五大类概率与统计-2024年高考数学大题专项训练（学生版）

专题04五大类概率与统计题型-2024年高考数学大

题秒杀技巧及专项训练(原卷版)

c高考大题题型归纳金

【题型1独立性检验问题】

【题型2线性回归及非线性回归问题】

【题型3超几何分布问题】

【题型4二项分布问题】

【题型5正态分布问题】

独立性检验问题

模型一分层抽样

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一

定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。分层抽

样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的。

注：①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进

行计算.

③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=藐募=缝稼建”

模型二频率分布直方图

(1)频率、频数、样本容量的计算方法

―频率

啮■X组距=频率.

频数频数

②样,究量=频率,蠡=样本容量，样本容量X频率=频数.

③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1.

频率分布直方图中数字特征的计算

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.设中位数为x,利用x左(右)侧

矩形面积之和等于0.5,即可求出x.

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以

小长方形底边中点的横坐标之和，即有［=±P|+WP|+-+X“p”，其中x“为每个小长方形底

边的中点，p”为每个小长方形的面积.

模型四独立性检验

(1)定义：利用独立性假设、随机变量K?来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关

系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.

(2)公式：K2=------"一3------,其中〃=q+^+c+d为样本容量.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

(3)独立性检验的具体步骤如下：

①计算随机变量K?的观测值上，查下表确定临界值照：

P(K0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

②如果％2亳，就推断“X与y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过？(烂2石)；否则,

就认为在犯错误的概率不超过p(K2＞发)的前提下不能推断“X与y有关系”.

注意：算出的k2在那个区间内，从而求出ko在那个区间

模型演炼

4月15日是全民国家安全教育日.以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.只

有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础，作为知识群体的青年

学生，是强国富民的中坚力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随

机抽取了600名学生，发放调查问卷600份（答卷卷面满分100分）.回收有效答卷560份，

其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答

卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间.同时根据560份有效答卷的分数，绘制了

如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中相的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数和平均数”（同一

组数据用该组中点值代替）.

（2）如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根

据上述数据，完成下面2x2列联表，并判断能否有95%的把握认为学生性别与国家安全知

识敏感度有关.

高敏感低敏感总计

男生80

女生80

总计560

附：独立性力脸验临界值表

尸（K2"。）0.10.050.010.0050.001

K22.7063.8416.6357.87910.828

公式：K-=其中n-a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)'

模型演炼

某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综合

能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，并按学生成绩是否高于75分(满分100

分)及周平均阅读时间是否少于10小时，将调查结果整理成列联表.现统计出成绩不低于

75分的样本占样本总数的30%,周平均阅读时间少于10小时的人数占样本总数的一半，而

不低于75分且周平均阅读时间不少于10小时的样本有100人.

周平均阅读时间少于10小时周平均阅读时间不少于10小时合计

75分以下S

不低于75分t100

合计500

(1)根据所给数据，求出表格中s和r的值，并分析能否有99.9%以上的把握认为语文成绩与

阅读时间是否有关；

(2)先从成绩不低于75分的样本中按周平均阅读时间是否少于10小时分层抽样抽取9人进

一步做问卷调查，然后从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记抽取3人中周平均阅读时间

不少于10小时的人数为X,求X的分布列与均值.

n(ad-bc)2

参考公式及数据：z2=n=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(4+c)(Z?+d)'

a0.010.0050.001

%6.6357.87910.828

02°NEFINEDA」「

专项满分必刷

1.某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活

动的参与情况，统计了如下数据：

文化艺术类体育锻炼类合计

男100300400

女50100150

合计150400550

(1)通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？

(2)为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法

抽取了6名同学.若在这6名同学中随机抽取2名，求所抽取的2名同学中至少有1名女生的

概率.

附表及公式:

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

其中片=_______一—___________,

n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(o+c)(b+d)

2.软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国

的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓

展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家

长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数(每人

只学习一种书体)，得到相关数据统计表如下:

书体楷书行书草书隶书篆书

人数2416102010

(1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中。460.

认真完成不认真完成总计

a

男生a

女生

总计60

若根据小概率值a=0.10的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求

该培训机构学习软笔书法的女生的人数.

(2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽

取4人，记4人中学习行书的人数为X,求X的分布列及数学期望.

n^ad-bc^2

参考公式及数据：/=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.01

Xa2.7063.8416.635

3.甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模

拟诊断这3项程序后直接签约一批毕业生，已知3项程序分别由3个部门独立依次考核，且

互不影响，当3项程序全部通过即可签约.假设该校口腔医学系170名毕业生参加甲医院的

“小小医生计戈「'的具体情况如下表(不存在通过3项程序考核后放弃签约的现象).

性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数合计

男生582785

女生424385

合计10070170

⑴判断是否有95%的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性

别有关；

(2)该校口腔医学系准备从专业成绩排名前5名的毕业生中随机挑选2人去参加乙医院的考

核，求专业排名第一的小华同学被选中的概率.

参考公式与临界值表：=n=a+b+c+d.

P（K2>k）0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

4.某大学保卫处随机抽取该校1000名大学生对该校学生进出校园管理制度的态度进行了问

卷调查，结果见下表：

男生(单位：人)女生(单位：人)总计

赞成400300700

不赞成100200300

总计5005001000

(1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学

生的性别是否有关;

(2)为答谢参与问卷调查的同学，参与本次问卷调查的同学每人可以抽一次奖，获奖结果及

概率如下：

奖金(单位：元)01020

22]_

获奖概率

75

若甲、乙两名同学准备参加抽奖，他们的获奖结果相互独立，记两人获得奖金的总金额为X

(单位：元)，求X的数学期望E(X).

2n(ad-be)一

附:,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n-a+b+c+d.

a0.150.100.050.0100.001

Xa2.0722.7063.8416.63510.828

5.民航招飞是指普通高校飞行技术专业(本科)通过高考招收飞行学员，据统计某校高三

在校学生有1000人，其中男学生600人，女学生400人，男女各有100名学生有报名意向.

(1)完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率；

有报名意向没有报名意向合计

男学生

女学生

合计

(2)判断是否有99%的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关.

2

附：K=--------"(ad-bc)-------,其中：n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

尸（七次）0.100.050.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

6.“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023年火爆“出圈”后，

“村超”热度不减.2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中

拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”.为了解不同年龄的游客

对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过

35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价.设事

件A="游客对“村超”满意"，事件3="游客年龄不超过35周岁”，据统计，P（A|B）=|,

⑴根据已知条件，填写下列2x2列联表并说明理由;

满意度

年龄合计

满意不满意

年龄不超过35周岁

年龄超过35周岁

合计

（2）由（1）中2x2列联表数据，依据小概率值&=0.01的独立性检验，能否认为游客对“村超

的满意度与年龄有关联？

附：_______Mad_b*______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

7.某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活

动的参与情况，统计了如下数据:

文化艺术类体育锻炼类合计

男100300400

女50100150

合计150400550

(1)通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？

(2)“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏,也是一种礼仪.该校文化艺术类课外活动中,

设置了一项“投壶”活动.已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分,

据以往数据，甲每只投中的概率为:，乙每只投中的概率为若甲、乙两人各投2只，记

两人所得分数之和为九求看的分布列和数学期望.

附表及公式:

尸—七)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-be)2

其中K2=n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

8.随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科

技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作

的指导意见(征求意见稿)》为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了

两个参加国内学科竞赛的中学，从48两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛

获奖情况，并将结果整理如下：

未获得区前三名及以上名次获得区前三名及以上名次

A中学116

8中学349

⑴试判断7芝否有90%的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？

(2)用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人

中任选3人进行深度调研，求所选的3人中恰有2人来自B中学的概率.

附：片=诉声记＞询,其中〃=a+"c+d

2

P(K>k0)0.100.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

线性回归及非线性回归问题

模型一线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法.

对于一组具有线性相关关系的数据（尤1，VI）,（X2，>2），…，（法,〉“），其回归方程>=嬴+。

的求法为

E（占-尤）（%-y）Z七其一nxy

务=上匕----------=号---------

£（N—x）222

^xt-nx

i=li=l

a=y-bx

—1n_in__

其中，x=—Yxz,y=—（x，y）称为样本点的中心.

ni=xni=x

模型二非线性回归

建立非线性回归模型的基本步骤

（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量;

（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性

关系）；

（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比

例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幕函数模型等）；

（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；

（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；

（6）消去新元，得到非线性回归方程；

（7）得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否

合适等.

模型演炼

2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了

企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，

极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接

到的订单数量.

月份f1234

订单数量y（万件）5.25.35.75.8

£（占-初（％-力

附：相关系数，「=

回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

。£（%-元）（%-歹）

b=^---------，a^y-bx,A/L3

Z=1

（1）试根据样本相关系数厂的值判断订单数量y与月份r的线性相关性强弱（0.75S厂区1,则

认为y与f的线性相关性较强，lr|<0.75,则认为y与f的线性相关性较弱）.（结果保留两位

小数）

（2）建立y关于f的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.

模型演炼

数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将

持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份

2018—2022对应的代码分别为1—5.

年份代码X12345

车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0

(1)由上表数据知，可用指数函数模型y=拟合y与X的关系，请建立y关于X的回归方

程(a,b的值精确到0.1)；

(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y

关于尤的回归方程后，通过修正，把61.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，

请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐

市场规模.

参考数据：

5

工工跖

0.5240.472

Vi=l

1.9433.821.71.6

[5

其中匕=In%,v.

3i=l

参考公式：对于一组数据(%,%),(%,%)”••，(",,，匕)，其回归直线£=2+的的斜率和截距的

Z%匕-nu-v

最小二乘法估计公式分别为/=------,a=v-pu.

_nu

i=\

模型演炼

某新能源汽车公司对其产品研发投资额X(单位：百万元)与其月销售量y(单位：千辆)

的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.

X12345

y0.691.611.792.082.20

月销售量A

2.50-*

2.00-.

1.50-,

1.00-

0.50-•

O1234S产品研发投资额士

（1）通过分析散点图的特征后，计划用>=姑（桁+。）作为月销售量>关于产品研发投资额x

的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y关于龙的回归方程；

（2）公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以

往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量J的分布列为:

结合回归方程和J的分布列，试问公司的决策是否合理.

£（%一尤）37）ijX^-nx-y__

参考公式及参考数据：♦=J-----——=-----—,§=ln7«1.95.

£卜厂尤）一储“I

1=11=1

y0.691.611.792.082.20

e,（保留整数）25689

02ONEFINEDAY

专项满分必刷

1.某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入优（万元）

与科技升级直接收益y（万元）的数据统计如下：

序号i234567

m234681013

y13223142505658

根据表格中的数据，建立了y与机的两个回归模型：模型①：亍=41加+11.8；模型②：

y=21.3A/«2—14.4.

(1)根据下列表格中的数据，比较模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可

靠的模型；

(2)根据(1)选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程5,=4.1m+11.8夕=21.3册'-14.4

7

£)2182.479.2

Z=1

1

y(yt—

(附：刻画回归效果的相关指数笈=1-口—」,配越大，模型的拟合效果越好)

Z(x-y)2

(=1

2.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了

解年研发资金投入额尤(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，通过对“十二

五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额占和年盈利额=1,2,…,10)数据进行

分析，建立了两个函数模型：y=a+外二>其中a、夕、2、f均为常数，e为自

然对数的底数，令",=心匕=lny,(i=l,2〃..,10),经计算得如下数据：

元=269=215瓦=680万=5.36

10101010

24

£(—『=100E(%-万)2=22500£(%-项y-刃=260S(X--7)=

i=\Z=1Z=1i=l

1010

之(匕_班=4^(x,.-x)(v,.-v)=18

/=]i=\

（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？

⑵根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程.（系数精确到0。1）

丁）（％-9）

附:相关系数

.。£（乙-丁）（y-歹）

回归直线9=%+©中：b=―—-----------,a=y-bx.

£（七-元『

Z=1

3.一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等

的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发

展活力的重要指标.数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济

的市场发展规模保持稳定增长,下表为2017-2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：

万亿元），设2017—2022年对应的年份代码依次为1-6.

年份代码X123456

中国夜间经济的市场发展规模w万亿

20.522.926.430.936.442.4

元

（1）已知可用函数模型y=拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a,b的值精

确到0.01）；

（2）某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90

分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为X,求X的

分布列与数学期望.

参考数据:

6

2.848^0.148

Ve

Z=1

3.36673,28217.251.16

其中匕=lny.

参考公式：对于一组数据（外,”）,（W2,V2）,（""#"），其回归直线；=q+4的斜率和截

距的最小二乘法估计分别为/=-.......-,a^-Bu.

2"）

Z=1

4.当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智

能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域

逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量

y（单位：千件）的数据统计表.

123456

y0.511.53612

z=Iny-0.700.41.11.82.5

（1）公司拟分别用①V=法+。和②y=两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归

分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（〃力,根，“计算过程保留到

小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）

（2）根据下表数据，用决定系数后（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好,

并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为7百万元时，产品的销售量是多少？

经验回归方程y=bx+ay=Qnx+m

残差平方和

618.290.65

E(x-X)2

1=1

2

£(%-丁)5-歹)S(x-x)6

参考公式及数据：-----------,a=y-bx,M=T-------------，W>%=121,

S(x-y)2t

z=li=l

66-i

283

Zx；=91,X.v,z,-=28.9,Z=-(-0.7+0+0.4+1.1+1.8+2.5)=0.85,e~16.5,e®20.1.

i=li=l6

5.碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因.2009年世界气候大会，中国做出了减少碳

排放的承诺,2010年被誉为了中国低碳创业元年.2020年中国政府在联合国大会发言提出：

中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.碳中和是指

主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式,

以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”.如图为

本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图.该数据分为两段，2010年前该省致力于

经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放.用

x表示年份代号，记2010年为尤=0.用表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010

年开始的年度碳排放量.

表一：2011~2017年某省碳排放总量年度统计表(单位：亿吨)

年份2011201220132014201520162017

年份代号X1234567

年度碳排放量y（单位：亿吨）2.542.6352.722.802.8853.003.09

（1）若,关于尤的线性回归方程为A=0.125x+2.425,根据回归方程估计若未采取措施，2017

年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？

⑵根据h=0.125^+2.425,设2011-2017年间各年碳排放减少量为z,（z,=百-％）,建立z

关于力的回归方程2=。.犬2+6.

①根据2=。,+力，求表一中y关于x的回归方程（精确到0.001）；

②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？

777

参考数据：£产=i40,〉y=4676,2＞上=23.605衣=0.115.

i=lz=lz=l

n__

参考公式：3=号------.

Xx；-nx'

i=l

6.近三年的新冠肺炎疫情对我们的生活产生了很大的影响，当然也影响着我们的旅游习惯，

乡村游、近郊游、周边游热闹了许多，甚至出现“微度假”的概念.在国家有条不紊的防疫政

策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中.某乡村抓住机遇，依托良好的生态环境、厚

重的民族文化，开展乡村旅游.通过文旅度假项目考察，该村推出了多款套票文旅产品，得

到消费者的积极回应.该村推出了六条乡村旅游经典线路，对应六款不同价位的旅游套票,

相应的价格x与购买人数y的数据如下表.

旅游线路奇山秀水游古村落游慢生活游亲子游采摘游舌尖之旅

套票型号ABCDEF

价格%/元394958677786

经数据分析、描点绘图，发现价格x与购买人数y近似满足关系式即

lny=61nx+lna（a>0,6>0）,对上述数据进行初步处理，其中匕=lnx”wt=Iny；,z=l,

2,..♦,6.

6666

附：①可能用到的数据：£匕吗=75.3,^v;=24.6,工吗=18・3,^v；=101.4.

1=1Z=11=1Z=1

②对于一组数据（叫,叱），（岭，唳），…，（为,吗），其回归直线自=加+&的斜率和截距的最

〃n

Z（匕一记）（叱一记）Evtwi一〃而

小二乘估计值分另U为5=-----------------=--------------，a=w-bv.

E（v；-V）2

z=li=l

（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程.

（2）按照相关部门的指标测定，当套票价格尤@[49,81]时，该套票受消费者的欢迎程度更高,

可以被认定为“热门套票”.现有三位游客，每人从以上六款套票中购买一款旅游，购买任意

一款的可能性相等.若三人买的套票各不相同，记三人中购买“热门套票”的人数为X,求随

机变量X的分布列和期望.

7.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9x9盘面上的已知数字，推理

出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3x3）内的数字均含1〜9,

且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.

参考数据£="1■:

xi

77

ft*t-7t

Z=1i=\

17500.370.55

参考公式：对于一组数据（公,匕），（%,%），•・・，（"“,乙）,其经验回归方程$=.+如的斜率和截距

n___

的最小二乘估计分别为£=三-------,°-班.

i=l

（1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关,

经统计得到如下数据：

x（天）1234567

M秒/

910800600440300240210

题）

现用＞2作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；3,务用分数表示）

（2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平

局，两人约定先胜3局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为:，且各局之间相互独立，设

比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值.

8.为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是

该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份

代码1〜10分别对应年份2013-2022.

八年研发投入y（亿元）

85-

80-,•••

75-.•*

70-•,

651・

」6M弱分代码x

图1

根据散点图，分别用模型①'="+〃，②y=c+dy作为年研发投入y（单位：亿元）关

于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，

计算得到如下表所示的一些统计量的值：

10101010

之（x,-Ty之（“-9）（-）

ytz（%-9）（%-可

Z=1i=l/•=1Z=1

752.2582.54.512028.35

_110

表中4=嘉，，=历47

（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年

份代码尤的经验回归方程模型?并说明理由；

（2）（i）根据（1）中所选模型，求出y关于尤的经验回归方程；

（ii）设该科技公司的年利润L（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足

l=（111.225-丁）«（尤eN*且xe[1,20]）,问该科技公司哪一年的年利润最大？

附：对于一组数据仪,%）,（9，％），…，（相，%），其经验回归直线/=&+加的斜率和截距

刃_

的最小二乘估计分别为3=J-----------------，a=y-bJc.

一可2

i=\

超几何分布问题

模型一超几何分布

（1）在含有/件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则事件｛X=k｝发生

的概率为尸（X=Q=左=0,],2,…，7"，其中机=min{M,w},且

n,M,NeN*,称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,

则称随机变量X服从超几何分布.

X01m

「0「〃一0「〃一1^n-m

P

玛

模型二超几何分布和二项分布的区别

区别1:超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要;

区别2：超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；

而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

模型演炼

乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺

季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村

民宿，统计得到各家的房间数如下表：

民宿点甲乙丙T戊己庚辛

普通型民宿16812141318920

品质型民宿6164101110912

⑴从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下,

求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；

(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数,

求X的分布列和数学期望.

模型演炼

已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6

人、2人.

(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率.

(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了

多轮测试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为

“优秀”.已知在某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为乙同

学每个动作达到“优秀”的概率均为：，且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试

结果互不影响.记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期

望.

7模型演炼

2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键

之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜

现象.服务业的消费越来越火爆,绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市,

得到其广告支出无（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数据如下：

超市ABCDEFG

广告支出1246101320

销售额19324440525354

⑴建立y关于x的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；

⑵若将超市的销售额y与广告支出x的比值称为该超市的广告效率值〃，当〃21。时，称该

超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市

数为X,求X的分布列与期望.

附注：参考数据SX》=2788,£x；=726,£y,2=13350,回归方程亍=&+赢中斜率和截距

2%%一〃孙

的最小二乘估计公式分别为：b=6-----,«=y-bx.

Xi=lX；_位2

'NEFINEDAY

专项满分必刷

1.当AIGC(生成式人工智能)领域的一系列创新性技术有了革命性突破，全球各大科技

企业积极拥抱AIGC,我国有包括A在内的5家企业加码布局AIGC生成算法赛道，有包括

B、C在内的5家企业加码布局AIGC的自然语言处理赛道，某传媒公司准备发布(2023年

中国AIGC发展研究报告)，先期准备从上面的10家企业中随机选取4家进行采访.

(1)若在布局不同的赛道中各选取2家企业，求选取的4家企业中，企业A,B,C至少有2

家的概率.

(2)记选取的4家科技企业中布局AIGC的是生成算法赛道的企业个数为X,求X的分布列与

期望.

2.某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成

绩分组区间是［30,50)、［50,70)、［70,90)、［90,110),［110,130),［130,150］.

频率

\赢

0.0150-..............1~I~~I

0.0075

0.0025

O30507090110130150数学成绩/分

(1)求图中。的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第8