2025年定点定值题目及答案

2025年定点定值题目及答案

一、单项选择题1.直线\(y=k(x-2)+1\)恒过定点（）A.\((2,1)\)B.\((-2,1)\)C.\((1,2)\)D.\((1,-2)\)答案：A2.椭圆\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦距为\(2\)，则\(m\)的值为（）A.\(5\)B.\(3\)C.\(5\)或\(3\)D.\(6\)答案：C3.抛物线\(y=ax^{2}\)的准线方程是\(y=2\)，则\(a\)的值为（）A.\(\frac{1}{8}\)B.\(-\frac{1}{8}\)C.\(8\)D.\(-8\)答案：B4.已知双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{3}\)B.\(\frac{5}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{3}{2}\)答案：B5.直线\(x+my+1=0\)过定点（）A.\((1,0)\)B.\((-1,0)\)C.\((0,1)\)D.\((0,-1)\)答案：B6.若直线\(l\)过点\((0,2)\)且与抛物线\(y^{2}=4x\)只有一个公共点，则这样的直线\(l\)的条数是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：C7.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆上，\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，\(|PF_1|=2|PF_2|\)，则椭圆的离心率为（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：A8.双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的右焦点到渐近线的距离为（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(\frac{12}{5}\)答案：B9.抛物线\(y^{2}=8x\)上一点\(P\)到焦点的距离为\(5\)，则\(P\)点的横坐标为（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案：A10.已知直线\(y=x+1\)与椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)相交于\(A,B\)两点，且线段\(AB\)的中点在直线\(x-2y=0\)上，则此椭圆的离心率为（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)答案：B二、多项选择题1.以下关于圆锥曲线的说法，正确的是（）A.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)为半焦距），离心率的范围是\((0,1)\)B.双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)C.抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)D.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)上一点\(P\)到两焦点距离之和为\(2a\)答案：ABCD2.直线\(y=kx+1\)与椭圆\(\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1\)恒有公共点，则\(m\)的值可以是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(5\)D.\(6\)答案：BCD3.已知双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)，以下说法正确的是（）A.实轴长为\(2a\)B.虚轴长为\(2b\)C.焦距为\(2c\)，且\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)D.离心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(e\gt1\)答案：ABCD4.抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点为\(F\)，过\(F\)的直线\(l\)与抛物线相交于\(A,B\)两点，以下说法正确的是（）A.焦点\(F\)的坐标为\((1,0)\)B.\(|AB|\)的最小值为\(4\)C.若\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(y_1y_2=-4\)D.若直线\(l\)的斜率为\(1\)，则\(|AB|=8\)答案：ABCD5.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，以下说法正确的是（）A.长轴长为\(4\)B.短轴长为\(2\sqrt{3}\)C.离心率\(e=\frac{1}{2}\)D.焦点坐标为\((\pm1,0)\)答案：ABCD6.对于双曲线\(\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1\)，下列说法正确的是（）A.焦点在\(y\)轴上B.渐近线方程为\(y=\pm\frac{2}{3}x\)C.实轴长为\(4\)D.离心率\(e=\frac{\sqrt{13}}{2}\)答案：ACD7.抛物线\(x^{2}=2py(p\gt0)\)上一点\(M(m,2)\)到焦点的距离为\(3\)，则（）A.\(p=2\)B.\(m=\pm2\sqrt{2}\)C.焦点坐标为\((0,1)\)D.准线方程为\(y=-1\)答案：ABCD8.已知直线\(y=-x+1\)与椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)相交于\(A,B\)两点，若椭圆的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且原点到直线\(AB\)的距离为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则（）A.\(a^{2}=2b^{2}\)B.\(a=\sqrt{2}\)C.\(b=1\)D.椭圆方程为\(\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\)答案：ABCD9.以下关于圆锥曲线的定点定值问题，说法正确的是（）A.直线\(y=k(x-1)+2\)恒过定点\((1,2)\)B.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，过焦点\(F\)的弦\(AB\)，\(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}\)为定值C.双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)中，渐近线的斜率乘积为定值D.抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)中，过焦点\(F\)的直线与抛物线交于\(A,B\)两点，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\)为定值答案：ABCD10.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆上，下列说法正确的是（）A.\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)B.若\(\angleF_1PF_2=\theta\)，则\(\triangleF_1PF_2\)的面积为\(b^{2}\tan\frac{\theta}{2}\)C.离心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)D.当\(P\)为短轴端点时，\(\angleF_1PF_2\)最大答案：ABCD三、判断题1.直线\(y=k(x-3)+4\)恒过定点\((3,4)\)。（）答案：对2.椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的离心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)。（）答案：对3.双曲线\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。（）答案：对4.抛物线\(y^{2}=-8x\)的焦点坐标为\((-2,0)\)。（）答案：对5.直线\(y=x+1\)与椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)恒有两个交点。（）答案：对6.双曲线\(\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1\)的实轴长为\(8\)。（）答案：对7.抛物线\(x^{2}=6y\)的准线方程是\(y=-\frac{3}{2}\)。（）答案：对8.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，当点\(P\)为长轴端点时，\(\angleF_1PF_2\)最小。（）答案：对9.直线\(y=kx+2\)与双曲线\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1\)恒有公共点，则\(k\)的取值范围是\((-\infty,+\infty)\)。（）答案：错10.抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)上一点\(M\)到焦点的距离等于到准线的距离。（）答案：对四、简答题1.求椭圆\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的长轴长、短轴长、焦距、离心率。答案：对于椭圆\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，\(a^{2}=16\)，则\(a=4\)，长轴长\(2a=8\)；\(b^{2}=9\)，则\(b=3\)，短轴长\(2b=6\)；\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=16-9=7\)，\(c=\sqrt{7}\)，焦距\(2c=2\sqrt{7}\)；离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)。2.求双曲线\(\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的渐近线方程。答案：对于双曲线\(\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{16}=1\)，其渐近线方程的公式为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。这里\(a^{2}=25\)，\(a=5\)；\(b^{2}=16\)，\(b=4\)。所以渐近线方程为\(y=\pm\frac{4}{5}x\)。3.已知抛物线\(y^{2}=12x\)，求其焦点坐标和准线方程。答案：对于抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)。在\(y^{2}=12x\)中，\(2p=12\)，\(p=6\)，则焦点坐标为\((3,0)\)，准线方程为\(x=-3\)。4.直线\(y=k(x-1)\)与椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)相交于\(A,B\)两点，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标。答案：对于直线\(y=k(x-1)\)，当\(x=1\)时，无论\(k\)取何值，\(y=0\)。所以直线\(y=k(x-1)\)恒过定点\((1,0)\)。五、讨论题1.讨论椭圆、双曲线、抛物线的离心率的取值范围及其几何意义。答案：椭圆离心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(0\lte\lt1\)。\(e\)越接近\(0\)，椭圆越接近圆；\(e\)越接近\(1\)，椭圆越扁。双曲线离心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(e\gt1\)，\(e\)越大，双曲线的开口越开阔。抛物线离心率\(e=1\)，其形状固定，离心率体现了抛物线上的点到焦点和准线距离的特定关系，保证抛物线的形状特征。2.直线与圆锥曲线的位置关系有哪几种？如何通过方程来判断？答案：直线与圆锥曲线位置