos60=2,

i^|EF|=|(l-y)AC-^AB+^Ar>|=^[(l-^)AC-^B+yAr>]2

=j4(l--)2+—-4+--4-^-2=V1022-12A+4=J10(2--)2+-，

V2442V55

当力=:时，I跖京=巫，所以线段所长度的最小值为强.

5min55

故答案为：叵

5

【点睛】思路点睛：取定空间的一个基底，表示向量EF，再利用向量运算求解.

题型

------06动点数量积型最值与范围

□技巧积累与运用

空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b,则向量6的模长与a在向量b方向上的投影的乘积叫做a，b的数量

积，记作即a.6=|a||〃|cos〈a,6〉.

零向量与任意向量的数量积为0.

(2)由数量积的定义，可以得到：

a±b^>a-b=0;a-a=\a\\a\cos(a,a)=a_•

1.在正三棱锥P-ABC中，PA=43=26，点M为空间中的一点，则MP(MA+MB+MC)的最小值为()

A.-16B.-14C.-12D.-8

【答案】C

【分析】记VABC的重心为。，点。是BC的中点，点G是PO的中点，进而求得尸0=4,利用空间向量加

减、数乘的几何意义，将+化为3(MG?-4),数形结合求最小值.

【详解】记VABC的重心为。，点。是的中点，点G是尸。的中点，

p

在正三棱锥P—ABC中PA=AB=2«,所以AO=gAO=2亚,

尸O,平面ABC,又AOu平面ABC,所以尸OLAO,贝UPO=1p解-A。=4.

yiMA+MB+MC=MA+2MD=MO+OA+2^MO+OD^=3MO,

所以MP.(AZA+MB+MC)=MP3Mo=3(MG+GP).(MG+GO)=3(MG+G尸).(MG-G尸)

=3MG-GP=3MG-4,

所以当〃与G重合时，林亍取最小值。，

此时MP-（MA+MB+MC）有最小值-12.

故选：C

2.正四面体的棱长为3,点/,N是它内切球球面上的两点，尸为正四面体表面上的动点，当线段最

长时，的最大值为（）

95

A.2B.-C.3D.-

【答案】C

【分析】画出大致立体图，转化为平面向量的数量积，数形结合可得.

【详解】设正四面体ABCD的内切球球心为。，G为△BCD的中心，E为C。的中点，连接AG,BE,则。

在AG上，连接80,则40=30.

因为正四面体的棱长为3,所以BG=WBE=,X兴x3=6,所以AG=JAB2_BG2=,9-3=后

设内切球的半径为「，则（43-4=产+始2,回）=产+后，解得"手，

3

当为内切球的直径时MN最长，此时。M+ON=0，OMON=-

8

PMPN=^PO+OM^PO+ON^=PO2+PO-^OM+ON^+OM-ON=PO2

因为尸为正四面体表面上的动点，所以当尸为正四体的顶点时，|而|最长，|而|的最大值为=亚,

44

所以?”.尸N的最大值为

故选：c.

3.如图，在多面体所-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点(包

【答案】A

【分析】由题意可得A。,A3,AE两两垂直，所以以ARAB,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，设河色力,0)(04a<1,0口41),然后表示出化简可求得结果.

【详解】因为底面ABCD,AT),ABu平面ABC。，

所以AE_LAO,AE_LA3,

因为四边形ABC。为正方形，所以AD工AB,

所以A£>,A8,AE1两两垂直，

所以以A。AB,AE所在的直线分别为％y,z轴建立空间直角坐标系，

则E(0,0,2),尸(1,1,2),

设M(a,b,0)(0<a<l,0<b<l),则ME=(-a,-b,2),MF=(l-a,l-b,2),

所以尸=_a(l_a)_b(l_Z?)+4=a2_a+〃_)+4

因为0VaVl,0V6Vl,

17

所以当。=6=5时，取得最小值万；

当a=0或1,b=0或1时，取得最大值4.

题型

07动点距离最值范围型

口技巧积累与运用

空间中动线段的距离和的最值问题，可以类比平面中的距离和的最值处理利用对称性来处理于转化，另外

异面直线间的公垂线段的长度可利用点到平面的距离来处理.

1.如图，在直三棱柱ABC-4片£中，VABC为腰长为1的等腰直角三角形，且AB>AC,侧面ACGA为

正方形，AB=2AE,尸为平面ABC内一动点，则R4+PE的最小值是()

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，设A关于平面42c的对称点为A,利用对称点A、A到平面A/C距离相

等，得出A关于平面ABC的对称点为A,利用对称点求出最短路径即可

【详解】由题意，以C为坐标原点，C4,C民CG所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系C-孙z,

则A(1,0,1)1(0,1,0),C(0,0,0),4(1,0,0),0),

所以cBnejobMuGoibMue，。，。，

设A关于平面A.BC的对称点为A'(x,y,z),Z>0,

则A'A=(l-x,-y,l-z),ZT=(x-l,y,z),

设平面ABC的法向量加=(%,%，4),

CBn=O,=0,

则即

石+4=0,

CA1-n=0,

令％=1,贝!JX=。,Z]=—1,

所以为=(1,0,—1)为平面A5C的一个法向量，

\AA-n\5I^A，n\\-x+z\

所以A与A到平面A/C的距离d=匕4五，

\n\2\n\V2

即卜x+z|=l①，又44'〃〃，所以["二I一"'②，

[y—u

所以由①②得|2z—l|=l,又由z>0可得尤=O,y=O,z=l,所以A(O,O,l),

所以PA+PE=PA+PENAE=J]o_；]+1°一(]+(l-0)2=^1+|+1=^!

当且仅当A,P,E三点共线时取等号，所以丛+PE的最小值为理.

2

故选：A.

z.

ABi

B

E

y

2.已知正方体A8CD-A耳GR的棱长为1,M为棱42的中点，G为侧面CD0G的中心，点尸，。分别为

直线AD,A8上的动点，且尸GLMQ,当|尸0取得最小值时，点。到平面PMG的距离为（）

A.&B.—C.1D.—

222

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，设尸（X,0,0），Q（l,y,o），根据PG1MQ,得至UPG-MQ=0,从而得到y=x+l,

再由向量模的坐标表示求出|尸0的最小值及此时X、y的值，最后利用空间向量法求出点到平面的距离.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，则知\,0,11,设P（x,0,0）,0（1,y,0）,

所以PG=G，；,£|,=

因为PGLMQ,所以尸G-MQ=_：x+gy_g=0,即》-1+1=0,所以y=x+l,

又PQ=（l-x,x+l,0）,所以|P。卜J（1一尤J+（1+工丫=,2x2+220,当且仅当x=0时取等号,此时y=i,

所以尸G=[o,；,g）,Mg=Q,1,-11PM=Q,0,lj,

m•PG=—b+—c=0

22

设平面尸MG的法向量为m=（〃,"c）,所以＜取加=（2,1,—1）,

m-PM=—a+c=0

2

\m-MQ\a*

点。到平面RWG的距离d==上.

|m|a2

3.在空间直角坐标系。孙z中，A（1,LD,B（0,l,0）,C（0,0,l）,点X在平面ABC内，则当点。与71间的距

离取最小值时，点8的坐标是（）

a

-(rrl]B.

c-d-卜卜3_

【答案】C

【分析】利用OH与平面ABC垂直进行验证，垂直时再确认H在平面A3c内即可得.

【详解】84=(1,0,1),04=(1,1,0),

当点。与〃间的距离取最小值时，OH，平面ABC,

(211、.21

A选项，OHOH-BA=-+0+-=1^0,错误；

\JJJ/_JJ

(211、21

B选项，。"=4，—aq,OH-BA=*+0+±=lwO,错误；

1333J33

c选项，0W=,OHBA=--+O+-=O,OHCA=--+-+0=0,

(333J3333

42222

此时，HA==1B4+§C4,即/£4与BA,CA共面，所以点H在平面ABC内，正确;

D选项，OH与选项C中的O”是相反向量，错误；

故选：C.

里里08动点型轨迹

□技巧积累与运用

求动点的轨迹方程有如下几种方法：

(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；

(3)相关点法：用动点。的坐标x、y表示相关点尸的坐标飞、％,然后代入点p的坐标(5,%)所满足的

曲线方程，整理化简可得出动点。的轨迹方程；

(4)参数法：当动点坐标X、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找X、y与某一参数f得到方程，即

为动点的轨迹方程；

(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.

1.如图，已知正方体ABCD-ASGD的棱长为2,E,B分别是棱AVA2的中点，点p为底面ABC。内(包

括边界)的一动点，若直线2尸与平面的无公共点，则点尸的轨迹长度为()

A.72B.VsC.2D.6

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，设点尸(480),结合条件直线则2a+匕-4=0,由此确定点尸的轨迹，再求

轨迹长度.

【详解】以点。为坐标原点，D4,DC,DD1的方向分别为*，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则82,2,0),醺2,0,1),b(1,0,2),A(0,0,2),设点尸(a,6,0),

则班=(0,-2,1),。=(一1,0,1),R尸=(a,6,-2).

设平面BEF的法向量为机=(x,%z),由〈，

m•EF=-x+z=0,

取2=2,可得X=2,y=l,

所以〃2=(2,1,2)为平面BEF的一个法向量.

由题意可知，2P〃平面打印，贝!]口尸•机=2a+Z>-4=0,

令人=0,可得。=2,令6=2,可得。=1,

所以点尸的轨迹为线段，且交4。于点4(2,0,0),交BC于点”(1,2,0),

所以点P的轨迹长度为AM=y]AB2+BM2=V22+l2=■

故选：B.

ZA

2.如图，棱长为4的正四面体ABCD,,N分别是AB,CD上的动点，且|MN|=3,则MN中点的轨

迹长度为()

32

【答案】D

【分析】把正四面体放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、中点坐标公式以及

圆的标准方程进行求解即可.

【详解】把正四面体ABCD放在正方体AFCE-HBG。中，并建立如图所示的空间直角坐标系，

设该正方体的棱长为。，

z

因为正四面体ABCD的棱长为4,所以有，^+酷=4na=2:，

因此相应点的坐标为：D(0,0,0),AQ插,0,2枝),BQ枝,2④,0),C(0,2④,2拒),

因为N是C£＞上的动点，所以设点N的坐标为：(0,〃,〃)，

设AAf=/"A8,M(x()，%，Z0),因此有(尤。―20,%,2()-2&)=皿0,2\/5,-20),

因此〜=2叵,%=2y[2m,z0-2^2-2叵m,

2V2

x=V2

26m+n

设MV中点为尸(x,〉,z),因此有：*2y/2m+n=2y(1),

2y—2A/^〃Z+n2历m—n=2A/2-2z

因为|加叫=3,

所以J(2忘了+(2岛-"A+(2应-2近m-w)2=3,

化简得：(2"九一〃『+(2-2国一九尸=1(2),把(1)代入⑵中得：

(y-V2)2+(z-V2)2=^,显然中点的轨迹是圆，半径为

圆的周长为：2n•'=兀.

故选：D

【点睛】关键点睛：利用正方体这个模型，结合解析法是解题的关键.

3.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCIA中，已知M,N,P分别是棱GA，441，BC的中点，Q

为平面PW上的动点，且直线。4与直线。耳的夹角为30。，则点。的轨迹长度为()

D\MC,

D.3兀

【答案】C

【分析】以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为X、＞、Z轴建立空间直角坐标系，由空间向

量的位置关系可证得。耳，平面对亚，可得点。的轨迹为圆，由此即可得.

【详解】解：以£»为坐标原点，DA,DC,DA所在直线分别为x、>、z轴,

建立空间直角坐标系，尸（1,2,0）,M（0,1,2）,N（2,0,l）,D（0,0,0）,耳（2,2,2）,

故。4=（2,2,2）,PM=（-1-1,2）,

PN=（1,-2,1）,设平面PW的法向量为沅=（x,y,z）,

m-PM=(x,y,z)•(-1,-1,2)=t-y+2z=0

m-PN=(x,=尤-2,+2=0

令z=l得，x=y=l,故机=(1,1,1),

因为r>4=2〃2,故。瓦_L平面PMV,

为半径作圆,

即为点。的轨迹，其中点。=|耳。卜j4+4+4=2退,

由对称性可知，与S=g耳。=百，故半径r=#x6=l,

故点。的轨迹长度为2兀.

故选：C.

题型

-一-09动点角度范围型：线线角

设直线/,根的方向向量分别为a,6,平面名£的法向量分别为",v,则

JTa-b

两直线/,用所成的角为e（o<ew5）,cos。二

1.在直三棱柱ABC及G中，ZBCA=9Q°,AC=BC=AAI=2,E为AC的中点，则8A1与AE所成角的

余弦值是（）

姓

R任D.

A.叵D.-----------

101510

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法计算可得结果.

UUU

【详解】以G为原点，以GA，C4,qc为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示:

A

BC=AC=AAl=2,则A（2,0,2）,E（l,0,0）,B（0,2,2）,A（2,0,0）,

~B\y

所以AE=（-1,O,-2）,=（2,-2,-2）,

AEBA,____________