吉林省长春市三校2025~2026学年度高考真题分类优化精炼 数学卷 三角函数、解三角形、数列（含答案）

高考真题分类优化精练●数学卷一、选择题(本大题共8小题)1.(2025●新高考全国I卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(父—的图象的一个对称中心,则a的最小值为ABAB3.(2024●新高考全国I卷)已知co5(α十β)=m,tanαtanβ=2,则co5(α—β)=4.(2023●全国甲卷●理科)已知正项等比数列{an}中,a1=1,SnS4=5.(2022●全国甲卷●理科)函数y=(3父—3—父)co5父在区间[—,的图象大致为7.(2021●新高考全国Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O,半径r为6400km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1—co5α)(单位:km2),则S占地球表面积的百分比约为8.(多选)(2025●新高考全国I卷)已知△ABC的面积为,若co52A十co52B十25inC=2,A.5inC=5in2A十5in2BB.AB=\/2 D.AC选择题答题栏题号12345678答案二、填空题(本大题共2小题)9.(2025●新高考全国I卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为.10.(2023●全国甲卷●理科)在△ABC中,AB=2,上BAC=60。,BC=\,D为BC上一点,AD为上BAC的平分线,则AD=.高考真题分类优化精练●数学第1页(共4页)三、解答题(本大题共2小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11.(2025●新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(父)=co5(2父十φ)(0≤φ<π),f(0)=.(1)求φ;(2)设函数g(父)=f(父)十f(父—求g(父)的值域和单调区间.设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m十2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m十2是(i,j)—可分数列.(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使数列a1,a2,…,a6是(i,j)—可分数列;(2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m十2是(2,13)—可分数列;(3)从1,2,…,4m十2中一次任取两个数i和j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m十2是(i,j)—可分数 列的概率为pm,证明:pm> 高考真题分类优化精练●数学第3页(共4页)高考真题分类优化高考真题分类优化精练●参考答案数学卷1.B根据正切函数的性质,y=2tan(父—的对称中心横坐标满足父—=,k∈z,即y=2tan(父—的对称中心是,k∈z,即a=十,k∈z,又a>0,则k=0时a最小,最小值是,即a=.2.A对A,sin父十cos父=\sin(父十,周期T=2π,故A正确;对B,sin父cos父=sin2父,周期T==π,故B错误;对C,父=1,是常值函数,不存在最小正周期,故C错误;对D,sin2父cos2父=—cos2父,周期T==π,故D错误.3.A因为cos(α十β)=m,所以cosαcosβ—sinαsinβ=m,而tanαtanβ=2,所以sinαsinβ=2cosαcosβ,故cosαcosβ—2cosαcosβ=m即cosαcosβ=—m,从而sinαsinβ=—2m,故cos(α—β)=—3m.—4q—4=0,即(q—2)(q十1)(q十2)=0.由题知q>0,所以q=2.所以S4=1十2十4十8=15.故选:C.—,则f(—父)=(3—父—3父)cos(—父)=—(3父—3—父)cos父=—f(父),所以f(父)为奇父cos父>0,所以f(父)>0,排除C.6.D设等比数列{an}的公比为q,q≠0,若q=1,则a2—a5=0,与题意矛盾,所以q≠1,则〈(a1十a2十a3==168,解得(a4=42(a7.C由题意可得,S占地球表面积的百分比约为:==1—640000≈0.42=42%.8.ABCcos2A十cos2B十2sinC=2,由二倍角公式,1—2sin2A十1—2sin2B十2sinC=2,整理可得,sinC=sin2A十sin2B,A选项正确;由诱导公式,sin(A十B)=sin(π—C)=sinC,展开可得sinAcosB十sinBcosA=sin2A十sin2B,即sinA(sinA—cosB)十sinB(sinB—cosA)=0,下证C=.若A十B=,则sinA=cosB,sinB=cosA可知等式成立;若A十B<,即A<—B,由诱导公式和正弦函数的单调性可知,sinA<cosB,同理sinB<cosA,又sinA>0,sinB>0,于是sinA(sinA—cosB)十sinB(sinB—cosA)<0,与条件不符,则A十B<不成立;若A十B>,类似可推导出sinA(sinA—cosB)十sinB(sinB—cosA)>0,则A十B>不成立.综上讨论可知,A十B=,即C=.由cosAcosBsinC==cosAcosB,由A十B=,则cosB=sinA,即sinAcosA=,则sin2A=,同理sin2B=,由上述推导,A,B∈(0,,则2A,2B∈(0,π),不妨设A<B,则2A=,2B=,即A=,B=,由两角和差的正弦公式可知sin十sin=\\十\\=\,C选项正确;由两角和的正切公式可得,tan=2十\,设BC=t,AC=(2十\)t,则AB=(\十\)t,由S△ABC=(2十\)t2=,则t2=,则t=\21,于是AB=(\十\)t=\,B选项正确,由勾股定理可知,AC2十BC2=2,D选项错误.9.2设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68,设{an}的公比为q(q>0),因为S8—S4=a5十a6十a7十a8=(a1十a2)q4=68—4=64,又S4=a1十a2十a3十a4=4,所以=q4==16,所以q=2,所以该等比数列公比为2.10.2如图所示:记AB=c,AC=b,BC=a,方法一:由余弦定理可得,22十b2—2×2×b×cos60。=6,因为b>0,解得:b=1十\,由S△ABC=S△ABD十S△ACD可得,×2×b×sin60。=×2×AD×方法二:由余弦定理可得,22十b2—2×2×b×cos60。=6,因为b>0,解得:b=1十\,由正弦定理可得,si0。==,解得:sinB=\\,sinC=\,因为1十\>\>\,所以C=45。,B=180。—75。,即AD=AB=2.故答案为:2.11.解:(1)由题意f(0)=cosφ=(0≤φ<π),所以φ=.(2)由(1)可知f(父)=cos(2父十,所以函数g(父)的值域为[—\3,\3],令2kπ≤2父十≤π十2kπ,k∈z,解得—十kπ≤父≤十kπ,k∈z,令π十2kπ≤2父十≤2π十2kπ,k∈z,解得十kπ≤父≤十kπ,k∈z,所以函数g(父)的单调递减区间为[—十kπ,十kπ],k∈z,函数g(父)的单调递增区间为十kπ,十kπ],k∈z.12.(1)解:首先,我们设数列a1,a2,…,a4m十2的公差为d,则d≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列,当且仅当该数列是等差数列,故我们可以对该数列进行适当的变形a,k=十1(k=1,2,…,4m十2),得到新数列a,k=k(k=1,2,…,4m十2),然后对a,1,a,2,…,a,4m十2进行相应的讨论即可.换言之,我们可以不妨设ak=k(k=1,2,…,4m十2),此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题,第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和j(i<j),使得剩下四个数是等差数列.所以所有可能的(i,j)就是(1,2),(1,6),(5,6).(2)证明:由于从数列1,2,…,4m十2中取出2和13后,剩余的4m个数可以分为以下两个部分,共m组,使得每组成等差数列:(如果m—3=0,则忽略②)(3)证明:定义集合A={4k十1|k=0,1,2,…,m}={1,下面证明,对1≤i<j≤4m十2,如果下面两个命题同时成立,则数列1,2,…,4m十2一定是(i,j)—可分数列:命题1:i∈A,j∈B或i∈B,j∈A;命题2:j—i≠3.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况:如果i∈A,j∈B,且j—i≠3.此时,由于从数列1,2,…,4m十2中取出i=4k1十1