指数与指数函数（附答案解析）-全国高考数学一轮复习（提高版）

指数与指数函数

链教材夯基固本

激活思维

1.（人A必一P109习题T2（l））设a>0,则下列运算中正确的是（D）

4323

A.CL3CL4—ClB.Q+Q3=Q2

2_21

C.43Q3=0D.（〃4）4=Q

4343252212_2

【解析】对于A,4344=43+4=412；对于B,=43；对于C,3=40=1；

1

对于D,（44）4=Q.

04

2.（人A必一P118练习T2改）设Q=3%6=204,c=9,则（D）

A.b〈c〈aB.c〈a〈b

C.a〈b〈cD.b〈a〈c

【解析】/?=2-0-4<20=1,c=904=3°8>3°7=a>30=l,所以bVaVc.

11

3.（人人必一「110习题18（1）改）已知石+/2=5,贝lJx+短的值为（B）

A.5B.23

C.25D.27

1111

【解析】因为£+工一2=5,所以(6+X-32=52,即%+短+2=25,所以x+x"=23.

4.下列函数的值域是(0,+8)的有(C)

B.y=l

1

A.J=43-X

p^ll-2x

C.y=LJ

【解析】对于A,y=43-x的值域是(0,1)U(1,+8)；对于B,歹=—1的值域

rrii-ix

是［0,+°°)；对于C,夕=匕|的值域是(0,+°°)；对于D,—3云的值域是［0,1).

5,函数>="+2。26+20263>0,的图象恒过定点(一2026,2027).

聚焦知识

1.根式

(1)概念：式子.叫做根式.,其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

(2)性质：(g)"=a(。使得“Z有意义)；当“为奇数时，-\［a=a-,当〃为偶数时，yja=\a\

a,

—a,6z<0.

2.分数指数幕

m旦_

(1)规定：正数的正分数指数新的意义是。1=_也”_(。>0,m,〃£N*且〃>1)；正数的

mL

负分数指数塞的意义是—_(<2>0,m,〃£]\*且〃>1)；0的正分数指数幕等于0；0

的负分数指数幕没有意义」

(2)有理指数幕的运算性质：aV=ar+\；

—=.破；(abY^arbr,其中a>0,b>Q,r,s^Q.

(1)画指数函数>="(。>0且aWl)的图象时注意两个关键点：(1,a),(0,1).

(2)底数。的大小决定了图象相对位置的高低，不论是还是在第一象

限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”.

0<a<b<l<c<d

(3)")="与8任)=日(。>0且aWl)的图象关于y轴对称.

研题型素养养成

举题说法

目帧H指数式的求值与化简

33

(勺a2b)2,《I

例1⑴化简：33(。>0，6>0)；

yjb'-\la2b4

42152

♦3•加F343•加a

【解答】33=124=25=1・

朋•旧加加，Q3•加Q3•加b

2__2

(2)已知x—X」=23(X>0),求x—x的值.

x2+x'2

【解答】因为x—P=2A/5(X>0),所以(x—X")2=12,Epx2~\~x'2—2=12,所以N+%-2

=14,所以(》+婷)2=/+产+2=16,故x+x1=4,所以三&二必8=

x2+x-2x2+x-214

4^3

71

，总结提炼A

指数幕运算的一般原则：(1)负指数森化成正指数森的倒数.(2)底数是负数，先确定

符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(3)若是根式，应化为

分数指数幕，尽可能用赛的形式表示.

变式1(1)已知06=—5,贝的值是(B)

(2)计算：+0.1-2+F27J3-37r0+—=100.

【解析】原式=图1+工+国3—3+又=5+100+2-3+宜=100.

0.124831648

目帧日指数函数的图象及应用

例2(2025•扬州期中X多选)下列命题中，是真命题的有(BD)

A.a.re(-0°,0),3X>2X

B.VxE(0,+°°),3X>2X

1

C.3%F(0,1),X3>X2

1

D.Vx£(l,+°°),X3>X2

【解析】画出函数歹=3"与>=2、在同一坐标系内的图象如图(1)所示.显然工£(—8,

0)时，>=2、的图象始终在歹=3%的上方，故A为假命题.当工£(0,+8)时，>=2%的图象

1

始终在>=3*的下方，即VxG(0,+oo),y>2x,故B为真命题.画出函数y=x3与y=x2在

1

同一坐标系内的图象如图(2)所示.当xd(0,1)时，函数y=x2的图象始终在>=/的上方，

11

即X2〉/恒成立，故C为假命题.当Xd(l,+8)时，函数y=x3的图象始终在y=X2的上

方，即炉>》5恒成立，故D为真命题.

图⑵

（例2答）

|3X-1|,xWl,

变式2已知函数次x）=若实数〃，b,c满足qVbVc且/（Q）=/S）

.—x+2,x>1,

=Ac）,则3。+36+3。的取值范围为（C）

A.(3,9)B.(5,9)

C.(5,11)D.(3,11)

【解析】作出於）的图象如图所示，因为a<6<c且/（a）=«6）=/（c）,由图象可得（一

OO0）,Z7e（o,1）,ce（l,2）.因为八a）=/（3,所以1—3。=3）-1,即3a+3，=2.因为cd（l,

2),所以3。任（3,9）,则3"+3&+3。=2+3。牛（5,11）.

目帧周指数函数的性质及应用

视角1比较函数值（式）的大小

42

例3-1已知(1=23,6=45,c=253,则（A)

A.b<a<cB.

C.b〈c〈aD.c<a<b

42222

【解析】因为q=23=43>45=b,C=253=53>43=Q,所以C>Q>6.

变式3-1(2024•天津卷)若。=42。3,b=4.2°3,c=log4.20.2,贝!JQ,b,c的大小关系

为（B)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【解析】因为y=42在R上单调递增，且一0.3<0<0.3,所以0<4,2。3<4.2°<4.2°3,

所以0<42。3<1<4.2。3,即OCaClCb.因为y=log4.加在(0,+8)上单调递增,且0<0.2

<1,所以Iog4,20.2<log4.21=0,即cVO,所以6>a>c.

视角2单调区间

例3-2(1)函数外)=2寸4—3x—x2的单调递减区间为(B)

「3「

一4,—31—,1

A.L2」B.12」

1—8,一—~,+001

C.I42jD.L2J

【解析】设方=4—3x—N,贝]j由/=4—3X—N20,得一4<XW1,即函数/(x)的定义域

f+斗r_3-

为[—4,1].又，=4—3x—X2——L21+，，所以，=4—3x—/在-2'_上单调递减，由

--1

复合函数的单调性知，函数加)在12,」上单调递减.

(2)(2023・新高考1卷)设函数段)=2如一。)在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是

(D)

A.(—8,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+8)

【解析】函数歹=2、在R上单调递增，而函数"¥)=2#一编在(0,1)上单调递减，则有函

数y=x(x—。)=^—J?—：在(0,1)上单调递减，因此;，1,解得。三2,所以。的取值范围

是[2,+°°).

视角3最值

例3-3(1)函数处c)=0T+4x的值域为(B)

A.[81,+°°)B.hr+°°]

D.(—8,-81]

【解析】易知二次函数y=—N+4x的图象开口向下，当x=2时，取得最大值4.又函

数y=0’是减函数，所以«O=(I)T+公的值域为4+8)

(2)函数y=4x—3X2"2+i(xG(—8,3])的值域是(C)

A.[-31,1)B.[-35,-31]

C.[-35,1)D.(—8,-31]

【解析】令:=2工，因为xe(-8,3],所以te(O,8],则华一3义2什2+1=/2-127+1.

令g(7)=F—12/+l=(f—6)2—35,/e(0,8],所以当f=6时，g⑺取得最小值，且g«)min=

—35.又g(O)=l,g(8)=—31,所以g(7)G[—35,1),即函数夕=中-3X2x+2+l(xd(—8,

3])的值域是[-35,1).

视角4综合应用

例3-4己知於)=与二是定义在R上的奇函数.

(1)求人x)的解析式；

【解答】因为於)=与王是定义在R上的奇函数，所以有人0)=0,即6=1.又因为人一

11—3Xq一?一Q-X+I3*(3一3一巧

1)=-/(1),可得/=；,所以"尸----?="-，而此时人一劝=^^

33x-i+l3叶13一叶13,(3一叶1)

3

ax+1_q14-空+1

-——-=-Ax),所以6=1,k与茜足题意，加尸^

3%+133%+1

(2)已知OVqVl,若对于任意的工£[1,+°°),存在冽£[-2,1],使得於)一/十2工

+,・产+1成立，求实数。的取值范围.

2

【解答】令g(x)=/3)—无2+2x+；=£、一(X—1>+；.因为y=3*+l>0且单调递增,

所以>=3^7在口，+8)上单调递减.又因为了=—。―iy+g在[1,+8)上单调递减，所

以g(x)在[1,+8)上单调递减且g(x)1mx=g(l)=2.令〃(M=/+1(-2W加W1),对任意的Xd[l,

+8),存在加引—2,1],使得外)一x2+2x+；<〃-成立'等价于g(X)ma、W〃(Mmax'即

2</z(W)max.因为所以人(%)=废#1在[―2,1]上单调递减，所以/?(Mmax=〃(-2)=1,

a

故122,解得0<aW!综上所述，实数。的取值范围为2_.

a2

随堂内化

1.(2023•天津卷)若.=1.01%6=iQi。.6,C=0.605,则a,b,c的大小关系为(D)

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

【解析】由)=1.01，在R上单调递增，得。=1.01。5<6=1.01。-6,由歹=好5在[0,+8)

上单调递增，得4=1.01。・5〉0=0.6。-5,所以b〉Q>c.

2.通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯，发现其行车速度。(km/h)与行驶地区的人口

密度M人/kn?)有如下关系：。=50-(0.4+6-。。。。。4。).如果他在人口密度为a的地区行车时速度

为65km/h,那么他在人口密度为:的地区行车时速度约是(B)

A.69.4km/hB.67.4km/h

C.62.5km/hD.60.5km/h

1

【解析】由题知65=50-(0.4+e-000004a),整理得e-0-00004«=0.9,所以e-000002^(e-000004«)2

=屈,所以当他在人口密度为;的地区行车时速度v=50-(0.4+e-000002fl)=50X(0.4+

A/O^9)心67.4km/h.

3.(2025・八省联考X多选)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称

为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh双曲余弦

2

函数coshx=»H,双曲正切函数tanhx=@g,贝U(ACD)

2coshx

A.双曲正弦函数是增函数

B.双曲余弦函数是增函数

C.双曲正切函数是增函数

一—।、tanhx+tanhy

D.tanh(x+j^)=-------------------

1+tanhxtanhj

4.若直线y=2q与函数>=|出一l|(q>0且的图象有两个交点，则。的取值范围是

H.

【解析】y=|〃一1|的图象是由的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方

的图象翻折到x轴上方，保持x轴及其上方的图象不变得到的.当。>1时，如图(1),两个

图象只有一个交点，不符合题意；当0<。<1时，如图(2),要使两个图象有两个交点，则0

<2a<l,即0<°<1.综上可知，°的取值范围是［

28J.

图⑵

(第4题答)

「温馨提示,

I

'___-——一______________,-_______)

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配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.已知。=0.3%6=0.3。5,c=0.40-5,则(D)

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

【解析】方法一：由指数函数y=0.3,在定义域内单调递减，得。<6.由零函数了=-5

在定义域内单调递增，得c>6.综上，c>6>。方法二：因为q=0.3。/<1,且。=日<1,

bc

又q,b,c都为正数，所以c>b>〃.

2.（2024•福州2月质检）设函数加）=3心办在区间（1,2）上单调递减，则a的取值范围是

（D）

A.（―8,2]B.（―8,4]

C.[2,+°°）D.[4,+°0）

【解析】函数》=3、在R上单调递增，而函数加）=3%2、1在区间（1,2）上单调递减，所

以歹=|〃一2%|在区间（1,2）上单调递减，所以4-2X220,即心4.

3.（2023•全国乙卷）已知人x）=$二是偶函数，贝Ua=（D）

e°x—]

A.-2B.-1

C.1D.2

Y(—y'lp%Y「pX—p(a-1)%]

【解析】因为於)=〃J为偶函数，所以於)一/(—X)=*——一J

eax—leax—lQ~ax—1eax—\

0.又因为X不恒为0,所以=即凡则X=（Q—1）X,即1=Q—1,解得Q

=2.

4.（2024・合肥二检）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时

间被称作半衰期，记为T（单位：天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别

为刀，乃.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的£

则Ti,72满足的关系式为（B）

A.-2+骨建

B>2+512=512

TiTI

512,512

C.-2+log2：-;=10g2—

1\12

n512_512

D.2+log2^-lo1g2—

1112

【解析】设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1,则512天后，甲的质量为耿,

乙的质量为由题意可得(；］,=1［月T=©2+臭2

所以2+置理

4Ti

二、多项选择题

a,a，b,

5.对于任意实数a,b,定义max{q,b}=若函数4)=1—2%,g(x)=i—

b,a〈b.

Q1,F(x)=max{/(A：),g(x)},则下列说法正确的是(BC

)

A.函数尸(X)是奇函数

B.函数尸(X)是偶函数

方程尸(x)=B有两个解

D.函数F(x)的最大值为1

1—d00,即/(%)=1—日叫则

【解析】由题可得与(%)=111&乂伏工)，g(x)}

1-2X,x<0,

尸(-x)=l一国=F(x),故函数尸(x)是偶函数，故A错误，B正确；由尸(x)=l—Uk

1

2,

故C正确；因为四川，所以0<0收1,所以0W1

解得X=±l,即方程Rx)=；有两个解,

—日乂<1,则尸(x)不能取到最大值1,

故D错误.

2

6.(2024・临沂一模)已知函数/(x)=------•+Q(Q£R),则(ACD)

2X—1

A.加)的定义域为(一8,0)U(0,+8)

B./)的值域为R

C.当。=1时，人x)为奇函数

D.当a=2时，/-x)+Ax)=2

【解析】对于函数於)=-----Fa(aeR),令2*—1。0,解得x=0,所以")的定义域

2*—1

为(一8,o)u(o,+8),故A正确；因为2%>0,当2%—1>0时,—>0,所以上--Fa

2%—12、一1

>a,当一1<2工一1<0时，—一<一2,所以上卜aV—2+〃，综上可得小)的值域为(一

2%—12X-1

72%+12"x+l

°°,—2+a)U(a,+°°),故B错误；当Q=1时，加)=-----+1=----,则/(一%)=

2X—12X—12"x-l

X79

2+1-危)，所以於)=^^+1为奇函数，故C正确；当。=2时，々)=^^+2

2X-12X—12X—1

2%+12%+12一%+1

1+1,则9+火一x）=一+i------+1=2,故D正确.

2-x-l

2X,x<0,

7.已知函数/(x)=若X1〈X2<%3，且次X1）=/（X2）=AX3），贝•）（ABD）

]工一1],x20,

A.X2~\~X3=2B.X1<O<X2<I<X3

C.网>|刈>|必ID.0<X2/（XI）^4

【解析】当xVO时，函数{x)=2%单调递增，值域为(0,1).当OWxWl时，函数危)

=1—x单调递减，值域为[0,1];当时，函数/(x)=x—1单调递增，值域为[0,4°°).

令/(X1)=/(X2)=/(X3)=，，X1<X2<X3,因此函数歹=加)的图象与直线J=%有3个交点，显然0

</<1,作出函数歹=加)的图象与直线》=，如图所示，观察图象知X1VOVX2〈1VX3,B正

确；由1—X2=X3—1,得％2+%3=2,A正确；当了1=-2时，t=~,由1-X2=~=X3—1,得

44

3=：,C％20,1),X&1)=XMX2)=X2(1—X2)=—

X2=~,X3此时|刈最大，错误；显然仁(则

4

1

。，4」，D正确.

+4U

(第7题答)

三、填空题

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其

名字命名的“高斯函数”为：设xdR,用印表示不超过x的最大整数，则〉=因称为高斯

函数.例如：[―0.5]=—1,[1.5]=1.已知函数兀v)=g><4x—3X2》+4(0<x<2),则函数y=

伏创的值域为一一1,0,1》.

【解析】Xx)=1x4A-3X2^+4(0<x<2),令£=2工，贝心昼(1,4),令8«)=3产一37+4,

r_in

二次函数开口向上，对称轴为f=3,g(l)=|,g(3)=—g(4)=0,所以g(/)c]2,2J,即

—i4

»eL2'2J,所以1,0,l}.

9.(2024・安阳三模)已知函数外)=b+91/7—(q1>0)的图象关于坐标原点对称，则a+b=

2x-a

3

-z-

【解析】依题意知函数作)是奇函数，又2"-aW(),所以X#log2。，所以4x)的定义域

为｛%|xW10g2Q｝.因为/(X)的图象关于坐标原点对称，所以R)g2Q=0,解得4=1.又八一%)=一

外)，所以ZH

2%—1所以可1，所以yQ

3%—1

10.(2024•滨州二模)已知函数4)=£三，数列｛。〃｝满足。1=42=1,即+3=Q〃(〃£N*),

2024

五。2)+/(。3+。4)=0,贝!J£的=_2_.

i=1——

3「一1=3'—11-3X

【解析】由题意可知,4)的定义域为R,且加)+八一%)=——

3%+13~x+l3X+11+3、

3%一1?

=0,即加)=一八一%),可知外)为定义在R上的奇函数，且危)因为丁

=3"在R上单调递增，可知4)在R上单调递增.因为八。2)+/(。3+。4)=0,则次。3+。4)=—

五。2)=/(一。2),可得。3+。4=一。2,即02+43+44=。.由Q"+3=〃〃(〃£N*)可知3为数列｛斯｝的

2024

周期，则斯+1+斯+2=0,且2024=3X674+2,所以£0=41+02=2.

z=l

四、解答题

11.已知函数於0=中+/2工.

(1)若a=—5,求不等式,x)W—4的解集；

【解答】(1)当。=一5时，不等式加0W—4即为4工一57+4W0,所以(2x—l)(2x—4)W0,

则有1W2Y4,则0WxW2,故不等式为r)W—4的解集为[0,2].

(2)若xd[—2,2]时，加)的最小值为一1,求。的值.

14

【解答】令:=2。%e[-2,2],则teHJ,f(x)^g(t)=t2+at,开口向上，对称轴

方程为/=一；，①当一：<；,即a>—g时，g«)min=g0=±+；=-l,则4=一个，不符

合题意；②当：W4,即一8Wa〈一g时，g(?)min=gf2｝=^--^-=—1,则a=-2；③

当一：>4,即。<—8时，g⑺min=g(4)=16+4a=—l,则。=一彳，不满足条件.综上所述，

a的值为一2.

12.已知函数启)的图象可由函数y=a*i+2(a>0且aWl)的图象先向下平移2个单位

长度，再向左平移1个单位长度得到，且｛2)=16.

(1)求。的值；

【解答】函数>=炉」+2的图象向下平移2个单位长度后得到的图象，再向左

平移1个单位长度得到y="的图象，所以人x)=at又次2)=*=16,所以a=4(负值舍去).

(2)若函数8(彳)=力二，证明：g(x)+g(l—x)=l；

加)+2

4

Ax4X,4l-x4X,4X

【解答】由(1)可知g(x)=一一,所以g(x)+g(l—X)

4*十12平+246+2平+24+2

牛

4%4_=4%+2

平+24+2X4、4%+2

(3)若函数W=的)+加|与歹2=1/(—%)+刈在区间［1，2］上都是单调的，且单调性相同,

求实数冽的取值范围.

【解答】由(1)可知月=|平+加|,次=|4%+加若两函数在区间［1,2］上都是增函数,

4"十加三0,4+加三0,

贝「曾在区间［1,2］上恒成立，可得［十加wo,解得一4<mW一若两函数

U+加W04''

4%+加W0,16+冽W0,

在区间［1,2］上都是减函数，则在区间［1,2］上恒成立，可得.J_+加20

+冽2016*'

该不等式组无解.综上，实数加的取值范围是1—4,一2.