有理数的规律探究问题重难点（10大题型60题）（解析版）-2025年新七年级数学暑期提升

有理数的规律探究问题重难点（10大题型，60题）

考点一：数字类规律探究

1.（23-24七年级上•黑龙江绥化阶段练习）观察一组按规律排列的数：1,2,4,8,16,…，则第2024

个数是（）.

A.22024B.22024-1C.22023D.以上答案都不对

【答案】C

【分析】根据1,2,4,8,16,得出第〃个数为2”T,把“=2024代入即可作答.

【详解】解：观察所给的数据，

得第〃个数为2'1，

当〃=2024时，2"-1=22024-1=22023，

故选:C.

【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键找出第〃个数为2”T，难度较小.

2.（23・24七年级上•河南洛阳,期中）观察下列一组数：-|y,瞪，…，它们是按一定

规律排列的，那么这一组数的第八个数是—.

【答案】（-1户•与2

【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以

写出第〃个数，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字.

,“八用物26122030

【详解】l组数:1§，为，-才如，…，

1x22x33x44x55x6

•••这组数为:

3,32333435

・••这•组数的第〃个数是（-1产/5+。

3"

故答案为：（-1产.〃（〃+1）

3"

3.（23-24七年级上•浙江绍兴・期末）如图，一组数据按图中规律从左向右依次排列，则第12个图中

【分析】本题考查了图形类规律探索，根据己知图形找出•般规律是解题关键.根据题意图形归纳总结每

个图形中四个数字的规律，据此即可得出答案.

【详解】解：由图形可知，左上方数字按0、2、4……排列，则第〃个图中，左上数字为2〃-2,

右上方的数字按I、2、3……排列，则第〃个图中，右上数字为〃，

左下方的数字按3、6、9……排列，则第〃个图中，左下数字为3〃，

右下方的数字为每个图形中左下数字和左上数字的乘积，再加上右上数字，

二.第12个图中，左上方的数字为2x12-2=22,右上方的数字为12,左下方的数字为3x12=36,

.•.“=22x36+12=804,

故答案为：804.

4.（23-24七年级上•江苏常州•期中）我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关

系的一组实例：

乘方运算2'=22=423=8・・・3'=332=932=27・・・

新运算Iog22-1log24-2log28-3・・・log33-llog39-2Ioga27-3•・・

根据上表规律，某同学写出了三个式子：@logJ6=4,②1O&25=5,@log464=3.其中正确的

是.

【答案】①③/③①

【分析】本题考查了有理数的混合运算、新定义，根据题中的新定义法则判断即可，解题的关键是理解题

中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则.

【详解】解：=24=16,

••.log216=4,故①计算正确，符合题意；

•.♦52=25，

25=2,故②计算错误，不符合题意；

•/4'=64.

，1咤464=3,故③计算正确，符合题意；

综上所述，正确的有①③，

故答案为：①③.

5.（22-23七年级上•河北唐山•期中）填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出

。、b的值分别为（）

6

032547C

413631857ab

A.6=91B.。=12,b=91

C.a=1（）,b=95D.a=12,6=95

【答案】A

【分析】分析正方形中的四个数，找出四个数之间的联系，即可求解.

【详解】分析正方形中的四个数：

••,第一个正方形中左上角的数为0,右上角的数为0+3=3,左下角的数为0+4=4,右下角的数为

3x4+1=13；

第二个正方形中左上角的数为2,右上角的数为2+3=5,左下角的数为2+4=6,右下角的数为

5x6+1=31；

第三个正方形中左上角的数为4,右上角的数为4+3=7,左下角的数为4+4=8,右下角的数为

7x8+1=57：

二•第四个正方形中左」••角的数为6,右上角的数为c=6+3=9,左下角的数为a=6+4=10,石下角的数为

6=9x10+1=91；

1111

-----4-------+------+•••+

1x22x33x420x21

1111

=1--1+1_1+…+--------

2233-42021

20

2?

故选:C.

7.(2024七年级上•云南•专题练习)学科素养.推理能力［符号表示一种运算，运算规律如下：

=/(2)=1-1>/⑶=1］，/(4)=1—，…，则/⑴/(2"⑶…/(100)=()

/，r，

50厂100-1

A.----B.-----C.-----D.—-

101100101101

【答案】D

【分析】本题考查新定义的有理数运算，理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键.根据新定义的运

算法则得出/⑴•/(2)・/(3)…/(100)=［1-911-；111-口…-再求解即可.

【详解】解：根据题中的新定义得：/⑴・/(2”(3)…/(100)

1

=lo?'

故选D.

8.(24-25七年级上•江苏扬州•期中)下面是按一定规律排列的一列数:

第I个数:

第2个数:

第3个数:

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）

A.第10个数B.第11人数C.第12个数D.第13个数

【答案】D

【分析】本题考了有理数的混合运算、数字类规律探索、自理数的大小比较，由题意得出规律第〃个数为

1击’再求出第个数、第"个数、第12个数、第13个数’比较即可得解.

1431

=-X—x---

2343

=11•

23'

第3个数：|+生＞+?卜+上?■卜:

11

=———«

24'

I

2〃n+12〃+1

7

之、第12个数为

用。个数为；$=*9《第"个数为%

1I13211抬人闻八口…117163

=一==^7、第］3个数分别为二一二二77一77=77=1

2132626262141414147

31159

,7261222'

最大的数是第13个数,

故选:D.

9.⑵3七年级上・贵州•期末）我们知道：i44-那么借T

利用上面的规律计算：白+白+£+1

+

2023x2025

__1_1012

【答案】

n〃+12025

【分析】此题考杳有理数的混合运算，解题关键在于利用拆分法得出的规律变形，再计算即可.

根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果.

111

3^4-3-4

1_1_1

+n〃+1

------+--------+--------+■••4----------------------

1x33x55x72023x2025

1111111)

2I335520232025J

2(2025J

12024

——x-------

22025

1012

2025

1012

故答案为：

L2025

10-⑵3七年级上•广西钦州・期末）已知c"而n$C：=ET⑸

观察以上计算过程，寻找规律计算C：+C；=

【答案】41

【分析】本题考查了数字变化规律，观察分母是从1到b的b个数相乘，分子是从。开始乘，依次减1力个

数相乘是解题的关键.

根据已知的三个等式得.对于C：@<a）来讲，等于•个分式，其中分母是从1到人的力个数相乘，分子是从

。开始乘，依次减11个数相乘.

3x25x4x36x5x4x3,.

【详解】解:••・《==3,以==10，屐--------------=15,

1721x2x3Ix2x3x4

4x37x6x5

•V==35,

1x21x2x3

*+《=35+6=41

故答案为：41.

11.（24-25七年级上•安徽宿州•期中）观察下列等式:

第I个等式：-l+；=—lx；x2；

第2个等式:-1+l=-1xlx2；

第3个等式：-1+l=-lxlx2；

（1）请写出第5个等式：_________________________

（2）写出第〃个等式：：（用含〃的式子表示，〃为正整数）

⑶根据你发现的规律计算：（1）（11、卜卜（丁1二1、卜…+卜赤1x丽1卜）于1痂1.

【答案】⑴-;+；=x；x2

J/J，

iI11

(2)—+------=—x-------x2

nn+2nn+2

3035

(3)-

4048

【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键.

（1）根据规律计算即可求解；

（2）根据规律总结归纳即可求解；

（3）先将乘法化为加法，再结合分配律进行简便运算即可求解：

【详解】⑴解：由题意得：第5个等式：-1+y=-1xlx2,

故答案为：--^+y=--^xyx2；

（2）解：归纳可得：第〃个等式：-1+」==-L一二x2,

nn+2nn+2

故答案为：一■-+-=--x―!―x2；

nn+2nn+2

，nrinri（ii\।i

（3）解:I-lx-+——x—I+——x-I+•••+1-x——x

I3八24八35）I20222024J22023

1

=­X+1(，4-

22I2022盛卜，盛

1.，+J---L+Olx1

=­x

22021202320222024J22023

iL+」x1

2V220232024)42023

一+—X——X

422023404822023

30361

4048+4048

3035

4048；

考点三：乘方中的规律探究

12.（2025•云南文山•模拟预测）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过1小时便由1个分裂成2

个.根据此规律可得，那么经过”（“为正整数）小时后可分裂成（）个细胞

第2小时

【答案】C

【分析】本题主要考查有理数乘方的应用及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键.

规律：每分裂一次，细胞数量扩大到原来的2倍，据此求解即可.

【详解】一个细胞1小时分裂成2个，即，个细胞：

一个细胞2小时分裂成4个，即22个细胞；

一个细胞3小时分裂成8个，即23个细胞；

依此类推，一个细胞〃小时分裂成2"个细胞；

故选：C.

13.（24-25七年级上•河南平顶山•期中）观察下图'“'形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出〃的值

为（）

D.271

【答案】B

【分析】本题考查了数字类规律探索，由题意可得第。个图形各数之间的关系为：左下角的数=2。，最上面

的数为2〃-1,左卜角的数=右下角的数+最上面的数，由此计穿即可得解，正确得出规律是解此题的关键.

【详解】解：由图可得:

第一个图形各数之间的关系为：2=1=1+1，最上面的数1=以2-1,

第二个图形各数之间的关系为：4=22=3+1,最上面的数3=2x2-1,

第三个图形各数之间的关系为：8=23=5+3,最上面的数5=3x2-1,

第。个图形各数之间的关系为：左下角的数=2",最上面的数为2。-1,左下角的数=右下角的数+最上面

的数，

则〃？=〃+15,2a-1=15,〃？=2",

二q=8,m=2S=256>

w=w-15=241,

故选：B.

14.（24-25七年级上•北京顺义•期末）观察一组数:3,-6,12,-24,48,-96,...»根据你观察到的

规律，第8个数是；第2025个数是.

【答案】-3843X22°N

【分析】本题考查了数字变化的规律，找出数字之间的联系得到规律是解题的关键.观察数字可知，第奇

数个数是正数，第偶数个数是负数，且第〃个数的绝对值为3・2一，根据规律即可解答.

【详用单】解：v3=3x1,-6=-3x2,12=3x2z,-24=-3x2\48=3x2,，-96=-3x25,...

丁•第8个数是-3x27=-384,第2025个数是3X22024•

故答案为：-384；3x22024.

15.（2024七年级上•全国•专题练习）观察下面一列数：-1,2,-3,4,-5,6,-7,…，将这列数排成如图的图

形.按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是,数2024是第行从左边数第

个数.

-1

2-34

6-78-9

12-1314-1516

【答案】824588

【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数,

每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答.

【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为-81,则第1（）行左边数第一个数为82；

••邓2=2025，

.•.数2024是第45行左边数的倒数第二个数，

•••第45行共有：45?-44?=89个数，

，第45行倒数第二个数是从左边数第88个数：

故答案为：82；45；88.

16.（24・25七年级上•山东日照•期中）观察下面两行数，并按规律填空：

①-2,4,-8,16,-32,64一…

②0,6,-6,18,—30,66,…

（1）请你分别写出第①②行的第7个数；

（2）取每行数的第10个数，计算这两个数的和.

【答案】（1）—128,-126

（2）2050

【分析】本题主要考查了数字变化的规律.

（1）观察第①行数字，发现后一个数是前一个数的-2倍，再结合第一个数为一2,得出第①行的第〃个数

即可，观察第②行数，发现第②行中的数与第①行中对应数位置之间的关系即可解决问题：

（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题.

【详解】（1）解：观察第①行数可知，

后一个数是前一个数的-2倍，且第1个数字为-2,

所以第①行的第〃个数可表示为：（-2）”；

观察第②行数可知，

第②行的数比第①行相应位置的数大2,

所以第②行的第〃个数可表示为：（-2）"+2；

当“=7时，

（-2）?=-128,（-2）?+2=-126；

所以第①②行的第7个数分别为-128,-126,

故答案为:-128,-126；

（2）解：当〃=解时,

（-2）'°=1024,（-2）'°+2=1026,

则1024+1026=2050,

即每行第10个数的和为2050.

17.（24-25七年级上•江苏常州・期中）【提出问题】怎样比较20242025与20252°"的大小？

【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较〃向与（〃+1）”的大小（"是正整数），

然后我们从分析〃=1，〃=2,〃=3......中发现规律，经归纳、猜想，得出结论.

【探究过程】

（1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“>"=”或“<”）：

©I221;@2332;③T4-：……

（2）根据上面的结果，经过归纳，猜想〃""与（〃+1）”有怎样的大小关系？

【解决问题】

（3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“二”或“<”）：2O24202520252°匕

【答案】⑴①V;②<;③〉；（2）当〃W2时，<（〃+1）"；当〃之3时，〃+（3）>

【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键.

（1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得；

（2）根据（1）的结果，进行归纳即可得；

（3）根据（2）的结果，取〃=2024即可得.

【详解】解：（1）①•••12=1，2=2，1<2,

12<2'：

②•••23=8,3?=9,8<9,

<32;

@---34=81,4,=64,81>64,

••-34>4｝；

故答案为：①<;②<;③〉.

(2)根据(1)的结果，经过归纳得：当“K2时，〃+当〃之3时，不>5+1)".

(3)v2024>3,

.・.2024*>(2024+1片,即2O242025>2O252024,

故答案为：>.

考点四：数轴中的规律探究

18.(24-25七年级上•河南平顶山•期末)如图所示，数轴上O,A两点的距离为12,一动点。从点A出发,

按以下规律跳动：第1次跳动到4。的中点4处，第2次从4点跳动到力。的中点4处，第3次从4点跳

动到4。的中点4处.按照这样的规律继续跳动到点儿，4,4…4(〃23,〃)是整数：处，问经过

这样2024次跳动后的点与A.A的中点的距离是()

【答案】D

【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离，，准确分析计算是解题的关键.根据题意得

出4,表示的数为则点念以表示的数为12x(；］必，在得出4%的中点表示的数为9,即可解答.

【详解】解：根据题意可得：

•・•数轴上O,4两点的距离为12,

・••点4表示的数为12,

4表示的数为12X；=6,

\2

4表示的数为12x-=3,

4表示的数为12x（；1

4表示的数为12x（g）,

4表示的数为12x（；j,

z.\2O23

••.经过这样2023次跳动后的点40f表示的数为12x1

•・•点/表示的数为12,4表示的数为6,

29,

•••44的中点表示的数为

2

/[、2。24

=9-3x4x备=9-3x*

•••经过这样2024次跳动后的点与A}A的中点的距离为9-12x[g|

故选:D.

19.（24-25七年级上•贵州•阶段练习）一只跳蚤在数轴上从0开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单

位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此

规律跳下去，当它第2025次落下时，落点处对应的数为（）

A.-1013B.-2025C.1013D.2025

【答案】C

【分析】此题考查了数轴上动点问题，有理数的加减混合运算以及数字类规律问题，根据题意列出算式求

解即可.

【详解】解：由题可得：

1-2+3-4+5-6+......+2023-2024+2025

=-1x1012+2025

=1013,

故选:C.

20.（2025•山东淄博•二模）在数轴上，点。表示原点，现将点A从。点开始沿数轴按如下规律移动：第一

次点A向左移动1个单位长度到达点4,第二次将点4向右移动2个单位长度到达点4,第三次将点4向

左移动3个单位长度到达点4,第四次将点4向右移动4个单位长度到达点4,…，按照这种移动规律移

动下去，第〃次移动到点4,当〃=2025时，点与原点的距离是个单位.

【答案】1013

【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键；

根据前4个点的运动规律可得：第〃次移动到点4,当〃为奇数时，点4表示的数是一号，当〃为偶数

时，点4表示的数是］，进而求解.

【详解】解：因为第一次点A向左移动1个单位长度到达点4,点4表示的数是-1，

第二次将点4向右移动2个单位长度到达点4,点4表示的数是1,

第三次将点4向左移动3个单位长度到达点4，点4表示的数是-2,

第四次将点4向右移动4个单位长度到达点4,点儿表示的数是2,

所以第〃次移动到点4,当〃为奇数时，点4,表示的数是一寸，当〃为偶数时，点4表示的数是

所以当〃=2025时，点402s表示的数是一号空=7013,与原点的距离是1013；

故答案为：1013.

21.（23-24七年级下•广西南宁•开学考试）数轴上有力对应的数是-1,一只蚂蚁从点力出发，第一次先沿

数轴负方向爬2个单位，第一次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8

个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点8处.如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若

点,4对应的点W落在点8的右边，且HB=8,则点。表示的数是.

A

CBC

【答案】53

【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键.

根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的

位置变化也是沿正方向爬行2个单位，得出蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单

位，即可确定点8的对应的数为99,根据数轴得出8c长，即可得出结果.

【详解】解：根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第

四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位，

•••蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单位，

.•.点8的对应的数为：-1+100=99,

.•.80=(100-8)+2=46

•••点。表示的数是99-46=53,

故答案为：53.

22.(24-25七年级上•福建漳州•阶段练习)数学实验室：点力、6在数轴上分别表示有理数a、b,4、B两

点之间的距离表示为/〃，在数轴上力、〃两点之间的距离44=|。-6|.

利用数形结合思想问答下列问题：

AOB

-----111---->

a----------------------b

(1)数轴上表示A-和-3的两点之间的距离表示为

(2)若x表示一个有理数，则卜-1|+|工+4|的最小值=_.

(3)在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉•例如：|6+7|=6+7,|6-7|=7-6,

|7-6|=7-6,|-6-7|=6+7.

根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)：

0)|7-21|=_；

I1J_____1_

③计算:4-++…+4

3~24~35~4202320222024-2023,

【答案】(1)卜+3|

(2)5

⑶①21-7；②工-工；③黑

【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，化简绝对值，有理数的加减计算，正

确理解题意是解题的关键.

（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可；

（2）根据绝对值的几何意义可得，卜-1|+|4+4|表示的是数轴上表示数》的点到表示数1的点和数-4的点

的距离之和，据此结合数轴求解即可；

（3）①②仿照题意去绝对值即可；③先仿照题意去绝对值，再计算加减法即可.

【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为卜-（-3）|=忖+3|；

（2）解：由题意得，k-1|+k+4|表示的是数轴上表示数x的点到表示数1的点和数T的点的距离之和，

.•.兰Wxfl时，|x-l|+|x+4|有最小值，最小值为x+4+I-x=5；

(3)解：@|7-21|=21-7：

②6行7一而7卜万7一67

j______1J______1_

2023~20222024~2023

2334452022202320232024

\___1_

~2~2024

1011

2()24

考点五：周期中的规律探究

23.（2425七年级上•广西柳州•期中）如图,周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为

4B,C,D,E,尸，点力落在1的位置.如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上-2024的

点是点（）

【答案】C

【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键.圆

的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6,看余数是几，再

确定和谁重合即可解答.

【详解】解：由图可知，旋转1周，点8对应的数是0,点C对应的数是-1,点。对应的数是-2,点笈

对应的数是-3,点/对应的点为-4,点力对应的点为-5,继续旋转，点4对•应的点为-6,点。对应的点

为-7,……

•.•1-(-2024)=2025

又•.2025+6=337……3,

二数轴上表示-2024的点与圆周上点。重合.

故选C.

24.(24-25七年级上•辽宁锦州•期中)如图，将边长为1的正方形力4。。以顶点为旋转中心，沿数轴顺时

针连续滚动.起点力表示的数是-2,则数轴上数2024所对应的字母是()

Cl——

D4।[।।।I1A

-3-2-1012345

A.AB.BC.CD.D

【答案】C

【分析】本题考查旋转正方形所对应的数问题，掌握旋转正方形对应四个数规律，发现规律，用规律解决

问题是关键.根据旋转1次4在-I位置，第2次旋转点。在()位置，第3次旋转点。在I位置，第4次旋

转点4在2位置，第5次旋转8在3位置，…，总结规律，求出结果即可.

【详解】解：旋转1次5在-1位置，第2次旋转点。在0位置，第3次旋转点。在1位置，第4次旋转点

力在2位置，第5次旋转8在3位置，…

2024-（-2）=2026,

2026+4=506…2,

数轴上2024所对应的点是C点.

故选：C.

25.（21-22七年级上•江苏淮安・期末）有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向

滚动，每滚动90。算一次，则滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是（）

第一次第二次第三次

A.5B.3C.4D.2

【答案】B

【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案.

【详解】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环，

2022+4=505…2,

・•・滚动第2022次后与第2次相同，

二•朝下的数字是4的对面3,

故选；B.

【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律.

26.（24-25七年级上•广东广州•期中）已知等边三角形力在数轴上的位置如图所示，顶点力、C分别对

应的数为0、-1.将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动•圈指线段4C再次落在数轴上），

向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：+3,-2.-+4,-5,

-3.

一，，cJ\A.......

-5-4-3-2-1012345

①第一次滚动后，点力离原点最远；

②当三角形力8c结束滚动时，点C表示的数是.

【答案】三-10

【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，解题的关键是理解题意.

①分别求出每次滚动后点力离原点的距离，然后再进行判断即可:

②艰据滚动情况求出三角形48。结束滚动时，点。表示的数即可.

【详解】解：①第一次滚动后，点力表示的数为：3x3=9,

第二次滚动后,点力表示的数为:9-3x2=3,

第三次滚动后,点力表示的数为:3+3x4=15,

第四次滚动后,点力表示的数为:15-3x5=0,

第五次滚动后,点力表示的数为:0-3x3=-9,

・•・第三次滚动后，点力离原点最远;

故答案为：二

②第一次滚动后，点C表示的数为：T+3x3=8,

第二次滚动后,点力表示的数为:8-3x2=2,

第三次滚动后,点4表示的数为:2+3x4=14,

第四次滚动后,点力表示的数为:14-3x5=-1,

第五次滚动后,点4表示的数为:

故答案为：-10.

27.（24-25七年级上•河南郑州•阶段练习）如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇

数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点：若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从2这

点开始跳，则经过2024次后它停在哪个数对应的点上（）

2C.3D.5

【答案】B

【分析】本题考查了数的变换规律，根据题意找出变换规律是解题的关键.

列出青蛙每次跳动后的落点，找出规律求解即可.

【详解】解：由题意可得:

第一次跳后落在1上；

第二次跳后落在3上；

第三次跳后落在5上；

第四次跳后落在2上；

••・分别在1,3,5,2这4个数上循环，

.•.2024+4=506,

应落在2上：

故选：B.

考点六：个位数字规律探究

28.（24-25七年级上•河北石家庄•期中）嘉嘉和淇淇一起观察下列乘方计算结果的个位数字：*3?,%

%%3%37,3"…，关于他俩的结论，判断正确的是（）

嘉嘉：3"（〃是大于1的整数）=注3±二"；

”个3

淇淇：若3"（〃是正整数）的个位数字是I,贝IJ〃能被4整除

A.只有嘉嘉的正确B.只有淇淇的正确

C.嘉嘉、淇淇的都正确D.嘉嘉、淇淇的都不正确

【答案】B

【分析】本题考查了规律型——数字的变化类，有理数的乘方，根据乘方的意义可判断嘉嘉的判断，由数

字规律可得个位数字3,9,7,1四个数•循环，则当指数为4倍数时，个位数字为1,即可判断淇淇的判

断，正确找出规律是解题的关键.

【详解】解：3"（〃是大于1的整数）=2%二

/rt3

故嘉嘉判断不正确，

•••3i=3，3?=9,33=27,3,二81，

3$=243,36=729,37=2187,3"6561,

.••个位数字3,9,7,1四个数一循环,

.•.当指数为4倍数时，个位数字为1,

故3"（〃是正整数）的个位数字是1,则〃能被4整除，洪淇的判断正确，

故选：B.

29.（24-25七年级上•湖南常德•期末）阅读材料，解决问题：

由『=3,3?=9,33=27,34=81,35=243,36=729，3:2187,3S=6561,…不难发现3的正整数次

幕的个位数字以3,9,7,I为一个周期循环出现，由此可以得到：因为3K1°=34必，所以3皿的个位数字与

T的个位数字相同，为1；因为32c25=34,浜“，所以3他5的个位数字与31的个位数字相同，为3.请你仿照材

料，探索出22/72/8”的个位数字是（）

A.1B.2C.8D.7

【答案】D

【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算.分

别找出2却,72',8"的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是20+7幻+8"的个位数字.

【详解】解：•••7:7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,,

二7的正整数幕的个位数字以7,9,3,I为一个周期循环出现，

..=y4x5H,

••・/的个位数字与7的个位数字相同，应为7；

V#=&8?=64,83=512*4=4096,85=32768,…，

二8的正整数塞的个位数字以8,4,2,6为一个周期循环出现.因为821=8的川，

•••G的个位数字与©的个位数字相同，应为8；

•••21=2,22=4,2,=8,2,=16,2'=32,…，

••.2的正整数辕的个位数字以2,4,8,6为一个周期循环出现，

.•・2'=240”的个位数字与，相同，是2,

•.•2+7+8=17,

.-.2-22,+72,+821的个位数字是7.

故选：D.

30.（23-24七年级下•河北石家庄•期中）已知：21=2,22=4,23=83=16,25=32,…，设

J=（2+l）（22+l）（24+l）-.（2,024+l）+l,则力的个位上数字是（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，乘方，

先将力根据平方差公式整理，再杈据乘方得出数字变化规律，可得答案.

【详解】解：^=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）-（2,024+1）+1

=（2,024-1）（2,024+1）+1

=2?叫

v21=2,22=4,23=&24=16,25=32,...»

可知，个位数字分别为2,4,8,6,…，以4为周期循环，而2048+4=512,

...2侬的个位数字为6,

・•/的个位上数字是6.

故选:B.

31.（21・22七年级上•辽宁大连•阶段练习）观察下列等式：8=8,8?=64,3=512,84=4096,

8s=32768,…，则8加1的末位数字是_____•

【答案】8

【分析】先根据已知条件得出规律，是以8,4,2,6重复出现，再根据规律得出答案即可.

【详解】解：8'=8,8?=64,83=512,84=4096，85=32768，86=262144.…，

20214-4=505x4+1,

,8刈。的个位数字是8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了有理数的乘方和尾数问题，解题的关键是能根据已知算式得出规律.

32.（21-22七年级下•江苏宿迁•期中）（1）观察下列各式：

3'=3,32=9,3?=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,---

13'=13,132=169,133=2197,134=28561,13s=371293,136=4826809,•••

根据你发现的规律回答下列问题：

①3皿的个位数字是；13”的个位数字是;

②43%的个位数字是；4355的个位数字是；

（2）自主探究回答问题：

①7"的个位数字是，755的个位数字是；

@52"的个位数字是，52”的个位数字是.

（3）若〃是自然数，则，产r产的个位上的数字（）

4恒为（）B.有时为0,有时非0C.与"的末位数字相同D.无法确定

【答案】（I）①9;7②7；7（2）①3;3②8;8（3）A

【分析】（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；

（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；

（3）根据（1）（2）中的结论可知〃为与〃*个位上的数字相同即可得出答案.

【详解】解：（1）①:3:3,3?=9,3?=27,3,=81,k=243,36=729,37=2187,…

・•.3的乘方的个位数字依次是3,9,7,1,以此4个数为一个循环依次进行循环

•••2022+4=505...2

A32022的个位数字是9；

v13'=13,132=169,133=2197,134=28561,135=371293,136=4826809,…

•••13的乘方的个位数字依次是3,9,7,1,以此4个数为一个循环依次进行循环

•.•99+4=24...3

・••13"的个位数字是7；

故答案为：9；7；

②由①可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3,9,7,1,以此4个数为一个循环依次进行循环

•••99+4=24...3,55+4=13...3

43"的个位数字是7,4355的个位数字是7：

故答案为：7；7；

（2）①丁=7,72=497=343,7,=2401,7s=16807,76=117649...

・••7的乘方的个位数字依次是7,9,3,1,以此4个数为一个循环依次进行循环

•••99+4=24...3,55+4=13...3

7"的个位数字是3,7”的个位数字是3

故答案为：3；3

②2'=2,22=4/3=8,24=16,25=32,26=64...

・•.2的乘方的个位数字依次是2,4,8,6,以此4个数为•个循环依次进行循环

，52的乘方的个位数字依次是2,4,8,6,以此4个数为•个循环依次进行循环

•.•99+4=24...3,55+4=13...3

52"的个位数字是8,521的个位数字是8

故答案为：8;8

（3）由（1）（2）中的结论可知〃99与〃”个位上的数字相同

・•・/-/的个位上的数字恒为0

故选A.

【点睛】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键.

考点七：递进中规律探究

33.（24-25七年级上•贵州贵阳•阶段练习）观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照

此规律，第2024个图形中共有（）个。.

O

OO

O