直线与椭圆（附答案解析）-全国高考数学一轮复习（提高版）

直线与椭圆

研题型素养养成

举题说法

目畅1直线与椭圆的位置关系

例1设Q，6分别是椭圆?+丁=1的左、右焦点，设过定点M（0,2）的直线/与椭圆

交于不同的两点A,B,且/AOB为锐角（其中。为坐标原点），则直线/的斜率上的取值范

围为一室

【解析】显然犬=0不满足题意，则设直线/的方程为了=履+2,A（xi,yi）,B（X2,yi）,

住+户1,

联立j4-得（1+4标>?+16&+12=0,则/=（16©2—4（4妤+1）义12>0,解得妤>

=kx+2,

1，可得11+冗2=—X1X2=4^+1,贝IyiN2=（辰1+2）（丘2+2）=&1元2+2女（为+%2）+4.

因为NA05为锐角，则cosZAOB>0,即OAO5=%i%2+yiy2>0,所以为%2+%丁2=（1+斤）处%2

+2©X1+X2）+4=1|鲁盍音+4=骑中>0,解得产<4,所以一2<k<一坐或坐

<k<2,即实数上的取值范围为1—2,一堂口偿，2）.

变式1（2024・池州二模）已知实数尤，y满足7/+2产=4（机>0）,若|x+2y|的最大值为

4,则m=（D）

A.*B.|

egD.1

[x+2y=t,

【解析】令x+2y="贝UPW16,则m>0时，由消去x并整理得（4加

【切七十2V=4,

+2）y2—^Zy+mZ2—4=0,显然4根+2W0,贝!JA=（4m^）2—4（4m+2）（m/2—4）0,整理得

0-4+8机,4+8m1

则M丁丁=16,解付加=了

目情后椭圆的中点弦问题

22

例2（2024・邵阳二联）已知直线/：x~2y~2=0与椭圆C：，+5=l（a>6>0）相交于

A,8两点.若弦A8被直线机：x+2y=0平分，则椭圆C的离心率为（C）

A.|B.乎

C亚D亚

J2'4

【解析】设A（%1,%）,3（%2,N2）,因为弦A8被直线机：x+2y=0平分，设中点坐标为

（xo,刈），所以为:.+2X"："=,+2,0=。①.因为点A,5在直线/：x~2y-2=0±,所

fxi=2yi+2,

以,两式相减可得必=2什1—㈤②.又点A,B在椭圆上，所以

1元2=2y2十2,

1两式相减可得左遨+反萨=0,代入①②可得当+猾=0今4=4户又在

卷j

椭圆中，a2=/?2+c2,所以离心率e=5=\Jl—

，总结提炼〉

解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路

（1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方

程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.

（2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）的坐标为A（尤I,弘），BMyi）,将这两

点的坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和直线

斜率有关的式子，可以大大减少计算量.

72

变式2若椭圆方+/=1上存在不同的两点A,B关于直线＞=3尤+相对称，则实数机

的取值范围是（B）

【解析】椭圆点+玲=1,即5x?+9y2—45=0.设A（xi,%）,B（xi,y2）,AB中点为M（x0,

yo）,则5靖+9y彳-45=0,5送+9货-45=0,两式相减得5（即+X2）（即一元2）+9。1+丁2）。1一p2）

=0,所以;_；：=-所以州=|^0,代入直线方程尸3%+机，得出=一孚，yo=

—乎，即，一苧，一苧）.因为（.，刃）在椭圆内部，所以5X誓+9义等＜45,解得一半

＜相＜24，即根的取值范围是（一2小，斗耳.

目巾币巨椭圆中的弦长、面积问题

例3-1（2025•湛江期中）己知椭圆E：

（1）求椭圆E的方程；

【解答】依题意得]泞解得』〃=3,故椭圆E的方程为?+”

G+/=1，

(2)已知过点M(—1,1)的直线/与E交于4B两点,若|加4卜|皿3|=7，求直线/的方

程.

【解答】当直线/的斜率不存在时,/：x=—1,代入椭圆方程得A(—1,D，3(T，-f),

313510,

此时=5—1=5,|A/B|=2+1=2>不合题思，舍去；当直线/的斜率存

y—1=/(无+1),

在时，设/的方程为y~\=k(x-\-1),A(xi,yi),B(x””)，联立得(3+

8评+8,4斤+8左一8

4产)f+(8妤+8©x+4R+8左一8=0,则/>0,X1+x2~3+4F'龙1尤2=3+4/，I"川二

\1+的xi+1|,\MB\=«1+在咫+1|,则\MA\-\MB\=(l+^)kix2+xi+愈+=与

解得左=±1,故直线/的方程为y=x+2或>=一尤.

<总结提炼》

斜率为左的直线/与椭圆或双曲线相交于A(xi,yi),B(X2,力)两个不同的点，则弦长|A8|

=,1+=ki—X2I=N(1+R)[(X1+X2)2—4x1X2]或\AB\=寸1+"-\yi—y2\=

+颗(yi+>2)2—4yly2](4W0).

例3-2(2025•漳州期初)已知椭圆C：5+%=1(。>6>0)的两个焦点分别为B,F2,离

心率为半，点尸为C上一点，△PRB的周长为2吸+2,其中。为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程.

£=华，曾=/

2

【解答】依题意，得a解得，=丫又〃2=从+/,所以从=。2

、2a+2c=2g+2,10—L

—，=1,所以椭圆C的方程为f+y2=l.

(2)直线/：y=x+«?与C交于A,B两点.

①求△OA8面积的最大值；

22

【解答】①设A(xi,yi),8(x2,m),得3x+4mx+2m—2=0,则

j=x+m,

21Tpi—2r~

222

A=16m-4X3X(2m-2)>0,解得m<3,所以xi+x2=--,xi>2=——,\AB\=yj2

xd(%i+%2)2—4xiX2=^X*\/24—8源m.又点o到直线/：x~y+m=0的距离d—

噌，所以△OA8的面积S=”手乂峭专后而号『厂席当

y]22n72nvjzz

当且仅当3—川=苏，即加=±半时取等号，故△QW面积的最大值为坐.

②设为=晶+无，试证明点。在定直线上，并求出定直线方程.

———[x=X\~\~X2f

【解答】设。(％,y),由。。=。4+。5,得(％,y)=(xi+x2,川+”)，即彳,

[y=yi+y2.

4m

x=—^-,

{一件2m,D于是有y=1-所

以点Q在定直线y=一5上.

随堂内化

Y24、历

1.已知椭圆会+丁=1与直线尸工+相交于A/两点，且|四=苧，则实数加=(D)

A.-1B.一也C.1D.-1或1

「X2

y+y2=l,

【解析】联立消去y并整理，得3炉+4加%+2相2—2=0./=(4机)2—

j=x+m,

—2

4X3X(2m2—2)>0,m2<3,设A(%i,yi),B(x?,>2),则％i+x2=—xiX2=.由题

意得|AB|=后，XK(xi+超)2—4X1X2=毕,即陋(-判—4X普二=华,解得m

=±1.

2.设直线/：>=履+3与椭圆C：/+：=1相交于4,8两点,且48的中点为4一1,；),

则%=_/_•

【解析】设A(xi,%),8(x2,>2),故有年'+々=1,软+号=1，两式作差得上9君十.4yl

=0,即------3------+------------=°，所以k=-----=—,v因为AB的中点为

9A4X2~xi9(ji+y2)

八彳一1,g),所以XI+X2=-2,州+丫2=|,所以J=：_；=_4X(z2)：*

3.（2023•新高考II卷）已知椭圆C：弓+尸=1的左、右焦点分别为尸2，直线尸x+

机与C交于A,B两点，若面积是△/2AB面积的2倍，则根=（C）

A.|B.当

y=x-\-m,

【解析】联立〈A2消去y可得4—+6蛆+3W-3=0,贝|/=36刃2—4义4（3疗

仃+户1,

-3）＞0,解得一2＜相＜2.易知B（一镜，0）,F2他,0）,设入到A3的距离为4,巳到A8

|一也十刑

的距离为心则心福_能+词SAFiAB_di_也_|一啦+

A/2S丛F[ABdo|7'+〃z||^/2+；M|

解得〃z=—3或〃z=—3陋（舍去）.

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

72

1.若直线iwc+ny=9和圆x2+/=9没有交点，则过点（相，〃）的直线与椭圆，+第=1

的交点个数为（C）

A.1个B.至多一个

C.2个D.0个

2.已知直线y=—$+2与椭圆C：，十方=1（。＞6＞0）交于A,3两点，线段AB的中

点为尸（2,1）,则椭圆C的离心率是（A）

A.坐

B.2

C.ID.1

1'II,yi-yii'-yi~y2

【解析】设斐）,则

AQi,yi）,8（x2,从而一^+一^=3故"二石

1,

。2（即+%2）由题意可得…会音―4b2

=4,…=2,则

22a2从而

a（yi+y2yi*4

GW

故椭圆C的离心率

22

3.（2024•张家口调研）已知椭圆，+g=l（a>b>0）的一条弦所在直线的方程是无一y+5

=0,弦的中点坐标是M（—4,1）,则椭圆的离心率是（C）

A.1B.（

【解析】设直线％—y+5=0与椭圆”+%=1相交于A（M%）,5a2,>2）两点.因为

”的中点为M（—4,1）,所以为+Q=—8,y+『2,易知直线回的斜率k?=1.

两式相减得鱼二平母+他二件过=。所以9Z?2X1+X2

a。x\—X2W丁1+》2’

所以占所以椭圆的离心率6=,='/1—1=孚・

vrICr\/Vr/

4.（2024•汕头一模）如图，设尸1，尸2分别是椭圆的左、右焦点，点尸是以尸1尸2为直径的

圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长尸后与椭圆交于点Q,若|PB|=4|QF2|,则直线尸尸2

的斜率为（C）

1

A.

2

C.-2D.-3

【解析】如图，连接PB,QFi,由点尸在以尸为直径的圆上，故尸尸」尸尸2.又点尸，

Q在椭圆上，所以|尸胤+|尸尸2l=2a,|Q尸1|+|。局=2m设|。局=二贝||尸川=4|。刈=4w，

则有|尸。|=2。-4m+根=2。一3m，|BQ|=2。一1;n,则可得（4加p+Qa—3小）2=（2。一根门，解得

a=3m9故|「尸2|=2。-4加=2根，则tanNPF2F1==2,故左PF2=tan（兀一/尸/2月。=一

tanZPF2FI=—2.

（第4题答）

二、多项选择题

5.已知椭圆总+]=1上不同的三点A(xi,yi),8(4,号，C(xi,")与焦点厂(4,0)的距

离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与无轴的交点为T,则(AC)

A.%1+%2=8B.无I+X2=16

C.直线BT的斜率左=,4

D.直线87的斜率％=一5

由题意知|A/=、（xi—4）2+4=\/王一8xi+16+9—舞Y嘿^—8汨+25=

【解析】

,同理|CF|=4(|X2—5).因为山忌5,咫忌5,所以,一5<0,$2—5<0.又|AF|

44/9、418

+|CF|=2|BF|,所以5—尹i+5—尹2=2X（J—01所以10一下>1+兀2）=5，所以用+超=8,

故A正确，B错误.因为制+汹=8,所以设线段AC的中点为。(4,比).又A,C在椭圆上,

所以其+[=1①,袅百n②.由①一②得譬一章,所以兄9（»+冗2）

258+及）

黑!-=一恶，即以c=一恶，所以直线。T的斜率而r=一4=鬃，从而直线DT的

25X2yo23yoMC3O

方程为y—yo=(^(x—4).令y=0,得x=H，即蜴，0),所以直线BT的斜率左=点故C

正确，D错误.

6.(2025•嘉兴期初)已知椭圆C：捻+%=1(46>0)的左、右焦点分别是人(一c,0),

F2(C,0),以FIF2为直径的圆与C在第一象限交于点P,延长线段PF2交C于点。.若|尸人|

=2\QF.\,贝1」(ACD)

4/

A.|。/2|十|尸为1=1。尸i|B.SAPQF^—

C.椭圆C的离心率为由D.kQFi=一4

【解析】对于A,由椭圆的定义可得，|PB|+|PB|=2a,|Q碎+|QB|=2a.又|PEI=2|Q尸2|,

所以I。码+IPRIT。尸11，故A正确；对于B,如图，设|。尸2|=尤(尤>0),贝」『。2|=2乂因为1PBi

+\PF2\=2a,\QFt\+\QF2\=2a,所以|PR|=2a—2x,|QR|=2a—x.因为f内为圆的直径，所

以NQPQ=90。.在RtAPQ。中，|PBF+|PQ|2=|。尸if,即(2a—2t)2+(3x)2=(2a—尤产,整理

112

2

得a=3无，所以S/\PQF^-\PQ\\PFl\^3x\2a-2x)^a,故B错误；对于C,在RtAPFiF2

中，|尸尸i|=2a—2x=,,|尸牙|=争,所以|P尸iF+|P尸2『=|尸1/2巴即停)+停)=(24，解得

2a

即e=9，故C正确；对于D,在RtAPFiF2中，tanNPM凡在

T

RtAPFiQ中，tanNP尸1。=鼠=含号，所以tanN6/iQ=tan（NPRQ—/尸尸画=

T

3_1

tanZPFiQ—tanZPF1F2422”…―八、,,川»、,

==,

1+tanZPFiQ-tanZPFIF21।31TT所以直线的斜率为'=tan（180。一/&“。）

1+4X2

2

=—tanNB/iQ=一五，故D正确.

三、填空题

7.（2024•娄底一模）已知椭圆C：/+%=1（。>6>0）的右焦点为P,下顶点为A,过A,

Q

方的直线/与椭圆。交于另一点8,若直线/的斜率为1,且|48|=?则椭圆。的标准方程

22

为x与片V工

【解析】设尸（。，0）,由题意知，b=c,a=y[2c9直线/的方程为y=x—c,与椭圆C

4l4、历8

的方程联立化简得3%2—4cx=0,所以%=0,切=下，故43|=也•陶一加=-c=g,解得

72

c=y[29所以b=巾,a=2,椭圆。的方程为彳+]=1.

（第7题答）

8.（2022.新高考I卷）已知椭圆C：务徐=l（a>b>0）,C的上顶点为A,两个焦点分别

为R,F2,离心率为去过B且垂直于AB的直线与C交于。，E两点，|D£|=6,贝必&。£

的周长是13.

p1

【解析】因为椭圆的离心率为e=；/,所以。=2c,所以62=°2—廿=3，，所以椭圆

72

的方程为公+玄=1,即3f+4y2—12,2=0.不妨设左焦点为西，右焦点为尸2,如图，因为

-7T

\AF2\=a,\OF2\=C,a=2c,所以NABO=Q,所以为正三角形.因为过bi且垂直于

AB的直线与C交于O,E两点，OE为线段A&的垂直平分线，所以直线QE的斜率为¥，

斜率倒数为小，直线DE的方程为x=，§y—c,代入椭圆方程3『十4V一12/=0,整理化简

得13/-6^3cj-9^=0,判别式J=（6V3C）2+4X13X9C2=62X16XC2,所以|。£|=

•\/1+（市）2|力—"|=2X兴=2X6X4X==6,所以c=*得a=2c=呈因为DE为线段

的垂直平分线，根据对称性，得|4。|=|。尸2|,|4月=|£7囹，所以△ADE的周长等于

的周长，利用椭圆的定义得△BQE的周长为DF2I+EEI+1。£|=DF2I+lEEl+|。肌I+\EFr\

=|DFi|+|DF2l+|E『il+|EF2l=2a+2a=4a=13.

四、解答题

9.己知4（—2,0）是椭圆M：胃十》=l（a>b>0）的左顶点，且M经过点

（1）求椭圆M的方程；

。=2,,

【解答】依题意可得《7」27解得。=2,〃=3,所以椭圆M的方程为5+

国十荷-L

q=1

3L

（2）若直线/：y=A<x—1）与M交于A（xi，yi）,8（x2，刃）两点，且；+J=—1,求弦AB

AlA2

的长.

定+q=]

【解答】联立<43'消去y得（3+4产）/—8七+4（乃-3）=0,则无1+愈=

j=k（x-l）,

8烂4（^—3）

3+以2'为丁=3+4,•因为「=%（%—1）经过定点（1，0），且点（1，0）在M的内部，所以/>0

恒成立.由、+『二：：=4（滑3）=一1，解得％2=1,所以X1+X2=*X1X2=—・所以|AB|

(第9题答)

10.(2024•新高考I卷)已知A(0,3)和尸(3,|)为椭圆C：，+奈=l(a>b>0)上两点.

(1)求C的离心率；

b=3,[/=9,/~p/—9

【解答】由题意得<9,9解得，\所以离心率2=1/1一卷

技=1，层=12,\laU

1

2-

(2)若过点尸的直线/交C于另一点3,且△ABP的面积为9,求/的方程.

3211

【解答】方法一：kAP=-=-^,则直线”的方程为尸一条+3,即x+2y—6=

(0-3)2+(3-2=号5由(1)知C：为+]=1，设点B到直线人尸的距离为d,

0,\AP\=

则d=1^=.,则将直线AP沿着与A尸垂直的方向平移萼个单位长度即可，此时该

2

\c+6\12-\/5

平行线与椭圆的交点即为点8,设该平行线的方程为x+2y+c=0,则,解得

小一5c

各*匕解得x=~3,

%=0,

=6或c=-18.当c=6时，联立〈L3或3即5(0,-

、x+2y+6=0,尸—》

，3、33

3)或(一3,一2.当6(0,—3)时，此时左/=],直线/的方程为3,即3%—2厂6=0,

当《一3,-I)时，此时吊=今1直线/的方程为

即x—2y=0；当c=—18时，联立

2

JJ,

<129'得2丁一27丫+117=0,/=272—4X2X117=-207<0,此时该直线与椭圆

x+2y-18=0

无交点.综上，直线/的方程为3x—2y—6=0或x—2y=0.

方法二：同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=电后

(|xo+2yo-6|12小

-

5xo=3,

小=