中考数学总复习《二次函数与线段》专项测试卷及答案

中考数学总复习《二次函数与线段》专项测试卷及答案

学校:班级：姓名：考号：

11___

1.如图，抛物线y=+c与x轴父于4、B两点，与y轴交于点C,直线，=一2刀+2过3、C两点，

连接AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：AAOC^AACB；

(3)点M(3,2)是抛物线上的一点，点。为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点。作DE1%轴交直线BC于点

E,点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值.

2.已知抛物线y=ax2-2x+l(a*0)的对称轴为直线x=1.

(1)求a的值；

(2)若点%(右,％)都在此抛物线上，且一1<<0,1<尤2<2.比较yi与％的大小，并说明理由；

(3)设直线y=>0)与抛物线丫=a/-2久+1交于点2、B,与抛物线y=3(久一1)2交于点C,D,求

线段48与线段CD的长度之比.

3.抛物线y=a久2+学久一6与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点，与y轴交于点C,直线y=质一6经过点B,点P

在抛物线上，设点P的横坐标为小.

(1)求抛物线的表达式和t,k的值;

(2)如图1,连接AC,AP,PC,若A4PC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

(3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ1BC,垂足为Q,求CQ+^PQ的最大值.

图1图2

4.已知抛物线、=一/+左；+£；与尤轴交于4,B两点，与y轴交于点C(0,4),其对称轴为％=

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,点。是线段。C上的一动点，连接AD,BD,将AaBD沿直线4。翻折，得到△48'。，当点8'恰好

落在抛物线的对称轴上时，求点。的坐标；

(3)如图2,动点P在直线4c上方的抛物线上，过点P作直线4C的垂线，分别交直线4C,线段BC于点E,F,

过点F作FGlx轴，垂足为G,求FG+CFP的最大值.

图1图2

5.学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定.已知抛物线y=ax2-4ax-

4(a>0).

(1)如图1,将抛物线y=a久2—4a%一4在直线y=-4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到

一个新的函数图象“W”.翻折后，抛物线顶点4的对应点A恰好在久轴上，求抛物线y=ax2-4ax-4的对

称轴及a的值；

(2)如图2,抛物线y=ax2-4ax-4(a>0)的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与(1)中的图

象“勿"(久>2)交于P,C两点，与图象“G”交于点D.

①当a=孑时，求证：PC=CD；

②当a*1时，请用合适的式子表示幕(直接写结果).

6.如图，抛物线经过ATI。。的三个顶点，其中。为原点，4(2,4),。(6,0),点F在线段4。上运动，点G在直

线2D上方的抛物线上，GF//AO,6石1。。于点后，交4。于点/,4"平分NOAD,C(-2,-4),AH1CH于点

H,连接尸”.

(1)求抛物线的解析式及△AOD的面积；

(2)当点尸运动至抛物线的对称轴上时，求的面积；

(3)试探究詈的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由.

U1

7.已知抛物线：y^ax2+bx+c(a>0),交x轴于4、B、与丫轴的交点C在负半轴.

(1)若力(-1,0),B(3,0),OB=OC.

①求抛物线的解析式.

②若在对称轴右侧抛物线上，且回4PC为锐角三角形，求与的取值范围.

(2)如图，。在y轴上点C的下方，过。的直线DE、DF与抛物线丫=a/+"+。都只有唯一公共点仄F,EF

交y轴于Q,EM〃久轴交y轴于N,FM〃y轴交EM于M,求普.

8.抛物线y=a久2一2%+«£1r0)交乂轴于4(一1,0),B两点(B在4的右侧)，交y轴于点C(0,-1),M是第四

象限内抛物线上一动点.

(2)如图1,连接过动点M作MDLBC,垂足为点D,连接CM.当DM=，门时，求CM的长;

(3)如图2,过动点M作的平行线交y轴于点N,若射线/C平分线段MN,求点M的坐标.

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线为=-J/+力％+。经过%轴上的两点/、B,与y轴交于点C,直线ZC

的解析式为丫2=—3久+2.

(1)求点4、C的坐标;

(2)求抛物线的解析式;

(3)若点P为直线4C上方的抛物线上的一点，过点P作PQlx轴于M,交2C于Q,求PQ最大时，点P的坐标及

PQ的最大值.

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2%+8与抛物线y=-产+bx+C交于a,B两点，点8在x轴

上，点力在y轴上.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点C是直线28上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线4B于点D,E.当。E=148时，

O

求点c的坐标.

11.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=a(久一3)2+4过原点，与x轴的正半轴交于点4,已知B点为抛

物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点》

(1)求a的值，并直接写出4B两点的坐标；

(2)若P点是该抛物线对称轴上一点，且NBOP=45。，求点P的坐标;

(3)如图2,若C点为线段BD上一点，求3BC+54C的最小值.

__o

12.已知抛物线y=-/+6久+c与x轴交于力，B两点，与y轴交于点C(0,4),其对称轴为直线刀=一了

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,点D是线段0C上的一动点，连接AD,BD,将团ABD沿直线4D翻折，得到团AB'D,当点B'恰好

落在抛物线的对称轴上时，求点。的坐标；

(3)如图2,动点P在直线4C上方的抛物线上，过点P作直线4C的垂线，分别交直线4C、线段BC于点E,F,

过点F作FGlx轴，垂足为G,求FG+/1FP的最大值.

13.如图，抛物线丫=/+版+£：交刀轴于力、B两点，其中点4坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图①，连接4C,点P在抛物线上，且满足NPAB=2乙4C。.求点P的坐标；

(3)如图②，点Q为无轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与支轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物

线的对称轴于点M、M请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

14.如图，抛物线丫=（1/+6%+3与％轴相交于4（＞1，0）,3（久2,0）两点（点4在点3的左侧），其中无「❷是方

程/一2%-3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C.

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）已知直线2:y=3久+9与x,y轴分别相交于点D,E.

①设直线8c与1相交于点F,问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得乙PBF=4DFB?若存在，求出

点P的坐标；若不存在，说明理由；

②过抛物线上一点M作直线BC的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交于点Q.连接QD,QE.

求线段Q。+QE的最小值.

15.已知二次函数y=—/+c的图像经过点2(—2,5),点P(xi，yj,QO2,%)是此二次函数的图像上的两个

动点.

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B,点P在直线4B的上方，过点P作尸C1无轴于点C,交

48于点D,连接2C,DQ,PQ.若&=/+3,求证沪型的值为定值；

(3)如图2,点P在第二象限，x2=-2的，若点M在直线PQ上，且横坐标为的—1,过点M作MN1无轴于点N,

求线段MN长度的最大值.

参考答案

1.【答案】解：(1)•.•直线y=—^乂+2过B、C两点，

当x=0时，代入y=-^K+2,得y=2,即C(0,2),

当y=0时，代入y=-：x+2,得x=4,即B(4,0),

-1

把8(4,0),C(0,2)分别代入y=--%2+b%+c,

得｛-8+4b+c=0

解得»=I,

lc=2

・•・抛物线的解析式为y=-1%2+|%+2；

(2),••抛物线y=-2%2+|%+2与无轴交于点4

1O

•••—-%2+/+2=0,

解得%1=-1,x2=4,

・••点a的坐标为(一1,0),

AO=1,AB=5,

在Rt/XAOC中，AO=1,0C=2,

•••AC—V-5»

AO_1_V_5

就=%=丁

/CV-5

—=--,

AB5

AO__AC_

~AC~AB

又•・•/-OAC=/.CAB,

⑶设点D的坐标为(x,-#+|久+2),

则点E的坐标为®—：x+2),

131

.・.DE=-+—x+2—(~2X+2)

131

=-2%7+2%+2+1%—2

=--1xz2+I2o%,

<0,

.•.当x=2时，线段DE的长度最大，

此时，点。的坐标为(2,3),

"(0,2),M(3,2),

.••点C和点M关于对称轴对称，

连接C。交对称轴于点P，此时PD+PM最小，

连接CM交直线DE于点F,则ADFC=90。，点F的坐标为(2,2),

CD=VCF2+DF2=门，

•••PD+PM=PC+PD=CD,

PD+PM的最小值为J飞.

【解析】(1)直线y--^x+2过8、C两点，可求B、C两点坐标，把8(4,0),C(0,2)分别代入y=-1x2+bx+c,

可得解析式.

(2)抛物线y=/+|刀+2与无轴交于点a,即y=o,可得点4的横坐标，由相似三角形的判定得：△

AOgNACB.

(3)设点。的坐标为®-g久2+|x+2),则点E的坐标为(x,—gx+2),由坐标得。E=+2%,当x=2

时，线段DE的长度最大，此时，点。的坐标为(2,3),即点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P,

此时PD+PM最小，连接CM交直线DE于点F,则NDFC=90°,由勾股定理得CD=根据PD+PM=

PC+PD=CD,即可求解.

本题考查二次函数的应用，解本题的关键熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性、相似三角形

的判定等.

2.【答案】解：(1)根据题意可知，

抛物线y=ax2—2x+l(a丰0)的对称轴直线x=-^|=^=1,

a=1.

(2)由(1)可知，抛物线的解析式为：y=x2-2x+1=(x-I)2,

va=1>0,

.•.当x>1时，y随X的增大而增大，当％<1时，y随X的增大而减小，抛物线图象开口向上，

••・抛物线上点的横坐标离对称轴越远，对应的点的纵坐标越大，

—l<x1<0,1V冷<2,

—

|xt-1|>|%21b

­•71>y2-

(3)联立y=m(m>0)与y=%2—2%+1=(%—l)2,

可得交点为(1+m)^D(l-yT~m,m),

AB=|1+Vm—1+Vm\=2Vm,

联立y=m(m>0)与y=3(x—l)2,

可得交点为(1+偈,m)和(1一月,m),

CD=1+±1+

48—Z-0

CD~7

【解析】【分析】

本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合思想等，题目难度适中,

(1)根据对称轴公式，代入数据即可求出a；

(2)根据二次函数的开口方向和对称轴可得出结论；

(3)分别联立直线y=爪与两抛物线的解析式，得出线段4B和线段CD的长度，即可得出结论.

3.【答案】解：(1)将8(8,0)代入y=ax2+—6,

4

•••64a+22—6=0,

1

CL=——9

4

11

・.・y=1T2.+彳％(-6,

把/c0)代入y=—：%2+¥%-6,可得一：严+手力—6=0,

解得：t=3或t=8(舍)，

•••1=3,

•・,8(8,0)在直线y=kx—6上，

•••8々-6=0,

解得：k=3

q

3,

•••y=4-6;

(2)作PM1%轴交于M,且C点坐标为(0,-6),

尸点横坐标为

••・P(m,—^m2+—6),

・PM=-m2———m+6,AM=m—3,

..44

•・•Z.OAC+APAM=90°,^APM+/-PAM=90°,

・•・^LOAC=^APM.

5L/-AOC=^PMA=90°,图1

•••△COA^^AMP,

级器^OA.AM=CO-PM,

3(m—3)=6(^m2—m+6),

解得：爪=3(舍)或m=10,

7

(3)作PN1无轴交于BC于N,过点N作NE1y轴交于E,

»T17I11r/八17।n

•••PNN=--mz+—m—6—(-m—6)=--mz+2m,

vPN1%轴，

・•・PN〃y轴，

・•・乙PNQ=乙OCB.

•・•乙PQN=乙BOC=90°,

•••△PQNs^BOC.

.PN_NQ_PQ

''~BC~~OC~~OB"

OB=8,OC=6,

BC=10,

即型="=吗

11068

34

・•.QN屋PN,PQ屋PN,

由N£7/B。可得△CNEs^CBO,

CN_EN

•••~CB='OB'

即0=处

即108'

・•.CN=»N=^m,

44

11

・•・CQ+”Q=CN+NQ+(PQ=CN+PN,

I1DC51O12I131,13、2,169

•••CQ+-PQ=-m--m2+12m=~-m+—m=--(m——)+—

x2x44444k2716

当爪=竽时，CQ+舁Q的最大值是瞿.

ZZio

【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；

2

(2)作PM1x轴交于M,可求PM=1m+6,AM=m-3,通过证明4CQASAAMP,利用经=笑,

44CUAM

求m的值即可求P点坐标;

(3)作PN1x轴交于BC于N,过点N作NE1y轴交于E,通过证明△PQNs480C,求出QN=|PN,PQ=

A.rr〔1121fiQ

三PN,再由ACNESACB。，求出CN=?EN=贝！|CQ+gPQ=CN+PN=一：(m-+鬓，即可

544L4Llo

求解.

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关

键.

4.【答案】解：(1)抛物线与y轴交于点C(0,4),

c=4,

・•・对称轴为X=-|,

・•・--b=­3,

-LL

・•・抛物线的解析式为y=-%2-3%+4；

(2)如图，过8,作无轴的垂线，垂足为",

图1

令一产—3x+4=0,

解得：%】=1,x2=-4,

・•・/(-4,0),3(1,0),

・•.0A=4,AB=1-(-4)=5,

由翻折可得ZB'=4B=5,

•・,对称轴为第=—|,

・•・>lH=3-|-(-4)=5|,

AB'=AB=5=2AH,

：.AAB'H=30°,4B'AB=60°,

1

•••乙DAB=^BrAB=30°,

在RtZkA。。中，OD=OAtan30°=1V-3»

・・・。(()2回；

(3)设BC所在直线的解析式为yi=krx+b],

把B、C坐标代入得：=

解得:解丁

・••yr——4x+4,

•・•OA=OC,

Z.CAO=45°,

Z-AEB=90°,

・•・直线PE与％轴所成夹角为45。，

设P(zn,一根2—3m+4),

设PE所在直线的解析式为：y2=-x+b2^

把点尸代入得匕2=——2m+4,

•••丁2=一％一根？一2m+4,

令丫1=则-4%+4=—%—m2—2m+4,

解得X=吟羽，即孙=哼竺，

...FG=yF=_4"+2*+4,

〃3

HPF=1吗装=HH•g-X》=|(m2-m),

・•.FG+HFP=T"+2*+4+=一|⑺+1)2+q,

•・•点P在直线4C上方，

•••—4<m<0,

・•・当爪=一射，FG+，下”的最大值为管

Zo

【解析】（1）由题易得C的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；

（2）过夕作无轴的垂线，垂足为H求出力和B的坐标，得到4B'==5,AH=|,由4B'=4B=5=2AH,

推出ND4B=30。，解直角三角形得到。。的长，即可解答；

⑶求得8c所在直线的解析式为为=-4%+4,设P（m,-病-3机+4）,设PE所在直线的解析式为：y2=

-x+电，得光=-x-m2-2m+4,令y[=为，解得刀=吟生，分别表示出FG和「PF,再对FG+

进行化简计算，配方成顶点式即可求解.

本题主要考查了二次函数的综合问题，利用数形结合的思想是解答本题的关键.

5.【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线：久=-要，即为x=2.

根据翻折可知点a的纵坐标为-8,即点a的坐标为（2,-8）.

将点”的坐标代入抛物线表达式得：4a—8a—4=—8,

解得：a=1,

即抛物线的对称轴为直线1=2,a=1；

（2）;a=1,

.•・图象"勿"的解析式为y=卜2；4%—4（xW0或久"）；

（一％2+4x-4（0<%<4）

①证明：当a=g时，图象“C”的解析式为丫=：久2一?》一4.

设直线的解析式为y=kx—4.

当kx—4=%2—4%—4时，

解得％=。或%=4+fc,

・・•点C的横坐标为4+k.

当kx—4=—%2+4%—4时，

解得X=0（舍去）或第=4一左，

•••点P的横坐标为4-k.

当kx—4=—4时，

解得X=。或久=4+3匕

.••点。的横坐标为4+3/c.

如图1,作PM〃%轴，过点C作CM1%轴交PM于点M,

w

图1

作CN〃%轴，过点。作。N1CN交CN于点N.

由各点横坐标可得：PM=4+k-(4—k)=2k,C7V=4+3fc-4-fc=2fc,

・•.PM=CN.

•・・PM//%轴,CN〃式轴,

・•.PM//CN,

・•・(DCN=乙CPM.

•••DN1CN,CM1PM,

・•・乙CMP=乙DNC=90°.

・•.△CPM笑DCN(ASA),

・•.PC=CD.

②解：当a>0且aW1时，图象“G”的解析式为y=ax2—4ax—4(a>0且aW1).

由①可知点P的横坐标为4-k,点C的横坐标为4+k.

当kx-4=ax2—4ax—4(a>0且aH1)时,解得：x=

点。的横坐标为i.

a

当0<a<l时，如图2,作PQ〃刀轴，过点C作CQ1久轴，交PQ于点Q,过点。作DT1x轴交PQ于点兀

由各点的横坐标可知PQ=4+fc-(4-fc)=2fc,PT="乎—(4—k)=丝普.

•••CQLPQ,DT1PT,

CQ//DT.

••・△CPQs^DPT.

当a>l时，如图3,作PQ〃刀轴，过点C作CQlx轴，交PQ于点Q,过点。作DT1x轴交PQ于点T.

由各点的横坐标可知PQ=4+fc-(4-fc)=2fc,PT=等一(4—k)=必詈，

•••CQ1PQ,DT1PT,

CQ//DT,

△CPQs工DPT.

综上所述，用含a的式子表示羔为华.

【解析】(1)抛物线y=ax2-4ax一4的对称轴为x=-琮，即为x=2,根据翻折可知点4的纵坐标为一8,

即点4的坐标为(2,-8),进而求解；

(2)①证明ACPM乌ADCNOISA),即可求解；

②当a〉0且a*1时，证明△CPQSRDPT,则篇=霁==鲁，即可求解；当a>1时，同理可解.

rUr1KiLuCLj.Lrd

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似和三角形全等等，分类求解是解题的关键.

6.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx(a*0).

将4(2,4),。(6,0)代入，得｛嫁;队以，

解得：卜=一，，

3=3

12IQ

・••y——-xz+3x.

设点力到。。的距离为d,点4的纵坐标为外,

111

**,^LAOD~2°’d=2OD'=—x6x4=12.

(2)vy=-1x2+3x=-|(x-3)2+|,

••・抛物线的对称轴为直线久=3.

当点F运动至对称轴上时，点尸的横坐标为3,

则竺=—

JAD6-24

1

即4F

4

如图，连接。C、OH,

由点C(-2,-4),得点Z与点C关于原点。对称，

・••点/、。、C三点共线，且。为AC的中点.

vAHLCH,

1

・•.0H=豺。=0A,

・•.Z,OAH=^AHO.

•••Z”平分“40,

•••^OAH=乙DAH,

・•.Z.AH0=^LDAH,

・•.HO//AD,

”。与ZD间的距离为d,

•••点”到40的距离为d.

11

,*,SXAFH=2xAFxdtS>AOD=]X%。xd=12,

11iiii

•••S^AFH=JxAFxd=-x-ADxd=-x(-xADxd)=-x12=3.

ZZ44Z4

•・・当点尸运动至抛物线的对称轴上时，△4FH的面积为3；

(3)如图，过点2作2L1。。于点3过点尸作FK1GE于点K.

0A=VAL2+0L2=742+22=2c.

DL=0D-0L=6-2=4,

在RtAADL中，AL=DL,

・•・乙ADL=45°,

GE1DO,

・•・乙EID=乙FIK=45°,即4F/K为等腰直角三角形.

设FK=7n,则K/=m,

在Rt△AOL^Rt△GFK中，

•・•GF//AO,

・•・^AOL=乙GFK,

tan乙40L=tanZ.GFK,

.AL_GK

••，

OLFK

即:竺

GK=2m,

・•・GI=GK+KI=2m+m=3m.

又•・.sinZJlOL=sin乙GFK,

•.•AL—_GK,

AOFG

•••FG=V-Sm,

.FG_V_5m_y/-5

''~GI~3m~

.•考的值是定值，定值为亨.

Cr/3

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

7.【答案】【小题1】

解：①「BG,。），OB=OC.

••・点C(0,-3)

将4(-1,0),B(3,0),C(0,-3),代入y=a/+bx+c(a>0),得:

0=a—b+c(a=1

0=9a+3b+c，解得：b=—2,

c=-3c=-3

二抛物线的解析式为y=X2-2%-3；

②如图:

—2比1—3),C(0,-3)

•••AC2=l2+32=10

AP2=(%i+I)2+(%12—2%i3)2

CP2=X12+(xi2一2%i)2

当NP力C=90。时;CP2-AP2=AC2

222222

•••[xI+(xI-2%i)]-[(xx+l)+(X12支i-3)]=10

整理得：6x--14/-20=0

10

解得：%i=-1（与点4重合，舍去）或%1T

当NPG4=90。时；AP2-CP2=AC2

22222

[(%!+I)+(X1-2x-3)]-[%i+(xi-2%)2]=10

整理得：6%--14%I=0

7

解得：%1=0（与点C重合，舍去）或打

3

■•.04PC为锐角三角形，久1的取值范围（<%!<y

【小题2】

设。点坐标为(0,TH),E{e,ae2+he+c),F(f,af2+hf+c)

・・・。点在C点下方

•••m<c

ae2+be+c—m

直线DE的解析式为y=----------------x+m

e

m

直线DF的解析式为y=4+"+c*+m

直线£F的解析式为y=(ae—af+b)x+aef+c

•・,直线DE与抛物线y=ax2+b%+c有唯一交点

••・ax2+bx+C=ae-十中△=Q

e

c—m

•••J=(aeH------Yo—4a(c—m)=0

•・,直线与抛物线y=ax2+b%+c有唯一交点

2

7,af+bf+c—m,_„

•••axz+bT%+c=----7----x+7nrl4zP1ydl=0

C—771_

・••A={afH---7—y—4a(c—m)=0

+C-TH「.c—771o

(ae一)2=(ae+)2

ee

•••aef=c—zn或e+/=0

e/<0,a>0,c—m>0

•••e+/=0

・,・直线EF的解析式为y=bx+ae2+c

•••Q(0,ae2+c)

ME=-2e,NQ=be

MEb'

【解析】1.

本题考查了二次函数与几何综合，解题关键是利用直线与抛物线交点个数与系数的关系，设参数表示线段

从而求解.

①根据08=OC可得点C坐标为C(0,-3),由待定系数法即可求出解析式;

②求出当团APC为直角三角形时P(ayi)的特殊位置，再根据图形即可得出久1，的取值范围即可;

2.

根据直线与抛物线只有一个交点，设。点坐标为(o,m)，E(e,a/+be+c)，F(Aa/2+b/+c),根据直线

与抛物线有唯一交点求出e+/=0,从而求出QN与ME的长，即可求解・

8.【答案】【小题1】

解：••・抛物线y=ax2-2x+c过4(一1,0),C(0,—|)

fa4-2+c=0(a=1

••・抛物线解析式为：y=jx2-2x-1

【小题2】

,•・抛物线y=|x2-2%一？与刀轴交于4B

令y=2%2-2%-2=o,则：%1=5,%2=-1

・•・8(5,0)

.5

・..OB=5,OC=

i-----5>T5

BC=VOB2+OC2=—2—

••・设直线BC的解析式为：y=k“T，把B(5,0)代入得：fc=1

二BC解析式为：y=1x-1

如图，过M点作MEI%轴，垂足为E,交BC于点M'

•••DM1BC

/.MDB=90°=乙MEB

■：^MM'D=乙BM'E

Z.DMM'=Z.OBC

又•：乙BOC=乙MDM'=90°

•­.AMDM'八BOC

MM

DM

OBBe2

DMOB

5

4-

25

8

11

则

设Mm2m

2-2-

151525

---2-

22228

解得：mt=m2=

【小题3】

：4(-1,0),C^0,—2^

同(2)法可得：直线AC解析式为：y=—暂乂―?

15

X

由(2)知BC解析式为：y2--2-

设M(n,^n2—2九一|)

•••MN//BC

2

设MN的解析式为：y=^x+b,把M—272-J代入，得：b=|n__n__

11255

y-Xnn

MN解析式为:2-2-2-2-

/1755-

-'-N\°'2n2n-2

•••MN中点为6荏，九2-|

119555

将

2代

几nn%

2-2-4-2--2-2-

129555

得nnn

-2-4-2-4--2-

解

得

•7r1l-

M9

2-

【解析】1.

本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想

进行求解，是解题的关键.

待定系数法求出函数解析式即可；

2.

求出直线BC的解析式，过M点作ME1x轴，垂足为E,交BC于点、M',证明△MDM'-ABOC,得到第=喘=

台求出MM',进而求出M点的坐标，进而求出CM的长即可；

3.

求出直线4C的解析式，设M平行求出直线MN的解析式，进而得到点N的坐标，中点坐

标公式求出F点坐标，代入直线2C的解析式，求出n的值即可.

9.【答案】解：(1)在y=-2％+2中，

令汽=0,则y=2,

令y=0,则久=4,

・•・4(4,0),C(0,2)；

1

(2)把4(4,0),C(0,2)代入％=--x2+bx+c得：

(c=2

)0=-ix42+4b+c;

I4

解得：p/

3=2

・•・抛物线解析式为y=—J/+/+2；

(3)•••点P为直线力C上方的抛物线上的一点，PQlx轴，

11

m2+m+

.,.设P(m,4-2-2)

-1

则Q(zn,-2m+2),

1211

Q-m+m+2

-4-2--(-2-m+2)

1

=--1m2z+-m+,Q2+1-m—Q2

4LL

=--1m2+।m

4

Ir

=--(m—2)2+1,

4

1

V-7<0,

4

・,・当?n=2时，PQ最大，最大值为1,

此时P(2,2).

【解析】(1)在y=—]%+2中，令％=0,则y=2,令y=0,则第=4,即可求出/、C的坐标；

(2)把“、C的坐标代入yi=-；/+力％+。中，即可求出b,c的值，可得答案；

1111

⑶设P(zn,-77n2+5根+2),则Q(?n,-弓根+2),贝！|PQ=-彳(血一2/+1,由二次函数的性质求解即可.

4ZZ4

本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上各

点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键.

10.【答案】解：(1)令x=0得，y=8,

所以点2的坐标为(0,8)；

令y=。得，x-4,

所以点B的坐标为(4,0)；

将4,B两点坐标代入二次函数解析式得，

(c=8

1-16+4Z)+c=0'

所以抛物线的函数表达式为y=—/+2x+8.

(2)因为CD〃x轴,CE〃y轴,

所以△AOBsaECD,

则生=竺.

08AB

-2

因为DE=^AB,OB=4,

o

所以CD=|.

令点C坐标为(zn,-血？+2m+8),

则点。坐标为弓TH?-m,-m2+2m+8)

所以CD=m—(|m2—m)=—|m2+2m,

1o

贝1J—+2m--,

解得m=1或3.

当m=1时，—m?+2m+8=9；

当m=3时，—zu?+2m+8=5；

所以点C的坐标为(1,9)或(3,5).

【解析】(1)根据一次函数解析式求出4B两点坐标，再将4,B两点坐标代入二次函数解析式即可解决问

题.

⑵根据△ZOBSAECD得到CD与。B的关系，建立方程即可解决问题.

本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图

象和性质是解题的关键.

11.【答案】【小题1】

解：•••抛物线丫=a(x—37+4过原点，即过点(0,0)

则代入，得9a+4=0

解得a=-《

抛物线的解析式为y=-^(x-3)2+4=-^x2+|x

••・顶点8的坐标为(3,4)

•••抛物线的对称轴为直线x=3,且过原点

••・抛物线与x轴的另一交点4的坐标为(6,0)；

【小题2】

•••8(3,4)

OD=3,BD=4

.­.乙BOD>45°,0B=5

.•.点P在。B上

如图，过点P作PE1OB于点E

图1

设OE=PE=m,则。尸=V-2m

vsinZ.PBE=sinZ-OBD

PE_OD_3

^PB='OB=5

5

・•.PB=qm

4

.•・BE=

4

，可zn+m=5

解得租=y

・•.PD=

【小题3】

连接。B,过点C作CM1OB于点M,过点4作4VLOB于点N

•••乙OBD=乙CBM,乙ODB=乙CMB=90°

.•.ElOBD"回CBM

同理可证，EOBD“ElOAN

BC_OBAN_BD

'MC=~OD,OA='OB

••端=需=1，即3BC=5MC

•••3BC+5AC=5MC+5AC=5Q4C+MC)

•.•当尔C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，4C+MC最小

AC+MC最小值为AN,如图所示

ANBD

"'0A=OB

BD424

-'-AN=OBXOA=5X6=T

AC+MC最小值为普

即3BC+SAC=5Q4C+MC')=24.

【解析】1,

利用待定系数法求出函数的解析式，即可得到4B两点的坐标；

2.

确定N8。。＞45°,点P在0B上，过点P作PE10B于点E,设。E=PE=m,则。P=Cm,根据sin/PBE=

smZ-OBD,得到器=器=I,求出PB,得到=列得方程+ni=5,求出m,利用勾股定理求出

CDUD□33

PD即可；

3.

连接。B,过点C作CM10B于点M,过点2作2N_L0B于点N,证明团“回CBM,ElOBD-0OAN,得

到喋=案，罂=累，进而求出3BC+54C=5MC+54c=5Q1C+MC),当4、C、M三点共线，且三点连

MLUUUD

线垂直0B时，2C+MC最小，根据瞿=累，求出力N,AC+MC最小值即为力N,则问题得解.

(7/1UD

12.【答案】解：(1)抛物线与y轴交于点C(0,4),

••・c=4,

・・,对称轴为%=-|,

b3,

•••--=-b=­3Q,

—LL

・•・抛物线的解析式为y=-％2-3%+4；

(2)如图，过9作无轴的垂线，垂足为“，

图1

令—/—3%+4=0,

解得：=1,12=-4,

・・・4(-4,0),8(1,0),

・•.OA=4,AB=1-(-4)=5,

由翻折可得ZB'=ZB=5,

,•,对称轴为X=—|，

34)=/5

AB'—AB=5=2AH,

乙AB'H=30。，Z-B'AB=60°,

4DAB=^B'AB=30°,

在RtAa。。中，2OD=AD,

由勾股定理，得：(2。。)2=。。2+42,

解得：OD=|

D(O,^<3)；

(3)设BC所在直线的解析式为yi=krx+b],

把B、C坐标代入得：收+，=°,

解得:｛建>

・•・yr=—4%+4,

•••OA=OC,