相似多边形（新课预习培优卷）-2025-2026学年九年级数学上册北师大版（2024年）

新课预习.培优卷4.3相似多边形

一.选择题（共7小题）

1.（2025•达州模拟）如图，菱形ABCOs菱形AEFG,菱形4MG的顶点G在菱形ABCZ）的BC边

上运动，G”与AB相交于点“，NE=60°,若CG=3,AH=1,则菱形48CQ的边长为（）

A.8B.9C.8V3D.9V3

2.（2025•威海三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形,

那么称这样的四边形为“全相似四边形”.如图,在四边形ARC。中,AR=AD,CB=CD,下列

条件能使四边形A8CO成为“全相似四边形”的是（）

D

A.N人=90°B.Z«=90°C.ZC=90°D.ZD=60°

3.（2024秋•临清市期末）下列各组图形中，一定相似的是（)

A.两个平行四边形B.两个正方形

C.两个矩形D.两个菱形

4.（2024秋•丰南区期末）两个相似多边形的面枳比是9：16,其中较大多边形的周长为48cm,则

较小多边形的周长为（)

A.36c7〃B.32cmC.3QcmD.27cm

5.（2024秋•莲池区校级期末）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4,6,

6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各

得到一个新图形，它们的对应边间距均为1,则画出的三组图形中，新图形和旧图形是柱似多边形

的有（）

B.1组C.2组D.3组

6.（2024秋•南通期末）如图，矩形纸片A8CQ的长AO=a,宽AB=b,E,尸分别为A。，BC两边

的中点.若将这张纸片沿着直线£尸对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则匕等于（）

7.（2024秋♦兴文县期中）如图，小福在矩形44co的左边分割出正方形ABE凡然后在矩形厂石。。

的一组对边E尸，C。上分别取中点M,M分割出矩形/和矩形MECM最后把矩形QV/NO

对半分割成矩形FMHG和矩形GHND.若矩形G”NO与矩形A8CO相似，则矩形A8C。的宽与

长的比黑的值为（）

FG

AD

MN

H

BC

E

1-1-V5V5+1V5-1

A.-B.------C.----D.----

2222

二.填空题（共5小题）

8.（2025•广阳区校级开学）在△/WC中，44=8,4c=10,点力在AC上，且AO=2,若要在A/3

上找一点石，使得△ABCs△8£；/）,则AE的长为.

9.（2025春•淄川区期末）如图，在长为8c”宽为6cm的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分

所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为cm*2.

10.（2023秋•衡东县校级期末）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2门炉图案

的一条边由原来的变成4c利，则这次复印出来的图案的面积是cnr.

11.（2024秋•天桥区校级月考）如图，小正方形的边长都为1,则图形中的阴影三角形柱似的序号

为.

三.解答题（共3小题）

13.（2024•南岗区校级开学）画图题

（1）按1：3画出下面的三角形缩小后的图形；

（2）按2：1画出下面的平行四边形放大后的图形.

（3）图（1）缩小后图形的面积为.

（4）图（2）放大后图形的面积

新课预习.培优卷4.3相似多边形

参考答案与试题解析

一.选择题（共7小题）

1.（2025•达州模拟）如图，菱形菱形AEFG,菱形AEFG的顶点G在菱形ABCZ）的8。边

上运动，G”与A8相交于点〃，ZE=60°,若CG=3,AH=1,则菱形A8C。的边长为（）

C.873D.9V3

【考点】相似多边形的件质：等边二.角形的判定与性质：菱形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；应用意识.

【答案】B

RCDU

【分析】连接AC,首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BG〃sZ\C4G,推出77=77，由

ACCG

此构建方程即可解决问题.

【解答】解:连接AC

C

•・•菱形4BC£>s菱形AEFG,

AZB=ZE=ZAGF=60°,AB=BC,

•••△ABC是等边三角形，设A4=3C=AC=〃，则3〃=a-7,BG=a-3,

AZACB=60°,

,?ZAGB=NAGH+NBGH=ZACG+ZCAG,

•••NAG”=NACG=60°,

:・/BGH=4CAG,

,:4B=Z.ACG,

:ZGHsMAG,

BGBH

*a-3a-7

••,

a3

：.（?-10«+9=0,

.•・a=9或1（舍弃），

・"8=9,

故选：B.

【点评】本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是止

确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

2.（2025•威海三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，

那么称这样的四边形为“全相似四边形”.如图.在四边形ARC。中,AR=AD,CB=CD,下列

条件能使四边形A8C。成为“全相似四边形”的是（）

A.ZA=90°B.ZB=90°C.ZC=90°D.ZD=60°

【考点】相似图形；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】B

【分析】如图，连接AC,3。交于点O.证明△A8C0八4。。（SSS）,推出NA3C=NAQC,再

证明当N/18C=90°时符合题意即可.

【解答】解：如图，连接AC,笈。交于点O.

在△ABC和△AQC中,

(AB=AD

]BC=DC，

(AC=AC

•••△ABCdAOC(SSS),

工ZABC=ZADC,

当NA3C=90°时,NAOC=90。，

*：AB=AD,BD=DC,

：.AC±BDf

・・・/A8O+/BAO=90°,NAC8+NBAO=90°,

・•・/ABO=NACB,

VZAOB=ZBOC=90a,

・•・AAOBs△BOC,同法可证△AOOs△DOC,

故选项B符合题意.

当N4=90°或NC=90°或NO=60°时小符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等

三角形解决问题.

3.(2024秋•临清市期末)下列各组图形中，一定相似的是()

A.两个平行四边形B.两个正方形

C.两个矩形D.两个菱形

【考点】相似图形.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】B

【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用

排除法解答.

【解答】解：A、两个平行四边形不一定相似，故本选项错误；

8、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确；

C、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；

。、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解

题的关键，难度适中.

4.（2024秋•丰南区期末）两个相似多边形的面积比是9：16,其中较大多边形的周长为48。〃，则

较小多边形的周长为（）

A.36cmB.32。〃?C.30。”D.27cm

【考点】相似多边形的性质.

【专题】图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.据此列式计算即可.

【解答】解：:两个相似多边形的面积比是9：16,

，两个相似多边形的相似比为3：4,

・•・两个相似多边形的周长比是3：4,

设较小多边形的周长为

Ax：48=3：4,

x=36»

，较小多边形的周长为36°〃.

故选：A.

【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的面枳的比等于相似比的平方，周

长的比等于相似比.

5.（2024秋•莲池区校级期末）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4,6,

6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各

得到一个新图形，它们的对应边间距均为1,则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形

的有（）

A.0组B.1组C.2组D.3组

【考点】相似图形.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根据相似多边形的定义”对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解.

【解答】解：如图所示，延长C8交4'B'于点。，延长8c交A'C于点E,过点A作尸G〃

8C交A'B'，AfC于点立G,

,:AF〃BD,AB//DF,

・•・四边形4BD/是平行四连形,

：.AB=FD,

同理，四边形ACEG是平行四边形,

・"C=GE,

t：FG//DE//B,C',

，△川FGsB'c,

*ArFArGAiF,ArG

••

A/B_AfCFD一GE，

ArFAtBtAfFFD

•*•—

AiG~AfCf'AfG'GE‘

AfFAB

•••

AtG~AC

A®AB,ABAC

••-9即一_，

AiCfACA/BfArCr

ABBC

同理可得，一9

ArB，BiC!

•_ABACBC

^AfBf~AfCr'B，C，'

「A'Bl//AB,DE//B'C',

/.ZABC=ZAZDB=ZA'B'C,

同理，ZACB=ZA'EC=ZArC'8',

：.ZBAC=ZAr,

B'C's△八8C；

如图所示，延长A3交）C于点从延长8A交A'D'于点F,延长交4'B,于点E,延

长CB交A'B'于点G,

D

•・•四边形A4C。是正方形，边长为4,四边形A'夕CD,是正方形，

:・AB=BC=CD=AD=4,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=W，NA'=NB'=£C=Z

D'=9(T,

：.AE=AF=1,BG=BH=1,GE=AB=4,

・・・A，B'=l+4+l=6=B'C=CD'=A，D',

AB_BC_CD_AD_2

且对应角都是90°,都相等,

ArBfBrCfC，D，AiDf3'

・•・正方形ABCDs正方形川B'C。'：

如图所示，矩形A8CQ,AB=CD=4,BC=AO=6,

计算方法同上述正方形，

J矩形A'B'C'D‘，A'B'=CD'=6,B'C=A'Dl=8,

•-B_£_££__3

''AiBi_3*B，C，-4’

・•・矩形A8CO与矩形A'B1CO'不是相似图形；

综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组，

故选：C.

【点评】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键.

6.（2024秋•南通期末）如图，矩形纸片ABC。的长八。一小宽E,尸分别为AD,8c两边

的中点.若将这张纸片沿着直线E尸对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则。：。等于（）

A.41：1B.W：1C.2：\[3D.2：1

【考点】相似多边形的性质；矩形的性质.

【专题】图形的相似；运算能力.

【答案】4

【分析】利用相似多边形的性质求解即可.

【解答】解：•・•四边形A8CQ是矩形,

：.AB=CD=b,AD=BC=ih

YE,二分别为4D,BC两边的中点,

：.AE=ED=BF=CF=^,

•・•两个矩形与原矩形均相似.，

.AEAB

''AB~BC

ba

Vfz>0,/AO,

故选：A.

【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质.

7.（2024秋•兴文县期中）如图，小福在矩形A8CZ）的左边分割出正方形ABEF,然后在矩形尸ECO

的一组对边EECO上分别取中点M,N,分割出矩形FMND和矩形MEOV,最后把矩形/MNO

对半分割成矩形和矩形GHNQ.若矩形GHN。与矩形A8CQ相似，则矩形48C。的宽与

长的比的值为（）

1\/5+1x/5-l

L-B.---------C.-------D.-------

2222

【考点】相似多边形的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】图形的相似：推理能力.

【答案】D

DGDNa

【分析】设FG=Z）G=mDN=CN=b,由矩形G〃N。与矩形A8C。相似得一=—,求出（丁）

ABADb

2+6=0,解方程得:=卓，先求出*=竽，进而可求出皆=与1

bb2AB2AD2

【解答】解：•・•在矩形ABCD的左边分割出正方形ABEF,然后在矩形厂ECD的一组对边ERCD

上分别取中点M,N,分割出矩形FMND和矩形MECN,最后把矩形FMND对半分割成矩形FMHG

和矩形GHND,

:.AB=EF=CD,FG=DG、DN=CN.

设尸G=OG=a,DN=CN=b,

则FD=2a,AB=EF=CD=2b,

・・・ABE尸是正方形,

：.AF=AB=2b,

AD=2a+2b.

•・•矩形GHND与矩形ABCD相似,

.DGDN

''AB~加

.ab

**2d-2a+2b'

c^+ab-62=0,

・•・（铲+髀1=。，

a—1+遍a—l—y/s

-=------或-=------（舍去），

b2b2

AD2a+2b-1+V51+V5

方==+1=-------

2

AB_2_

AD~1+V5-2•

故选：D.

【点评】本题考杳了正方形的性质，相似多边形的性质，矩形的判定与性质，熟知以，知识是解

题的关键.

二.填空题（共5小题）

8.（2025•广阳区校级开学）在△48C中，A8=8,AC=10,点。在AC上，且AO=2,若要在48

上找一点£，使得AA4cs△AE。，则八七的长为

【考点】相似多边形的性质.

【弓题】图形的相似；运算能力.

【答案】|或去

【分析】根据相似三角形对应边成比例进行分类讨论即可得到答案.

【解答】解：△ABC中，4B=8,AC=10,点。在AC上，且40=2,

,ABAC810

当--=—,即nn一=一时L，

AEADAE2

8

-

：.AE=5

,ABAC810

当布二即一=—,△ABCS^AEO,

2AE

：.AE=y,

58

故答案为：二或二.

25

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，熟练掌握相似三角形的

性质是解题的关键.

9.（2025春•淄川区期末）如图，在长为8c如宽为6c〃？的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分

所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为27cw2.

【考点】相似多边形的性质；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力.

【答案】27.

【分析】根据相似得出比例式，求出OE的长，再求出矩形EbCO的面积即可.

•・•矩形ABCD和矩形EFCD相似,

ABAD

DE~CD

*68

••_——,

DE6

Q

解得：DE=2（c〃?），

■;DC=6cm,

・•・留下的矩形ERA的面积为QEXQC=Ux6=27（c〃?2）,

故答案为：27.

【点评】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出染=染是解此题的关键.

DECD

10.（2023秋•衡东县校级期末）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为20n2图案

的一条边由原来的1c机变成40〃，则这次复印出来的图案的面枳是32cm2.

【考点】相似图形.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它仅是相似图形，按照相似图形的面积比等

于相似比的平方求解即可.

【解答】解：•・•在一・张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2。层图案的一条边由原来

的1cm变成4cm,

・•・相似比=*,

・•・面枳比=（#=得，

・•・这次复印出来的图案的面积=2X16=32（cm2）.

故答案是：32.

【点评】本题考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键.

11.（2024秋•天桥区校级月考）如图，小正方形的边长都为1,则图形中的阴影三角形相似的序号

【考点】相似图形.

【专题】图形的相似；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】设各小正方形的边长为1,根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用

勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出

图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项.

【解答】解：①三边分别为：V2,2,V10,②三边分别为：I,企，遍，③三边分别为：企，店,3,

④三边分别为：1，V5,2V2,⑤三边分别为：2,瓜V13,

..叵2/10/-

・•・图形中的阴影三角形相似的序号为①@.

故答案为：①②.

【点评】此题考查了相似三角形的判定，以及勾股定理的运用，相似三角形的判定方法有：1、二

对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应

成比例的两三角形相似：4、相似三角形的定义.本题利用的是方法3.

12.（2024秋•双峰县期中）如图所示的两个四边形相似，则Na的度数是一67°

【考点】相似多边形的性质.

【专题】图形的相似；应用意识.

【答案】67°.

【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和为360。解决问题即可.

【解答】解：如图，•・•四边形ABCQs四边形A'B，CDf,

AZA'=NA=138°,

・・・a=NO=360°-NA-N8-NC=360°-138°-80c-75°=67°,

故答案为67°.

【点评】本题考食相似多边形的性质，四边形的内角和等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

三.解答题（共3小题）

13.（2024•南岗区校级开学）画图题

（1）按1：3画出下面的三角形缩小后的图形：

（2）按2：1画出下面的平行四边形放大后的图形.

（3）图（1）缩小后图形的面积为3.

（4）图（2）放大后图形的面积为

24।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।

【考点】相似多边形的性质；平行四边形的性质.

【专题】作图题；多边形与平行四边形；应用意识.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析；

（3）3；

（4）24.

【分析】（1）找出三角形的两条直角边，数出有几个格，把它们分别除以3,然后画出即可;

（2）找出形平行四边的底与高，数出有几个格，把它们分别乘以2,然后画出即可；

（3）根据缩小后的底和高，利用三角形面积公式II算即可；

（4）根据放大小后的底和高，利用三角形面积公式计算即可.

【解答】解：（1）如图所示，△AQE即为所求;

（2）如图所示，平行四边形AIEIFIGI即为所求:

（3）根据图可知AAOE的底为3,高为2,

•••△AOE的面积=4x3x2=3,

故答案为：3；

（4）根据图可知：平行四边形AIEIFIGI的底为6,高为4,

，平行四边形AIEIFIGI的面积6X4=24,

故答案为：24.

【点评】本题考查了图形的放大与缩小，解答本题的关键是掌握比例尺的概念.

14.（2024秋•北镇市期中）矩形。48cs矩形。QEF,它们的相似比为3：