有理数的巧算（解析版）-2025-2026学年七年级数学竞赛强化训练

专题。1有理数的巧算

◊全国各地竞赛真题试题汇编

1-（2024七年级下•浙江杭州•竞赛）计算：指+总+就+急+•..的值是（)

A.—B.-C.-D.-

111038

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的运算，把每一个分数化为小数计算可得和为0.333…即可得出答案.

【详解】解：叫=0,3,磊=0.03,嬴=0.003,^=0,0003,…

哈+言+嬴+嬴+…=。3+0,03+0.003+0,0003+……=0.333…

0^-+—4--+-^―+-=0.3=-,

101001000100003

故选C.

2.(24-25七年级下•浙江金华)对于%>0,规定/(x)=

⑴吧=——■

⑵/岛)+/岛)+…+f®+f⑴+f(2)+…+f(2024)+f(2025)=——•

【答案】-2024-

32

【分析】(1)根据新定义，将％=?弋入f(x)=W计算即可；

(2)根据新定义"、)=喜，得/(9=嘉=m？求出"％)+fG)=L然后将f(表)+，(表)+…+

fG)+/(I)+/(2)4-…+/(2024)+/"(2025)分组得

+/(2025)]++/(2024)]+•♦•++f(2)]+f(l),再计算即可.

共2024组

【详解】解：(1)国对于X：>0,规定/(x)=W，

回当欠=；时，得：

7\2J-+122233

故答案为：]；

(2)团对于％>0,规定/'(%)=W，

时旧=忘X=丁1=X+l=炉1启X[=有1'

f(x)+f(3=W+W=M=L

好(募)+f(募)+…+fG)+f⑴+"2)+-••+f(2024)+f(2025)

=t盅+f(2。2可+[f(焉)+/(2024)]+…+[f®+f⑵]+/⑴

共2024组

1

=1+1+…+1+-~-

'-------------------------'14-1

共2024个1

1

=2024+-

2

=202吟

故答案为：2024a

3.(24-25七年级♦上海)计算：987+(-987•

【答案】-黑

【分析】本题考查了有理数的除法，以及分数的简便运算.首先把代分数转化为假分数，可得：原式=987+

I慧+987),根据除以一个不为o的数等于乘以这个数的倒数，可得：原式=987x(-记黑不)，根

据分数的乘法法则进行计算即可.

【详解】解：987+(-987^^)

=987+(/---9--8-7---x-荻988+一987)\

r988।

=豺x=987x(988+1)]

988

--989,

4.(24-25七年级下•北京)计算：-^+^—++•.•+――^--

1+21+2+31+2+3+41+2+3+…+99

【答案】

【分析[本题考查的是有理数的混合运算的运算规律的探究.设S=1+2+3+•••+?;,则S=7i+…+3+

2+1,可求出1+2+3+…+71=吟2从而得到忌F=2(；—W1则原式可变形为2@-9+

2(*)+2(*)+,••+2得-磊)，即可求解・

【详解】解：设S=1+2+3+…+71,

则$=〃+•••+3+2+1,

025=n(n+1),

0S=^^,

2

即l+2+3+-+n=^^,

0_—=--=2(二

1+2+3+-+nn(n+l)\nn+l2

0_L+-J—+——1—+...4---------------------

1+21+2+31+2+3+41+2+3+-+99

+…+2(》焉)

1111111

=2-4--T-♦♦•-4--

23344599100

=2G-I5O)

49

=2xioo

49

50

5.(24-25七年级上•重庆)2.04x99.9+1.94x66.6.

【答案】333

【分析】本题考查了乘法分配律的应用；原式中99.9,66.6有共同的因数33.3,则原式可化为33.3X(6.12+

3.88),则可求解.

【详解】解：2.04x99.94-1.94X66.6

=2.04x3x33.34-1.94x2x33.3

=6.12x33.3+3.88x33.3

=33.3x(6.124-3.88)

=33.3x10

=333.

6.（24-25七年级上•重庆）121X（联+言）X141.

【答案】等

【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用有理数乘法运算律成

为解题的关键.

直接运用有理数乘法运算律以及有理数混合运算法则计算即可.

【详解】解：121x（^+^）x141

=121x141x282+

13

=121X141X——4-121x141X—

282121

121

=—+141x3

乙

121

=—+423

乙

121846

="F+-2

967

2

7.（2023七年级上•四川眉山•竞赛）【阅读理解】2二

22X3233X434

【实践应用】(1)①计算二+二+，+会+二+工=

1X22X33x44X55X66x7----

②计集+-+—+—+—+­­•+—=：

7—61220309900-------

【拓展应用】(2)计算士+三+占+…+的值

1XZX3ZX3X4JX4X59-8X9Q：9X1。。

【答案】(1)①*②卷

【分析】本题考查数字变化的规律,能根据题意发现第77个数为下工;及巧妙利用裂项相消法是解题的关键

n(n-l)

(1)①根据题中所给示例即可解决问题：②根据题中所给示例即可解决问题；

(2)将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可

【详解】解：(1)①七+3+劣+二+二+3

X-zlx22x33X44X55x66x7

11111111111

=1-2+2-3+3-4+4_5+5_6+6_7

故答案为：*

(2)-+-+—+—+—+•••+—

61220309900

1,1,1,,1

=---+----+----+,,•4--------

1x22x33x499x100

1

100

99

=100

故答案为：

100

/八113-11z11、

1x2x321x2x321x22x3

114-2111

__________=x___________——(z)

2x3x4-22x3x4-22x33x4

1310。-98J})

98x99x100298x99x100298x9999x100

原式=3x(点

3x498x9999x100.

2*(1x2-99xloo)

14949

_x-----

29900

4949

=19800

8.(2024七年级下•江苏无锡•竞赛)【阅读】

Ix2=1(lx2x3-Oxlx2)；2x3=1(2x3x4-1x2x3)；3x4=^(3x4x5-2x3x4)；

将这三个等式的两边相加，则得到1x2+2x3+3x4=|x3x4x5=20.

【归纳】(1)根据上述规律，猜想下列等式的结果：1X2+2X3+…+n(n+l)=；

【应用】(2)利用(1)中得到的结论计算：2X4+4X6+-+100X102；

【迁移】(3)请你类比材料中的方法计算：1X2X3+2X3X4+・・・+〃5+1)5+2).

【答案】(1)：xnx(?i+l)(n+2)；(2)176800；(3)-n(n+l)(n+2)(n+3)

34

【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解此题的关键.

(1)根据题意得出规律即可；

(2)根据(1)中的规律计算即可得解；

(3)首先得出1x2x3+2x3x4+-+nx(n+l)x(n+2)=-x(lx2x3x4-0xlx2x3)+-x

44

(2x3x4x5—Ix2x3x4)+…+7X[n(n+l)(n+2)(n+3)—(n—l)n(n+l)(n+2)],

再进行计算即可得解.

【详解】解：(I)01x2+2x3+3x4=^x3x4x5,Ix2+2x3+3x4+4x5=1x4x5x6,

01x2+2x3+…+n(n4-l)=1xnx(n+l)(n4-2)；

(2)2x4+4x6+-+100x102

=4x(Ix2+2x3+-+50x51)

1

=4x-x50x51x52

=176800：

(3)Ix2x3+2x3x4+…+〃x(〃+l)x(7i+2)

=-x(lx2x3x4-0xlx2x3)4--x(2x3x4x5-lx2x3x4)4----+-

x[n(n+l)(n+2)(n+3)—(n—l)n(n+l)(n+2)]

1

=—x[lx2x3x4—0xlx2x3+2x3x4x5—Ix2x3x4+…+n(n+l)(n+2)(n+3)

—(n-l)n(n+l)(n+2)]

=^n(n+l)(n4-2)(n+3).

.全国联赛真题试题汇编「

1.（2024八年级•全国•竞赛）为求1+2+2?+23+•••+22。16的值,可令s=1+2+22+23+•­•+22016,

则2s=2+2?+23+24+…+22°16+22。17,因此2s-s=22。17-1,即s=22°17一1.仿照以上方法，

可得1+3+32+33+…+32016=.

【答案】*32017一1）

【分析】设s=1+3+32+33+•••+32016,则3s=3+32+33+…+32016+32017,得到2s=32017-1即

可得到答案.本题考查了有理数的混合运算，数字类规律，熟练掌握运算方法是解答本题的关键.

【详解】解：设S=1+3+32+算+…+32016,

团3s=3+32+33+…+32016+32017,

03s-s=32017-1,

02s=32017-1,

团s=432。17_1),

故答案为：^(32017-1)

2.(2024七年级•全国•竞赛)计算：？+--«-----+-----------------;+…+;---------品---------:

3(l+2)x(l+2+3)(l+2+3)x(l+2+3+4)(1+24-+17)x(l+2+--+18)

【答案】詈

【分析】根据原式的特点进行拆项，再进行加减运算即可得到答案，找到运算规律是解题的关键.

【详解】解；原式=1-*++-.+高-$+

+1+2+…+171+2+-+17+18=1-

1170

--------------------=------

1+2+…+17+18171

故答案为：二

3.(2。24七年级•全国•竞赛)方程得+逐+$+…+皿3篝♦+2。]。=2。。。的解是，=

【答案】2011

2010

【分析】本题考查了有理数的加法，乘法和解一元一次方程，根据裂项求和进行简便运算即可，将所求式

子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键.

【详解】解：设4=*+高+7^7；+…+]+2+3：・+2。1。

=—+—+—+—+

2X33X44X52010x2011'

=2

2009

2011

喈著，=2。。9,

X=-2-0-1-1

2010

故答案为：毁

4.(2024七年级•全国•竞赛)计算：2009x20082008-2008x20092009=

【答案】0

【分析】本题考查有理数的灵活运算，由于20082008=2008X1001,20092009=2009X1001,原式可

化为2009X2008X1001-2008X2009x1001,根据相同两数的差为0即可解答.

【详解】2009x20082008-2008x20092009

=2008x2009x10001-2008x2009x10001

=0.

故答案为：0

5.(2024七年级.全国•竞赛)计算：后-嘉+后-引+...+］嘉-康

【答案】499

5015

【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则：先根据

绝对值的意义去掉绝对值，然后根据有理数加减混合运算法则正行计算即可.

【详解】解：七一2|+区_套|+…+1

20062005

111111

—――一一一•••-f"—

1011111220052006

11

二15—2006

499

―5015'

6.(2024七年级•全国•竞赛)计算：S=—+(—：)+—2),

【答案】一3

64

【分析】本题主要考杳了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则.先两

边乘以得：-^=(-^)2+(-^3+-+(-1)7»然后两式相减得5s:—展，求出S的

ZZ\//\Zz\ZzZZ\乙Jlx.o

值即可.

【详解】解：S=-1+(-1)+(-()+…+(—3’

237

两边乘以_:得：=+(_：)—+(_：)，

两式相减得==

所以s=-g.

64

7.(19-20七年级上•湖北恩施•阶段练习)计算：1+2—3—4+5+6—7—8+~+2005+2006-2007-

2008.

【答案】-2008

【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学运用结合律是解题的关键.

【详解】解：原式=(1-3)+(2-4)+(5-7)+…+(2005—2007)+(2006—2008)=-2x1004=

-2008.

8.（2024七年级.全国•竞赛）计算：（1+"沁”+施）6+2-+总）-（1+"2“+嘉）6+

1+•••+—）.

320097

【答案】康

【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是掌握整体代换的思想.

设1+：+；+...+/=访；+<+...+焉=4代入把原式变形，进一步计算即可求解.

232009232009

【详解】解：设:1+9+/…+短=如渭+…+嘉=>

则原式=QX（”+募）一（。+就）X小

=—^―（a—b）,

2010'/

•••a-”（1+T+#.•.+短）-（：+[+...+募）=1,

，原工弋=---x1=---.

20102010

9.（2024七年级•全国•竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用;十;

24

来表示：，用5+（来表示器现有99个分数：3rI....热磊,

⑴从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于:；

4

⑵能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0?若能，求出满足条件的9个分

数；若不能，说明理由.

【答案】(*+2+4c

(2)能，+"+3+3+专+)+；=。

【分析】（1）本题考查了对题干的理解，以及有理数的加法运算，根据用：来表示g将:化为2个分子

为1的分数相加，再继续分解下一个分数，得到4个分子为1的分数相加，即可解题.

⑵本题考查有理数的加减运算，以及分数的规律，根据升、2+4+4+*/=1-a将此

式再减去1加上%即可解题.

【详解】（1）解：•••可以用;+；夹表示I

244

1,13

244

vl=lX(l+2)=±±=1

44X(l+2)1212612

••—1,--1-,-1--=一3，

26124

lx(2+3)23

6x(2+3)―6x(2+3)+6x(2+3)—15

6

吗+2+5+

（类似的去分解套也可）.

(2)解.[3I4--4--+—+—+—+—4--

浒,方十6十12十20十30十42十56十72

11111

----+----+-----F•••+---+----

1x22x33x47x88x9

111111111

=1-2+2-3+3-4+，，，+7-8+8_9

=1-：，

(^4-i+—+—+—+—+—+-+i=1,

261220304256729

团-~+-+--+--+-+--+―+0.

261220304256729

10.(2024七年级•全国•竞赛)贝贝为了计算1X2+2X3+3X4+…+99x100的值，作了如下探究：

1x2=1(1x2x3-0x1x2),2x3=1(2x3X4-1x2x3),

3x4=1(3x4x5—2x