15.3 角的平分线 教案（2课题）数学沪科版（2024）八年级上册

15.3角的平分线课题1角平分线的性质与判定【学习目标】1．探索角平分线的性质定理和它的逆定理；2．通过探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，增强几何空间意识．【学习重点】掌握角平分线的性质定理和逆定理．【学习难点】运用角平分线定理简化证明线段相等．问题导入：如图，OE是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点C，D为垂足．PC，PD的长有什么关系吗？证明你的猜想．解：PC＝PD.证明如下：∵OP平分∠AOB，(已知)∴∠AOP＝∠BOP.(角平分线的定义)又∵PC⊥OA，PD⊥OB，(已知)∴∠PCO＝∠PDO＝90°.(垂直的定义)在△PCO和△PDO中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠AOP＝∠BOP，（已证）,∠PCO＝∠PDO，（已证）,OP＝OP，（公共边）))∴△PCO≌△PDO.(AAS)∴PC＝PD.知识模块一角平分线的性质阅读教材P139～P140的内容，回答下列问题：从问题导入的证明中，你发现角平分线上的点有什么规律？答：角平分线上的点到角两边的距离相等，这就是角平分线的性质．典例：如图，OP平分∠AOB，C为OB上一点，OC＝4，过点P作PD⊥OA.若△OCP的面积为4，则PD的长为(C)A．4B．3C．2D．1eq\o(\s\up7(),\s\do5((典例题图)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((仿例题图)))仿例：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝∠BAD＝30°，DE⊥AB，若CD＝2，则DE＝__2__．知识模块二角平分线的判定阅读教材P140的内容，回答下列问题：角平分线的性质定理的逆定理是什么？答：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．典例：到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的(D)A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点仿例：如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一角平分线的性质知识模块二角平分线的判定课题2角平分线性质与判定的综合应用【学习目标】1．使学生掌握角平分线定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力；2．使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等．【学习重点】掌握角平分线的性质定理及判定．【学习难点】角平分线性质和判定定理的综合应用．在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从点P建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？学生活动：1.过点P分别作公路、铁路的垂线段PM，PN，交公路、铁路于点M，点N.2．PM＝PN.知识模块角平分线性质与判定的综合应用阅读教材P141的内容，回答下列问题．1．角的平分线性质定理与判定定理是什么？答：性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．2．三角形三条角平分线交点的性质是什么？答：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．典例：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF相交于点P.求证：AP平分∠BAC.证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为点M，N，Q.∵BE是∠ABC的平分线，点P在BE上，(已知)∴PQ＝PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)同理，PN＝PM.∴PN＝PQ.(等量代换)∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)仿例1：如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC于点E.若AD＝DE，且∠C＝50°，则∠ABD＝__20°__．仿例2：如图，△ABC的外角∠DAC，∠ACE的平分线AF，CF相交于点F.下列结论：①AF＝CF；②点F到BD，AC，BE的距离相等；③点F在∠ABC的平分线上．其中结论一定正确的是__②③__(填序号)，请说明理由．解析：如图，过点F分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点G，M，N.∵∠DAC，∠ACE的平分线相交于点F，∴FG＝FN，FM＝FN，∴FG＝FM＝FN，即点F到BD，AC，BE的距离相等，∴BF平分∠ABC，即点F在∠ABC的平分线上，∴结论②和③是正确的．1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块角平分线性质与判定的综合应用1．收获：________________________________