线段垂直平分线的性质（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）解析版-2025年新八年级数学（浙教版）

线段垂直平分线的性质

(2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测)

B题型预览

典型例题一作已知线段的垂直平分线

典型例题二根据垂直平分线的性质求长度

典型例题三根据垂直平分线的性质求周长

典型例题四根据垂直平分线的性质求角度

典型例题五利用垂直平分线的性质求最值

典型例题六垂直平分线的判定与性质综合问题

典型例题七垂直平分线常见辅助线添加

隰知识梳理

知识点01线段的垂直平分线

(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)

垂直平分线，简称“中垂线”.

(2)性质：

①垂直平分线垂直且平分其所在线段.

②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等.

求做线段AB的垂直平分线

作法:

（1）分别以点A,B为圆心，以大于」AB的长为半径作弧，两弧相交于c,D两点；

2

（2）作直线CD,CD即为所求直线.

要点归纳：

作弧时的半径必须大于‘AB的长，否则就不能得到交点了.

2

【即时训练】

1.（2025•浙江杭州•模拟预测）如图，在A/BC中，进行以下操作：①分别以点3为圆心，大于;43

的长为半径作弧，两弧交于点。，E-,②作直线。E交边48于点。，交BC于点、H；③连接已知

OH=4,周长为16,则△408的周长为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，先根据作图得出。E垂直平分45,然后根据线段平分

线的性质得出=AO=BO,结合周长为16可求出/O+/H=8,然后结合08=4即可求解.

【详解】解：由作图知：OE垂直平分AB,

AH=BH,AO=BO,

•・•△4877周长为16,

AB+BH+AH=16,即AO+BO+BH+AH=16,

:.AO+AH=S,

又0H=4,

△/oa的周长为/O+/H+OH=12,

故选D.

【即时训练】

2.（24-25八年级上•浙江绍兴・期末）如图，四边形N3CD是“等形"，AB=AD,BC=DC,点E是对角线/C

的一个三等分点，连接台瓦DE,图中面积相等的三角形有（）对.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查三角形的面积、垂直平分线的判定等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的关键.

如图：连接8。交NC于点尸，由=2C=DC可知NC是AD的垂直平分线，再根据三角形面积公式

求解即可.

【详解】解：如图：连接8。交/C于点下，

AB=AD,BC=DC,

是AD的垂直平分线，

•••BF=DF,

=-EA-DF,

■,■S4A也EaB=-2EA-BF',S4AADD匕F2

S^ABE=^/\ADE，

•••S.BCE=”.BF,S.CED=；CE.DF，

.C—c

•2ABCE_3CED，

■.■S.RC=-2AC-BF,"S4A.LcDn=-2AC-DF,

.V—V

••2AABC~UAADC•

综上，图中面积相等的三角形有3对.

故选：D.

知识点02垂直平分线的性质与判定

1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

如图，直线1LAB,垂足为C,AC=CB,点P在1上.求证：PA=PB.

证明：•/1±AB,AZPCA=ZPCB.

又AC=CB,PC=PC,APCA^APCB(SAS),/.PA=PB.

2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

求证：如图，若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。

证明：(1)当点P在线段AB上时，

：PA=PB,.•.点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上;

(2)当点P在线段AB外时，如右图所示.

PA=PB,APAB是等腰三角形.

过顶点P作PCLAB,垂足为点C,.,.底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.

即PC±AB,且AC=BC.

直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.

3.线段垂直平分线的作法

①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线,

②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线;

③尺规法:

(1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E、F；

(2)过点E、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。

4.总结

内容线段的垂直平分线上的点到

-H线段的两个端点的距离相等

性质-

I作用见垂直平分线，得线段相等

线段的垂直

平分的性质

和判定由到线段的两个端点距离相等

r内谷

------的点在线段的垂直平分线上

判定-

一作用判断一个点是否在线段的垂

直平分线上

【即时训练】

1.(24-25八年级上•浙江嘉兴•阶段练习)如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分

AB,AC=5cm,则8C的长是()

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】B

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质.根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的端

点距离相等，进行列式解答即可.

【详解】解：••・CD垂直平分A8,

BC=AC=5cm.

故选：B

【即时训练】

2.（24-25八年级上•浙江杭州•期末）如图，直线/与线段43交于点。，点P在直线/上，且=则下

列说法正确的是（）

A.AO—BO

B.直线/是48的垂直平分线

C.若11AB,则直线/是48的垂直平分线

D.若44=/8,则直线/是的垂直平分线

【答案】C

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点尸

在直线的垂直平分线上，若有/则直线/是的垂直平分线，据此可得答案.

【详解】解：•.•加=尸8,

・••点P在直线的垂直平分线上，

.•.若/_LM,则直线/是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意

根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意；

故选：C.

箧经典例题

■【典型例题一作已知线段的垂直平分线】

【例1】（24-25八年级上•浙江嘉兴•期中）如图，在A/BC中，分别以点B和点C为圆心，大于38。长为

半径画弧，两弧交于点N,作直线交NC于点。，交BC于点E,连接BD,若/3=8,

BC=6,AC=9.则△/皿的周长为（）

A

A.14B.15C.17D.23

【答案】C

【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的

关键.由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得2。=CO,进而可得的周长为

AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=8+9=17,即可得出答案.

【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线,

BD-CD,

的周长为45+50+40=45+。。+4。=45+4。=8+9=17,

故选：C

【例2】（2025・浙江丽水•模拟预测）如图，观察尺规作图的痕迹，若48=8,AC=6,则△4DC的周长为

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识.由作图过程可知：BD=DC,再根据

C“DC-AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC求解即可.

【详解】解：由作图过程可知：BD=DC,

：.CAnr=AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC,

•••45=8,AC=6,

AADC的周长为AB+AC=14.

故选：C.

【例3】（24-25八年级上•浙江绍兴•期中）如图，在正方形网格中，△跖G绕某一点旋转某一角度得到

ARPQ,则旋转中心可能是.

~A~~R

【答案】C点

【分析】分别连接两个三角形的对应点，再分别作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点，即为旋

转中心，据此进行作答即可，本题考查了旋转中心，旋转性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内

容是解题的关键.

【详解】解，连接ER,GQ,分别作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点在点C,如图所示：

"AR"

故点C为旋转中心，

故答案为：c点

【例4】（2025・浙江嘉兴•模拟预测）如图，在△N2C中，点。为边42的中点，连接CD.请用尺规作图法

在边/C上求作一点£,使SABCE=SMCD.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，如图所示，作线段ZC的垂直平

分线交NC于E,连接3E,则点E即为所求；由于点E和点。分别是NA的中点，则邑BCE=SABCO

【详解】解：如图所示，点£即为所求作的点.

0变式训练

1.（2025•浙江杭州，模拟预测）已知线段利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确

的有（）

P

X/\/

I____________________I

AB

/、\/

Q

图①

A.1个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了尺规作图一作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的

关键.根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断.

【详解】解：在图①中，由作图可知，AP=BP,AQ=BQ,

••.尸。是N2的垂直平分线，故①符合题意；

在图②中，由作图可知，AP=BP,PQ平分N4PB,

由等腰三角形“三线合一”可知，尸。是的垂直平分线，故②符合题意;

在图③中，由作图可知，AP=BP,AQ=BQ,

••.尸。是N2的垂直平分线，故③符合题意；

在图④中，由作图可知，AP^BP,AQ^BQ,

：.P。不是他的垂直平分线，故④不符合题意；

综上，4个作图中正确的有①②③，共3个，

故选：C.

2.(2025•浙江金华•模拟预测)如图，在RtZ\/5C中，按以下步骤作图：①分别以A,B为圆心，大于g/8

的长为半径作弧，两弧相交于N两点；②作直线MV交4c于点。，连接AD.若NBDC=30。，则

1

【答案】2+V3/V3+2

【分析】本题考查作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用

参数解决问题.设8c=。，证明=CD=43a,再利用正切函数的定义求解.

【详解】解：设8C=a,

ZC=90°,ZBDC=30°,

二.BD=2BC=2a,CD=y/3a,

,/MN垂直平分线段AB,

DB=DA—2a,

/.AD+CD=2a+y/ia=2+V3ja

1_1AC

tanA~~^C~~SC

AC

故答案为：2+V3.

3.（2025・浙江丽水•模拟预测）AD是a/BC中NC边上的中线.

(1)尺规作图：作出AD的三等分点E、F.(要求：保留痕迹，不写作法)

(2)当点E靠近点B时，连接AE、AF,若S,皿=6,则ZUBC的面积为.

【答案】(1)作图见解析;

(2)18

【分析】本题考查了三角形的重心，中线的性质及尺规作图，解题的关键是熟练掌握三角形的重心是三条

中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.

（1）先作线段45的垂直平分线，确定线段的中点，作48边上的中线交8。于点尸，以点尸为圆心，DF

为半径作圆交B尸于点E,点E、点厂即为所求；

（2）连接/£、AF,由题意得S/BouJcBDugS/Bc，由£、尸为线段8。的三等分点，得

S&ABE=S^AEF=S^DF=；S&BD=~^S&ABC，由已知条件得名皿?=J七=3,通过=GS—D尸即可求

A3A6271cl

解.

【详解】（1）解：如图所示，点£、点厂即为线段2D的三等分点；

（2）连接/£、AF,如图所示:

AD是△4BC中NC边上的中线,

Bl__0c

AD=CD,

•c_c_XV

..3ABD—"ACBD_2"BC，

•・,点£、点尸为线段5。的三等分点,

==

一^/\ABE=S^AEFS丛ADF§'/XABD，

,S/\ADE=6，

…S/\ADF=3S^ADE=3,

••S/\ABC=2s△MO—2x3xS△/。尸=18；

故答案为：18.

4.（2025•浙江金华・模拟预测）如图，已知△/8C.

A

(1)尺规作图：作边8C的垂直平分线，交AC于点、D,交BC于点、E；(保留作图痕迹，不要求写作法，标明

字母)

(2)在(1)的条件下，连接BD.若△NBC的周长为16,BE=3,求的周长.

【答案】(1)见详解

⑵10

【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质.

(1)利用基本作图作出8C的垂直平分线；

(2)根据线段垂直平分线的性质得BE=C£=3cm,DB=DC,再利用三角形的周长的定义和等线段代换

得到/8+NO+CD=10cm,然后计算△48。的周长.

【详解】(1)解：如图，为所作；

(2)解：:OE垂直平分8C,

BE=CE=3,DB=DC,

：.BC=BE+CE=6

•.•△48C的周长为16,

即AB+BC+AC=AB+6+AD+DC=\6,

AB+AD+CD=10,

即AB+AD+BD=W,

;.“BD的周长为10.

国，【典型例题二根据垂直平分线的性质求长度】

【例1】（24-25八年级上•浙江绍兴•期中）如图，AB=BC=4,DA=DC,若N4cB=60。,则OC的长度

为（）

L5

A.1B.百C.2D.-

2

【答案】C

【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质.先证明8。是线段/C的垂直

平分线得ADL/C,OA=OC=^AC,再证明ZU8C是等边三角形得/C=AB=4,由此可得出。C的长.

【详解】W：-：AB=BC,

.•.点B在线段/C的垂直平分线上，

•••DA=DC,

・••点D在线段/C的垂直平分线上，

.•.8。是线段NC的垂直平分线，

•­.BDLAC,OA=OC=-AC,

2

又:.AB=BC=4,ZACB=60°,

・•.△ABC是等边三角形，

.-.AC=AB=4,

：.OC^-AC^2.

2

故选：C.

【例2】（24-25八年级上•浙江丽水・期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交48于点。，若

80=2,40=1,则/C的长度x取值范围为.

【答案】l<x<3

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，掌握线段的垂直平分线上的点到线

段的两个端点的距离相等是解题的关键.

根据线段垂直平分线的性质得到DC=8。=2,根据三角形的三边关系解答即可.

【详解】解：•.•人亚是线段的垂直平分线，

DC=BD=2,

在△/DC中，2—+即l<x<3,

故答案为：l<x<3.

【例3】（24-25八年级上•浙江嘉兴・期中）如图，在ZUBC中，ZC=90°,乙4=30。,43的垂直平分线分别

交于点。、E.连接3E,已知C£=2,求/E的长度.

【答案】4

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30。直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

根据线段垂直平分线的性质得到=继而448£=44=30°,再根据角的和差求出/E2C=30。，再

由30。角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：•••48的垂直平分线分别交于点。、E,

AE=BE,

NABE=ZA,

,.zC=90°,z71=30°,

：.AABE=30°,ZABC=60°,

ZEBC=30°,

BE=2CE,

•••CE=2,

AE=BE=4.

【例4】（24-25八年级上•浙江杭州•期中）如图，ZUBC中，AD平分NBAE,AD±BE,E尸垂直平分

AC,交/C于点尸，交BC于点、E.

A

⑴若ZBAE=48°,求2C的度数；

⑵若△/BC周长26,AF=6,求DC的长度.

【答案】⑴33。

⑵7

【分析】（2）利用ASA证明A/AD%,根据全等三角形的性质得出8。=。£,AB=AE,再利用线

段垂直平分线和等腰三角形性质得出48=NE=C£,求出Z4匹和/C=NE/C,最后由等腰三角形的性质

及三角形外角性质可得出答案；

（2）根据（1）和已知能推出△/BC的周长=2OC+/C,即可得出答案.

【详解】（1）-：ADVBC,

NADB=ZADE=90°.

：4D平分/BAE,

ABAD=NEAD,

在△N5D和△4EZ）中，

ABAD=NEAD

<AD=AD,

ZADB=NADE

;.AABD%AED（AS^,

BD=DE,AB=AE.

EF垂直平分AC,

..AB=AE=EC,

ZC=NCAE.

■.-ZBAE=48°,

ZAED=1x（180°-48°）=66°,

2

.-.ZC=-ZAED=33°.

2

(2)解：由1知：AE=EC=AB,BD^DE,

AB+BD=EC+DE=DC,

/.l\ABC的周长=45+5C+/C=4B+5Z）+OC+4C=2OC+/C=26.

♦；AE=EC,EFLAC,AF=6f

：.AC=2AF=12,

/.DC=7.

【点晴】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形

内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.

0变式训练

1.（2025・浙江绍兴•模拟预测）如图，在△45C中，是边的垂直平分线，E为A4的延长线上一

点.过点E作EF1BC于点F,交ZC于点若45=10,AH=6,AE=4,则M/的长度为（）

【答案】A

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，由线段垂直

平分线的性质可得ZB=/C=10,证明△CMb/△C47,由相似三角形的性质求解即可得解，熟练掌握以上

知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：是边的垂直平分线，

.・.AB=AC=10f

：./BAH=ZCAH,

vAHIBC,EFIBC,

EF//AH,

・•・/BAH=ZE,ACAH=/AME,

・•.ZE=ZAME,

•*.AM=AE=4,

/.CM=6,

•・•EF//AH,

/.ACMFSACAH,

MFCM口.MF6

——=---,即——=——,

AHCA610

故选：A.

2.(24-25八年级上•浙江舟山•期中)如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点，、B,连接45,再作出AB

的垂直平分线，交AB于点、D,交标于点C,如果知道43、C。的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半

2cm，则圆的半径为.cm,阴影部分的面积为一cm2.

【分析】设点。为圆心，由垂径定理的推论可知点。在直线上，连接。氏BC,利用线段垂直平分线的

性质和勾股定理求出圆的半径，进而可得CQ=OD,得到48垂直平分线。C,即得CB=OB=OC,得到

ZSOC=60°,再证明AODB知CDN(SAS)可得S阴影=s扇形据此即可求解.

【详解】解:设点。为圆心，由垂径定理的推论可知点O在直线co上，连接05、BC,

•••(力垂直平分48,

BD=AD=-AB=2石cm,AODB=90°,

2

设圆的半径为xcm,则O3=xcm,OD=(x-2)cm,

在RtZ\OD8中，OD2+BD2=OB1,

.•.(X-2)2+(2V3)2=x2,

解得x=4,

・••圆的半径为4cm,。。=4-2=2cm,

；.CD=OD,

・・・/B垂直平分线oc,

CB=OB,

CB=OB=OC,

△05。为等边三角形，

・•.ABOC=60°,

vOD=CD,ZODB=ZCDA,BD=AD,

.-.△ODS^ACD^(SAS),

.v-v

，2&ODB-QACDA'

.6071x4?82

cc71

"$阴影='扇彩BOD=—*—=§cm,

【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，扇形的面积，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分

线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并判断出△OBC为等边三角形是解题的关键.

3.(2025•浙江宁波•模拟预测)(1)解方程：x(x-2)+x-2=0;

(2)如图，在△NBC中，ZC=90°,AC=6,BC=&AB=10.

①尺规作图：请借助无刻度的直尺和圆规求作一条直线环，使得直线跖垂直平分线段交于点

E,交直线/C于点R（保留作图痕迹，不要求写作法）

②在①的条件下，求跖的长度.

【答案】（1）占=-1,X2=2;（2）①见解析；②年

【分析】本题考查解一元二次方程，作垂直平分线，解直角三角形：

（1）利用因式分解法解方程即可；

（2）①根据线段垂直平分线的做法解答即可；②利用垂直平分线的性质求出/£=5,再利用正切的定义

即可求解.

【详解】（1）解：x（x-2）+x-2=0

x(x-2)+(x-2)—0

(x-2)(x+l)=0

x+1=0或x-2=0

解得：再=-1,x2=2

(2)①如图所示为所求：

A./

1^\E/

1/B

F/

②尸垂直平分,AB=10f

AE=DE=-AB=5,ZAEF=90°,

2

NC=90/C=6,

.BCEF84

/.tanA=---=----,

ACAE63

B4,厂4z20

EF——A.E=—x5=—.

333

4.(24-25八年级上•浙江温州•阶段练习)如图，P为等边△Z8C外一点，///垂直平分尸C于点区NBAP

的平分线交尸C于点

(1)①直接写出与PB的位置关系为.

②。尸与DB的数量关系为,并写出证明过程.

(2)求证：DA+DB=DC；

(3)若等边△48C边长为拒，连接BN,当■为等边三角形时，请直接写出CP的长度.

【答案】(1)①;@DP=DB,证明见解析

(2)证明见解析

(3)472

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与

判定和勾股定理等等，熟知等边三星级的性质与判定方法是解题的关键.

(1)①根据等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质可证明AP=AB,再由三线合一定理即可得到结论;

②根据(1)①所证结合线段垂直平分线的性质即可得到结论；

(2)在CP上取一点。使得。。=尸。，连接/。，可证明△/尸。也△/CQ,得到

AD-AQ,ZPAD^ZCAQ,再导角证明NCM0=60。，进而证明是等边三角形，得到据

此可证明。C=D5+D4；

(3)设DB=DH=DP=CQ=x,则尸8=CH=2尤，HQ=x,AD=DQ=2x,利用勾股定理可得方程

14-4日=3》2,解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：①•・•△/BC为等边三角形，

AB=AC,

・・・/H垂直平分PC于点凡

AP=AC9

AP=AB,

•••NBAP的平分线交尸C于点D,

AD垂直平分PB,

•••ADLPB

@DP=DB,证明如下：

,•,4D垂直平分尸3,

DP=DB；

(2)证明：如图所示，在CP上取一点。使得尸。，连接/。，

■：AP=AC,

...ZAPD=ZACQ,

又一CQ=PD,

.­.^APD^AACQ(SAS),

AD=AQ,NPAD=NCA。,

vZBAP的平分线交PC于点D,

•••/PAD=ABAD,

：.ZCAQ=ZBAD,

・・・△/5C为等边三角形，

・•.ABAC=ZBAQ+ZCAQ=ZBAQ+ZBAD=60°,即ZDAQ=60°,

,△04。是等边三角形，

AD—DQ,

：DC=DQ+CQ,DB=DP=CQf

；.DC=DB+DA；

(3)解：如图所示，连接5”,

・•,ABDH为等边三角形，

DB=DH=DP,

设DB=DH=DP=CQ=x,则PH=CH=2x,

HQ=x,

AD-DQ=2x,

在中，由勾股定理得/〃2=4。2-。〃2=3工2,

在RtZUPH中，由勾股定理得AH2=AP2-PH2=14-4x2,

・•.14-4x2=3/,

x=6或x=-血(舍去)，

・•・CP=PH+CH=4x=46.

■【典型例题三根据垂直平分线的性质求周长】

【例1】（24-25八年级上•浙江绍兴•期中）如图，平行四边形/BCD的对角线/C的垂直平分线交ND于点

E,连接CE.若平行四边形48CZ）的周长为36cm,则ACDE的周长为（）

AED

A.12cmB.24cmC.15cmD.18cm

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，由平行四边形的性质得出

=00,/。=8C是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质，可得以=CE,又4D+CD=18cm,继而

可得ACDE的周长等于AD+CD.

【详解】解：如下图，

•••四边形/BCD是平行四边形，

；.AB=CD,AD=BC,

平行四边形48CD的周长为36cm,

AD+CD=18cm,

••,OE垂直平分/C,

：.AE=CE,

.♦.ACDE的周长为：CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+AD=l8cm.

故选：D.

【例2】（24-25八年级上•浙江嘉兴•期中）如图，在矩形/BCD中，分别以点4C为圆心，大于;NC的长

为半径作弧，两弧相交于点M，N作直线MV,交BC于点E,交/。于点F,若BE=3,AF=5,则矩形

A.8B.20C.24D.30

【答案】C

【分析】由尺规作图得到直线MN是线段/C的垂直平分线，连接/C、AE,如图所示，结合矩形性质，根

据三角形全等的判定与性质得到/F=CE,进而由平行四边形的判定、菱形的判定得到

AE=CE=FC=AF=5,最后结合矩形性质与勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：由题中尺规作图可知，直线是线段/C的垂直平分线，连接尸C、/£,如图所示:

AO=CO,AF=CF,

在矩形/BCD中，AD//EC,则=

在和AEC。中,

ZFAO=ZECO

,40=CO

ZFOA=ZEOC

组AECO(ASA),

AF=CE,

AF//CE,

••・四边形NEW是平行四边形，

•••AF=CF,

四边形NEC—是菱形，

•••AF=5,

AE=CE=FC=AF=5,

在RtZX/BE中，/B=90°,BE=3,AE=5,

则由勾股定理可得48=152-3?=4,且8C=BE+£C=8,

在矩形48CD中，CD=AB=4,AD=BC=8,

矩形的周长为2(/3+/。)=2x12=24,

故选：C.

【点睛】本题考查求线段长，涉及尺规作图-垂直平分线、矩形性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性

质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，读懂题意，数形结合，灵活运用相关几何性质与

判定求证是解决问题的关键.

【例3】（24-25八年级上•浙江湖州•期末）如图，在中，分别以点A和点8为圆心，大于g/2的长为

半径画弧，两弧相交于点"，N,作直线交2C于点。，交48于点E,连接/D.若的周长

为12,AE=4,则△N3C的周长为.

【答案】20

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，垂直平分则

AB=2AE=8,AD=BD,根据三角形周长计算公式可推出/C+BC=12,据此可得答案.

【详解】解：由作图方法可知，龙W垂直平分

/.AB-2AE=8,AD=BD,

・・•△/DC的周长为12,

AC+CD+AD=12,

：.AC+CD+BD=AC+BC=\2,

AABC的周长=/C+BC+/B=12+8=20,

故答案为：20.

【例4】（2025•浙江杭州•模拟预测）如图，在口4BCD中：

（1）实践与操作：尺规作的垂直平分线，垂足为E,交BC于点尸,连接4月；

（2）应用与证明：在（1）的条件下，若2。=4,AB=3,求四边形NFCD的周长.

【答案】（1）见解析

⑵11

【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的

关键.

（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；

（2）由（1）可知：直线跖为42的垂直平分线，得出=在048co中，得出4D=5C=4,

DC=AB=3.根据C四边形.CD=/斤+FC+CD+AD=BC+CD+AD求解即可.

【详解】（1）解：如图，直线£尸，线段/尸即为所作图形.

(2)解：由(1)可知：直线跖为AB的垂直平分线,

AF=BF,

在nABCD中，AD=4,AB=3,

AD=BC=4,DC=AB=3.

•C四边形z尸8=4尸+尸。+8+/。=8尸+尸。+CQ+/O=3C+8+40=4+3+4=11.

0变式训练

1.（2025•浙江舟山•模拟预测）如图，在△48C中，ZC=90°,AC=6,3c=8,按下列步骤尺规作图：①

分别以48为圆心，大于g/3的长为半径画弧，两弧分别交于点川和N；②作直线交48于点E,

交于点尸，则△EEB的周长为（）

A.8B.10C.15D.20

【答案】C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，勾股定理；连接4尸，由作法得及N是43的垂直平分

线，由线段垂直平分线的性质得4尸=5尸，由勾股定理得4。2+0尸2=4尸2,EF=NBF2-BE2，即可求解;

掌握线段垂直平分线的作法及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键.

【详解】解：连接4F,

ZC=90°AC=65C=8,

/.AB=y]AC2+BC2

=A/62+82

=10,

由作法得："N是45的垂直平分线,

AF=BF,

BE=5,

^AF=BF=x,

:.CF=BC-BF

=8-x,

AC2+CF1=AF2,

62+（8-x）2=x2,

解得：x=325，

4

EF:>]BF2-BE2

m的周长为:

EF+BE+BF

=15,

故选：C.

2.（24-25八年级上•浙江杭州•期中）如图，在口48CD中，对角线NC,8。相交于点。，AC1BC,

48=10,AC=6,过点。作LAD交CD于点E,连接BE,则△BEC的周长是.

【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决

问题的关键.由勾股定理可得8C=J/B2一/C?=8,根据平行四边形的性质可知/8=8=10，OE是线

段50的垂直平分线，即功=成），再结合△3EC的周长为E3+EC+BC=ED+EC+BC=CD+3C即可求解.

【详解】解：•・•/C_L2C,A8=10,AC=6,

BC=4AB1-AC2=8，

,在口A8CD中，AB=CD=W,对角线相互平分，

・•・。是8〃中点，

•••OE1BD,

・•.OE是线段2。的垂直平分线，即=

.••△3£C的周长为E3+EC+BC=ED+EC+8C=CD+BC=18,

即aBEC的周长为18,

故答案为：18.

3.（24-25八年级上•浙江衢州•期中）如图，在A4BC中，跖垂直平分/C,交/。于点尸，交BC于点、E,

ADLBC,垂足为。，且BD=DE,连接

（1）求证：AB=EC；

(2)^DC+AF=16,求ANBC的周长.

【答案】(1)见解析

(2)32

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键.

(1)根据/D_L8C,且5。=。石，可得4。垂直平分5E,则4B=/E,根据E尸垂直平分/C,可得

EA=EC,据此可证明N8=EC；

(2)根据线段垂直平分线的定义得到NC=2/尸，根据得到8C=2DE+£C,再根据三角形周

长计算公式和线段之间的关系可得dBC的周长=+8C+NC=2(DC+/尸)=32.

【详解】(1)证明：•••4DLBC,垂足为。，且AD=OE,

.•.4D垂直平分8E,

AB=AE,

•・•斯垂直平分/C,交4C于点尸，交BC于点、E,

・•.EA=EC,

・•.AB=EC；

(2)解：•・・跖垂直平分4C,交4。于点R交BC于点、E,

.・.AC=2AF.

BD=DE,

BC=2DE+EC.

由⑴得AB=EC,

.•.ANBC的周长=力2+3C+/C=EC+2。E+EC+2N尸=2(Z)C+/尸)=32.

4.(24-25八年级上•浙江丽水•期中)如图，在A/8C中，AB=AC,的垂直平分线MN交/C于点

D,交4B于点、E.

(1)求证:ANB。是等腰三角形；

⑵若//=40。，求ND8C的度数;

(3)若NE=6,的周长为20,求A/8C的周长.

【答案】(1)见解析

(2)Z£>5C=30°:

(3)32

【分析】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知

识的应用.

(1)根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；

(2)由在A/BC中，AB=AC,4=40。，利用等腰三角形的性质，即可求得—4BC的度数，利用等边对

等角求得/DBA的度数，则可求得NDBC的度数；

(3)将ZUBC的周长转化为4B+/C+2C的长即可求得.

【详解】(1)解：「/B的垂直平分线AW交/C于点。，

***DB=DA,

.•・△48。是等腰三角形；

(2)解：在△ZBC中，

vAB=AC,ZA=40°f

180。—/力180。—40。

・•・/ABC=/C==70°,

22

由(1)得DA=DB,/DBA=zA=40°,

・•./DBC=/ABC-/DBA=70°-40°=30°；

(3)解：・・•/B的垂直平分线MV交4C于点O,AE=6,

AB=2AE=U,

•••△C5Q的周长为20,

：.BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=20,

/.l\ABC的周长=45+/C+BC=12+20=32.

q【典型例题四根据垂直平分线的性质求角度】

【例1】(2025八年级上•浙江温州•专题练习)如图，在A/BC中，ZC=31°,//2C的平分线8。交/C

于点。，如果。£垂直平分8C,那么//的度数为()

A

D

BEC

A.87°B.62°C.90°D.93°

【答案】A

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义.由垂直平分线的性质可得NQ5E=31。，由

三角形的内角和可求得NCD£=59。，从而可求得NCOS=118。，再由角平分线的定义得

/ABD=/DBE=31。,利用三角形的外角性质，即可求//的度数.

【详解】解：••・•垂直平分BC,NC=31。，

:・/DBE=3\。,/DEC=90。,/CDE=ZBDE,

・•.ZCDE=180。—ZDEC-ZC=59°,

/./BDE=59°,

・•.ZBDC=ZCDE+/BDE=118。，

•；BD平分/ABC,

；.NABD=/DBE=31。,

•・•/HOC是的外角，

ZBDC=ZABD+ZA,

・•./A=ZBDC-/ABD=87°.

故选：A.

【例2】(24-25八年级上•浙江宁波•阶段练习)如图，在△/BC中，45的垂直平分线交5c于Z),4C的垂

直平分线交于E,ZBAC=124°,则一。4£的度数为()

【答案】A

【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及垂直平分线的性质，熟练掌握，即可解题.

首先利用三角形内角和定理，求出NB+NC=180。-124。=56。，然后根据垂直平分线的性质得出

AB=ABAD,ZC=ACAE,进而得出NR4D+NC/E=N8+NC=56。，即可得解.

【详解】在A48C中，/A4c=124。，

Z5+ZC=18O°-124°=56°,

又•:AB的垂直平分线交BC于。，AC的垂直平分线交BC于E,

NB=ABAD,ZC=ZCAE,

ABAD+NCAE=ZB+ZC=56°,

ZDAE=ZBAC-ABAD-NCAE=124°-56°=68°,

故选：A.

【例3】（24-25八年级上•浙江温州•期末）如图，AB=AC,ZA=50°,AB的垂直平分线MN交NC于点

D,则ZDBC的度数为.

【答案】15。/15度

【分析】本题考查了线段垂直平分线性质及三角形的内角和定理.熟练掌握线段垂直平分线性质是解题的

关键，根据线段垂直平分线性质可得=50,证=N/8C=//C3=65。可得结论.

【详解】解：•.・〃"垂直平分48

AD=BD

NDAB=ZDBA=50°

・•.NBDC=100。

•••AC=BC

NABC=NACB=65。

又・;/DBA=50。

・•.ZDBC=15°

故答案为：15。.

【例4】（24-25八年级上•浙江丽水•期中）△48C中，直线加垂直平分48,直线"垂直平分/C.

A

A

(1)如图1,直线加，“分别与8c交于点。，E.

①若N8/C=100。，贝!|ND4E=；

②若NBAC=a,求NZME的度数；(用含a的式子表示)

(2)如图2,若直线机，〃与2C交于同一点尸，求NA4c的度数；.

【答案】⑴①20°；②N£ME=2a-180。

(2)90°

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握线段

垂直平分线的性质是解题的关键.

(1)①根据三角形内角和定理得到NB+/C=80。，根据线段垂直平分线的性质得到ND=8DAE=CE,

根据等腰三角形的性质得到=/E4C=/C,即可得到结论；

②根据三角形内角和定理得到ZS+ZC=180°-a根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD,AE=CE,根

据等腰三角形的性质得到ZEAC=ZC,即可得到结论；

(2)连接PN,由(1)知NP4B=NB,ZPAC=ZC,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可

得到结论.

【详解】(1)解：①:NA4c=100°,

Z5+ZC=1800-ABAC=80°,

直线m垂直平分AB,直线n垂直平分AC